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10.5 : Représentation graphique d'équations quadratiques

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    Objectifs d'apprentissage

    À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

    • Reconnaître le graphe d'une équation quadratique en deux variables
    • Trouvez l'axe de symétrie et le sommet d'une parabole
    • Trouvez les points d'intersection d'une parabole
    • Tracez des équations quadratiques à deux variables
    • Résolvez les applications maximales et minimales
    Soyez prêt

    Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.

    1. Tracez l'équation\(y=3x−5\) en traçant des points.
      Si vous avez oublié ce problème, consultez [lien].
    2. Évaluez\(2x^2+4x−1\) quand\(x=−3\)
      Si vous avez oublié ce problème, consultez [lien].
    3. Évaluez\(−\frac{b}{2a}\) quand\(a=13\) et b=\(\frac{5}{6}\)
      Si vous avez oublié ce problème, consultez [lien].

    Reconnaître le graphe d'une équation quadratique à deux variables

    Nous avons représenté graphiquement les équations de la forme\(Ax+By=C\). Nous avons appelé des équations comme celles-ci équations linéaires parce que leurs graphes sont des lignes droites.

    Maintenant, nous allons représenter graphiquement les équations de la forme\(y=ax^2+bx+c\). Nous appelons ce type d'équation une équation quadratique à deux variables.

    définition : ÉQUATION QUADRATIQUE EN DEUX VARIABLES

    Une équation quadratique à deux variables, où a, b et c sont des nombres réels et\(a\neq 0\), est une équation de la forme\[y=ax^2+bx+c \nonumber\]

    Tout comme nous avons commencé à représenter graphiquement des équations linéaires en traçant des points, nous ferons de même pour les équations quadratiques.

    Regardons d'abord la représentation graphique de l'équation quadratique\(y=x^2\). Nous allons choisir des valeurs entières de x comprises entre −2 et 2 et trouver leurs valeurs y. Voir le tableau.

    \(y=x^2\)
    x y
    0 0
    1 1
    \(−1\) 1
    2 4
    \(−2\) 4

    Remarquez que lorsque nous laissons\(x=1\) et\(x=−1\), nous obtenons la même valeur pour y.

    \[\begin{array} {ll} {y=x^2} &{y=x^2} \\ {y=1^2} &{y=(−1)^2} \\ {y=1} &{y=1} \\ \nonumber \end{array}\]

    La même chose s'est produite lorsque nous avons laissé\(x=2\) et\(x=−2\).

    Maintenant, nous allons tracer les points pour montrer le graphique\(y=x^2\). Voir la figure.

    Cette figure montre une courbe en forme de U s'ouvrant vers le haut tracée sur le plan de coordonnées x y. L'axe X du plan va de moins 10 à 10. L'axe Y du plan va de moins 10 à 10. Le point le plus bas de la courbe se trouve au point (0, 0). Les autres points de la courbe sont situés en (-2, 4), (-1, 1), (1, 1) et (2, 4).

    Le graphique n'est pas une ligne. Cette figure s'appelle une parabole. Chaque équation quadratique possède un graphique qui ressemble à ceci.

    Dans Exemple, vous allez vous entraîner à représenter graphiquement une parabole en traçant quelques points.

    Exemple\(\PageIndex{1}\)

    \(y=x^2-1\)

    Réponse

    Nous allons représenter graphiquement l'équation en traçant des points.


    Choisissez des valeurs entières pour x, remplacez-les dans l'équation et résolvez pour y.    		  
    Enregistrez les valeurs des paires ordonnées dans le graphique. .
    Tracez les points, puis reliez-les à l'aide d'une courbe lisse. Le résultat sera le graphique de l'équation\(y=x^2−1\) .
    Exemple\(\PageIndex{2}\)

    Graphe\(y=−x^2\).

    Réponse

    Cette figure montre une courbe en forme de U s'ouvrant vers le bas tracée sur le plan de coordonnées x y. L'axe X du plan va de moins 10 à 10. L'axe Y du plan va de moins 10 à 10. Le point le plus haut de la courbe se trouve au point (0, 0). Les autres points de la courbe se situent à (-2, -4), (-1, -1), (1, -1) et (2, -4).

    Exemple\(\PageIndex{3}\)

    Graphe\(y=x^2+1\).

    Réponse

    Cette figure montre une courbe en forme de U s'ouvrant vers le haut tracée sur le plan de coordonnées x y. L'axe X du plan va de moins 10 à 10. L'axe Y du plan va de moins 10 à 10. Le point le plus bas de la courbe se trouve au point (0, 1). Les autres points de la courbe sont situés en (-2, 5), (-1, 2), (1, 2) et (2, 5).

    Comment fonctionnent les équations\(y=x^2\) et\(y=x^2−1\) differ? What is the difference between their graphs? How are their graphs the same?

    Toutes les paraboles du formulaire\(y=ax^2+bx+c\) s'ouvrent vers le haut ou vers le bas. Voir la figure.

    Cette figure montre deux graphiques côte à côte. Le graphique sur le côté gauche montre une courbe en forme de U s'ouvrant vers le haut tracée sur le plan de coordonnées x y. L'axe X du plan va de moins 10 à 10. L'axe Y du plan va de moins 10 à 10. Le point le plus bas de la courbe se trouve au point (-2, -1). Les autres points de la courbe sont situés à (-3, 0) et (-1, 0). En dessous du graphique se trouve l'équation y est égale à un carré plus b x plus c. En dessous se trouve l'équation du graphique, y est égal à x au carré plus 4 x plus 3. En dessous se trouve l'inégalité a supérieure à 0, ce qui signifie que la parabole s'ouvre vers le haut. Le graphique sur le côté droit montre une courbe en forme de U s'ouvrant vers le bas tracée sur le plan de coordonnées x y. L'axe X du plan va de moins 10 à 10. L'axe Y du plan va de moins 10 à 10. Le point le plus haut de la courbe se trouve au point (2, 7). Les autres points de la courbe sont situés en (0, 3) et (4, 3). En dessous du graphique se trouve l'équation y égale à un carré plus b x plus c. En dessous se trouve l'équation du graphique, y est égal à moins x au carré plus 4 x plus 3. En dessous se trouve l'inégalité a inférieure à 0, ce qui signifie que la parabole s'ouvre vers le bas.

