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Chapitre 12 Exercices de révision

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    Des séquences

    Exercice\(\PageIndex{1}\) Write the First Few Terms of a Sequence

    Dans les exercices suivants, écrivez les cinq premiers termes de la séquence dont le terme général est donné.

    1. \(a_{n}=7 n-5\)
    2. \(a_{n}=3^{n}+4\)
    3. \(a_{n}=2^{n}+n\)
    4. \(a_{n}=\frac{2 n+1}{4^{n}}\)
    5. \(a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\)
    Réponse

    2. \(7,13,31,85,247\)

    4. \(\frac{3}{4}, \frac{5}{16}, \frac{7}{64}, \frac{9}{256}, \frac{11}{1024}\)

    Exercice\(\PageIndex{2}\) Find a Formula for the General Term (\(n\)th Term of a Sequence

    Dans les exercices suivants, trouvez un terme général pour la séquence dont les cinq premiers termes sont affichés.

    1. \(9,18,27,36,45, \dots\)
    2. \(-5,-4,-3,-2,-1, \dots\)
    3. \(\frac{1}{e^{3}}, \frac{1}{e^{2}}, \frac{1}{e}, 1, e, \ldots\)
    4. \(1,-8,27,-64,125, \ldots\)
    5. \(-\frac{1}{3},-\frac{1}{2},-\frac{3}{5},-\frac{2}{3},-\frac{5}{7}, \dots\)
    Réponse

    1. \(a_{n}=9 n\)

    3. \(a_{n}=e^{n-4}\)

    5. \(a_{n}=-\frac{n}{n+2}\)

    Exercice\(\PageIndex{3}\) Use Factorial Notation

    Dans les exercices suivants, à l'aide de la notation factorielle, écrivez les cinq premiers termes de la séquence dont le terme général est donné.

    1. \(a_{n}=4 n !\)
    2. \(a_{n}=\frac{n !}{(n+2) !}\)
    3. \(a_{n}=\frac{(n-1) !}{(n+1)^{2}}\)
    Réponse

    2. \(\frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \frac{1}{30}, \frac{1}{42}\)

    Exercice\(\PageIndex{4}\) Find the Partial Sum

    Dans les exercices suivants, développez la somme partielle et déterminez sa valeur.

    1. \(\sum_{i=1}^{7}(2 i-5)\)
    2. \(\sum_{i=1}^{3} 5^{i}\)
    3. \(\sum_{k=0}^{4} \frac{4}{k !}\)
    4. \(\sum_{k=1}^{4}(k+1)(2 k+1)\)
    Réponse

    1. \(\begin{array}{l}{-3+(-1)+1+3+5} {+7+9=21}\end{array}\)

    3. \(4+4+2+\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{65}{6}\)

    Exercice\(\PageIndex{5}\) Use Summation Notation to Write a Sum

    Dans les exercices suivants, écrivez chaque somme en utilisant la notation de sommation.

    1. \(-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\frac{1}{81}-\frac{1}{243}\)
    2. \(4-8+12-16+20-24\)
    3. \(4+2+\frac{4}{3}+1+\frac{4}{5}\)
    Réponse

    1. \(\sum_{n=1}^{5}(-1)^{n} \frac{1}{3^{n}}\)

    3. \(\sum_{n=1}^{5} \frac{4}{n}\)

    Des séquences arithmétiques

    Exercice\(\PageIndex{6}\) Determine if a Sequence is Arithmetic

    Dans les exercices suivants, déterminez si chaque séquence est arithmétique et, dans l'affirmative, indiquez la différence commune.

    1. \(1,2,4,8,16,32, \dots\)
    2. \(-7,-1,5,11,17,23, \dots\)
    3. \(13,9,5,1,-3,-7, \dots\)
    Réponse

    2. La séquence est arithmétique avec des différences communes\(d=6\).

    Exercice\(\PageIndex{7}\) Determine if a Sequence is Arithmetic

    Dans les exercices suivants, écrivez les cinq premiers termes de chaque séquence arithmétique avec le premier terme donné et la différence commune.

