9.2 : Simplifier les racines car
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À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Utilisez la propriété du produit pour simplifier les racines carrées
- Utilisez la propriété Quotient pour simplifier les racines carrées
Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.
Dans la dernière section, nous avons estimé la racine carrée d'un nombre compris entre deux nombres entiers consécutifs. On peut dire que\(\sqrt{50}\) c'est entre 7 et 8. C'est assez facile à faire lorsque les chiffres sont suffisamment petits pour que nous puissions utiliser [lien].
Mais que faire si nous voulons faire une estimation\(\sqrt{500}\) ? Si nous simplifions d'abord la racine carrée, nous serons en mesure de l'estimer facilement. Il existe également d'autres raisons de simplifier les racines carrées, comme vous le verrez plus loin dans ce chapitre.
Une racine carrée est considérée comme simplifiée si son radical ne contient aucun facteur carré parfait.
\(\sqrt{a}\)est considéré comme simplifié si a ne possède pas de facteurs carrés parfaits.
C'\(\sqrt{31}\)est donc simplifié. Mais\(\sqrt{32}\) ce n'est pas simplifié, car 16 est un facteur carré parfait de 32.
Utilisez la propriété du produit pour simplifier les racines carrées
Les propriétés que nous utiliserons pour simplifier les expressions à racines carrées sont similaires à celles des exposants. Nous le savons\((ab)^m=a^{m}b^{m}\). La propriété correspondante des racines carrées indique que\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\).
Si a, b sont des nombres réels non négatifs, alors\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\).
Nous utilisons la propriété de produit de Square Roots pour supprimer tous les facteurs carrés parfaits d'un radical. Nous allons montrer comment procéder dans l'exemple.
Comment utiliser la propriété du produit pour simplifier une racine carrée
Simplifiez :\(\sqrt{50}\).
- Réponse
-
Simplifiez :\(\sqrt{48}\).
- Réponse
-
\(4\sqrt{3}\)
Simplifiez :\(\sqrt{45}\).
- Réponse
-
\(3\sqrt{5}\)
Notez dans l'exemple précédent que la forme simplifiée de\(\sqrt{50}\) is \(5\sqrt{2}\), which is the product of an integer and a square root. We always write the integer in front of the square root.
- Détermine le plus grand facteur carré parfait du radicand. Réécrivez le radicand en tant que produit en utilisant le facteur du carré parfait.
- Utilisez la règle du produit pour réécrire le radical comme étant le produit de deux radicaux.
- Simplifiez la racine carrée du carré parfait.
Simplifiez :\(\sqrt{500}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{500}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor}}&{\sqrt{100·5}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals}}&{\sqrt{100}·\sqrt{5}}\\ {\text{Simplify}}&{10\sqrt{5}}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(\sqrt{288}\).
- Réponse
-
\(12\sqrt{2}\)
Simplifiez :\(\sqrt{432}\).
- Réponse
-
\(12\sqrt{3}\)
Nous pourrions utiliser le formulaire simplifié\(10\sqrt{5}\) pour effectuer une estimation\(\sqrt{500}\). Nous savons que\(\sqrt{5}\) c'est entre 2 et 3, et\(\sqrt{500}\) est\(10\sqrt{5}\). Il en\(\sqrt{500}\) va de même entre 20 et 30.
L'exemple suivant ressemble beaucoup aux exemples précédents, mais avec des variables.
Simplifiez :\(\sqrt{x^3}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{x^3}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor}}&{\sqrt{x^2·x}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals}}&{\sqrt{x^2}·\sqrt{x}}\\ {\text{Simplify}}&{x\sqrt{x}}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(\sqrt{b^5}\).
- Réponse
-
\(b^2\sqrt{b}\)
Simplifiez :\(\sqrt{p^9}\).
- Réponse
-
\(p^4\sqrt{p}\)
Nous suivons la même procédure lorsqu'il y a également un coefficient dans le radical.