    Notez que la seule différence entre les deux équations est le signe négatif avant le\(x^2\) dans l'équation du deuxième graphique de la figure. Lorsque le\(x^2\) terme est positif, la parabole s'ouvre vers le haut, et lorsque le\(x^2\) terme est négatif, la parabole s'ouvre vers le bas.

    Définition : ORIENTATION PARABOLIQUE

    Pour l'équation quadratique\(y=ax^2+bx+c\), si :

    L'image montre deux déclarations. La première déclaration se lit comme suit : « A supérieur à 0, la parabole s'ouvre vers le haut ». Cette déclaration est suivie de l'image d'une parabole s'ouvrant vers le haut. La deuxième déclaration se lit comme suit : « A moins de 0, la parabole s'ouvre vers le bas ». Cette déclaration est suivie de l'image d'une parabole s'ouvrant vers le bas.
    Exemple\(\PageIndex{4}\)

    Déterminez si chaque parabole s'ouvre vers le haut ou le bas :

    1. \(y=−3x^2+2x−4\)
    2. \( y=6x^2+7x−9\)
    Réponse
     

    .

    Comme le « a » est négatif, la parabole s'ouvrira vers le bas.
     

    .

    Comme le « a » est positif, la parabole s'ouvrira vers le haut.
    Exemple\(\PageIndex{5}\)

    Déterminez si chaque parabole s'ouvre vers le haut ou le bas :

    1. \(y=2x^2+5x−2\)
    2. \(y=−3x^2−4x+7\)
    Réponse
    1. en haut
    2. vers le bas
    Exemple\(\PageIndex{6}\)

    Déterminez si chaque parabole s'ouvre vers le haut ou le bas :

    1. \(y=−2x^2−2x−3\)
    2. \(y=5x^2−2x−1\)
    Réponse
    1. vers le bas
    2. en haut

    Trouvez l'axe de symétrie et le sommet d'une parabole

    Regardez à nouveau Figure. Voyez-vous que nous pourrions plier chaque parabole en deux et qu'un côté se trouverait au-dessus de l'autre ? La « ligne de pliage » est une ligne de symétrie. Nous l'appelons l'axe de symétrie de la parabole.

    Nous remontrons les deux mêmes graphes avec l'axe de symétrie en rouge. Voir la figure.

    Cette figure montre deux graphiques côte à côte. Le graphique de gauche montre une parabole s'ouvrant vers le haut tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 10 à 10. L'axe Y du plan va de moins 10 à 10. Le point le plus bas de la courbe se trouve au point (-2, -1). Les autres points de la courbe sont situés à (-3, 0) et (-1, 0). Sur le graphique se trouve également une ligne verticale en pointillés qui passe par le centre de la parabole au point (-2, -1). Sous le graphique se trouve l'équation du graphique, y est égal à x au carré plus 4 x plus 3. Le graphique de droite montre une parabole s'ouvrant vers le bas tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 10 à 10. L'axe Y du plan va de moins 10 à 10. Le point le plus haut de la courbe se trouve au point (2, 7). Les autres points de la courbe sont situés en (0, 3) et (4, 3). Sur le graphique se trouve également une ligne verticale en pointillés qui passe par le centre de la parabole au point (2, 7). Sous le graphique se trouve l'équation du graphique, y est égal à moins x au carré plus 4 x plus 3.

    L'équation de l'axe de symétrie peut être dérivée en utilisant la formule quadratique. Nous allons omettre la dérivation ici et passer directement à l'utilisation du résultat. L'équation de l'axe de symétrie du graphe de\(y=ax^2+bx+c\) est x=\(−\frac{b}{2a}\).

    Ainsi, pour trouver l'équation de symétrie de chacune des paraboles que nous avons représentées ci-dessus, nous la remplacerons par la formule x=\(−\frac{b}{2a}\).

    La figure montre les étapes permettant de trouver l'axe de symétrie de deux paraboles. Sur le côté gauche, la forme standard d'une équation quadratique où y est égal à a x au carré plus b x plus c est écrite au-dessus de l'équation donnée y est égal à x carré plus 4 x plus 3. L'axe de symétrie est l'équation x égale moins b divisée par la quantité deux fois a. En ajoutant les valeurs de a et b de l'équation quadratique, la formule devient x égal à moins 4 divisé par la quantité 2 fois 1, ce qui se simplifie en x égal à moins 2. Sur le côté droit, la forme standard d'une équation quadratique où y est égal à a x au carré plus b x plus c est écrite au-dessus de l'équation donnée y est égale à moins x au carré plus 4 x plus 3. L'axe de symétrie est l'équation suivante : x est égal à moins b divisé par la quantité deux fois a. En ajoutant les valeurs de a et de b de l'équation quadratique, la formule devient x égal à moins 4 divisé par la quantité 2 fois -1, ce qui se simplifie pour obtenir x égal à 2.
    Chiffre. S'agit-il des équations des lignes rouges pointillées ?

    Le point de la parabole situé sur l'axe de symétrie est le point le plus bas ou le plus haut de la parabole, selon que la parabole s'ouvre vers le haut ou vers le bas. Ce point est appelé sommet de la parabole.

    Nous pouvons facilement trouver les coordonnées du sommet, car nous savons qu'il se trouve sur l'axe de symétrie. Cela signifie que sa coordonnée x est\(−\frac{b}{2a}\). Pour trouver la coordonnée y du sommet, nous substituons la valeur de la coordonnée x dans l'équation quadratique.

    La figure montre les étapes à suivre pour trouver le sommet de deux paraboles. Sur le côté gauche se trouve l'équation donnée y égale x au carré plus 4 x plus 3. Sous l'équation se trouve l'énoncé « l'axe de symétrie est x égal à -2 ». En dessous se trouve l'énoncé « vertex is » à côté de l'instruction se trouve une paire ordonnée avec une valeur x de -2, identique à l'axe de symétrie, et la valeur y est vide. Ci-dessous, l'équation d'origine est réécrite. En dessous de l'équation se trouve l'équation avec -2 branché pour la valeur x, qui est y égal à -2 au carré plus 4 fois -2 plus 3. Cela se simplifie en y étant égal à -1. En dessous se trouve l'énoncé « le sommet est (-2, -1) ». Sur le côté droit se trouve l'équation donnée y égale moins x au carré plus 4 x plus 3. Sous l'équation se trouve l'énoncé « l'axe de symétrie est x égal à 2 ». En dessous se trouve l'énoncé « vertex is » à côté de l'instruction se trouve une paire ordonnée avec une valeur x de 2, identique à l'axe de symétrie, et la valeur y est vide. Ci-dessous, l'équation d'origine est réécrite. En dessous de l'équation se trouve l'équation avec 2 branché pour la valeur x, qui est y est égal négatif à la quantité 2 au carré, plus 4 fois 2 plus 3. Cela se simplifie en y étant égal à 7. En dessous se trouve l'énoncé « le sommet est (2, 7) ».

