9.4 : Formules somme par produit et produit-somme
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- Exprimez les produits sous forme de sommes
- Exprimez les sommes sous forme de produits
Un groupe défile sur le terrain pour créer un son incroyable qui fait vibrer la foule. Ce son se déplace sous la forme d'une onde qui peut être interprétée à l'aide de fonctions trigonométriques.
Figure\(\PageIndex{1}\) : La fanfare de l'UCLA (crédit : Eric Chan, Flickr).
Par exemple, Figure\(\PageIndex{2}\) représente une onde sonore pour la note de musique A. Dans cette section, nous étudierons les identités trigonométriques qui sont à la base de phénomènes quotidiens tels que les ondes sonores.
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Figurine\(\PageIndex{2}\)
Exprimer les produits sous forme de
Nous avons déjà appris un certain nombre de formules utiles pour étendre ou simplifier les expressions trigonométriques, mais nous pouvons parfois avoir besoin d'exprimer le produit du cosinus et du sinus sous forme de somme. Nous pouvons utiliser les formules produit-somme, qui expriment les produits des fonctions trigonométriques sous forme de sommes. Examinons d'abord l'identité du cosinus, puis l'identité du sinus.
Exprimer les produits sous forme de sommes de cosinus
Nous pouvons déduire la formule du produit à la somme à partir des identités de somme et de différence pour le cosinus. Si nous ajoutons les deux équations, nous obtenons :
\[\begin{align*} \cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta&= \cos(\alpha-\beta)\\[4pt] \underline{+ \cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta}&= \underline{ \cos(\alpha+\beta) }\\[4pt] 2 \cos \alpha \cos \beta&= \cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\end{align*}\]
Ensuite, on divise par 2 pour isoler le produit des cosinus :
\[ \cos \alpha \cos \beta= \dfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)] \label{eq1}\]
- Écrivez la formule du produit des cosinus.
- Remplacez les angles donnés dans la formule.
- Simplifiez.
Écrivez le produit suivant de cosinus sous forme de somme :\(2\cos\left(\dfrac{7x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{3x}{2}\right)\).
Solution
Nous commençons par écrire la formule du produit des cosinus (Équation \ ref {eq1}) :
\[ \cos \alpha \cos \beta = \dfrac{1}{2}[ \cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta) ] \nonumber \]
Nous pouvons ensuite remplacer les angles donnés dans la formule et simplifier.
\[\begin{align*} 2 \cos\left(\dfrac{7x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{3x}{2}\right)&= 2\left(\dfrac{1}{2}\right)[ \cos\left(\dfrac{7x}{2}-\dfrac{3x}{2}\right)+\cos\left(\dfrac{7x}{2}+\dfrac{3x}{2}\right) ]\\[4pt] &= \cos\left(\dfrac{4x}{2}\right)+\cos\left(\dfrac{10x}{2}\right) \\[4pt] &= \cos 2x+\cos 5x \end{align*}\]
Utilisez la formule produit-somme (équation \ ref {eq1}) pour écrire le produit sous forme de somme ou de différence :\(\cos(2\theta)\cos(4\theta)\).
- Réponse
-
\(\dfrac{1}{2}(\cos 6\theta+\cos 2\theta)\)
Expression du produit du sinus et du cosinus sous forme de somme
Ensuite, nous allons dériver la formule produit-somme pour le sinus et le cosinus à partir des formules de somme et de différence pour le sinus. Si nous ajoutons les identités de somme et de différence, nous obtenons :
\[\begin{align*} \cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta&= \cos(\alpha-\beta)\\[4pt] \underline{+ \cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta}&= \cos(\alpha+\beta)\\[4pt] 2 \cos \alpha \cos \beta&= \cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\\[4pt] \text{Then, we divide by 2 to isolate the product of cosines:}\\[4pt] \cos \alpha \cos \beta&= \dfrac{1}{2}\left[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\right] \end{align*}\]
Exprimez le produit suivant comme une somme contenant uniquement un sinus ou un cosinus et aucun produit :\(\sin(4\theta)\cos(2\theta)\).