    1. \(a_{1}=5\)et\(d=3\)
    2. \(a_{1}=8\)et\(d=-2\)
    3. \(a_{1}=-13\)et\(d=6\)
    Réponse

    1. \(5,8,11,14,17\)

    3. \(-13,-7,-1,5,11\)

    Exercice\(\PageIndex{8}\) Find the General Term (\(n\)th Term) of an Arithmetic Sequence

    Dans les exercices suivants, trouvez le terme décrit à l'aide des informations fournies.

    1. Déterminez le vingt-cinquième terme d'une séquence où le premier terme est cinq et la différence commune est trois.
    2. Détermine le trentième terme d'une séquence où le premier terme est\(16\) et la différence commune est\(−5\).
    3. Détermine le dix-septième terme d'une séquence où le premier terme est\(−21\) et où la différence commune est deux.
    Réponse

    2. \(-129\)

    Exercice\(\PageIndex{9}\) Find the General Term (\(n\)th Term) of an Arithmetic Sequence

    Dans les exercices suivants, trouvez le terme indiqué et donnez la formule du terme général.

    1. Déterminez le dix-huitième terme d'une séquence où le cinquième terme est\(12\) et la différence commune est sept.
    2. Trouvez le vingt et unième terme d'une séquence où le septième terme est\(14\) et la différence commune est\(−3\).
    Réponse

    1. \(a_{18}=103 .\)Le terme général est\(a_{n}=7 n-23\).

    Exercice\(\PageIndex{10}\) Find the General Term (\(n\)th Term) of an Arithmetic Sequence

    Dans les exercices suivants, trouvez le premier terme et la différence commune entre la séquence et les termes donnés. Donnez la formule du terme général.

    1. Le cinquième terme est\(17\) et le quatorzième terme est\(53\).
    2. Le troisième terme est\(−26\) et le seizième terme est\(−91\).
    Réponse

    1. \(a_{1}=1, d=4 .\)Le terme général est\(a_{n}=4 n-3\).

    Exercice\(\PageIndex{11}\) Find the Sum of the First \(n\) Terms of an Arithmetic Sequence

    Dans les exercices suivants, trouvez la somme des premiers\(30\) termes de chaque séquence arithmétique.

    1. \(7,4,1,-2,-5, \dots\)
    2. \(1,6,11,16,21, \ldots\)
    Réponse

    1. \(-430\)

    Exercice\(\PageIndex{12}\) Find the Sum of the First \(n\) Terms of an Arithmetic Sequence

    Dans les exercices suivants, trouvez la somme des quinze premiers termes de la séquence arithmétique dont le terme général est donné.

    1. \(a_{n}=4 n+7\)
    2. \(a_{n}=-2 n+19\)
    Réponse

    1. \(585\)

    Exercice\(\PageIndex{13}\) Find the Sum of the First \(n\) Terms of an Arithmetic Sequence

    Dans les exercices suivants, trouvez chaque somme.

    1. \(\sum_{i=1}^{50}(4 i-5)\)
    2. \(\sum_{i=1}^{30}(-3 i-7)\)
    3. \(\sum_{i=1}^{35}(i+10)\)
    Réponse

    1. \(4850\)

    3. \(980\)

    Séquences et séries géométriques

    Exercice\(\PageIndex{14}\) Determine if a Sequence is Geometric

    Dans les exercices suivants, déterminez si la séquence est géométrique et, dans l'affirmative, indiquez le ratio commun.

    1. \(3,12,48,192,768,3072, \dots\)
    2. \(5,10,15,20,25,30, \dots\)
    3. \(112,56,28,14,7, \frac{7}{2}, \ldots\)
    4. \(9,-18,36,-72,144,-288, \dots\)
    Réponse

    2. La séquence n'est pas géométrique.

    4. La séquence est géométrique avec un ratio commun\(r=−2\).

    Exercice\(\PageIndex{15}\) Determine if a Sequence is Geometric

    Dans les exercices suivants, écrivez les cinq premiers termes de chaque séquence géométrique avec le premier terme donné et le ratio commun.

