3.1 : Terminologie des probabilités

La probabilité est une mesure associée à notre degré de certitude quant aux résultats d'une expérience ou d'une activité particulière. Une expérience est une opération planifiée réalisée dans des conditions contrôlées. Si le résultat n'est pas prédéterminé, on dit que l'expérience est une expérience fortuite. Le fait de lancer deux fois une pièce de monnaie équitable est un exemple d'expérience.

Le résultat d'une expérience est appelé résultat. L'espace d'échantillonnage d'une expérience est l'ensemble de tous les résultats possibles. Trois manières de représenter un espace d'échantillonnage sont les suivantes : pour répertorier les résultats possibles, pour créer un diagramme en arbre ou pour créer un diagramme de Venn. La lettre majuscule\(S\) est utilisée pour indiquer l'espace d'échantillonnage. Par exemple, si vous lancez une pièce équitable,\(S = \{H, T\}\) où les résultats sont des\(H =\) têtes et des\(T =\) queues.

Un événement est une combinaison de résultats. Les lettres majuscules aiment\(A\) et\(B\) représentent les événements. Par exemple, si l'expérience consiste à lancer une pièce équitable, l'événement\(A\) peut atteindre au plus une tête. La probabilité d'un événement\(A\) est écrite\(P(A)\).

La probabilité d'un résultat est la fréquence relative à long terme de ce résultat. Les probabilités sont comprises entre zéro et un, inclusivement (c'est-à-dire zéro et un et tous les nombres compris entre ces valeurs). \(P(A) = 0\)signifie que l'événement ne\(A\) peut jamais se produire. \(P(A) = 1\)signifie que l'événement se produit\(A\) toujours. \(P(A) = 0.5\)signifie que l'événement\(A\) est également susceptible de se produire ou de ne pas se produire. Par exemple, si vous lancez une pièce équitable à plusieurs reprises (de 20 à 2 000 à 20 000 fois), la fréquence relative des têtes approche 0,5 (probabilité de têtes).

Tout aussi probable signifie que chaque résultat d'une expérience se produit avec une probabilité égale. Par exemple, si vous lancez un dé à six faces, chaque face (1, 2, 3, 4, 5 ou 6) a autant de chances de se produire que n'importe quelle autre face. Si vous lancez une pièce équitable, une tête (H) et une queue (T) ont toutes les mêmes chances de se produire. Si vous devinez au hasard la réponse à une question vrai/faux lors d'un examen, vous êtes tout aussi susceptible de sélectionner une réponse correcte ou incorrecte.

Pour calculer la probabilité d'un événement A lorsque tous les résultats de l'espace d'échantillonnage sont également probables, comptez le nombre de résultats pour l'événement A et divisez-le par le nombre total de résultats dans l'espace d'échantillonnage. Par exemple, si vous lancez un centime et un bon nickel, l'espace d'échantillonnage est celui\(\{HH, TH, HT, TT\}\) où se trouvent les\(T =\) queues et les\(H =\) têtes. L'espace d'échantillonnage a quatre résultats. A = obtenir une tête. Il y a deux résultats qui répondent à cette condition\(\{HT, TH\}\), donc\(P(A) = \frac{2}{4} = 0.5\).

Supposons que vous lancez un dé à six faces, avec les chiffres\(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) sur ses faces. Laissez l'événement\(E =\) lancer un nombre d'au moins cinq. Il y a deux résultats\(\{5, 6\}\). \(P(E) = \frac{2}{6}\)Si vous ne deviez lancer le dé que quelques fois, vous ne seriez pas surpris que les résultats observés ne correspondent pas à la probabilité. Si vous deviez lancer le dé un très grand nombre de fois, vous vous attendriez à ce que, dans l'ensemble,\(\frac{2}{6}\) des lancers donnent « au moins cinq » résultats. Vous ne vous y attendriez pas exactement\(\frac{2}{6}\). La fréquence relative à long terme d'obtention de ce résultat se rapprocherait de la probabilité théorique à\(\frac{2}{6}\) mesure que le nombre de répétitions augmente de plus en plus.

Cette caractéristique importante des expériences de probabilité est connue sous le nom de loi des grands nombres qui stipule qu'à mesure que le nombre de répétitions d'une expérience augmente, la fréquence relative obtenue dans l'expérience tend à se rapprocher de plus en plus de la probabilité théorique. Même si les résultats ne se produisent pas selon un schéma ou un ordre prédéfinis, dans l'ensemble, la fréquence relative observée à long terme se rapprochera de la probabilité théorique. (Le mot empirique est souvent utilisé à la place du mot observé.)

Il est important de se rendre compte que, dans de nombreuses situations, les résultats ne sont pas aussi probables. Une pièce ou un dé peuvent être injustes ou biaisés. Deux professeurs de mathématiques en Europe ont demandé à leurs étudiants en statistiques de tester la pièce belge d'un euro et ont découvert qu'en 250 essais, une tête était obtenue 56 % du temps et une queue 44 % du temps. Les données semblent montrer que la pièce n'est pas une pièce équitable ; un plus grand nombre de répétitions serait utile pour tirer une conclusion plus précise concernant un tel biais. Certains dés peuvent être biaisés. Regardez les dés dans un jeu que vous jouez à la maison ; les points sur chaque face sont généralement de petits trous découpés puis peints pour rendre les points visibles. Vos dés peuvent être biaisés ou non ; il est possible que les résultats soient affectés par les légères différences de poids dues au nombre de trous différents dans les faces. Les casinos de jeu gagnent beaucoup d'argent en fonction des résultats des jeux de dés. Les dés de casino sont donc fabriqués différemment pour éliminer les biais. Les dés de casino ont des faces plates ; les trous sont entièrement remplis de peinture ayant la même densité que le matériau dans lequel les dés sont fabriqués, de sorte que chaque face ait la même probabilité de se présenter. Plus tard, nous apprendrons des techniques à utiliser pour travailler avec des probabilités pour des événements qui ne sont pas également probables.

