8.4 : Ajouter et soustraire des expressions rationnelles avec des dénominateurs différents
- Page ID
- 194943
À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Trouvez le plus petit dénominateur commun des expressions rationnelles
- Trouver des expressions rationnelles équivalentes
- Ajouter des expressions rationnelles avec différents dénominateurs
- Soustraire des expressions rationnelles avec différents dénominateurs
Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.
Si vous manquez un problème, revenez à la section répertoriée et passez en revue les informations.
- Ajoutez :\(\frac{7}{10}+\frac{8}{15}\).
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.7.13. - Soustraire :\(6(2x+1)−4(x−5)\).
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.10.52. - Trouvez le plus grand facteur commun\(9x^{2}y^{3}\) et\(12xy^{5}\)
si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 7.1.7. - Facteur complètement −48n−12
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 7.1.31.
Trouvez le plus petit dénominateur commun des expressions rationnelles
Lorsque nous ajoutons ou soustrayons des expressions rationnelles avec des dénominateurs différents, nous devons obtenir des dénominateurs communs. Si nous revoyons la procédure que nous avons utilisée avec les fractions numériques, nous saurons quoi faire avec les expressions rationnelles.
Regardons l'exemple\(\frac{7}{12}+\frac{5}{18}\) de Foundations. Comme les dénominateurs ne sont pas les mêmes, la première étape a consisté à trouver le plus petit dénominateur commun (LCD). N'oubliez pas que l'écran LCD est le multiple le moins courant des dénominateurs. C'est le plus petit nombre que l'on puisse utiliser comme dénominateur commun.
Pour trouver l'écran LCD de 12 et 18, nous avons factorisé chaque nombre en nombres premiers, en alignant tous les nombres premiers courants dans des colonnes. Ensuite, nous avons « abaissé » un nombre premier de chaque colonne. Enfin, nous avons multiplié les facteurs pour trouver l'écran LCD.
12 = 2 · 2 · 3
18 = 2 · 3 · 3
LCD = 2 · 2 · 3 · 3 · 3
ÉCRAN LCD = 36
Nous faisons de même pour les expressions rationnelles. Cependant, nous laissons l'écran LCD sous forme pondérée.
- Facturez complètement chaque expression.
- Répertoriez les facteurs de chaque expression. Faites correspondre les facteurs verticalement lorsque cela est possible.
- Abattez les colonnes.
- Multipliez les facteurs.
N'oubliez pas que nous excluons toujours les valeurs qui rendraient le dénominateur zéro. Quelles valeurs de xv devons-nous exclure dans le prochain exemple ?
Trouvez l'écran LCD pour\(\frac{8}{x^2−2x−3}\),\(\frac{3x}{x^2+4x+3}\)
- Réponse
-
\(\frac{8}{x^2−2x−3}\),\(\frac{3x}{x^2+4x+3}\) Facturez complètement chaque expression, en alignant les facteurs communs. Abattez les colonnes. \(x^2−2x−3=(x−3)(x+1)\) \(x^2+4x+3=(x+1)(x+3)\) Multipliez les facteurs. Écran LCD = (x+1) (x−3) (x+3) L'écran LCD est (x+1) (x−3) (x+3).
Trouvez l'écran LCD pour\(\frac{2}{x^2−x−12},\frac{1}{x^2−16}\)
- Réponse
-
(x−4) (x+4) (x+3)
Trouvez l'écran LCD pour\(\frac{x}{x^2+8x+15},\frac{5}{x^2+9x+18}\)
- Réponse
-
(x+3) (x+6) (x+5)
Trouver des expressions rationnelles équivalentes
Lorsque nous ajoutons des fractions numériques, une fois que nous avons trouvé l'écran LCD, nous réécrivons chaque fraction comme une fraction équivalente à celle de l'écran LCD.
Nous ferons de même pour les expressions rationnelles.
Réécrivez en tant qu'expressions rationnelles équivalentes avec le dénominateur (x+1) (x−3) (x+3) :\(\frac{8}{x^2−2x−3}\),\(\frac{3x}{x^2+4x+3}\).
- Réponse
-
Facturez chaque dénominateur. 
Trouvez l'écran LCD. 
Multipliez chaque dénominateur par le facteur « manquant » et multipliez chaque numérateur par le même facteur. 
Simplifiez les numérateurs. 