    1. \(a_{1}=-3\)et\(r=5\)
    2. \(a_{1}=128\)et\(r=\frac{1}{4}\)
    3. \(a_{1}=5\)et\(r=-3\)
    Réponse

    2. \(128,32,8,2, \frac{1}{2}\)

    Exercice\(\PageIndex{16}\) Find the General Term (\(n\)th Term) of a Geometric Sequence

    Dans les exercices suivants, trouvez le terme indiqué d'une séquence où le premier terme et le ratio commun sont donnés.

    1. Trouver\(a_{9}\) donné\(a_{1}=6\) et\(r=2\)
    2. Trouver\(a_{11}\) donné\(a_{1}=10,000,000\) et\(r=0.1\)
    Réponse

    1. \(1,536\)

    Exercice\(\PageIndex{17}\) Find the General Term (\(n\)th Term) of a Geometric Sequence

    Dans les exercices suivants, trouvez le terme indiqué de la séquence donnée. Trouvez le terme général de la séquence.

    1. Recherche\(a_{12}\) de la séquence,\(6,-24,96,-384,1536,-6144, \dots\)
    2. Recherche\(a_{9}\) de la séquence,\(4374,1458,486,162,54,18, \ldots\)
    Réponse

    1. \(a_{12}=-25,165,824 .\)Le terme général est\(a_{n}=6(-4)^{n-1}\)

    Exercice\(\PageIndex{18}\) Find the Sum of the First \(n\) terms of a Geometric Sequence

    Dans les exercices suivants, trouvez la somme des quinze premiers termes de chaque séquence géométrique.

    1. \(-4,8,-16,32,-64,128 \ldots\)
    2. \(3,12,48,192,768,3072 \ldots\)
    3. \(3125,625,125,25,5,1 \ldots\)
    Réponse

    1. \(5,460\)

    3. \(\approx 3906.25\)

    Exercice\(\PageIndex{19}\) find the Sum of the First \(n\) terms of a Geometric Sequence

    Dans les exercices suivants, trouvez la somme

    1. \(\sum_{i=1}^{8} 7(3)^{i}\)
    2. \(\sum_{i=1}^{6} 24\left(\frac{1}{2}\right)^{i}\)
    Réponse

    2. \(\frac{189}{8}=23.625\)

    Exercice\(\PageIndex{20}\) Find the Sum of an Infinite Geometric Series

    Dans les exercices suivants, trouvez la somme de chaque série géométrique infinie.

    1. \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\frac{1}{81}-\frac{1}{243}+\frac{1}{729}-\dots\)
    2. \(49+7+1+\frac{1}{7}+\frac{1}{49}+\frac{1}{343}+\ldots\)
    Réponse

    2. \(\frac{343}{6} \approx 57.167\)

    Exercice\(\PageIndex{21}\) Find the Sum of an Infinite Geometric Series

    Dans les exercices suivants, écrivez chaque décimale répétée sous forme de fraction.

    1. \(0 . \overline{8}\)
    2. \(0 . \overline{36}\)
    Réponse

    2. \(\frac{4}{11}\)

    Exercice\(\PageIndex{22}\) Apply Geometric Sequences and Series in the Real World

    Dans les exercices suivants, résolvez le problème.

    1. Quel est l'effet total sur l'économie d'un remboursement d'impôt gouvernemental de dollars accordé\(360\) à chaque ménage afin de stimuler l'économie si chaque ménage consacre un\(60\) pourcentage de la réduction en biens et services ?
    2. Adam vient d'obtenir son premier emploi à temps plein après avoir terminé ses études secondaires à l'âge de 17 ans. Il a décidé d'investir $\(300\) par mois dans un IRA (une rente). L'intérêt sur la rente est de\(7\) %, composé mensuellement. Quel sera le montant sur le compte d'Adam lorsqu'il prendra sa retraite le jour de son soixante-septième anniversaire ?
    Réponse

    2. \(\$ 1,634,421.27\)

    Théorème binomial

    Exercice\(\PageIndex{23}\) Use Pascal's Triangle to Expand a Binomial

    Dans les exercices suivants, développez chaque binôme à l'aide du Triangle de Pascal.