Simplifiez :\(\sqrt{25y^5}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{25y^5}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{\sqrt{25y^4·y}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\sqrt{25y^4}·\sqrt{y}}\\ {\text{Simplify.}}&{5y^2\sqrt{y}}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(\sqrt{16x^7}\).
- Réponse
-
\(4x^3\sqrt{x}\)
Simplifiez :\(\sqrt{49v^9}\).
- Réponse
-
\(7v^4\sqrt{v}\)
Dans l'exemple suivant, la constante et la variable ont des facteurs carrés parfaits.
Simplifiez :\(\sqrt{72n^7}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{72n^7}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{\sqrt{36n^{6}·2n}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\sqrt{36n^{6}}·\sqrt{2n}}\\ {\text{Simplify.}}&{6n^3\sqrt{2n}}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(\sqrt{32y^5}\).
- Réponse
-
\(4y^2\sqrt{2y}\)
Simplifiez :\(\sqrt{75a^9}\).
- Réponse
-
\(5a^4\sqrt{3a}\)
Simplifiez :\(\sqrt{63u^{3}v^{5}}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{63u^{3}v^{5}}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{\sqrt{9u^{2}v^{4}·7uv}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\sqrt{9u^{2}v^{4}}·\sqrt{7uv}}\\ {\text{Simplify.}}&{3uv^{2}\sqrt{7uv}}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(\sqrt{98a^{7}b^{5}}\).
- Réponse
-
\(7a^{3}b^{2}\sqrt{2ab}\)
Simplifiez :\(\sqrt{180m^{9}n^{11}}\).
- Réponse
-
\(6m^{4}n^{5}\sqrt{5mn}\)
Nous avons vu comment utiliser l'ordre des opérations pour simplifier certaines expressions avec des radicaux. Pour simplifier\(\sqrt{25}+\sqrt{144}\) we must simplify each square root separately first, then add to get the sum of 17.
L'expression\(\sqrt{17}+\sqrt{7}\) ne peut pas être simplifiée. Pour commencer, il faudrait simplifier chaque racine carrée, mais ni 17 ni 7 ne contiennent de facteur carré parfait.
Dans l'exemple suivant, nous avons la somme d'un entier et d'une racine carrée. Nous simplifions la racine carrée mais nous ne pouvons pas ajouter l'expression résultante à l'entier.
Simplifiez :\(3+\sqrt{32}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{3+\sqrt{32}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{3+\sqrt{16·2}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{3+\sqrt{16}·\sqrt{2}}\\ {\text{Simplify.}}&{3+4\sqrt{2}}\\ \end{array}\]
Les termes ne sont pas identiques et nous ne pouvons donc pas les ajouter. Essayer d'ajouter un entier et un radical revient à essayer d'ajouter un entier et une variable : ce ne sont pas des termes !
Simplifiez :\(5+\sqrt{75}\).
- Réponse
-
\(5+5\sqrt{3}\)
Simplifiez :\(2+\sqrt{98}\).
- Réponse
-
\(2+7\sqrt{2}\)
L'exemple suivant inclut une fraction avec un radical dans le numérateur. N'oubliez pas que pour simplifier une fraction, vous avez besoin d'un facteur commun au numérateur et au dénominateur.
Simplifiez :\(\frac{4−\sqrt{48}}{2}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\frac{4−\sqrt{48}}{2}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using thelargest perfect square factor.}}&{\frac{4−\sqrt{16·3}}{2}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\frac{4−\sqrt{16}·\sqrt{3}}{2}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{4−4\sqrt{3}}{2}}\\ {\text{Factor the common factor from thenumerator.}}&{\frac{4(1−\sqrt{3})}{2}}\\ {\text{Remove the common factor, 2, from thenumerator and denominator.}}&{2(1−\sqrt{3})}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(\frac{10−\sqrt{75}}{5}\).
