3.5 : Diagrammes de Venn
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Un diagramme de Venn est une image qui représente les résultats d'une expérience. Il s'agit généralement d'une boîte qui représente l'espace d'échantillonnage S avec des cercles ou des ovales. Les cercles ou ovales représentent des événements. Les diagrammes de Venn nous aident également à convertir des mots anglais courants en termes mathématiques qui contribuent à ajouter de la précision.
Les diagrammes de Venn portent le nom de leur inventeur, John Venn, professeur de mathématiques à Cambridge et ministre anglican. Ses travaux principaux ont été menés à la fin des années 1870 et ont donné naissance à toute une branche des mathématiques et à une nouvelle façon d'aborder les questions de logique. Nous développerons les règles de probabilité que nous venons d'aborder en utilisant cette méthode puissante pour démontrer les postulats de probabilité, y compris la règle d'addition, la règle de multiplication, la règle du complément, l'indépendance et la probabilité conditionnelle.
Exemple 3.27
Supposons qu'une expérience ait les résultats 1, 2, 3,..., 12 où chaque résultat a une chance égale de se produire. Laissez un événement\(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) et un événement\(B = \{6, 7, 8, 9\}\). Puis\(A\) se croiser\(B = A \cap B=\{6\}\) et s'\(A\)unir\(B = A\cup B=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\). Le diagramme de Venn est le suivant :
La figure 3.6 montre la relation la plus fondamentale entre ces chiffres. Tout d'abord, les nombres sont dans des groupes appelés ensembles ; ensemble A et ensemble B. Certains nombres se trouvent dans les deux ensembles ; nous disons dans l'ensemble A\(\cap \) dans l'ensemble B. Le mot anglais « and » signifie inclusif, ce qui signifie avoir les caractéristiques de A et de B, ou dans ce cas, faire partie à la fois de A et B. Cette condition est appelée l'INTERSECTION de les deux sets. Tous les membres qui font partie des deux ensembles constituent l'intersection des deux ensembles. L'intersection s'écrit comme suit :\(A\cap B\) où\(\cap\) se trouve le symbole mathématique de l'intersection. L'instruction A \ cap BA \ cap B est lue comme « A intersection B. » Vous pouvez vous en souvenir en pensant à l'intersection de deux rues.
Il existe également des numéros qui forment un groupe qui, pour être membre, doit appartenir à l'un ou à l'autre groupe. Le numéro ne doit pas nécessairement figurer dans les DEUX groupes, mais uniquement dans l'un ou l'autre des deux. Ces numéros sont appelés l'UNION des deux ensembles et, dans ce cas, ce sont les nombres 1 à 5 (à partir de A exclusivement), 7 à 9 (à partir de l'ensemble B exclusivement) et également 6, qui se trouve dans les deux ensembles A et B. Le symbole de l'UNION est\(\cup \) donc les\(A\cup B=\) numéros 1 à 9, mais exclut les numéros 10, 11 et 12. Les valeurs 10, 11 et 12 font partie de l'univers, mais ne font partie d'aucun des deux ensembles.
La traduction du mot anglais « AND » en symbole de logique mathématique \ cap, intersection, et du mot « OR » en symbole mathématique \ cup, union, fournit une manière très précise d'aborder les questions de probabilité et de logique. La terminologie générale des trois zones du diagramme de Venn de la figure 3.6 est présentée à la figure 3.7.
Exercice 3.27
Supposons qu'une expérience ait des résultats en noir, blanc, rouge, orange, jaune, vert, bleu et violet, où chaque résultat a une chance égale de se produire. Soit l'événement C = {vert, bleu, violet} et l'événement P = {rouge, jaune, bleu}. Puis\(C\cap P=\{blue\}\) et\(C \cup P=\{\text { green, blue, purple, red, yellow }\}\). Dessinez un diagramme de Venn représentant cette situation.
Exemple 3.28
Lancez deux pièces de monnaie équitable. Soit A = s'arrête sur la première pièce. Soit B = s'arrête sur la deuxième pièce. Alors A = {TT, TH} et B = {TT, HT}. Par conséquent,\(A\cap B=\{TT\}\). \(A\cup B=\{TH, TT, HT\}\).