    Définition : AXE DE SYMÉTRIE ET SOMMET D'UNE PARABOLE

    Pour une parabole avec équation\(y=ax^2+bx+c\) :

    • L'axe de symétrie d'une parabole est la droite x=\(−\frac{b}{2a}\).
    • Le sommet se trouve sur l'axe de symétrie, donc sa coordonnée x l'est\(−\frac{b}{2a}\).

    Pour trouver la coordonnée y du sommet, nous substituons x=\(−\frac{b}{2a}\) dans l'équation quadratique.

    Exemple\(\PageIndex{7}\)

    Pour la parabole,\(y=3x^2−6x+2\) trouvez :

    1. l'axe de symétrie et
    2. le sommet.
    Réponse
    1. .
    L'axe de symétrie est la droite x=\(−\frac{b}{2a}\) .
    Remplacez les valeurs de a, b dans l'équation. .
    SIMPLIFIER x=1
      L'axe de symétrie est la droite x=1
    2. .
    Le sommet se trouve sur la ligne de symétrie, donc sa coordonnée x sera x=1  
    Remplacez x=1 dans l'équation et résolvez par y. .
    SIMPLIFIER .
    Il s'agit de la coordonnée y. y=−1
    Le sommet est (1, −1).
    Exemple\(\PageIndex{8}\)

    Pour la parabole,\(y=2x^2−8x+1\) trouvez :

    1. l'axe de symétrie et
    2. le sommet.
    Réponse
    1. x=2
    2. (2, −7)
    Exemple\(\PageIndex{9}\)

    Pour la parabole,\(y=2x^2−4x−3\) trouvez :

    1. l'axe de symétrie et
    2. le sommet.
    Réponse
    1. x=1
    2. (1, −5)

    Trouvez les points d'intersection d'une parabole

    Lorsque nous avons représenté graphiquement des équations linéaires, nous avons souvent utilisé les interceptions x et y pour nous aider à tracer les lignes. La recherche des coordonnées des interceptions nous aidera également à tracer des paraboles.

    N'oubliez pas qu'à l'intersection y, la valeur de x est nulle. Donc, pour trouver l'intersection y, nous substituons x=0 dans l'équation.

    Trouvons les interceptions y des deux paraboles présentées dans la figure ci-dessous.

    Cette figure montre deux graphiques côte à côte. Le graphique de gauche montre une parabole s'ouvrant vers le haut tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 10 à 10. L'axe Y du plan va de moins 10 à 10. Le sommet se trouve au point (-2, -1). Les autres points de la courbe sont situés à (-3, 0) et (-1, 0). Sur le graphique figure également une ligne verticale en pointillés représentant l'axe de symétrie. La ligne passe par le sommet où x est égal à -2. Sous le graphique se trouve l'équation du graphique, y est égal à x au carré plus 4 x plus 3. En dessous se trouve l'énoncé « x est égal à 0 ». À côté de cela se trouve l'équation du graphique avec 0 branché pour x, ce qui donne que y est égal à 0 au carré plus 4 fois 0 plus 3. Cela se simplifie en y étant égal à 3. Sous l'équation se trouve l'énoncé « y-intercept (0, 3) ». Le graphique de droite montre une parabole s'ouvrant vers le bas tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 10 à 10. L'axe Y du plan va de moins 10 à 10. Le sommet se trouve au point (2, 7). Les autres points de la courbe sont situés en (0, 3) et (4, 3). Sur le graphique figure également une ligne verticale en pointillés représentant l'axe de symétrie. La ligne passe par le sommet où x est égal à 2. Sous le graphique se trouve l'équation du graphique, y est égal à moins x au carré plus 4 x plus 3. En dessous se trouve l'énoncé « x est égal à 0 ». À côté de cela se trouve l'équation du graphique avec 0 branché pour x, ce qui donne que y est égal à la quantité négative 0 au carré plus 4 fois 0 plus 3. Cela se simplifie en y étant égal à 3. Sous l'équation se trouve l'énoncé « y-intercept (0, 3) ».

    À une intersection x, la valeur de y est nulle. Pour trouver une intersection en X, nous la substituons\(y=0\) dans l'équation. En d'autres termes, nous devrons résoudre l'équation\(0=ax^2+bx+c\) de x.

    \[\begin{array} {ll} {y=ax^2+bx+c} \\ {0=ax^2+bx+c} \\ \nonumber \end{array}\]

    Mais résoudre de telles équations quadratiques est exactement ce que nous avons fait plus tôt dans ce chapitre.

    Nous pouvons maintenant trouver les x -intercepts des deux paraboles illustrées dans la Figure.

    Tout d'abord, nous allons trouver les interceptions x d'une parabole avec une équation\(y=x^2+4x+3\).

      .
    Soit y = 0 .
    Facteur. .
    Utilisez la propriété zéro produit. .
    Résoudre. .
      Les interceptions x sont (−1,0) et (−3,0).

    Maintenant, nous allons trouver les interceptions x de la parabole avec l'équation\(y=−x^2+4x+3\).

      .
    Soit y = 0 .
    Ce quadratique ne prend pas en compte, nous utilisons donc la formule quadratique. .
    a=−1, b=4, c=3. .
    Simplifiez. .
    .
    ..
      Les x intercepts sont\((2+\sqrt{7},0)\) et\((2−\sqrt{7},0)\)

    Nous utiliserons les approximations décimales des interceptions X, afin de pouvoir localiser ces points sur le graphique.

    \[\begin{array} {l} {(2+\sqrt{7},0) \approx (4.6,0)} & {(2−\sqrt{7},0) \approx (-0.6,0)}\\ \nonumber \end{array}\]

    Ces résultats sont-ils en accord avec nos graphiques ? Voir la figure.