Réécrivez en tant qu'expressions rationnelles équivalentes avec le dénominateur (x+3) (x−4) (x+4) :
\(\frac{2}{x^2−x−12}\),\(\frac{1}{x^2−16}\).
- Réponse
-
\(\frac{2x+8}{(x−4)(x+3)(x+4)}\),
\(\frac{x+3}{(x−4)(x+3)(x+4)}\)
Réécrivez en tant qu'expressions rationnelles équivalentes avec un dénominateur (x+3) (x+5) (x+6)
\(\frac{x}{x^2+8x+15}\),\(\frac{5}{x^2+9x+18}\).
- Réponse
-
\(\frac{x^2+6x}{(x+3)(x+5)(x+6)}\),
\(\frac{x+3}{(x+3)(x+5)(x+6)}\)
Ajouter des expressions rationnelles avec différents dénominateurs
Nous avons maintenant toutes les étapes nécessaires pour ajouter des expressions rationnelles avec différents dénominateurs. Comme nous l'avons fait précédemment, nous allons faire un exemple d'ajout de fractions numériques en premier.
Ajoutez :\(\frac{7}{12}+\frac{5}{18}\).
- Réponse
-
Trouvez l'écran LCD des 12 et 18. 
Réécrivez chaque fraction en tant que fraction équivalente à l'aide de l'écran LCD. 
Ajoutez les fractions. 
La fraction ne peut pas être simplifiée. 
Ajoutez :\(\frac{11}{30}+\frac{7}{12}\).
- Réponse
-
\(\frac{19}{20}\)
Ajoutez :\(\frac{3}{8}+\frac{9}{20}\).
- Réponse
-
\(\frac{33}{40}\)
Nous allons maintenant ajouter des expressions rationnelles dont les dénominateurs sont des monômes.
Ajoutez :\(\frac{5}{12x^{2}y}+\frac{4}{21xy^2}\).
- Réponse
-
Trouvez l'écran LCD de\(12x^{2}y\) et\(21xy^2\)
Réécrivez chaque expression rationnelle sous forme de fraction équivalente à l'aide de l'écran LCD. 
Simplifiez. 
Ajoutez les expressions rationnelles. 
Il n'existe aucun facteur commun au numérateur et au dénominateur. La fraction ne peut pas être simplifiée.
Ajoutez :\(\frac{2}{15a^{2}b}+\frac{5}{6ab^2}\).
- Réponse
-
\(\frac{4b+25a}{30a^{2}b^2}\)
Ajoutez :\(\frac{5}{16c}+\frac{3}{8cd^2}\).
- Réponse
-
\(\frac{5d^2+6}{16cd^2}\)
Nous sommes maintenant prêts à nous attaquer aux dénominateurs polynomiaux.
Comment ajouter des expressions rationnelles avec différents dénominateurs
Ajoutez :\(\frac{3}{x−3}+\frac{2}{x−2}\).
- Réponse
-
Ajoutez :\(\frac{2}{x−2}+\frac{5}{x+3}\).
- Réponse
-
\(\frac{7x−4}{(x+3)(x−2)}\)
Ajoutez :\(\frac{4}{m+3}+\frac{3}{m+4}\).
- Réponse
-
\(\frac{7m+25}{(m+3)(m+4)}\)
Les étapes à suivre pour ajouter des expressions rationnelles sont résumées dans la boîte de procédure suivante.
- Déterminez si les expressions ont un dénominateur commun.
Oui, passez à l'étape 2.
Non — Réécrivez chaque expression rationnelle à l'aide de l'écran LCD.
Trouvez l'écran LCD.
Réécrivez chaque expression rationnelle en tant qu'expression rationnelle équivalente à l'aide de l'écran LCD. - Ajoutez les expressions rationnelles.
- Simplifiez, si possible.
Ajoutez :\(\frac{2a}{2ab+b^2}+\frac{3a}{4a^2−b^2}\).
- Réponse
-
Les expressions ont-elles un dénominateur commun ? Non
Réécrivez chaque expression à l'aide de l'écran LCD.Trouvez l'écran LCD. 
Réécrivez chaque expression rationnelle en tant qu'expression rationnelle équivalente à l'aide de l'écran LCD. 
Simplifiez les numérateurs. 
Ajoutez les expressions rationnelles. 
Simplifiez le numérateur. 
Facturez le numérateur. 
Il n'existe aucun facteur commun au numérateur et au dénominateur. La fraction ne peut pas être simplifiée.