    1. \((a+b)^{7}\)
    2. \((x-y)^{4}\)
    3. \((x+6)^{3}\)
    4. \((2 y-3)^{5}\)
    5. \((7 x+2 y)^{3}\)
    Réponse

    2. \(x^{4}-4 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}-4 x y^{3}+y^{4}\)

    4. \(\begin{array}{l}{32 y^{5}-240 y^{4}+720 y^{3}-1080 y^{2}} {+810 y-243}\end{array}\)

    Exercice\(\PageIndex{24}\) Evaluate a Binomial Coefficient

    Dans les exercices suivants, évaluez.

      1. \(\left( \begin{array}{l}{11} \\ {1}\end{array}\right)\)
      2. \(\left( \begin{array}{l}{12} \\ {12}\end{array}\right)\)
      3. \(\left( \begin{array}{l}{13} \\ {0}\end{array}\right)\)
      4. \(\left( \begin{array}{l}{8} \\ {3}\end{array}\right)\)
      1. \(\left( \begin{array}{l}{7} \\ {1}\end{array}\right)\)
      2. \(\left( \begin{array}{l}{5} \\ {5}\end{array}\right)\)
      3. \(\left( \begin{array}{l}{9} \\ {0}\end{array}\right)\)
      4. \(\left( \begin{array}{l}{9} \\ {5}\end{array}\right)\)
      1. \(\left( \begin{array}{l}{1} \\ {1}\end{array}\right)\)
      2. \(\left( \begin{array}{l}{15} \\ {15}\end{array}\right)\)
      3. \(\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)\)
      4. \(\left( \begin{array}{l}{11} \\ {2}\end{array}\right)\)
    Réponse

    1.

    1. \(11\)
    2. \(1\)
    3. \(1\)
    4. \(56\)

    3.

    1. \(1\)
    2. \(1\)
    3. \(1\)
    4. \(55\)
    Exercice\(\PageIndex{25}\) Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial

    Dans les exercices suivants, développez chaque binôme à l'aide du théorème binomial.

    1. \((p+q)^{6}\)
    2. \((t-1)^{9}\)
    3. \((2 x+1)^{4}\)
    4. \((4 x+3 y)^{4}\)
    5. \((x-3 y)^{5}\)
    Réponse

    2. \(\begin{array}{l}{t^{9}-9 t^{8}+36 t^{7}-84 t^{6}+126 t^{5}} {-126 t^{4}+84 t^{3}-36 t^{2}+9 t-1}\end{array}\)

    4. \(\begin{array}{l}{256 x^{4}+768 x^{3} y+864 x^{2} y^{2}} {+432 x y^{3}+81 y^{4}}\end{array}\)

    Exercice\(\PageIndex{26}\) Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial

    Dans les exercices suivants, trouvez le terme indiqué dans l'expansion du binôme.

    1. Septième mandat de\((a+b)^{9}\)
    2. Troisième mandat de\((x-y)^{7}\)
    Réponse

    1. \(84a^{6} b^{3}\)

    Exercice\(\PageIndex{27}\) Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial

    Dans les exercices suivants, trouvez le coefficient du terme indiqué dans l'expansion du binôme.

    1. \(y^{4}\)durée de\((y+3)^{6}\)
    2. \(x^{5}\)durée de\((x-2)^{8}\)
    3. \(a^{3} b^{4}\)durée de\((2 a+b)^{7}\)
    Réponse

    1. \(135\)

    3. \(280\)

    Test d'entraînement

    Exercice\(\PageIndex{28}\)

    Dans les exercices suivants, écrivez les cinq premiers termes de la séquence dont le terme général est donné.