    Cette figure montre deux graphiques côte à côte. Le graphique de gauche montre une parabole s'ouvrant vers le haut tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 10 à 10. L'axe Y du plan va de moins 10 à 10. Le sommet se trouve au point (-2, -1). Trois points sont tracés sur la courbe en (-3, 0), (-1, 0) et (0, 3). Sur le graphique figure également une ligne verticale en pointillés représentant l'axe de symétrie. La ligne passe par le sommet où x est égal à -2. Sous le graphique se trouve l'équation du graphique, y est égal à x au carré plus 4 x plus 3. Ci-dessous se trouve la déclaration « y-intercept (0, 3) ». En dessous se trouve l'énoncé « x-intercepts (-1, 0) et (-3, 0) ». Le graphique de droite montre une parabole s'ouvrant vers le bas tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 10 à 10. L'axe Y du plan va de moins 10 à 10. Le sommet se trouve au point (2, 7). Trois points sont tracés sur la courbe à (-0,6, 0), (4,6, 0) et (0, 3). Sur le graphique figure également une ligne verticale en pointillés représentant l'axe de symétrie. La ligne passe par le sommet où x est égal à 2. Sous le graphique se trouve l'équation du graphique, y est égal à moins x au carré plus 4 x plus 3. Ci-dessous se trouve la déclaration « y-intercept (0, 3) ». En dessous se trouve la déclaration « x-intercepts (2 plus la racine carrée de 7, 0) est approximativement égal à (4,6, 0) et (2 moins la racine carrée de 7, 0) est approximativement égal à (-0,6, 0) ».
    Définition : TROUVEZ LES INTERCEPTIONS D'UNE PARABOLE

    Pour trouver les points d'intersection d'une parabole à l'aide d'une équation\(y=ax^2+bx+c\) :

    \[\begin{array}{ll} {\textbf{y-intercept}}& {\textbf{x-intercept}}\\ {\text{Let} x=0 \text{and solve the y}}& {\text{Let} y=0 \text{and solve the x}}\\ \nonumber \end{array}\]

    Exemple\(\PageIndex{10}\)

    Trouvez les points d'intersection de la parabole\(y=x^2−2x−8\).

    Réponse
      .
    Pour trouver l'intersection y, laissez x=0 et résolvez pour y. .
      Lorsque x=0, alors y=−8.
    L'intersection y est le point (0, −8).
      .
    Pour trouver l'intersection x, laissez y=0 et résolvez pour x. .
    Résolvez par factorisation. .
     

    .
    Lorsque y=0, alors x=4 ou x=−2. Les x -intercepts sont les points (4,0) et (−2,0).
    Exemple\(\PageIndex{11}\)

    Trouvez les points d'intersection de la parabole\(y=x^2+2x−8\).

    Réponse

    y : (0, −8) ; x : (−4,0), (2,0)

    Exemple\(\PageIndex{12}\)

    Trouvez les points d'intersection de la parabole\(y=x^2−4x−12\).

    Réponse

    y : (0, −12) ; x : (6,0), (−2,0)

    Dans ce chapitre, nous avons résolu des équations quadratiques de la forme\(ax^2+bx+c=0\). Nous avons résolu xx et les résultats ont été les solutions de l'équation.

    Nous examinons maintenant des équations quadratiques dans deux variables du formulaire\(y=ax^2+bx+c\). Les graphes de ces équations sont des paraboles. Les points d'intersection x des paraboles se produisent lorsque y = 0.

    Par exemple :

    \[\begin{array}{cc} {\textbf{Quadratic equation}}&{\textbf{Quadratic equation in two variable}}\\ {}&{y=x^2−2x−15}\\ {x^2−2x−15}&{\text{Let} y=0, 0=x^2−2x−15}\\ {(x−5)(x+3)=0}&{0=(x−5)(x+3)}\\ {x−5=0, x+3=0}&{x−5=0, x+3=0}\\ {x=5, x=−3}&{x=5, x=−3}\\ {}&{(5,0) \text{and} (−3,0)}\\ {}&{\text{x-intercepts}}\\ \end{array}\]

    Les solutions de l'équation quadratique sont les valeurs x des x intercepts.

    Plus tôt, nous avons vu que les équations quadratiques ont 2, 1 ou 0 solutions. Les graphiques ci-dessous présentent des exemples de paraboles pour ces trois cas. Puisque les solutions des équations donnent les interceptions x des graphes, le nombre d'interceptions x est identique au nombre de solutions.

    Auparavant, nous utilisions le discriminant pour déterminer le nombre de solutions d'une équation quadratique de la forme\(ax^2+bx+c=0\). Maintenant, nous pouvons utiliser le discriminant pour nous dire combien d'interceptions x il y a sur le graphique.

    Cette figure montre trois graphiques côte à côte. Le graphique le plus à gauche montre une parabole s'ouvrant vers le haut tracée sur le plan de coordonnées x. Le sommet de la parabole se trouve dans le quadrant inférieur droit. En dessous du graphique se trouve l'inégalité b au carré moins 4 a c supérieure à 0. Ci-dessous se trouve l'énoncé « Deux solutions ». En dessous se trouve l'énoncé « Deux interceptions en X ». Le graphique du milieu montre une parabole s'ouvrant vers le bas tracée sur le plan de coordonnées x y. Le sommet de la parabole se trouve sur l'axe des abscisses. Sous le graphique se trouve l'équation b au carré moins 4 a c est égal à 0. Ci-dessous se trouve l'énoncé « Une solution ». En dessous se trouve l'énoncé « One x-intercept ». Le graphique le plus à droite montre une parabole s'ouvrant vers le haut tracée sur le plan de coordonnées x. Le sommet de la parabole se trouve dans le quadrant supérieur gauche. En dessous du graphique se trouve l'inégalité b au carré moins 4 a c inférieur à 0. Ci-dessous se trouve l'énoncé « Pas de véritables solutions ». En dessous se trouve la déclaration « Aucune interception X ».

    Avant de commencer à résoudre l'équation quadratique pour trouver les valeurs des interceptions x, vous pouvez évaluer le discriminant afin de savoir à combien de solutions vous attendre.

    Exemple\(\PageIndex{13}\)

    Trouvez les points d'intersection de la parabole\(y=5x^2+x+4\).

