7.1 : Facteur commun le plus important et facteur par groupe
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À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Trouvez le plus grand facteur commun entre deux expressions ou plus
- Facteur : le plus grand facteur commun d'un polynôme
- Facteur par regroupement
Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.
- Facturez 56 en nombres premiers.
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.2.19. - Détermine le multiple le moins courant de 18 et 24.
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.2.28. - Simplifiez\(−3(6a+11)\).
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.10.40.
Trouvez le plus grand facteur commun entre deux expressions ou plus
Auparavant, nous avons multiplié les facteurs ensemble pour obtenir un produit. Maintenant, nous allons inverser ce processus ; nous allons commencer par un produit, puis le décomposer en plusieurs facteurs. La division d'un produit en facteurs s'appelle l'affacturage.
Nous avons appris à factoriser les nombres pour trouver le multiple le moins commun (LCM) de deux nombres ou plus. Nous allons maintenant factoriser les expressions et trouver le plus grand facteur commun entre deux expressions ou plus. La méthode que nous utilisons est similaire à celle que nous avons utilisée pour trouver le LCM.
Le plus grand facteur commun (GCF) de deux expressions ou plus est la plus grande expression qui est un facteur parmi toutes les expressions.
Nous allons d'abord trouver le GCF de deux nombres.
Détermine le GCF de 54 et 36.
- Réponse
-
Notez que, comme le GCF est un facteur des deux nombres, 54 et 36 peuvent être écrits comme des multiples de 18.
\[\begin{array}{l}{54=18 \cdot 3} \\ {36=18 \cdot 2}\end{array}\]
Détermine le GCF de 48 et 80.
- Réponse
-
16
Trouvez le GCF de 18 et 40.
- Réponse
-
2
Nous résumons les étapes que nous utilisons pour trouver le GCF ci-dessous.
Déterminez le plus grand facteur commun (GCF) de deux expressions.
- Étape 1. Facturez chaque coefficient en nombres premiers. Écrivez toutes les variables avec des exposants sous forme développée.
- Étape 2. Répertorie tous les facteurs qui correspondent aux facteurs communs dans une colonne. Dans chaque colonne, encerclez les facteurs communs.
- Étape 3. Déterminez les facteurs communs à toutes les expressions.
- Étape 4. Multipliez les facteurs.
Dans le premier exemple, le GCF était une constante. Dans les deux exemples suivants, nous allons obtenir des variables dans le plus grand facteur commun.
Trouvez le plus grand facteur commun de\(27x^3\) et\(18x^4\).
- Réponse
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Facteur chaque coefficient en nombres premiers et écris les variables avec les exposants sous forme développée. Encerclez les facteurs communs dans chaque colonne. Abaissez les facteurs communs. Multipliez les facteurs. Le GCF de 27\(x^{3}\) et
18\(x^{4}\) est de 9\(x^{3}\).