L'espace d'échantillonnage lorsque vous lancez deux pièces équitables est X = {HH, HT, TH, TT}. Le résultat HH n'est ni en A NI en B. Le diagramme de Venn est le suivant :
Exercice 3.28
Lancez un bon dé à six faces. Soit A = un nombre premier de points est roulé. Soit B = un nombre impair de points est roulé. Alors A= {2, 3, 5} et B = {1, 3, 5}. Par conséquent,\(A\cap B=\{3, 5\}\). \(A\cup B=\{1, 2, 3, 5\}\). L'espace d'échantillonnage pour faire rouler une matrice correcte est S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dessinez un diagramme de Venn représentant cette situation.
Exemple 3.29
Une personne dont le sang est de type O et dont le facteur Rh (Rh-) est négatif peut donner du sang à toute personne de n'importe quel groupe sanguin. Quatre pour cent des Afro-Américains ont du sang de type O et un facteur RH négatif, 5 à 10 % des Afro-Américains ont le facteur Rh et 51 % ont du sang de type O.
Le cercle « O » représente les Afro-Américains avec du sang de type O. L'ovale « Rh- » représente les Afro-Américains dotés du facteur Rh-.
Nous prendrons la moyenne de 5 % et 10 % et utiliserons 7,5 % comme pourcentage d'Afro-Américains ayant le facteur Rh-. Soit O = Afro-Américain avec du sang de type O et R = Afro-Américain avec un facteur Rh-.
- P (O) = ___________
- P (R) = ___________
- \(P(O\cap R)=\)___________
- \(P(O\cup R)=\)____________
- Dans le diagramme de Venn, décrivez la zone qui se chevauche en utilisant une phrase complète.
- Dans le diagramme de Venn, décrivez la zone dans le rectangle mais en dehors du cercle et de l'ovale en utilisant une phrase complète.
- Réponse
-
Solution 3.29
a. 0,51 ; b. 0,075 ; c. 0,04 ; d. 0,545 ; e. La zone représente les Afro-Américains qui ont du sang de type O et le facteur Rh-. f. La zone représente les Afro-Américains qui n'ont ni sang de type O ni facteur Rh-.
Exemple 3.30
Cinquante pour cent des travailleurs d'une usine ont un deuxième emploi, 25 % ont un conjoint qui travaille également, 5 % ont un deuxième emploi et ont un conjoint qui travaille également. Dessinez un diagramme de Venn montrant les relations. Soit W = occupe un deuxième emploi et S = conjoint travaille également.
- Réponse
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Quarante pour cent des étudiants d'un collège local appartiennent à un club et 50 % travaillent à temps partiel. Cinq pour cent des étudiants travaillent à temps partiel et appartiennent à un club. Dessinez un diagramme de Venn montrant les relations. Soit C = étudiant appartient à un club et PT = étudiant travaille à temps partiel.
Graphique 3.9 Si un étudiant est sélectionné au hasard, trouvez
- la probabilité que l'élève appartienne à un club. P (C) = 0,40
- la probabilité que l'étudiant travaille à temps partiel. P (PT) = 0,50
- la probabilité que l'étudiant appartienne à un club ET travaille à temps partiel. \(P(C\cap PT)=0.05\)
- la probabilité que l'étudiant appartienne à un club étant donné qu'il travaille à temps partiel. \(P(C | P T)=\frac{P(C \cap P T)}{P(P T)}=\frac{0.05}{0.50}=0.1\)
- la probabilité que l'étudiant appartienne à un club OU travaille à temps partiel. \(P(C \cup P T)=P(C)+P(P T)-P(C \cap P T)=0.40+0.50-0.05=0.85\)
Pour résoudre l'exemple 3.30, nous avons dû nous inspirer du concept de probabilité conditionnelle de la section précédente. Nous y avons utilisé des diagrammes arborescents pour suivre l'évolution des probabilités, car l'espace d'échantillonnage changeait au fur et à mesure que nous le dessinions sans remplacement. En bref, la probabilité conditionnelle est la probabilité que quelque chose se produise étant donné qu'un autre événement s'est déjà produit. En d'autres termes, la probabilité que quelque chose se produise dépend de la situation où quelque chose d'autre est également vrai. Dans l'exemple 3.30, la probabilité P (C||PT) est la probabilité conditionnelle que l'étudiant tiré au sort soit membre du club, sous réserve du fait que l'étudiant travaille également à temps partiel. Cela nous permet de voir la relation entre les diagrammes de Venn et les postulats de probabilité.