    Réponse
      .
    Pour trouver l'intersection y, laissez x=0 et résolvez pour y. .
    .
    Lorsque x=0, alors y=4.
    L'intersection y est le point (0,4).
      .
    Pour trouver l'intersection x, laissez y=0 et résolvez pour x. .
    Trouvez la valeur du discriminant pour prédire le nombre de solutions et donc x -intercepts.

    b^2−4ac

    1^2−4⋅5⋅4

    1−80

    −79
    La valeur du discriminant étant négative, il n'existe pas de véritable solution à l'équation. Il n'y a pas de x -intercepts.
    Exemple\(\PageIndex{14}\)

    Trouvez les points d'intersection de la parabole\(y=3x^2+4x+4\).

    Réponse

    y : (0,4) ; x : aucun

    Exemple\(\PageIndex{15}\)

    Trouvez les points d'intersection de la parabole\(y=x^2−4x−5\).

    Réponse

    y : (0, −5) ; x : (5,0) (−1,0)

    Exemple\(\PageIndex{16}\)

    Trouvez les points d'intersection de la parabole\(y=4x^2−12x+9\).

    Réponse
      .
    Pour trouver l'intersection y, laissez x=0 et résolvez pour y. .
    .
      Lorsque x=0, alors y=9.
    L'intersection y est le point (0,9).
      .
    Pour trouver l'intersection x, laissez y=0 et résolvez pour x. .
    Trouvez la valeur du discriminant pour prédire le nombre de solutions et donc x -intercepts.

    b^2−4ac

    12^2−4⋅4⋅9

    144−144

    0
      Comme la valeur du discriminant est 0, il n'existe pas de véritable solution à l'équation. Il y a donc une x -interception.
    Résolvez l'équation en factorisant le trinôme carré parfait. .
    Utilisez la propriété Zero Product. .
    Résolvez pour x. .
    .
      Lorsque y=0, alors\(\frac{3}{2}\) =x.
      L'intersection x est le point\((\frac{3}{2},0)\).
    Exemple\(\PageIndex{17}\)

    Trouvez les points d'intersection de la parabole\(y=−x^2−12x−36.\).

    Réponse

    y : (0, −36) ; x : (−6,0)

    Exemple\(\PageIndex{18}\)

    Trouvez les points d'intersection de la parabole\(y=9x^2+12x+4\).

    Réponse

    y : (0,4) ; x :\((−\frac{2}{3},0)\)

    Tracez des équations quadratiques à deux variables

    Maintenant, nous avons toutes les pièces dont nous avons besoin pour représenter graphiquement une équation quadratique en deux variables. Nous avons juste besoin de les assembler. Dans l'exemple suivant, nous verrons comment procéder.

    Comment représenter graphiquement une équation quadratique à deux variables

    Exemple\(\PageIndex{19}\)

    Graphe\(y=x2−6x+8\).

    Réponse

    L'image montre les étapes pour représenter graphiquement l'équation quadratique y égale x carré moins 6 x plus 8. L'étape 1 consiste à écrire l'équation quadratique avec y sur un côté. Cette équation a déjà y sur un côté. La valeur de a est un, la valeur de b est -6 et la valeur de c est 8.L'étape 2 consiste à déterminer si la parabole s'ouvre vers le haut ou vers le bas. Comme a est positif, la parabole s'ouvre vers le haut.L'étape 3 consiste à trouver l'axe de symétrie. L'axe de symétrie est la droite x égale à moins b divisée par la quantité 2a. En ajoutant les valeurs de b et de a, la formule devient x égale moins -6 divisée par la quantité 2 fois 1, ce qui se simplifie en x égal à 3. L'axe de symétrie est la droite x égale à 3.L'étape 4 consiste à trouver le sommet. Le sommet se trouve sur l'axe de symétrie. Remplacez x est égal à 3 dans l'équation et résolvez par y. L'équation est égale à x au carré moins 6 x plus 8. En remplaçant x par 3, il devient y égal à 3 au carré moins 6 fois 3 plus 8, ce qui se simplifie en y égal à -1. Le sommet est (3, -1).L'étape 5 consiste à trouver l'intersection y et à trouver le point symétrique à l'intersection y sur l'axe de symétrie. Nous substituons x égal à 0 dans l'équation. L'équation est la suivante : y est égal à x au carré moins 6 x plus 8. En remplaçant x par 0, il devient y égal à 0 au carré moins 6 fois 0 plus 8, ce qui se simplifie en y égal 8. L'intersection y est (0, 8). Nous utilisons l'axe de symétrie pour trouver un point symétrique à l'intersection y. L'intersection y se trouve à 3 unités à gauche de l'axe de symétrie, x étant égal à 3. Un point situé à 3 unités à droite de l'axe de symétrie a x égal à 6. Le point symétrique à l'intersection y est (6, 8).L'étape 6 consiste à trouver les x-intercepts. Nous substituons y égal 0 dans l'équation. L'équation devient 0 égal à x au carré moins 6 x plus 8. Nous pouvons résoudre cette équation quadratique en factorisant pour obtenir 0 égal à la quantité x moins 2 fois la quantité x moins 4. Résolvez chaque équation pour obtenir x égal à 2 et x égal à 4. Les x-intercepts sont (2, 0) et (4, 0).L'étape 7 consiste à représenter graphiquement la parabole. Nous représentons graphiquement le sommet, les points d'intersection et le point symétriquement par rapport à l'intersection Y. Nous relions ces cinq points pour esquisser la parabole. Le graphique montre une parabole s'ouvrant vers le haut tracée sur le plan de coordonnées x y. L'axe X du plan va de -2 à 10. L'axe Y du plan va de -3 à 10. Le sommet se trouve au point (3, -1). Quatre points sont tracés sur la courbe en (0, 8), (6, 8), (2, 0) et (4, 0). Sur le graphique figure également une ligne verticale en pointillés représentant l'axe de symétrie. La ligne passe par le sommet où x est égal à 3.

    Exemple\(\PageIndex{20}\)

    Tracez la parabole\(y=x^2+2x−8\).

    Réponse

    y : (0, −8) ; x : (2,0), (−4,0) ;
    axe : x=−1 ; sommet : (−1, −9) ;

    Le graphique montre une parabole s'ouvrant vers le haut tracée sur le plan de coordonnées x y. L'axe X du plan va de -10 à 10. L'axe Y du plan va de -10 à 10. Le sommet se trouve au point (-1, -9). Trois points sont tracés sur la courbe en (0, -8), (2, 0) et (-4, 0). Sur le graphique figure également une ligne verticale en pointillés représentant l'axe de symétrie. La ligne passe par le sommet où x est égal à -1.
    Exemple\(\PageIndex{21}\)

    Tracez la parabole\(y=x^2−8x+12\).