Trouvez le GCF :\(12 x^{2}, 18 x^{3}\)
- Réponse
-
\(6x^2\)
Trouvez le GCF :\(16 y^{2}, 24 y^{3}\)
- Réponse
-
\(8y^2\)
Trouvez le GCF de\(4 x^{2} y, 6 x y^{3}\)
- Réponse
-
Facteur chaque coefficient en nombres premiers et écris les variables avec les exposants sous forme développée. Encerclez les facteurs communs dans chaque colonne. Abaissez les facteurs communs. Multipliez les facteurs. Le GCF de 4\(x^{2} y\) et
6\(x y^{3}\) est de 2\(x y .\)
Trouvez le GCF :\(6 a b^{4}, 8 a^{2} b\)
- Réponse
-
\(2ab\)
Trouvez le GCF :\(9 m^{5} n^{2}, 12 m^{3} n\)
- Réponse
-
\(3m^3 n\)
Trouvez le GCF de :\(21 x^{3}, 9 x^{2}, 15 x\)
- Réponse
-
Facteur chaque coefficient en nombres premiers et écris les variables avec les exposants sous forme développée. Encerclez les facteurs communs dans chaque colonne. Abaissez les facteurs communs. Multipliez les facteurs. Le GCF de\(21 x^{3}, 9 x^{2}\)
et 15\(x\) est 3\(x\)
Trouvez le plus grand facteur commun :\(25 m^{4}, 35 m^{3}, 20 m^{2}\)
- Réponse
-
\(5m^2\)
Trouvez le plus grand facteur commun :\(14 x^{3}, 70 x^{2}, 105 x\)
- Réponse
-
\(7x\)
Facteur : le plus grand facteur commun à partir d'un polynôme
Tout comme en arithmétique, où il est parfois utile de représenter un nombre sous forme factorielle (par exemple, 12 sous forme de 2·6or3·4), ,2·6or3·4), en algèbre, il peut être utile de représenter un polynôme sous forme factorielle. Une façon d'y parvenir est de trouver le GCF de tous les termes. N'oubliez pas que nous multiplions un polynôme par un monomial comme suit :
\[\begin{array}{cc}{2(x+7)} & {\text { factors }} \\ {2 \cdot x+2 \cdot 7} & { } \\ {2 x+14} & {\text { product }}\end{array}\]
Nous allons maintenant commencer par un produit, comme\(2 x+14\), et terminer par ses facteurs, 2\((x+7)\). Pour ce faire, nous appliquons la propriété distributive « à l'envers ».
Nous énonçons ici la propriété distributive telle que vous l'avez vue dans les chapitres précédents et « à l'envers ».
Si ce\(a,b,c\) sont des nombres réels, alors
\[a(b+c)=a b+a c \quad\text{ and }\quad a b+a c=a(b+c)\]
Le formulaire de gauche est utilisé pour multiplier. Le formulaire de droite est utilisé pour factoriser.
Alors, comment utilisez-vous la propriété distributive pour factoriser un polynôme ? Il vous suffit de trouver le GCF de tous les termes et d'écrire le polynôme sous forme de produit !
Facteur :\(4 x+12\)
- Réponse
-
Facteur :\(6 a+24\)
- Réponse
-
\(6(a+4)\)
Facteur :\(2 b+14\)
- Réponse
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\(2(b+7)\)
Factoriez le plus grand facteur commun à partir d'un polynôme.
Étape 1. Détermine le GCF de tous les termes du polynôme.
Étape 2. Réécrivez chaque terme en tant que produit à l'aide du GCF.
Étape 3. Utilisez la propriété distributive « inverse » pour factoriser l'expression.
Étape 4. Vérifiez en multipliant les facteurs.
Nous utilisons le terme « facteur » à la fois comme nom et comme verbe.
Facteur :\(5 a+5\)
- Réponse
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Détermine le GCF de 5 a et 5. Réécrivez chaque terme en tant que produit à l'aide du GCF. Utilisez la propriété distributive « à l'envers » pour factoriser le GCF. Vérifiez en multipliant les facteurs pour obtenir le polynôme d'origine. 5\((a+1)\) \(5 \cdot a+5 \cdot 1\) \(5 a+5 \checkmark\)
Facteur :\(14 x+14\)
- Réponse
-
\(14(x+1)\)
Facteur :\(12 p+12\)
- Réponse
-
\(12(p+1)\)
Les expressions de l'exemple suivant ont plusieurs facteurs en commun. N'oubliez pas d'écrire le GCF comme le produit de tous les facteurs communs.
Facteur :\(12 x-60\)
- Réponse
-
Détermine le GCF de 12 x et 60. Réécrivez chaque terme en tant que produit à l'aide du GCF. Tenez compte du GCF. Vérifiez en multipliant les facteurs. 12 (x−5) \(12 \cdot x-12 \cdot 5\) \(12 x-60 \checkmark\)
Facteur :\(18 u-36\)
- Réponse
-
\(8(u-2)\)
Facteur :\(30 y-60\)
- Réponse
-
\(30(y-2)\)
Nous allons maintenant prendre en compte le plus grand facteur commun d'un trinôme. Nous commençons par déterminer le GCF des trois termes.