    1. \(a_{n}=\frac{5 n-3}{3^{n}}\)
    2. \(a_{n}=\frac{(n+2) !}{(n+3) !}\)
    3. Trouvez un terme général pour la séquence,\(-\frac{2}{3},-\frac{4}{5},-\frac{6}{7},-\frac{8}{9},-\frac{10}{11}, \dots\)
    4. Développez la somme partielle et trouvez sa valeur. \(\sum_{i=1}^{4}(-4)^{i}\)
    5. Écrivez ce qui suit en utilisant la notation de sommation. \(-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}+\frac{1}{16}-\frac{1}{25}\)
    6. Écrivez les cinq premiers termes de la séquence arithmétique avec le premier terme donné et la différence commune. \(a_{1}=-13\)et\(d=3\)
    7. Détermine le vingtième terme d'une suite arithmétique où le premier terme est deux et la différence commune est\(−7\).
    8. Détermine le vingt-troisième terme d'une suite arithmétique dont le septième terme est\(11\) et la différence commune est trois. Trouvez ensuite une formule pour le terme général.
    9. Détermine le premier terme et la différence commune d'une suite arithmétique dont le neuvième terme est\(−1\) et le seizième terme est\(−15\). Trouvez ensuite une formule pour le terme général.
    10. Trouve la somme des premiers\(25\) termes de la suite arithmétique,\(5,9,13,17,21, \dots\)
    11. Détermine la somme des premiers\(50\) termes de la suite arithmétique dont le terme général est\(a_{n}=-3 n+100\).
    12. Trouve la somme. \(\sum_{i=1}^{40}(5 i-21)\)
    Réponse

    2. \(\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}\)

    4. \(-4+16-64+256=204\)

    6. \(-13,-10,-7,-4,-1\)

    8. \(a_{23}=59 .\)Le terme général est\(a_{n}=3 n-10\).

    10. \(1,325\)

    12. \(3,260\)

    Exercice\(\PageIndex{29}\)

    Dans les exercices suivants, déterminez si la séquence est arithmétique, géométrique ou aucune des deux. Si vous êtes arithmétique, trouvez la différence commune. S'il est géométrique, trouvez le ratio commun.

    1. \(14,3,-8,-19,-30,-41, \ldots\)
    2. \(324,108,36,12,4, \frac{4}{3}, \ldots\)
    3. Écrivez les cinq premiers termes de la séquence géométrique avec le premier terme donné et le ratio commun. \(a_{1}=6\)et\(r=−2\).
    4. Dans la séquence géométrique dont le premier terme et le rapport commun sont\(a_{1}=5\) et\(r=4\), trouvez\(a_{11}\).
    5. Trouvez\(a_{10}\) la séquence géométrique,\(1250,250,50,10,2, \frac{2}{5}, \ldots\) puis trouvez une
      formule pour le terme général.
    6. Trouvez la somme des treize premiers termes de la séquence géométrique,\(2,-6,18,-54,162,-486 \ldots\)
    Réponse

    2. La séquence est géométrique avec un ratio commun\(r=\frac{1}{3}\).

    4. \(5,242,880\)

    6. \(797,162\)

    Exercice\(\PageIndex{30}\)

    Dans les exercices suivants, trouvez la somme.

    1. \(\sum_{i=1}^{9} 5(2)^{i}\)
    2. \(1-\frac{1}{5}+\frac{1}{25}-\frac{1}{125}+\frac{1}{625}-\frac{1}{3125}+\dots\)
    3. Écrivez la décimale répétée sous forme de fraction. \(0 . \overline{81}\)
    4. Dave vient d'obtenir son premier emploi à temps plein après avoir terminé ses études secondaires à 18 ans. Il a décidé d'investir $\(450\) par mois dans un IRA (une rente). L'intérêt sur la rente est de\(6\) %, composé mensuellement. Quel sera le montant sur le compte d'Adam lorsqu'il prendra sa retraite le jour de son soixante-cinquième anniversaire ?
    5. Développez le binôme à l'aide du triangle de Pascal. \((m-2 n)^{5}\)
    6. Évaluez chaque coefficient binomial.
      1. \(\left( \begin{array}{l}{8} \\ {1}\end{array}\right)\)
      2. \(\left( \begin{array}{l}{16} \\ {16}\end{array}\right)\)
      3. \(\left( \begin{array}{l}{12} \\ {0}\end{array}\right)\)
      4. \(\left( \begin{array}{l}{10} \\ {6}\end{array}\right)\)
    7. Développez le binôme à l'aide du théorème binomial. \((4 x+5 y)^{3}\)
    Réponse

    2. \(\frac{5}{6}\)

    4. \(\$ 1,409,344.19\)

    6.

    1. \(8\)
    2. \(1\)
    3. \(1\)
    4. \(210\)