    Réponse

    y : (0,12) ; x : (2,0), (6,0) ;
    axe : x=4 ; sommet : (4, −4) ;

    Le graphique montre une parabole s'ouvrant vers le haut tracée sur le plan de coordonnées x y. L'axe X du plan va de -10 à 10. L'axe Y du plan va de -10 à 10. Le sommet se trouve au point (4, -4). Trois points sont tracés sur la courbe en (0, 12), (2, 0) et (6, 0). Sur le graphique figure également une ligne verticale en pointillés représentant l'axe de symétrie. La ligne passe par le sommet où x est égal à 4.
    Définition : GRAPHIQUE D'UNE ÉQUATION QUADRATIQUE EN DEUX VARIABLES.
    1. Écrivez l'équation quadratique avec yy sur un côté.
    2. Détermine si la parabole s'ouvre vers le haut ou vers le bas.
    3. Trouvez l'axe de symétrie.
    4. Trouvez le sommet.
    5. Trouvez l'intersection y. Détermine le point symétrique par rapport à l'intersection y sur l'axe de symétrie.
    6. Trouvez les x -intercepts.
    7. Tracez la parabole.

    Nous avons pu trouver les x -intercepts dans le dernier exemple en les factorisant. Nous trouvons les x -intercepts dans l'exemple suivant en les factorisant également.

    Exemple\(\PageIndex{22}\)

    Graphe\(y=−x^2+6x−9\).

    Réponse
    L'équation y a sur un côté. .
    Comme a vaut -1, la parabole s'ouvre vers le bas.

    Pour trouver l'axe de symétrie, trouvez\(x=−\frac{b}{2a}\).    		 . .
    .
    .

    L'axe de symétrie est x=3. Le sommet se trouve sur la ligne x=3.

    .

    Trouve y lorsque x=3.    		 .
    .
    .
    .
    Le sommet est (3,0).

    .
    L'intersection y se produit lorsque x=0.
    Substitut x=0.
    Simplifiez.

    Le point (0, −9) se trouve à trois unités à gauche de la ligne de symétrie.
    Le point situé à trois unités à droite de la ligne de symétrie est (6, −9).
    Le point symétrique à l'intersection y est (6, −9)    		 .
    .
    .
    (0, −9).
    .
    L'intersection x se produit lorsque y = 0. .
    Substitut y=0. .
    Tenez compte du GCF. .
    Tenez compte du trinôme. .
    Résolvez pour x. .
    Reliez les points pour représenter graphiquement la parabole. .
    Exemple\(\PageIndex{23}\)

    Tracez la parabole\(y=−3x^2+12x−12\).

    Réponse

    y : (0, −12) ; x : (2,0) ;
    axe : x=2 ; sommet :( 2,0) ;

    Le graphique montre une parabole s'ouvrant vers le bas tracée sur le plan de coordonnées x y. L'axe X du plan va de -10 à 10. L'axe Y du plan s'étend de -1 à 10. Le sommet se trouve au point (2, 0). Un autre point est tracé sur la courbe en (0, -12). Sur le graphique figure également une ligne verticale en pointillés représentant l'axe de symétrie. La ligne passe par le sommet où x est égal à 2.

    Exemple\(\PageIndex{24}\)

    Tracez la parabole\(y=25x^2+10x+1\).

    Réponse

    y : (0,1) ; x : (−15,0) ;
    axe : x=−15 ; sommet :( −15,0) ;

    Le graphique montre une parabole s'ouvrant vers le haut tracée sur le plan de coordonnées x y. L'axe X du plan va de -5 à 5. L'axe Y du plan va de -5 à 10. Le sommet se trouve au point (-1 cinquième, 0). Un autre point est tracé sur la courbe en (0, 1). Sur le graphique figure également une ligne verticale en pointillés représentant l'axe de symétrie. La ligne passe par le sommet en x égal à -1 cinquième.

    Pour le graphe de\(y=−x^2+6x−9\) the vertex and the x -intercept, nous avons le même point. Vous vous souvenez comment le discriminant détermine le nombre de solutions d'une équation quadratique ? Le discriminant de l'équation\(0=−x^2+6x−9\) is 0, so there is only one solution. That means there is only one x -intercepte, et c'est le sommet de la parabole.

    Combien de x -intercepts vous attendriez-vous à voir sur le graphique\(y=x^2+4x+5\) ?

    Exemple\(\PageIndex{25}\)

    Graphe\(y=x^2+4x+5\).

    Réponse
    L'équation a y sur un côté. .
    Comme a vaut 1, la parabole s'ouvre vers le haut. .
    \(x=−\frac{b}{2a}\). .
    .
    .
    x=−2.
    .
    Le sommet se trouve sur la ligne x=−2.  
    Trouve y lorsque x=−2. .
    .
    .
    .
    (−2,1).
    .
    L'intersection y se produit lorsque x=0.
    Substitut x=0.
    Simplifiez.
    Le point (0,5) correspond à deux unités à droite de la ligne de symétrie.
    Le point situé à deux unités à gauche de la ligne de symétrie est (−4,5).    		 .
    .
    .
    (0,5).
    .
    (−4,5)
    L'intersection x - se produit lorsque y=0.
    Substitut y=0.
    Testez le discriminant.    		 .
    .
        \(b^2−4ac\)
    \(42−4⋅15\)
    \(16−20\)
    \(−4\)
    Comme la valeur du discriminant est négative, il n'y a pas de solution et donc pas d'interception X.
    Reliez les points pour représenter graphiquement la parabole. Vous pouvez choisir deux points supplémentaires pour une plus grande précision.    		 .
    Exemple\(\PageIndex{26}\)

    Tracez la parabole\(y=2x^2−6x+5\).