Facteur :\(4 y^{2}+24 y+28\)
- Réponse
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Nous commençons par déterminer le GCF des trois termes.
Trouvez le GCF de\(4 y^{2}, 24 y\) et 28 Réécrivez chaque terme en tant que produit à l'aide du GCF. Tenez compte du GCF. Vérifiez en multipliant. 4\(\left(y^{2}+6 y+7\right)\) \(4 \cdot y^{2}+4 \cdot 6 y+4 \cdot 7\) \(4 y^{2}+24 y+28 \checkmark\)
Facteur :\(5 x^{2}-25 x+15\)
- Réponse
-
\(5\left(x^{2}-5 x+3\right)\)
Facteur :\(3 y^{2}-12 y+27\)
- Réponse
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\(3\left(y^{2}-4 y+9\right)\)
Facteur :\(5 x^{3}-25 x^{2}\)
- Réponse
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Trouvez le GCF de 5\(x^{3}\) et 25\(x^{2}\) Réécrivez chaque terme. Tenez compte du GCF. Vérifiez. 5\(x^{2}(x-5)\) \(5 x^{2} \cdot x-5 x^{2} \cdot 5\) \(5 x^{3}-25 x^{2}\checkmark\)
Facteur :\(2 x^{3}+12 x^{2}\)
- Réponse
-
\(2x^2(x+6)\)
Facteur :\(6 y^{3}-15 y^{2}\)
- Réponse
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\(3y^2(2y-5)\)
Facteur :\(21 x^{3}-9 x^{2}+15 x\)
- Réponse
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Dans un exemple précédent, nous avons trouvé que le GCF\(21 x^{3}, 9 x^{2}, 15 x\) de était de 3\(x\).
Réécrivez chaque terme en utilisant le GCF, 3 x. Tenez compte du GCF. Vérifiez. 3\(x\left(7 x^{2}-3 x+5\right)\) \(3 x \cdot 7 x^{2}-3 x \cdot 3 x+3 x \cdot 5\) \(21 x^{3}-9 x^{2}+15 x\checkmark\)
Facteur :\(20 x^{3}-10 x^{2}+14 x\)
- Réponse
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\(2x(10x^2-5x+7)\)
Facteur :\(24 y^{3}-12 y^{2}-20 y\)
- Réponse
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\(4y(6y^2-3y-5)\)
Facteur :\(8 m^{3}-12 m^{2} n+20 m n^{2}\)
- Réponse
-
Trouvez le GCF de\(8 m^{3}, 12 m^{2} n, 20 m n^{2}\) Réécrivez chaque terme. Tenez compte du GCF. Vérifiez. 4\(m\left(2 m^{2}-3 m n+5 n^{2}\right)\) \(4 m \cdot 2 m^{2}-4 m \cdot 3 m n+4 m \cdot 5 n^{2}\) \(8 m^{3}-12 m^{2} n+20 m n^{2}\checkmark\)
Facteur :\(9 x y^{2}+6 x^{2} y^{2}+21 y^{3}\)
- Réponse
-
\(3y^2(3x+2x^2+7y)\)
Facteur :\(3 p^{3}-6 p^{2} q+9 p q^{3}\)
- Réponse
-
\(3p(p^2-2pq+3q^2\)
Lorsque le coefficient principal est négatif, nous déduisons le négatif dans le cadre du GCF.
Facteur :\(-8 y-24\)
- Réponse
-
Lorsque le coefficient principal est négatif, le GCF sera négatif.
En ignorant les signes des termes, nous trouvons d'abord que le GCF de 8 y et 24 est de 8. Puisque l'expression −8 y − 24 a un coefficient principal négatif, nous utilisons −8 comme GCF. Réécrivez chaque terme à l'aide du GCF.