Ajoutez :\(\frac{5x}{xy−y^2}+\frac{2x}{x^2+y^2}\).
- Réponse
-
\(\frac{x(5x+7y)}{y(x−y)(x+y)}\)
Ajoutez :\(\frac{7}{2m+6}+\frac{4}{m^2+4m+3}\).
- Réponse
-
\(\frac{7m+15}{2(m+3)(m+1)}\)
Évitez la tentation de simplifier trop tôt ! Dans l'exemple ci-dessus, nous devons laisser la première expression rationnelle comme\(\frac{2a(2a−b)}{b(2a+b)(2a−b)}\) to be able to add it to \(\frac{3a·b}{(2a+b)(2a−b)·b}\).
Ajoutez :\(\frac{8}{x^2−2x−3}+\frac{3x}{x^2+4x+3}\).
- Réponse
-
Les expressions ont-elles un dénominateur commun ? Non
Réécrivez chaque expression à l'aide de l'écran LCD.Trouvez l'écran LCD. 
Réécrivez chaque expression rationnelle sous forme de fraction équivalente à l'aide de l'écran LCD. 
Simplifiez les numérateurs. 
Ajoutez les expressions rationnelles. 
Simplifiez le numérateur. 
Le numérateur est premier, il n'y a donc pas de facteurs communs.
Ajoutez :\(\frac{1}{m^2−m−2}+\frac{5m}{m^2+3m+2}\).
- Réponse
-
\(\frac{5m^2−9m+2}{(m−2)(m+1)(m+2)}\)
Ajoutez :\(\frac{2n}{n^2−3n−10}+\frac{6}{n^2+5n+6}\).
- Réponse
-
\(\frac{2(n2+6n−15)}{(n+2)(n−5)(n+3)}\)
Soustraire des expressions rationnelles avec différents dénominateurs
Le processus que nous utilisons pour soustraire des expressions rationnelles avec différents dénominateurs est le même que pour l'addition. Il faut juste faire très attention aux signes lors de la soustraction des numérateurs.
Comment soustraire des expressions rationnelles avec différents dénominateurs
Soustraire :\(\frac{x}{x−3}−\frac{x−2}{x+3}\).
- Réponse
-
Soustraire :\(\frac{y}{y+4}−\frac{y−2}{y−5}\).
- Réponse
-
\(\frac{−7y+8}{(y+4)(y−5)}\)
Soustraire :\(\frac{z+3}{z+2}−\frac{z}{z+3}\).
- Réponse
-
\(\frac{4z+9}{(z+2)(z+3)}\)
Les étapes à suivre pour soustraire des expressions rationnelles sont répertoriées ci-dessous.
- Déterminez s'ils ont un dénominateur commun.
Oui, passez à l'étape 2.
Non — Réécrivez chaque expression rationnelle à l'aide de l'écran LCD.
Trouvez l'écran LCD.
Réécrivez chaque expression rationnelle en tant qu'expression rationnelle équivalente à l'aide de l'écran LCD. - Soustrayez les expressions rationnelles.
- Simplifiez, si possible.
Soustraire :\(\frac{8y}{y^2−16}−\frac{4}{y−4}\).
- Réponse
-
Les expressions ont-elles un dénominateur commun ? Non
Réécrivez chaque expression à l'aide de l'écran LCD.Trouvez l'écran LCD. 
Réécrivez chaque expression rationnelle en tant qu'expression rationnelle équivalente à l'aide de l'écran LCD. 
Simplifiez les numérateurs. 
Soustrayez les expressions rationnelles. 
Simplifiez les numérateurs. 
Facturez le numérateur pour rechercher des facteurs communs. 
Supprimez les facteurs courants. 
Simplifiez. 
Soustraire :\(\frac{2x}{x^2−4}−\frac{1}{x+2}\).
- Réponse
-
\(\frac{1}{x−2}\)
Soustraire :\(\frac{3}{z+3}−\frac{6z}{z^2−9}\).
- Réponse
-
\(\frac{−3}{z−3}\)
Il y a beaucoup de signes négatifs dans l'exemple suivant. Soyez très prudent !
Soustraire :\(\frac{−3n−9}{n^2+n−6}−\frac{n+3}{2−n}\).
- Réponse
-
Facturez le dénominateur. 
Puisque n−2 et 2−n sont opposés, nous allons multiplier la deuxième expression rationnelle par\(\frac{−1}{−1}\). 
