9.3 : Ajouter et soustraire des racines carrées
- Page ID
- 194513
À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Ajouter et soustraire comme des racines carrées
- Ajouter et soustraire des racines carrées qui doivent être simplifiées
Nous savons que nous devons suivre l'ordre des opérations pour simplifier les expressions à racines carrées. Le radical est un symbole de regroupement, nous travaillons donc d'abord à l'intérieur du radical. Nous\(\sqrt{2+7}\) simplifions de cette manière :
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{2+7}}\\ {\text{Add inside the radical.}}&{\sqrt{9}}\\ {\text{Simplify.}}&{3}\\ \end{array}\]
Donc, s'il faut les ajouter\(\sqrt{2}+\sqrt{7}\), il ne faut pas les combiner en un seul radical.
\(\sqrt{2}+\sqrt{7} \ne \sqrt{2+7}\)
Essayer d'ajouter des racines carrées avec des radicaux différents revient à essayer d'ajouter des termes différents.
\[\begin{array}{llll} {\text{But, just like we can}}&{x+x}&{\text{we can add}}&{\sqrt{3}+\sqrt{3}}\\ {}&{x+x=2x}&{}&{\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}}\\ \end{array}\]
Ajouter des racines carrées avec le même radicand revient à ajouter des termes similaires. Nous appelons racines carrées avec le même radical et racines carrées similaires pour nous rappeler qu'elles fonctionnent de la même manière que des termes similaires.
Les racines carrées avec le même radicand sont appelées racines carrées.
Nous ajoutons et soustrayons comme des racines carrées de la même manière que nous ajoutons et soustrayons des termes similaires. Nous savons que 3x+8x correspond à 11x. De même, on ajoute\(3\sqrt{x}+8\sqrt{x}\) and the result is \(11\sqrt{x}\).
Ajouter et soustraire comme des racines carrées
Pensez à ajouter des termes similaires avec des variables dans les exemples suivants. Lorsque vous avez des radicaux similaires, il suffit d'ajouter ou de soustraire les coefficients. Quand les radicaux ne sont pas semblables, on ne peut pas combiner les termes.
Simplifiez :\(2\sqrt{2}−7\sqrt{2}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{2}−7\sqrt{2}}\\ {\text{Since the radicals are like, we subtract the coefficients.}}&{−5\sqrt{2}}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(8\sqrt{2}−9\sqrt{2}\).
- Réponse
-
\(−\sqrt{2}\)
Simplifiez :\(5\sqrt{3}−9\sqrt{3}\).
- Réponse
-
\(−4\sqrt{3}\)
Simplifiez :\(3\sqrt{y}+4\sqrt{y}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{3\sqrt{y}+4\sqrt{y}}\\ {\text{Since the radicals are like, we add the coefficients.}}&{7\sqrt{y}}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(2\sqrt{x}+7\sqrt{x}\).
- Réponse
-
\(9\sqrt{x}\)
Simplifiez :\(5\sqrt{u}+3\sqrt{u}\).
- Réponse
-
\(8\sqrt{u}\)
Simplifiez :\(4\sqrt{x}−2\sqrt{y}\)
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{4\sqrt{x}−2\sqrt{y}}\\ {\text{Since the radicals are not like, we cannot subtract them. We leave the expression as is.}}&{4\sqrt{x}−2\sqrt{y}}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(7\sqrt{p}−6\sqrt{q}\).
- Réponse
-
\(7\sqrt{p}−6\sqrt{q}\)
Simplifiez :\(6\sqrt{a}−3\sqrt{b}\).
- Réponse
-
\(6\sqrt{a}−3\sqrt{b}\)
Simplifiez :\(5\sqrt{13}+4\sqrt{13}+2\sqrt{13}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{5\sqrt{13}+4\sqrt{13}+2\sqrt{13}}\\ {\text{Since the radicals are like, we add the coefficients.}}&{11\sqrt{13}}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(4\sqrt{11}+2\sqrt{11}+3\sqrt{11}\).
- Réponse
-
\(9\sqrt{11}\)
Simplifiez :\(6\sqrt{10}+2\sqrt{10}+3\sqrt{10}\).
- Réponse
-
\(11\sqrt{10}\)
Simplifiez :\(2\sqrt{6}−6\sqrt{6}+3\sqrt{3}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{6}−6\sqrt{6}+3\sqrt{3}}\\ {\text{Since the first two radicals are like, we subtract their coefficients.}}&{−4\sqrt{6}+3\sqrt{3}}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(5\sqrt{5}−4\sqrt{5}+2\sqrt{6}\).