- Réponse
-
\(2−\sqrt{3}\)
Simplifiez :\(\frac{6−\sqrt{45}}{3}\).
- Réponse
-
\(2−\sqrt{5}\)
Utilisez la propriété Quotient pour simplifier les racines carrées
Chaque fois que vous devez simplifier une racine carrée, la première étape consiste à déterminer si le radicand est un carré parfait. Une fraction carrée parfaite est une fraction dans laquelle le numérateur et le dénominateur sont des carrés parfaits.
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{9}{64}}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{9}{64}}}\\ {\text{Since} (\frac{3}{8})^2}&{\frac{3}{8}}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{25}{16}}\).
- Réponse
-
\(\frac{5}{4}\)
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{49}{81}}\).
- Réponse
-
\(\frac{7}{9}\)
Si le numérateur et le dénominateur ont des facteurs communs, supprimez-les. Vous trouverez peut-être une fraction carrée parfaite !
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{45}{80}}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{45}{80}}}\\ {\text{Simplify inside the radical first. Rewrite showing the common factors of the numerator and denominator.}}&{\sqrt{\frac{5·9}{5·16}}}\\ {\text{Simplify the fraction by removing common factors.}}&{\sqrt{\frac{9}{16}}}\\ {\text{Simplify.} (\frac{3}{4})^2 =\frac{9}{16}}&{\frac{3}{4}}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{75}{48}}\).
- Réponse
-
\(\frac{5}{4}\)
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{98}{162}}\).
- Réponse
-
\(\frac{7}{9}\)
Dans le dernier exemple, notre première étape a été de simplifier la fraction sous le radical en supprimant les facteurs communs. Dans l'exemple suivant, nous utiliserons la propriété Quotient pour simplifier sous le radical. Nous divisons les bases similaires en soustrayant leurs exposants,\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\),\(a \ne 0\).
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{m^6}{m^4}}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{m^6}{m^4}}}\\ {\text{Simplify the fraction inside the radical first}}&{}\\ {}&{\sqrt{m^2}}\\ {\text{Divide the like bases by subtracting the exponents.}}&{}\\ {\text{Simplify.}}&{m}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{a^8}{a^6}}\).
- Réponse
-
un
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{x^{14}}{x^{10}}}\).
- Réponse
-
\(x^2\)
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{48p^7}{3p^3}}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{48p^7}{3p^3}}}\\ {\text{Simplify the fraction inside the radical first.}}&{\sqrt{16p^4}}\\ {\text{Simplify.}}&{4p^2}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{75x^5}{3x}}\).
- Réponse
-
\(5x^2\)
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{72z^{12}}{2z^{10}}}\).
- Réponse
-
6 z
Vous vous souvenez du quotient d'une propriété énergétique ? Il a dit que nous pouvions élever une fraction à une puissance en élevant séparément le numérateur et le dénominateur à la puissance.
\((\frac{a}{b})^m=\frac{a^{m}}{b^{m}}\),\( b \ne 0\)
Nous pouvons utiliser une propriété similaire pour simplifier la racine carrée d'une fraction. Après avoir retiré tous les facteurs communs du numérateur et du dénominateur, si la fraction n'est pas un carré parfait, nous simplifierons le numérateur et le dénominateur séparément.
Si a, b sont des nombres réels non négatifs et\(b \ne 0\), alors
\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{21}{64}}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{21}{64}}}\\ {\text{We cannot simplify the fraction inside the radical. Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{64}}}\\ {\text{Simplify the square root of 64. The numerator cannot be simplified.}}&{\frac{\sqrt{21}}{8}}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{19}{49}}\).
- Réponse
-
\(\frac{\sqrt{19}}{7}\)
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{28}{81}}\)
- Réponse
-
\(\frac{2\sqrt{7}}{9}\)
Comment utiliser la propriété Quotient pour simplifier une racine carrée
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{27m^3}{196}}\).