Exercice 3.30
Dans une librairie, la probabilité que le client achète un roman est de 0,6 et la probabilité que le client achète un livre non-fictionnel est de 0,4. Supposons que la probabilité que le client achète les deux soit de 0,2.
- Dessinez un diagramme de Venn représentant la situation.
- Déterminez la probabilité que le client achète un roman ou un livre non-fictionnel.
- Dans le diagramme de Venn, décrivez la zone qui se chevauche en utilisant une phrase complète.
- Supposons que certains clients n'achètent que des disques compacts. Tracez un ovale dans votre diagramme de Venn représentant cet événement.
Exemple 3.31
Un ensemble de 20 chiens de berger allemands est observé. 12 sont des mâles, 8 sont des femelles, 10 ont une coloration brune et 5 ont des sections de fourrure blanches. Répondez à la question suivante à l'aide de diagrammes de
Dessinez un diagramme de Venn montrant simplement les ensembles de chiens mâles et femelles.
- Réponse
-
Solution 3.31
Le diagramme de Venn ci-dessous montre la situation d'événements qui s'excluent mutuellement et dont les résultats sont des événements indépendants. Si un chien ne peut pas être à la fois mâle et femelle, il n'y a pas d'intersection. Le fait d'être un homme exclut d'être une femme et le fait d'être une femme empêche d'être un homme : dans ce cas, le sexe caractéristique s'exclut donc mutuellement. Un diagramme de Venn montre cela sous la forme de deux ensembles sans intersection. L'intersection est dite être l'ensemble nul utilisant le symbole mathématique 0.8.
Graphique 3.10
- Réponse
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Solution 3.31
Le diagramme de Venn ci-dessous montre le chevauchement entre le mâle et le brun à l'endroit où le chiffre 10 y est placé. Cela représente\(\text{ Male}\cap \text{Brown }\) à la fois un mâle et un brun. C'est l'intersection de ces deux caractéristiques. Pour obtenir l'union du mâle et du brun, il suffit de retirer les deux zones encerclées, moins le chevauchement. En termes appropriés, nous\( \text{ Male}\cup \text{ Brown }=\text { Male }+\text { Brown }-\text { Male } \cap \text { Brown}\) indiquera le nombre de chiens dans l'union de ces deux ensembles. Si nous n'avions pas soustrait l'intersection, nous aurions compté deux fois certains chiens.
Graphique 3.11
Dessinez un deuxième diagramme de Venn illustrant que 10 des chiens mâles ont une coloration brune.
- Réponse
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Solution 3.31
Graphique 3.12
Dessinez maintenant une situation illustrant un scénario dans lequel la zone non ombrée représente « Pas de fourrure blanche ni de femme », ou « Fourrure blanche » \ cap Femme. la prime au-dessus de « fourrure » indique « fourrure non blanche ». Le nombre premier au-dessus d'un ensemble signifie ne pas être dans cet ensemble, par exemple\(\mathrm{A}^{\prime}\) signifie non\(\mathrm{A}\). Parfois, la notation utilisée est une ligne au-dessus de la lettre. Par exemple,\(\overline{A}=\mathrm{A}^{\prime}\).
La règle de probabilité d'addition
Nous avons respecté la règle d'addition plus tôt, mais sans l'aide des diagrammes de Venn. Les diagrammes de Venn permettent de visualiser le processus de comptage inhérent au calcul des probabilités. Pour reformuler la règle de probabilité d'addition :
\[P(A \cup B)=P(\mathrm{A})+P(B)-P(A \cap B)\nonumber\]
N'oubliez pas que la probabilité est simplement la proportion des objets qui nous intéressent par rapport au nombre total d'objets. C'est pourquoi nous pouvons constater l'utilité des diagrammes de Venn. L'exemple 3.31 montre comment utiliser les diagrammes de Venn pour compter le nombre de chiens dans l'union d'un chien brun et d'un mâle en nous rappelant de soustraire l'intersection entre le brun et le mâle. Nous pouvons voir l'effet de cela directement sur les probabilités dans la règle d'addition.