Simplifiez. 
Les expressions ont-elles un dénominateur commun ? Non Trouvez l'écran LCD. 
Réécrivez chaque expression rationnelle en tant qu'expression rationnelle équivalente à l'aide de l'écran LCD. 
Simplifiez les numérateurs. 
Simplifiez les expressions rationnelles. 
Simplifiez le numérateur. 
Facturez le numérateur pour rechercher des facteurs communs. 
Simplifiez. 
Soustraire :\(\frac{3x−1}{x^2−5x−6}−\frac{2}{6−x}\).
- Réponse
-
\(\frac{1}{x−6}\)
Soustraire :\(\frac{−2y−2}{y^2+2y−8}−\frac{y−1}{2−y}\).
- Réponse
-
\(\frac{y+3}{y+4}\)
Lorsqu'une expression n'est pas sous forme de fraction, nous pouvons l'écrire sous forme de fraction avec le dénominateur 1.
Soustraire :\(\frac{5c+4}{c−2}−3\).
- Réponse
-
Écrivez 3\(\frac{3}{1}\) de manière à avoir 2 expressions rationnelles. 
Les expressions rationnelles ont-elles un dénominateur commun ? Non Trouvez l'écran LCD de c−2 et 1. Écran LCD = c−2. Réécrivez\(\frac{3}{1}\) en tant qu'expression rationnelle équivalente à celle de l'écran LCD. 
Simplifiez. 
Soustrayez les expressions rationnelles. 
Simplifiez. 
Facteur pour vérifier les facteurs communs. 
Il n'y a pas de facteurs communs ; l'expression rationnelle est simplifiée.
Soustraire :\(\frac{2x+1}{x−7}−3\).
- Réponse
-
\(\frac{−x+22}{x−7}\)
Soustraire :\(\frac{4y+3}{2y−1}−5\).
- Réponse
-
\(\frac{−2(3y−4)}{2y−1}\)
- Déterminez si les expressions ont un dénominateur commun.
Oui, passez à l'étape 2.
Non — Réécrivez chaque expression rationnelle à l'aide de l'écran LCD.
Trouvez l'écran LCD.
Réécrivez chaque expression rationnelle en tant qu'expression rationnelle équivalente à l'aide de l'écran LCD. - Ajoutez ou soustrayez les expressions rationnelles.
- Simplifiez, si possible.
Nous suivons les mêmes étapes que précédemment pour trouver l'écran LCD lorsque nous avons plus de deux expressions rationnelles. Dans l'exemple suivant, nous allons commencer par factoriser les trois dénominateurs pour trouver leur écran LCD.
Simplifiez :\(\frac{2u}{u−1}+\frac{1}{u}−\frac{2u−1}{u^2−u}\).
- Réponse
-
Les expressions rationnelles ont-elles un dénominateur commun ? Non Trouvez l'écran LCD. 
Réécrivez chaque expression rationnelle en tant qu'expression rationnelle équivalente à l'aide de l'écran LCD. 
Écrivez comme une expression rationnelle. 
Simplifiez. 
Facturez le numérateur et supprimez les facteurs communs. 
Simplifiez. 
Simplifiez :\(\frac{v}{v+1}+\frac{3}{v−1}−\frac{6}{v^2−1}\).
- Réponse
-
\(\frac{v+3}{v+1}\)
Ajoutez le texte des exercices ici.Simplifiez :\(\frac{3w}{w+2}+\frac{2}{w+7}−\frac{17w+4}{w^2+9w+14}\).
- Réponse
-
\(\frac{3w}{w+7}\)
Concepts clés
- Trouvez le plus petit dénominateur commun des expressions rationnelles
- Facturez complètement chaque expression.
- Répertoriez les facteurs de chaque expression. Faites correspondre les facteurs verticalement lorsque cela est possible.
- Abattez les colonnes.
- Multipliez les facteurs.
- Ajouter ou soustraire des expressions rationnelles
- Déterminez si les expressions ont un dénominateur commun.
Oui, passez à l'étape 2.
Non — Réécrivez chaque expression rationnelle à l'aide de l'écran LCD.- Trouvez l'écran LCD.
- Réécrivez chaque expression rationnelle en tant qu'expression rationnelle équivalente à l'aide de l'écran LCD.
- Ajoutez ou soustrayez les expressions rationnelles.
- Simplifiez, si possible.
- Déterminez si les expressions ont un dénominateur commun.