- Réponse
-
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{24p^3}{49}}\)
- Réponse
-
\(\frac{2p\sqrt{6p}}{7}\)
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{48x^5}{100}}\)
- Réponse
-
\(\frac{2x^2\sqrt{3x}}{5}\)
- Simplifiez la fraction dans le radicand, si possible.
- Utilisez la propriété Quotient pour réécrire le radical en tant que quotient de deux radicaux.
- Simplifiez les radicaux dans le numérateur et le dénominateur.
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{45x^5}{y^4}}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{45x^5}{y^4}}}\\ {\text{We cannot simplify the fraction inside the radical. Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{45x^5}}{\sqrt{y^4}}}\\ {\text{Simplify the radicals in the numerator and the denominator.}}&{\frac{\sqrt{9x^4}\sqrt{5x}}{y^2}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{3x^2\sqrt{5x}}{y^2}}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{80m^3}{n^6}}\)
- Réponse
-
\(\frac{4m\sqrt{5m}}{n^3}\)
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{54u^7}{v^8}}\).
- Réponse
-
\(\frac{3u^3\sqrt{6u}}{v^4}\)
Assurez-vous de simplifier d'abord la fraction dans le radicand, si possible.
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{81d^9}{25d^4}}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{81d^9}{25d^4}}}\\ {\text{Simplify the fraction in the radicand.}}&{\sqrt{\frac{81d^5}{25}}}\\ {\text{Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{81d^5}}{\sqrt{25}}}\\ {\text{Simplify the radicals in the numerator and the denominator.}}&{\frac{\sqrt{81d^4}\sqrt{d}}{5}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{9d^2\sqrt{d}}{5}}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{64x^7}{9x^3}}\).
- Réponse
-
\(\frac{8x^2}{3}\)
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{16a^9}{100a^5}}\).
- Réponse
-
\(\frac{2a^2}{5}\)
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{18p^5q^7}{32pq^2}}\).
- Réponse
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{18p^5q^7}{32pq^2}}}\\ {\text{Simplify the fraction in the radicand.}}&{\sqrt{\frac{9p^4q^5}{16}}}\\ {\text{Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{9p^4q^5}}{\sqrt{16}}}\\ {\text{Simplify the radicals in the numerator and the denominator.}}&{\frac{\sqrt{9p^4q^4}\sqrt{q}}{4}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{3p^2q^2\sqrt{q}}{4}}\\ \end{array}\]
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{50x^5y^3}{72x^4y}}\).
- Réponse
-
\(\frac{5y\sqrt{x}}{6}\)
Simplifiez :\(\sqrt{\frac{48m^7n^2}{125m^5n^9}}\).
- Réponse
-
\(\frac{4m\sqrt{3}}{5n^3\sqrt{5n}}\)
Concepts clés
- \(\sqrt{a}\)La racine carrée simplifiée est considérée comme simplifiée si a ne possède pas de facteurs carrés parfaits.
- Propriété de produit des racines carrées Si a, b sont des nombres réels non négatifs, alors
\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\)
- Simplifier une racine carrée à l'aide de la propriété du produit Pour simplifier une racine carrée à l'aide de la propriété du produit :
- Détermine le plus grand facteur carré parfait du radicand. Réécrivez le radicand en tant que produit en utilisant le facteur carré parfait.
- Utilisez la règle du produit pour réécrire le radical comme étant le produit de deux radicaux.
- Simplifiez la racine carrée du carré parfait.
- Propriété du quotient des racines carrées Si a, b sont des nombres réels non négatifs et\(b \ne 0\), alors
\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
- Simplifier une racine carrée à l'aide de la propriété Quotient Pour simplifier une racine carrée à l'aide de la propriété Quotient :
- Simplifiez la fraction dans le radicand, si possible.
- Utilisez la règle du quotient pour réécrire le radical comme étant le quotient de deux radicaux.
- Simplifiez les radicaux dans le numérateur et le dénominateur.