Solution
Écrivez la formule du produit du sinus et du cosinus. Remplacez ensuite les valeurs données dans la formule et simplifiez.
\[\begin{align*} \sin \alpha \cos \beta&= \dfrac{1}{2}[ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta) ]\\[4pt] \sin(4\theta)\cos(2\theta)&= \dfrac{1}{2}[\sin(4\theta+2\theta)+\sin(4\theta-2\theta)]\\[4pt] &= \dfrac{1}{2}[\sin(6\theta)+\sin(2\theta)] \end{align*}\]
Utilisez la formule produit-somme pour écrire le produit sous forme de somme :\(\sin(x+y)\cos(x−y)\).
- Réponse
-
\(\dfrac{1}{2}(\sin 2x+\sin 2y)\)
Expression des produits des sinus en termes de cosinus
L'expression du produit des sinus en termes de cosinus est également dérivée des identités de somme et de différence pour les cosinus. Dans ce cas, nous allons d'abord soustraire les deux formules en cosinus :
\[\begin{align*} \cos(\alpha-\beta)&= \cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta\\[4pt] \underline{-\cos(\alpha+\beta)}&= -(\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta)\\[4pt] \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)&= 2 \sin \alpha \sin \beta\\[4pt] \text{Then, we divide by 2 to isolate the product of sines:}\\[4pt] \sin \alpha \sin \beta&= \dfrac{1}{2}[ \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta) ] \end{align*}\]
De même, nous pourrions exprimer le produit des cosinus en termes de sinus ou dériver d'autres formules produit-somme.
Les formules produit/somme sont les suivantes :
\[\cos \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha−\beta)+\cos(\alpha+\beta)]\]
\[\sin \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha−\beta)]\]
\[\sin \alpha \sin \beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha−\beta)−\cos(\alpha+\beta)]\]
\[\cos \alpha \sin \beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)−\sin(\alpha−\beta)]\]
Écrivez\(\cos(3\theta) \cos(5\theta)\) sous forme de somme ou de différence.
Solution
Nous avons le produit des cosinus, nous commençons donc par écrire la formule correspondante. Ensuite, nous substituons les angles donnés et simplifions.
\[\begin{align*} \cos \alpha \cos \beta&= \dfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)]\\[4pt] \cos(3\theta)\cos(5\theta)&= \dfrac{1}{2}[\cos(3\theta-5\theta)+\cos(3\theta+5\theta)]\\[4pt] &= \dfrac{1}{2}[\cos(2\theta)+\cos(8\theta)]\qquad \text{Use even-odd identity} \end{align*}\]
Utilisez la formule produit/somme pour évaluer\(\cos \dfrac{11\pi}{12} \cos \dfrac{\pi}{12}\).
- Réponse
-
\(\dfrac{−2−\sqrt{3}}{4}\)
Exprimer des sommes en tant que
Certains problèmes nécessitent l'inverse du processus que nous venons d'utiliser. Les formules somme par produit nous permettent d'exprimer des sommes de sinus ou de cosinus sous forme de produits. Ces formules peuvent être dérivées des identités entre le produit et la somme. Par exemple, avec quelques substitutions, nous pouvons obtenir l'identité somme par produit pour le sinus. Laissez\(\dfrac{u+v}{2}=\alpha\) et\(\dfrac{u−v}{2}=\beta\).
Ensuite,
\[\begin{align*} \alpha+\beta&= \dfrac{u+v}{2}+\dfrac{u-v}{2}\\[4pt] &= \dfrac{2u}{2}\\[4pt] &= u \end{align*}\]
\[\begin{align*} \alpha-\beta&= \dfrac{u+v}{2}-\dfrac{u-v}{2}\\[4pt] &= \dfrac{2v}{2}\\[4pt] &= v \end{align*}\]
Ainsi, en remplaçant\(\alpha\) et\(\beta\) dans la formule produit-somme par les expressions de substitution, nous avons
\[\begin{align*} \sin \alpha \cos \beta&= \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\\[4pt] \sin \left ( \frac{u+v}{2} \right ) \cos \left ( \frac{u-v}{2} \right )&= \frac{1}{2}[\sin u + \sin v]\qquad \text{Substitute for } (\alpha+\beta) \text{ and } (\alpha\beta)\\[4pt] 2\sin\left(\dfrac{u+v}{2}\right) \cos\left(\dfrac{u-v}{2}\right)&= \sin u+\sin v \end{align*}\]
Les autres identités somme par produit sont dérivées de la même manière.