\(\cup\)« Événement : The Union

Un résultat est dans l'événement\(A \cup B\) s'il se trouve dans A ou est dans B ou se trouve à la fois dans A et B. Par exemple, laissez\(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) et\(B = \{4, 5, 6, 7, 8\}\). \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\). Notez que 4 et 5 ne sont PAS listés deux fois.

\(\cap \)« Événement : The Intersection

Un résultat est dans l'événement\(A \cap B\) s'il se trouve à la fois en A et en B. Par exemple, let\(A\) and\(B\) be\(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) et\(\{4, 5, 6, 7, 8\}\), respectivement. Alors\(A \cap B = \{4, 5\}\).

Le complément de l'événement A est noté A′ (lire « A prime »). A′ comprend tous les résultats qui ne se trouvent PAS dans A. Remarquez que\(P(A) + P(A′) = 1\). Par exemple, laissez\(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) et laissez\(A = \{1, 2, 3, 4\}\). Ensuite,\(A′ = \{5, 6\}\). \(P(A) = \frac{4}{6}\)\(P(A′) = \frac{2}{6}\), et\(P(A) + P(A′) = \frac{4}{6}+\frac{2}{6}=1\)

La probabilité conditionnelle de\(A\) donnée\(B\) est écrite\(P(A|B)\). \(P(A|B)\)est la probabilité qu'un événement\(A\) se produise étant donné que l'événement\(B\) s'est déjà produit. Un conditionnel réduit l'espace d'échantillonnage. Nous calculons la probabilité de A à partir de l'espace d'échantillonnage réduit\(B\). La formule à calculer\(P(A|B)\) est\(P(A | B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) où\(P(B)\) est supérieur à zéro.

Supposons, par exemple, que nous lancions un dé à six faces. L'espace d'échantillonnage\(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Laissez\(A =\) le visage égal à 2 ou 3 et\(B =\) le visage égal\((2, 4, 6)\). Pour calculer\(P(A|B)\), nous comptons le nombre de résultats 2 ou 3 dans l'espace d'échantillonnage\(B = \{2, 4, 6\}\). Ensuite, nous divisons ce résultat par le nombre de résultats\(B\) (plutôt que\(S\)).

Nous obtenons le même résultat en utilisant la formule. N'oubliez pas\(S\) que cela donne six résultats.

\(P(A|B) = \frac{\frac{(\text { the number of outcomes that are } 2 \text { or } 3 \text { and even in } S)}{6}}{\frac{(\text { the number of outcomes that are even in } S)}{6}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{3}\)

Cotes

La probabilité d'un événement présente la probabilité sous la forme d'un ratio de réussite par rapport à l'échec. Cela est courant dans divers formats de jeu. Mathématiquement, les probabilités d'un événement peuvent être définies comme suit :

\[\frac{P(A)}{1-P(A)}\nonumber\]

où\(P(A)\) est la probabilité de succès et, bien entendu\(1 − P(A)\), la probabilité d'échec. Les probabilités sont toujours exprimées « numérateur à dénominateur », par exemple 2 contre 1. Ici, la probabilité de gagner est le double de celle de perdre ; ainsi, la probabilité de gagner est de 0,66. Une probabilité de gagner de 0,60 générerait des chances de gagner de 3 à 2. Bien que le calcul des probabilités puisse être utile sur les sites de jeu pour déterminer le montant des gains, il n'est pas utile pour comprendre la théorie des probabilités ou la théorie statistique.

Comprendre la terminologie et les symboles

Il est important de lire attentivement chaque problème pour réfléchir et comprendre quels sont les événements. La compréhension du libellé est la première étape très importante pour résoudre les problèmes de probabilité. Relisez le problème plusieurs fois si nécessaire. Identifiez clairement l'événement qui vous intéresse. Déterminez s'il existe une condition énoncée dans le libellé qui indiquerait que la probabilité est conditionnelle ; identifiez soigneusement la condition, le cas échéant.

Solution 3.3

1. \(P(M) = 0.52\)
2. \(P(F) = 0.48\)
3. \(P(R) = 0.87\)
4. \(P(L) = 0.13\)
5. \(P(M \cap R) = 0.43\)
6. \(P(F \cap L) = 0.04\)
7. \(P(M \cup F) = 1\)
8. \(P(M \cup R) = 0.96\)
9. \(P(F \cup L) = 0.57\)
10. \(P(M') = 0.48\)
11. \(P(R|M) = 0.8269\)(arrondi à la quatrième décimale)
12. \(P(F|L) = 0.3077\)(arrondi à la quatrième décimale)
13. \(P(L|F) = 0.0833\)