11.4E : Exercices pour la section 11.4

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Dans les exercices 1 à 13, déterminez une intégrale définie qui représente la zone.

1) Région délimitée par\(r=4\)

2) Région délimitée par\(r=3\sin θ\)

Réponse: \(\displaystyle\frac{9}{2}∫^π_0\sin^2θ\,dθ\)

3) Région du premier quadrant à l'intérieur de la cardioïde\(r=1+\sin θ\)

4) Région entourée d'un pétale de\(r=8\sin(2θ)\)

Réponse: \(\displaystyle\frac{3}{2}∫^{π/2}_0\sin^2(2θ)\,dθ\)

5) Région entourée d'un pétale de\(r=cos(3θ)\)

6) Région située en dessous de l'axe polaire et délimitée par\(r=1−\sin θ\)

Réponse: \(\displaystyle\frac{1}{2}∫^{2π}_π(1−\sin θ)^2\,dθ\)

7) Région du premier quadrant délimitée par\(r=2−\cos θ\)

8) Région délimitée par la boucle intérieure de\(r=2−3\sin θ\)

Réponse: \(\displaystyle∫^{π/2}_{\sin^{−1}(2/3)}(2−3\sin θ)^2\,dθ\)

9) Région délimitée par la boucle intérieure de\(r=3−4\cos θ\)

10) Région délimitée par\(r=1−2\cos θ\) et à l'extérieur de la boucle intérieure

Réponse: \(\displaystyle∫^π_0(1−2\cos θ)^2\,dθ−∫^{π/3}_0(1−2\cos θ)^2\,dθ\)

11) Région commune à\(r=3\sin θ\) et\(r=2−\sin θ\)

12) Région commune à\(r=2\) et\(r=4\cos θ\)

Réponse: \(\displaystyle4∫^{π/3}_0\,dθ+16∫^{π/2}_{π/3}(\cos^2θ)\,dθ\)

13) Région commune à\(r=3\cos θ\) et\(r=3\sin θ\)

Dans les exercices 14 à 26, trouvez la zone de la région décrite.

14) Pièce jointe par\(r=6\sin θ\)

Réponse: \(9π\text{ units}^2\)

15) Au-dessus de l'axe polaire délimité par\(r=2+\sin θ\)

16) En dessous de l'axe polaire et entouré par\(r=2−\cos θ\)

Réponse: \(\frac{9π}{4}\text{ units}^2\)

17) Enfermé par un pétale de\(r=4\cos(3θ)\)

18) Enfermé par un pétale de\(r=3\cos(2θ)\)

Réponse: \(\frac{9π}{8}\text{ units}^2\)

19) Pièce jointe par\(r=1+\sin θ\)

20) Enfermé par la boucle intérieure de\(r=3+6\cos θ\)

Réponse: \(\frac{18π−27\sqrt{3}}{2}\text{ units}^2\)

21) Enfermé par\(r=2+4\cos θ\) et à l'extérieur de la boucle intérieure

22) Intérieur commun de\(r=4\sin(2θ)\) et\(r=2\)

Réponse: \(\frac{4}{3}(4π−3\sqrt{3})\text{ units}^2\)

23) Intérieur commun de\(r=3−2\sin θ\) et\(r=−3+2\sin θ\)

24) Intérieur commun\(r=6\sin θ\) de\(r=3\)

Réponse: \(\frac{3}{2}(4π−3\sqrt{3})\text{ units}^2\)

25) Intérieur\(r=1+\cos θ\) et extérieur\(r=\cos θ\)

26) Intérieur commun\(r=2+2\cos θ\) de\(r=2\sin θ\)

Réponse: \((2π−4)\text{ units}^2\)

Dans les exercices 27 à 30, trouvez une intégrale définie qui représente la longueur de l'arc.

27)\(r=4\cos θ\) sur l'intervalle\(0≤θ≤\frac{π}{2}\)

28)\(r=1+\sin θ\) sur l'intervalle\(0≤θ≤2π\)

Réponse: \(\displaystyle∫^{2π}_0\sqrt{(1+\sin θ)^2+\cos^2θ}\,dθ\)

29)\(r=2\sec θ\) sur l'intervalle\(0≤θ≤\frac{π}{3}\)

30)\(r=e^θ\) sur l'intervalle\(0≤θ≤1\)

Réponse: \(\displaystyle\sqrt{2}∫^1_0e^θ\,dθ\)

Dans les exercices 31 à 35, trouvez la longueur de la courbe sur l'intervalle donné.

31)\(r=6\) sur l'intervalle\(0≤θ≤\frac{π}{2}\)

32)\(r=e^{3θ}\) sur l'intervalle\(0≤θ≤2\)

Réponse: \(\frac{\sqrt{10}}{3}(e^6−1)\)unités

33)\(r=6\cos θ\) sur l'intervalle\(0≤θ≤\frac{π}{2}\)

34)\(r=8+8\cos θ\) sur l'intervalle\(0≤θ≤π\)

Réponse: \(32\)unités

35)\(r=1−\sin θ\) sur l'intervalle\(0≤θ≤2π\)

Dans les exercices 36 à 40, utilisez les fonctionnalités d'intégration d'une calculatrice pour approximer la longueur de la courbe.