Exemple 3.32
Prélevons un échantillon de 50 étudiants qui suivent un cours de statistiques. 20 sont des étudiants de première année et 30 sont des étudiants de deuxième année. 15 étudiants obtiennent un « B » dans le cours, et 5 étudiants obtiennent tous deux un « B » et sont des étudiants de première année.
Trouvez la probabilité de sélectionner un étudiant qui obtient un « B » OU qui est un étudiant de première année. Nous traduisons le mot OR en symbole mathématique de la règle d'addition, qui est l'union des deux ensembles.
- Réponse
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Solution 3.32
Nous savons qu'il y a 50 étudiants dans notre échantillon, donc nous connaissons le dénominateur de notre fraction pour nous donner une probabilité. Il nous suffit de trouver le nombre d'étudiants qui répondent aux caractéristiques qui nous intéressent, c'est-à-dire tout étudiant de première année et tout étudiant ayant obtenu la note « B ». Avec la règle d'addition des probabilités, nous pouvons passer directement aux probabilités.
Soit « A » le nombre d'étudiants de première année, et « B » = la note de « B ». Ci-dessous, nous pouvons voir le processus d'utilisation des diagrammes de Venn pour résoudre ce problème.
Le\(P(A)=\frac{20}{50}=0.40, P(B)=\frac{15}{50}=0.30, \text { and } P(A \cap B)=\frac{5}{50}=0.10\)
Par conséquent,\(P(A \cap B)=0.40+0.30-0.10=0.60\)
Graphique 3.13 Si deux événements s'excluent mutuellement, alors, comme dans l'exemple où nous schématisons les chiens mâles et femelles, la règle d'addition est simplifiée à juste\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)−0\). Cela est vrai parce que, comme nous l'avons vu précédemment, l'union d'événements qui s'excluent mutuellement est l'ensemble nul, 1/3. Les diagrammes ci-dessous le démontrent.
Graphique 3.14
La règle de multiplication des probabilités
En reprenant la règle de multiplication des probabilités à l'aide de la notation des diagrammes de Venn, nous avons :
\[P(A\cap B)=P(A|B)⋅P(B)\nonumber\]
La règle de multiplication peut être modifiée avec un peu d'algèbre pour obtenir la règle conditionnelle suivante. Les diagrammes de Venn peuvent ensuite être utilisés pour démontrer le processus.
La règle conditionnelle :\(P(A | B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
En utilisant les mêmes faits que ceux de l'exemple 3.32 ci-dessus, déterminez la probabilité qu'une personne obtienne un « B » si elle est en « première année ».
\[P(A | B)=\frac{0.10}{0.30}=\frac{1}{3}\nonumber\]
La règle de multiplication doit également être modifiée si les deux événements sont indépendants. Les événements indépendants sont définis comme une situation dans laquelle la probabilité conditionnelle est simplement la probabilité de l'événement d'intérêt. Formellement, l'indépendance des événements est définie comme\(P(A|B)=P(A)\) ou\(P(B|A)=P(B)\). Lorsque vous retournez des pièces, le résultat du deuxième lancer est indépendant du résultat du premier ; les pièces n'ont pas de mémoire. La règle de multiplication des probabilités pour les événements indépendants devient ainsi :
\[P(A\cap B)=P(A)⋅P(B)\nonumber\]
Une façon simple de s'en souvenir est de réfléchir à ce que nous entendons par le mot « et ». Nous voyons que la règle de multiplication a traduit le mot « et » en notation Venn pour désigner l'intersection. Par conséquent, le résultat doit répondre aux deux conditions des étudiants de première année et du grade « B » dans l'exemple ci-dessus. Il est plus difficile et moins probable de remplir deux conditions qu'une seule ou une autre. Nous pouvons essayer de comprendre la logique de la règle de multiplication des probabilités en raison du fait que les fractions multipliées par les unes les autres deviennent plus petites.