    Réponse

    y : (0,5) ; x : aucun ;
    axe :\(x=\frac{3}{2}\) ; sommet :\((\frac{3}{2},\frac{1}{2})\) ;

    Le graphique montre une parabole s'ouvrant vers le haut tracée sur le plan de coordonnées x y. L'axe X du plan va de -5 à 5. L'axe Y du plan va de -5 à 10. Le sommet se trouve au point (3 moitiés, 1 moitié). Un autre point est tracé sur la courbe en (0, 5). Sur le graphique figure également une ligne verticale en pointillés représentant l'axe de symétrie. La ligne passe par le sommet en x égale 3 moitiés.

    Exemple\(\PageIndex{27}\)

    Tracez la parabole\(y=−2x^2−1\).

    Réponse

    y : (0, -1) ; x : aucun ;
    axe : x=0 ; sommet : (0, −1) ;

    Le graphique montre une parabole s'ouvrant vers le haut tracée sur le plan de coordonnées x y. L'axe X du plan va de -10 à 10. L'axe Y du plan va de -10 à 10. Le sommet se trouve au point (0, -1). Sur le graphique figure également une ligne verticale en pointillés représentant l'axe de symétrie. La ligne passe par le sommet où x est égal à 0.

    Trouver l'intersection y en substituant x=0 dans l'équation est facile, n'est-ce pas ? Mais nous avons dû utiliser la formule quadratique pour trouver les interceptions x dans Example. Nous utiliserons à nouveau la formule quadratique dans l'exemple suivant.

    Exemple\(\PageIndex{28}\)

    Graphe\(y=2x^2−4x−3\).

    Réponse
      .
    L'équation y a un côté.
    Comme a vaut 2, la parabole s'ouvre vers le haut.    		 .
    Pour trouver l'axe de symétrie, trouvez\(x=−\frac{b}{2a}\) .
    .
    .
    Le sommet est x=1
    Le sommet de la ligne x=1. .
    Trouve y lorsque x=1 .
    .
    .
    (1, −5)
    L'intersection y se produit lorsque x=0. .
    Substitut x=0. .
    Simplifiez. .
    L'intersection y- est (0, −3)

    Le point (0, -3) se trouve à une unité à gauche de la ligne de symétrie.
    Le point situé à une unité à droite de la ligne de symétrie est (2, −3)    		 Le point symétrique à l'intersection y- est (2, −3).
    L'intersection x se produit lorsque y=0 .
    Substitut y=0 .
    Utilisez la formule quadratique. .
    Remplacez par les valeurs de a, b, c. .
    Simplifiez. .
    Simplifiez l'intérieur du radical. .
    Simplifiez le radical. .
    Tenez compte du GCF. .
    Supprimez les facteurs courants. .
    Ecrivez comme deux équations. .
    Approximation des valeurs. .
     
    Les valeurs approximatives des interceptions x sont (2,5,0) et (−0,6,0).
    Tracez la parabole en utilisant les points trouvés. .
    Exemple\(\PageIndex{29}\)

    Tracez la parabole\(y=5x^2+10x+3\).

    Réponse

    y : (0,3) ; x : (−1,6,0), (−0,4,0) ;
    axe : x=−1 ; sommet :( −1, −2) ;

    Le graphique montre une parabole s'ouvrant vers le haut tracée sur le plan de coordonnées x y. L'axe X du plan va de -5 à 5. L'axe Y du plan va de -5 à 5. Le sommet se trouve au point (-1, -2). Trois autres points sont tracés sur la courbe à (0, 3), (-1,6, 0), (-0,4, 0). Sur le graphique figure également une ligne verticale en pointillés représentant l'axe de symétrie. La ligne passe par le sommet où x est égal à -1.

    Exemple\(\PageIndex{30}\)

    Tracez la parabole\(y=−3x^2−6x+5\).

    Réponse

    y : (0,5) ; x : (0,6,0), (−2,6,0) ;
    axe : x=−1 ; sommet :( −1,8) ;

    Le graphique montre une parabole s'ouvrant vers le bas tracée sur le plan de coordonnées x y. L'axe X du plan va de -10 à 10. L'axe Y du plan va de -10 à 10. Le sommet se trouve au point (-1, 8). Trois autres points sont tracés sur la courbe à (0, 5), (0,6, 0) et (-2,6, 0). Sur le graphique figure également une ligne verticale en pointillés représentant l'axe de symétrie. La ligne passe par le sommet où x est égal à -1.

    Résolvez les applications maximales et minimales

    Le fait de savoir que le sommet d'une parabole est le point le plus bas ou le plus haut de la parabole nous permet de déterminer facilement la valeur minimale ou maximale d'une équation quadratique. La coordonnée y du sommet est la valeur y minimale d'une parabole qui s'ouvre vers le haut. Il s'agit de la valeur y maximale d'une parabole qui s'ouvre vers le bas. Voir la figure.

    Cette figure montre deux graphiques côte à côte. Le graphique de gauche montre une parabole s'ouvrant vers le bas tracée sur le plan de coordonnées x y. Le sommet de la parabole se trouve dans le quadrant supérieur droit. Le sommet est étiqueté « maximum ». Le graphique de droite montre une parabole s'ouvrant vers le haut tracée sur le plan de coordonnées x y. Le sommet de la parabole se trouve dans le quadrant inférieur droit. Le sommet est étiqueté « minimum ».
    Définition : VALEURS MINIMALES OU MAXIMALES D'UNE ÉQUATION QUADRATIQUE

    La coordonnée y du sommet du graphe d'une équation quadratique est la

    • valeur minimale de l'équation quadratique si la parabole s'ouvre vers le haut.
    • valeur maximale de l'équation quadratique si la parabole s'ouvre vers le bas.
    Exemple\(\PageIndex{31}\)

    Détermine la valeur minimale de l'équation quadratique\(y=x^2+2x−8\).

    Réponse
      .
    Comme a est positif, la parabole s'ouvre vers le haut.  
    L'équation quadratique a un minimum.  
    Trouvez l'axe de symétrie. .
    .
    .
    x=−1
    Le sommet se trouve sur la ligne x=−1. .
    Trouve y lorsque x=−1. .
    .
    .
    (−1, −9)
    Comme la parabole possède un minimum, la coordonnée y du sommet est la valeur y minimale de l'équation quadratique.  
    La valeur minimale de la quadratique est −9 et elle se produit lorsque x=−1.  
    Montrez le graphique pour vérifier le résultat. .
    Exemple\(\PageIndex{32}\)

    Détermine la valeur maximale ou minimale de l'équation quadratique\(y=x^2−8x+12\).