36) [T]\(r=3θ\) sur l'intervalle\(0≤θ≤\frac{π}{2}\)

Réponse: \(6.238\)unités

37) [T]\(r=\dfrac{2}{θ}\) sur l'intervalle\(π≤θ≤2π\)

38) [T]\(r=\sin^2\left(\frac{θ}{2}\right)\) sur l'intervalle\(0≤θ≤π\)

Réponse: \(2\)unités

39) [T]\(r=2θ^2\) sur l'intervalle\(0≤θ≤π\)

40) [T]\(r=\sin(3\cos θ)\) sur l'intervalle\(0≤θ≤π\)

Réponse: \(4.39\)unités

Dans les exercices 41 à 43, utilisez la formule familière de la géométrie pour trouver l'aire de la région décrite, puis confirmez en utilisant l'intégrale définie.

41)\(r=3\sin θ\) sur l'intervalle\(0≤θ≤π\)

42)\(r=\sin θ+\cos θ\) sur l'intervalle\(0≤θ≤π\)

Réponse: \(A=π\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{π}{2}\text{ units}^2\)et\(\displaystyle\frac{1}{2}∫^π_0(1+2\sin θ\cos θ)\,dθ=\frac{π}{2}\text{ units}^2\)

43)\(r=6\sin θ+8\cos θ\) sur l'intervalle\(0≤θ≤π\)

Dans les exercices 44 à 46, utilisez la formule familière de la géométrie pour déterminer la longueur de la courbe, puis confirmez en utilisant l'intégrale définie.

44)\(r=3\sin θ\) sur l'intervalle\(0≤θ≤π\)

Réponse: \(C=2π\left(\frac{3}{2}\right)=3π\)unités et\(\displaystyle∫^π_03\,dθ=3π\) unités

45)\(r=\sin θ+\cos θ\) sur l'intervalle\(0≤θ≤π\)

46)\(r=6\sin θ+8\cos θ\) sur l'intervalle\(0≤θ≤π\)

Réponse: \(C=2π(5)=10π\)unités et\(\displaystyle∫^π_010\,dθ=10π\) unités

47) Vérifiez que si c'est le\(y=r\sin θ=f(θ)\sin θ\) cas\(\dfrac{dy}{dθ}=f'(θ)\sin θ+f(θ)\cos θ.\)

Dans les exercices 48 à 56, déterminez la pente d'une tangente à une courbe polaire\(r=f(θ)\). Laissons\(x=r\cos θ=f(θ)\cos θ\) et\(y=r\sin θ=f(θ)\sin θ\), donc l'équation polaire\(r=f(θ)\) est maintenant écrite sous forme paramétrique.

48) Utilisez la définition de la dérivée\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dθ}{dx/dθ}\) et la règle du produit pour dériver la dérivée d'une équation polaire.

Réponse: \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{f′(θ)\sin θ+f(θ)\cos θ}{f′(θ)\cos θ−f(θ)\sin θ}\)

49)\(r=1−\sin θ; \; \left(\frac{1}{2},\frac{π}{6}\right)\)

50)\(r=4\cos θ; \; \left(2,\frac{π}{3}\right)\)

Réponse: La pente est\(\frac{1}{\sqrt{3}}\).

51)\(r=8\sin θ; \; \left(4,\frac{5π}{6}\right)\)

52)\(r=4+\sin θ; \; \left(3,\frac{3π}{2}\right)\)

Réponse: La pente est de 0.

53)\(r=6+3\cos θ; \; (3,π)\)

54)\(r=4\cos(2θ);\) extrémités des feuilles

Réponse: \((4,0),\)La pente n'est pas définie. À\(\left(−4,\frac{π}{2}\right)\), la pente est de 0.

55)\(r=2\sin(3θ);\) extrémités des feuilles

56)\(r=2θ; \; \left(\frac{π}{2},\frac{π}{4}\right)\)

Réponse: La pente n'est pas définie à\(θ=\frac{π}{4}\).

57) Trouvez les points de l'\(−π≤θ≤π\)intervalle auxquels le cardioïde\(r=1−\cos θ\) a une tangente verticale ou horizontale.

58) Pour le cardioïde,\(r=1+\sin θ,\) trouvez la pente de la tangente quand\(θ=\frac{π}{3}\).

Réponse: Pente = −1.

Dans les exercices 59 à 62, déterminez la pente de la tangente à la courbe polaire donnée au point indiqué par la valeur de\(θ\).

59)\(r=3\cos θ,\; θ=\frac{π}{3}\)

60)\(r=θ, \; θ=\frac{π}{2}\)

Réponse: La pente est\(\frac{−2}{π}\).

61)\(r=\ln θ, \; θ=e\)

62) [T] Utilisez la technologie :\(r=2+4\cos θ\) à\(θ=\frac{π}{6}\)

Réponse: Réponse du calculateur : −0,836.

Dans les exercices 63 à 66, trouvez les points auxquels les courbes polaires suivantes ont une tangente horizontale ou verticale.

63)\(r=4\cos θ\)

64)\(r^2=4\cos(2θ)\)

Réponse: Tangente horizontale à\(\left(±\sqrt{2},\frac{π}{6}\right), \; \left(±\sqrt{2},−\frac{π}{6}\right)\).

(65)\(r=2\sin(2θ)\)

66) Le cardioïde\(r=1+\sin θ\)

Réponse: Tangentes horizontales à Tangentes\(\frac{π}{2},\, \frac{7π}{6},\, \frac{11π}{6}.\)
verticales au pôle\(\frac{π}{6},\, \frac{5π}{6}\) et également au pôle\((0,0)\).

67) Montrez que la courbe\(r=\sin θ\tan θ\) (appelée cissoïde de Diocles) a la droite\(x=1\) comme asymptote verticale.