- Réponse
-
\(\sqrt{5}+2\sqrt{6}\)
Simplifiez :\(3\sqrt{7}−8\sqrt{7}+2\sqrt{5}\).
- Réponse
-
\(−5\sqrt{7}+2\sqrt{5}\)
Simplifiez :\(2\sqrt{5n}−6\sqrt{5n}+4\sqrt{5n}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{5n}−6\sqrt{5n}+4\sqrt{5n}}\\ {\text{Since the radicals are like, we combine them.}}&{−0\sqrt{5n}}\\ {\text{Simplify.}}&{0}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(\sqrt{7x}−7\sqrt{7x}+4\sqrt{7x}\).
- Réponse
-
\(−2\sqrt{7x}\)
Simplifiez :\(4\sqrt{3y}−7\sqrt{3y}+2\sqrt{3y}\).
- Réponse
-
\(−3\sqrt{y}\)
Lorsque les radicaux contiennent plus d'une variable, tant que toutes les variables et leurs exposants sont identiques, les radicaux sont similaires.
Simplifiez :\(\sqrt{3xy}+5\sqrt{3xy}−4\sqrt{3xy}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{3xy}+5\sqrt{3xy}−4\sqrt{3xy}}\\ {\text{Since the radicals are like, we combine them.}}&{2\sqrt{3xy}}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(\sqrt{5xy}+4\sqrt{5xy}−7\sqrt{5xy}\).
- Réponse
-
\(−2\sqrt{5xy}\)
Simplifiez :\(3\sqrt{7mn}+\sqrt{7mn}−4\sqrt{7mn}\).
- Réponse
-
0
Ajouter et soustraire des racines carrées qui doivent être simplifiées
N'oubliez pas que nous simplifions toujours les racines carrées en supprimant le plus grand facteur de carré parfait. Parfois, lorsque nous devons ajouter ou soustraire des racines carrées qui ne semblent pas avoir de radicaux similaires, nous trouvons des radicaux similaires après avoir simplifié les racines carrées.
Simplifiez :\(\sqrt{20}+3\sqrt{5}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{20}+3\sqrt{5}}\\ {\text{Simplify the radicals, when possible.}}&{\sqrt{4}·\sqrt{5}+3\sqrt{5}}\\ {}&{2\sqrt{5}+3\sqrt{5}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{5\sqrt{5}}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(\sqrt{18}+6\sqrt{2}\).
- Réponse
-
\(9\sqrt{2}\)
Simplifiez :\(\sqrt{27}+4\sqrt{3}\).
- Réponse
-
\(7\sqrt{3}\)
Simplifiez :\(\sqrt{48}−\sqrt{75}\)
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{48}−\sqrt{75}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{\sqrt{16}·\sqrt{3}−\sqrt{25}·\sqrt{3}}\\ {}&{4\sqrt{3}−5\sqrt{3}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{−\sqrt{3}}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(\sqrt{32}−\sqrt{18}\).
- Réponse
-
\(\sqrt{2}\)
Simplifiez :\(\sqrt{20}−\sqrt{45}\).
- Réponse
-
\(−\sqrt{5}\)
Tout comme nous utilisons la propriété associative de multiplication pour simplifier 5 (3x) et obtenir 15x, nous pouvons simplifier\(5(3\sqrt{x})\) and get \(15\sqrt{x}\). We will use the Associative Property to do this in the next example.
Simplifiez :\(5\sqrt{18}−2\sqrt{8}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{5\sqrt{18}−2\sqrt{8}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{5·\sqrt{9}·\sqrt{2}−2·\sqrt{4}·\sqrt{2}}\\ {}&{5·3·\sqrt{2}−2·2·\sqrt{2}}\\ {}&{15\sqrt{2}−4\sqrt{2}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{11\sqrt{2}}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(4\sqrt{27}−3\sqrt{12}\).
- Réponse
-
\(6\sqrt{3}\)
Simplifiez :\(3\sqrt{20}−7\sqrt{45}\).
- Réponse
-
\(−15\sqrt{5}\)
Simplifiez :\(\frac{3}{4}\sqrt{192}−\frac{5}{6}\sqrt{108}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\frac{3}{4}\sqrt{192}−\frac{5}{6}\sqrt{108}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{\frac{3}{4}\sqrt{64}·\sqrt{3}−\frac{5}{6}\sqrt{36}·\sqrt{3}}\\ {}&{\frac{3}{4}·8·\sqrt{3}−\frac{5}{6}·6·\sqrt{3}}\\ {}&{6\sqrt{3}−5\sqrt{3}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{\sqrt{3}}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(\frac{2}{3}\sqrt{108}−\frac{5}{7}\sqrt{147}\).