Le développement des règles de probabilité à l'aide de diagrammes de Venn peut être démontré pour nous aider à calculer les probabilités à partir de données organisées dans un tableau de contingence.
Exemple 3.33
Le tableau 3.11 provient d'un échantillon de 200 personnes à qui on a demandé quel niveau d'études elles avaient terminé. Les colonnes représentent le niveau d'études le plus élevé qu'ils ont terminé, et les rangées séparent les individus par sexe masculin et féminin.
| Moins d'un diplômé du secondaire | Diplômé du lycée | Un collège | Diplômé universitaire | Totale | |
|---|---|---|---|---|---|
| Masculin | 5 | 15 | 40 | 60 | 120 |
| Femme | 8 | 12 | 30 | 30 | 80 |
| Totale | 13 | 27 | 70 | 90 | 200 |
Maintenant, nous pouvons utiliser ce tableau pour répondre à des questions de probabilité. Les exemples suivants sont conçus pour vous aider à comprendre le format ci-dessus tout en reliant les connaissances aux diagrammes de Venn et aux règles de probabilité.
Quelle est la probabilité qu'une personne sélectionnée ait terminé ses études universitaires et soit une femme ?
- Réponse
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Solution 3.3
Il s'agit d'une tâche simple qui consiste à trouver la valeur à laquelle les deux caractéristiques se croisent sur le tableau, puis à appliquer le postulat de probabilité, selon lequel la probabilité d'un événement est la proportion de résultats qui correspondent à l'événement qui nous intéresse en proportion du total possible résultats.
\(P(\text {College Grad } \cap \text { Female })=\frac{30}{200}=0.15\)
Quelle est la probabilité de choisir une femme ou une personne qui a terminé ses études universitaires ?
- Réponse
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Solution 3.3
Cette tâche implique l'utilisation de la règle d'addition pour résoudre cette probabilité.
\(P(\text { College Grad } \cup \text{ Female })=P(F)+P(C G)-P(F \cap C G)\)
\(P(\text { College Grad } \cup \text{ Female }) =\frac{80}{200}+\frac{90}{200}-\frac{30}{200}=\frac{140}{200}=0.70\)
Quelle est la probabilité de choisir un diplômé du secondaire si l'on choisit uniquement parmi les hommes ?
- Réponse
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Solution 3.3
Ici, nous devons utiliser la règle de probabilité conditionnelle (la règle de multiplication modifiée) pour résoudre cette probabilité.
\(P (\text{HS Grad } | \text { Male }）=\frac{P(\mathrm{HS} \text { Grad } \cap \mathrm{Male})}{\mathrm{P}(\mathrm{Male})}=\frac{\left(\frac{15}{200}\right)}{\left(\frac{120}{200}\right)}=\frac{15}{120}=0.125\)
Pouvons-nous en conclure que le niveau d'éducation atteint par ces 200 personnes est indépendant du sexe de la personne ?
- Réponse
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Solution 3.3
Il existe deux manières d'aborder ce test. La première méthode cherche à vérifier si l'intersection de deux événements est égale au produit des événements séparément, en se souvenant que si deux événements sont indépendants de\(P(A)^{*} P(B)=P(A \cap B)\). Par souci de simplicité, nous pouvons utiliser des valeurs calculées par le haut.
Est-ce que\(P(\text { College Grad } \cap \text { Female })=P(C G) \cdot P(F)\) ?
\(\frac{30}{200} \neq \frac{90}{200} \cdot \frac{80}{200}\)parce que 0,15 ≤ 0,18.
Par conséquent, le genre et l'éducation ne sont pas indépendants ici.
La deuxième méthode consiste à tester si la probabilité conditionnelle de A donné B est égale à la probabilité de A. Encore une fois, pour des raisons de simplicité, nous pouvons utiliser une valeur déjà calculée par le haut.
Est-ce que\(P(H S \text { Grad } | \text { Male })=P(H S \text { Grad) }\) ?
\(\frac{15}{120} \neq \frac{27}{200}\)parce que 0,125 ≤ 0,135.
Par conséquent, là encore, le genre et l'éducation ne sont pas indépendants.