Les formules de la somme par rapport au produit sont les suivantes :
\[\sin \alpha+\sin \beta=2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha−\beta}{2}\right)\]
\[\sin \alpha-\sin \beta=2\sin\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\]
\[\cos \alpha−\cos \beta=−2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\alpha−\beta}{2}\right)\]
\[\cos \alpha+\cos \beta=2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\alpha−\beta}{2}\right)\]
Écrivez la différence d'expression des sinus suivante en tant que produit :\(\sin(4\theta)−\sin(2\theta)\).
Solution
Nous commençons par écrire la formule de la différence des sinus.
\[\begin{align*} \sin \alpha-\sin \beta&= 2\sin\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\\[4pt] \text {Substitute the values into the formula, and simplify.}\\[4pt] \sin(4\theta)-\sin(2\theta)&= 2\sin\left(\dfrac{4\theta-2\theta}{2}\right) \cos\left(\dfrac{4\theta+2\theta}{2}\right)\\[4pt] &= 2\sin\left(\dfrac{2\theta}{2}\right) \cos\left(\dfrac{6\theta}{2}\right)\\[4pt] &= 2 \sin \theta \cos(3\theta) \end{align*}\]
Utilisez la formule somme par produit pour écrire la somme sous forme de produit :\(\sin(3\theta)+\sin(\theta)\).
- Réponse
-
\(2\sin(2\theta)\cos(\theta)\)
Évaluer\(\cos(15°)−\cos(75°)\). Vérifiez la réponse à l'aide d'une calculatrice graphique.
Solution
Nous commençons par écrire la formule de la différence des cosinus.
\ [\ begin {align*}
\ cos \ alpha- \ cos \ beta&= -2 \ sin \ left (\ dfrac {\ alpha+ \ beta} {2} \ right) \ sin \ left (\ dfrac {\ alpha- \ beta} {2} \ right) \ \ [4pt]
\ text {Ensuite, nous substituons les angles donnés et simplifions.} \ \ [4pt]
\ cos (15^) {\ circ}) - \ cos (75^ {\ circ}) &= -2 \ sin \ left (\ dfrac {15^ {\ circ} +75^ {\ circ}} {2} \ droite) \ sin \ left (\ dfrac {15^ {\ circ} -75^ {\ circ}} {2} \ droite) \ \ [4 points]
&= -2 \ sin (45^ {\ circ}) \ sin (-30^ {\ circ}) \ \ [4 points]
&= -2 \ gauche (dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ droite) \ gauche (- \ dfrac {1} {2} \ droite) \ \ [4 points]
&= \ dfrac {\ sqrt {2}} {2}
\ end {align*} \]
Prouvez l'identité :
\[\dfrac{\cos(4t)−\cos(2t)}{\sin(4t)+\sin(2t)}=−\tan t\]
Solution
Nous allons commencer par le côté gauche, le côté le plus compliqué de l'équation, et réécrire l'expression jusqu'à ce qu'elle corresponde au côté droit.
\[\begin{align*} \dfrac{\cos(4t)-\cos(2t)}{\sin(4t)+\sin(2t)}&= \dfrac{-2 \sin\left(\dfrac{4t+2t}{2}\right) \sin\left(\dfrac{4t-2t}{2}\right)}{2 \sin\left(\dfrac{4t+2t}{2}\right) \cos\left(\dfrac{4t-2t}{2}\right)}\\[4pt] &= \dfrac{-2 \sin(3t)\sin t}{2 \sin(3t)\cos t}\\[4pt] &= -\dfrac{\sin t}{\cos t}\\[4pt] &= -\tan t \end{align*}\]
Analyse
Rappelons que la vérification des identités trigonométriques a son propre ensemble de règles. Les procédures de résolution d'une équation ne sont pas les mêmes que celles de vérification d'une identité. Lorsque nous prouvons notre identité, nous choisissons un côté sur lequel travailler et nous effectuons des substitutions jusqu'à ce que ce côté soit transformé en un autre côté.