- Réponse
-
\(−\sqrt{3}\)
Simplifiez :\(\frac{3}{5}\sqrt{200}−\frac{3}{4}\sqrt{128}\).
- Réponse
-
0
Simplifiez :\(\frac{2}{3}\sqrt{48}−\frac{3}{4}\sqrt{12}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\frac{2}{3}\sqrt{48}−\frac{3}{4}\sqrt{12}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{\frac{2}{3}\sqrt{16}·\sqrt{3}−\frac{3}{4}\sqrt{4}·\sqrt{3}}\\ {}&{\frac{2}{3}·4·\sqrt{3}−\frac{3}{4}·2·\sqrt{3}}\\ {}&{\frac{8}{3}\sqrt{3}−\frac{3}{2}\sqrt{3}}\\ {\text{Find a common denominator to subtract the coefficients of the like radicals.}}&{\frac{16}{6}\sqrt{3}−\frac{9}{6}\sqrt{3}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{7}{6}\sqrt{3}} \end{array}\]
Simplifiez :\(\frac{2}{5}\sqrt{32}−\frac{1}{3}\sqrt{8}\)
- Réponse
-
\(\frac{14}{15}\sqrt{2}\)
Simplifiez :\(\frac{1}{3}\sqrt{80}−\frac{1}{4}\sqrt{125}\)
- Réponse
-
\(\frac{1}{12}[\sqrt{5}\)
Dans l'exemple suivant, nous allons supprimer les facteurs constants et variables des racines carrées.
Simplifiez :\(\sqrt{18n^5}−\sqrt{32n^5}\)
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{18n^5}−\sqrt{32n^5}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{\sqrt{9n^4}·\sqrt{2n}−\sqrt{16n^4}·\sqrt{2n}}\\ {}&{3n^2\sqrt{2n}−4n^2\sqrt{2n}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{−n^2\sqrt{2n}}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(\sqrt{32m^7}−\sqrt{50m^7}\).
- Réponse
-
\(−m^3\sqrt{2m}\)
Simplifiez :\(\sqrt{27p^3}−\sqrt{48p^3}\)
- Réponse
-
\(−p^3\sqrt{p}\)
Simplifiez :\(9\sqrt{50m^2}−6\sqrt{48m^2}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{9\sqrt{50m^{2}}−6\sqrt{48m^{2}}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{9\sqrt{25m^{2}}·\sqrt{2}−6·\sqrt{16m^{2}}·\sqrt{3}}\\ {}&{9·5m·\sqrt{2}−6·4m·\sqrt{3}}\\ {}&{45m\sqrt{2}−24m\sqrt{3}}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(5\sqrt{32x^2}−3\sqrt{48x^2}\).
- Réponse
-
\(20x\sqrt{2}−12x\sqrt{3}\)
Simplifiez :\(7\sqrt{48y^2}−4\sqrt{72y^2}\).
- Réponse
-
\(28y\sqrt{3}−24y\sqrt{2}\)
Simplifiez :\(2\sqrt{8x^2}−5x\sqrt{32}+5\sqrt{18x^2}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{8x^2}−5x\sqrt{32}+5\sqrt{18x^2}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{2\sqrt{4x^2}·\sqrt{2}−5x\sqrt{16}·\sqrt{2}+5\sqrt{9x^2}·\sqrt{2}}\\ {}&{2·2x·\sqrt{2}−5x·4·\sqrt{2}+5·3x·\sqrt{2}}\\ {}&{4x\sqrt{2}−20x\sqrt{2}+15x\sqrt{2}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{−x\sqrt{2}}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(3\sqrt{12x^2}−2x\sqrt{48}+4\sqrt{27x^2}\)
- Réponse
-
\(10x\sqrt{3}\)
Simplifiez :\(3\sqrt{18x^2}−6x\sqrt{32}+2\sqrt{50x^2}\).
- Réponse
-
\(−5x\sqrt{2}\)
Accédez à cette ressource en ligne pour obtenir des instructions supplémentaires et vous entraîner à additionner et à soustraire des racines carrées.
- Ajouter/soustraire des racines carrées
Lexique
- comme des racines carrées
- Les racines carrées avec le même radicand sont appelées racines carrées.