    Réponse

    La valeur minimale est −4 lorsque x=4.

    Exemple\(\PageIndex{33}\)

    Détermine la valeur maximale ou minimale de l'équation quadratique\(y=−4x^2+16x−11\).

    Réponse

    La valeur maximale est 5 lorsque x=2.

    Nous avons utilisé la formule

    \[\begin{array} {l} {h=−16t^2+v_{0}t+h_{0}}\\ \nonumber \end{array}\]

    pour calculer la hauteur en pieds, h, d'un objet projeté vers le haut dans les airs à la vitesse initiale\(v_{0}\), après t secondes.

    Cette formule est une équation quadratique dans la variable tt, donc son graphe est une parabole. En résolvant les coordonnées du sommet, nous pouvons déterminer le temps qu'il faudra à l'objet pour atteindre sa hauteur maximale. Ensuite, nous pouvons calculer la hauteur maximale.

    Exemple\(\PageIndex{34}\)

    L'équation quadratique\(h=−16t^2+v_{0}t+h_{0}\) modélise la hauteur d'un ballon de volley-ball frappé droit vers le haut avec une vitesse de 176 pieds par seconde à partir d'une hauteur de 4 pieds.

    1. Combien de secondes faudra-t-il au volley-ball pour atteindre sa hauteur maximale ?
    2. Déterminez la hauteur maximale du volley-ball.
    Réponse

    \(h=−16t^2+176t+4\)

    Comme a est négatif, la parabole s'ouvre vers le bas.

    L'équation quadratique a un maximum.

    1.
    \[\begin{array} {ll} {}&{t=−\frac{b}{2a}}\\ {\text{Find the axis of symmetry.}}& {t=−\frac{176}{2(−16)}}\\ {}&{t=5.5}\\ {}&{\text{The axis of symmetry is} t = 5.5}\\ {\text{The vertex is on the line} t=5.5}& {\text{The maximum occurs when} t =5.5 \text{seconds.}}\\ \nonumber \end{array}\]

    2.

    Trouve h lorsque t=5,5. .
    .
    Utilisez une calculatrice pour simplifier. .
      Le sommet est (5,5 488)
    Comme la parabole a un maximum, la coordonnée h- du sommet est la valeur y maximale de l'équation quadratique. La valeur maximale de la quadratique est de 488 pieds et elle se produit lorsque t = 5,5 secondes.
    Exemple\(\PageIndex{35}\)

    L'équation quadratique\(h=−16t^2+128t+32\) est utilisée pour déterminer la hauteur d'une pierre projetée vers le haut à partir d'une hauteur de 32 pieds à une vitesse de 128 pieds/sec. Combien de temps faudra-t-il pour que la pierre atteigne sa hauteur maximale ? Quelle est la hauteur maximale ? Arrondissez les réponses au dixième le plus proche.

    Réponse

    Il vous faudra 4 secondes pour atteindre la hauteur maximale de 288 pieds.

    Exemple\(\PageIndex{36}\)

    Une fusée jouet tirée vers le haut depuis le sol à une vitesse de 208 pieds/sec a l'équation quadratique de\(h=−16t^2+208t\). Quand la fusée atteindra-t-elle sa hauteur maximale ? Quelle sera la hauteur maximale ? Arrondissez les réponses au dixième le plus proche.

    Réponse

    Il faudra 6,5 secondes pour atteindre la hauteur maximale de 676 pieds.

    Accédez à ces ressources en ligne pour obtenir des instructions supplémentaires et entraînez-vous à tracer des équations quadratiques :

    Concepts clés

    • Le graphique de chaque équation quadratique est une parabole.
    • Orientation de la parabole Pour l'équation quadratique\(y=ax^2+bx+c\), si
      • a>0, la parabole s'ouvre vers le haut.
      • a<0, la parabole s'ouvre vers le bas.
    • Axe de symétrie et sommet d'une parabole Pour une parabole avec équation\(y=ax^2+bx+c\) :
      • L'axe de symétrie d'une parabole est la droite\(x=−\frac{b}{2a}\).
      • Le sommet se trouve sur l'axe de symétrie, donc sa coordonnée x l'est\(−\frac{b}{2a}\).
      • Pour trouver la coordonnée y du sommet, nous la substituons par l'\(x=−\frac{b}{2a}\)équation quadratique.
    • Trouvez les points d'intersection d'une parabole Pour trouver les points d'intersection d'une parabole à l'aide de l'équation\(y=ax^2+bx+c\) :
      \[\begin{array} {ll} {\textbf{y-intercept}}&{\textbf{x-intercepts}}\\ {\text{Let} x=0 \text{and solve for y}}&{\text{Let} y=0 \text{and solve for x}}\\ \nonumber \end{array}\]
    • Pour représenter graphiquement une équation quadratique à deux variables
      1. Écrivez l'équation quadratique avec yy sur un côté.
      2. Détermine si la parabole s'ouvre vers le haut ou vers le bas.
      3. Trouvez l'axe de symétrie.
      4. Trouvez le sommet.
      5. Trouvez l'intersection y. Détermine le point symétrique par rapport à l'intersection y sur l'axe de symétrie.
      6. Trouvez les x -intercepts.
      7. Tracez la parabole.
    • Valeurs minimales ou maximales d'une équation quadratique
      • La coordonnée y du sommet du graphe d'une équation quadratique est la
      • valeur minimale de l'équation quadratique si la parabole s'ouvre vers le haut.
      • valeur maximale de l'équation quadratique si la parabole s'ouvre vers le bas.

    Lexique

    axe de symétrie
    L'axe de symétrie est la ligne verticale passant par le milieu de la parabole\(y=ax^2+bx+c\).
    parabole
    Le graphique d'une équation quadratique à deux variables est une parabole.
    équation quadratique à deux variables
    Une équation quadratique à deux variables, où a, b et c sont des nombres réels et\(a \ge 0\) est une équation de la forme\(y=ax^2+bx+c\).
    sommet
    Le point de la parabole situé sur l'axe de symétrie est appelé sommet de la parabole ; il s'agit du point le plus bas ou le plus haut de la parabole, selon que la parabole s'ouvre vers le haut ou vers le bas.
    x -interceptions d'une parabole
    Les x -intercepts sont les points de la parabole où\(y=0\).
    y -interception d'une parabole
    L'intersection y est le point de la parabole où\(x=0\).