Vérifiez l'identité\({\csc}^2 \theta−2=\cos(2\theta)\sin2\theta\).
Solution
Pour vérifier cette équation, nous réunissons plusieurs identités. Nous utiliserons la formule à double angle et les identités réciproques. Nous allons travailler avec le côté droit de l'équation et la réécrire jusqu'à ce qu'elle corresponde au côté gauche.
\[\begin{align*} \cos(2\theta)\sin2\theta&= \dfrac{1-2 {\sin}^2 \theta}{{\sin}^2 \theta}\\[4pt] &= \dfrac{1}{{\sin}^2 \theta}-\dfrac{2 {\sin}^2 \theta}{{\sin}^2 \theta}\\[4pt] &= {\csc}^2 \theta - 2 \end{align*}\]
Vérifiez l'identité\(\tan \theta \cot \theta−{\cos}^2 \theta={\sin}^2 \theta\).
- Réponse
-
\[\begin{align*} \tan \theta \cot \theta-{\cos}^2 \theta&= \left(\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)\left(\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)-{\cos}^2 \theta\\[4pt] &= 1-{\cos}^2 \theta\\[4pt] &= {\sin}^2 \theta \end{align*}\]
Accédez à ces ressources en ligne pour obtenir des instructions et des exercices supplémentaires concernant les identités produit à somme et somme à produit.
Équations clés
Formules produit/somme
\[\cos \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha−\beta)+\cos(\alpha+\beta)] \nonumber \]
\[\sin \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha−\beta)] \nonumber \]
\[\sin \alpha \sin \beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha−\beta)−\cos(\alpha+\beta)] \nonumber \]
\[\cos \alpha \sin \beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)−\sin(\alpha−\beta)] \nonumber \]
Formules de somme par produit
\[\sin \alpha+\sin \beta=2\sin(\dfrac{\alpha+\beta}{2})\cos(\dfrac{\alpha−\beta}{2}) \nonumber \]
\[\sin \alpha-\sin \beta=2\sin(\dfrac{\alpha-\beta}{2})\cos(\dfrac{\alpha+\beta}{2}) \nonumber \]
\[\cos \alpha−\cos \beta=−2\sin(\dfrac{\alpha+\beta}{2})\sin(\dfrac{\alpha−\beta}{2}) \nonumber \]
\[\cos \alpha+\cos \beta=2\sin(\dfrac{\alpha+\beta}{2})\sin(\dfrac{\alpha−\beta}{2}) \nonumber \]
Concepts clés
- À partir des identités de somme et de différence, nous pouvons dériver les formules produit à somme et les formules somme à produit pour le sinus et le cosinus.
- Nous pouvons utiliser les formules produit/somme pour réécrire les produits des sinus, les produits des cosinus et les produits du sinus et du cosinus sous forme de sommes ou de différences de sinus et de cosinus. Voir Exemple\(\PageIndex{1}\)\(\PageIndex{2}\), Exemple et Exemple\(\PageIndex{3}\).
- Nous pouvons également déduire les identités somme par produit à partir des identités produit à somme par substitution.
- Nous pouvons utiliser les formules somme par produit pour réécrire la somme ou la différence de sinus, de cosinus ou de produits sinus et cosinus sous forme de produits de sinus et de cosinus. Voir l'exemple\(\PageIndex{4}\).
- Les expressions trigonométriques sont souvent plus simples à évaluer à l'aide des formules. Voir l'exemple\(\PageIndex{5}\).
- Les identités peuvent être vérifiées à l'aide d'autres formules ou en convertissant les expressions en sinus et en cosinus. Pour vérifier une identité, nous choisissons le côté le plus complexe du signe égal et nous le réécrivons jusqu'à ce qu'il soit transformé en l'autre côté. Voir Exemple\(\PageIndex{6}\) et Exemple\(\PageIndex{7}\).