Tenez compte du GCF. Vérifiez. \(-8(y+3)\) \(-8 \cdot y+(-8) \cdot 3\) \(-8 y-24 \checkmark\)
Facteur :\(-16 z-64\)
- Réponse
-
\(-16(z+4)\)
Facteur :\(-9 y-27\)
- Réponse
-
\(-9(y+3)\)
Facteur :\(-6 a^{2}+36 a\)
- Réponse
-
Le coefficient principal est négatif, donc le GCF sera négatif. ?
Le coefficient principal étant négatif, le GCF est négatif, −6 a.
Réécrivez chaque terme à l'aide du GCF. Tenez compte du GCF. Vérifiez. \(-6 a(a-6)\) \(-6 a \cdot a+(-6 a)(-6)\) \(-6 a^{2}+36 a v\)
Facteur :\(-4 b^{2}+16 b\)
- Réponse
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\(-4b(b-4)\)
Facteur :\(-7 a^{2}+21 a\)
- Réponse
-
\(-7a(a-3)\)
Facteur :\(5 q(q+7)-6(q+7)\)
- Réponse
-
Le GCF est le binôme q+7.
Facturez le GCF, (q + 7). Vérifiez vous-même en multipliant.
Facteur :\(4 m(m+3)-7(m+3)\)
- Réponse
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\( (m+3)(4m-7) \)
Facteur :\(8 n(n-4)+5(n-4)\)
- Réponse
-
\( (n-4)(8n+5) \)
Facteur par regroupement
Lorsqu'il n'y a pas de facteur commun à tous les termes d'un polynôme, recherchez un facteur commun dans certains termes seulement. Lorsqu'il y a quatre termes, une bonne façon de commencer est de séparer le polynôme en deux parties avec deux termes dans chaque partie. Recherchez ensuite le GCF dans chaque partie. Si le polynôme peut être factorisé, vous constaterez qu'un facteur commun émerge des deux parties.
(Tous les polynômes ne peuvent pas être pris en compte. Tout comme certains nombres sont premiers, certains polynômes le sont.)
Facteur :\(x y+3 y+2 x+6\)
- Réponse
-
Facteur :\(x y+8 y+3 x+24\)
- Réponse
-
\( (x+8)(y+3) \)
Facteur :\(a b+7 b+8 a+56\)
- Réponse
-
\( (a+7)(b+8) \)
Facteur par regroupement.
Étape 1. Termes de groupe ayant des facteurs communs.
Étape 2. Déterminez le facteur commun à chaque groupe.
Étape 3. Facturez le facteur commun à partir de l'expression.
Étape 4. Vérifiez en multipliant les facteurs.
Facteur :\(x^{2}+3 x-2 x-6\)
- Réponse
-
\(\begin{array}{ll}{\text { There is no GCF in all four terms. }} & x^{2}+3 x-2 x-6\\ {\text { Separate into two parts. }} & \underbrace{x^{2}+3 x}\underbrace{-2 x-6} \\ \\ {\text { Factor the GCF from both parts. Be careful }} \\ {\text { with the signs when factoring the GCF from }}& \begin{array}{c}{x(x+3)-2(x+3)} \\ {(x+3)(x-2)}\end{array} \\ {\text { the last two terms. }} \\ \\ \text { Check on your own by multinlying. }\end{array}\)
Facteur :\(x^{2}+2 x-5 x-10\)
- Réponse
-
\( (x-5)(x+2) \)
Facteur :\(y^{2}+4 y-7 y-28\)
- Réponse
-
\( (y+4)(y-7) \)
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- Plus grand facteur commun (GCF)
- Factorisation du GCF d'un binomial
- Plus grand facteur commun (GCF) des polynômes
Lexique
- affacturage
- L'affacturage consiste à diviser un produit en facteurs ; en d'autres termes, il s'agit du processus inverse de multiplication.
- plus grand facteur commun
- Le plus grand facteur commun est la plus grande expression qui est un facteur de deux expressions ou plus est le plus grand facteur commun (GCF).