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12.5E : Exercices

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    La pratique rend la perfection

    Exercice\(\PageIndex{19}\) Use Pascal's Triangle to Expand a Binomial

    Dans les exercices suivants, développez chaque binôme à l'aide du Triangle de Pascal.

    1. \((x+y)^{4}\)
    2. \((a+b)^{8}\)
    3. \((m+n)^{10}\)
    4. \((p+q)^{9}\)
    5. \((x-y)^{5}\)
    6. \((a-b)^{6}\)
    7. \((x+4)^{4}\)
    8. \((x+5)^{3}\)
    9. \((y+2)^{5}\)
    10. \((y+1)^{7}\)
    11. \((z-3)^{5}\)
    12. \((z-2)^{6}\)
    13. \((4x-1)^{3}\)
    14. \((3x-1)^{5}\)
    15. \((3 x-4)^{4}\)
    16. \((3 x-5)^{3}\)
    17. \((2 x+3 y)^{3}\)
    18. \((3 x+5 y)^{3}\)
    Réponse

    2. \(\begin{array}{l}{a^{8}+8 a^{7} b+28 a^{6} b^{2}+56 a^{5} b^{3}} {+70 a^{4} b^{4}+56 a^{3} b^{5}+28 a^{2} b^{6}} {+8 a b^{7}+b^{8}}\end{array}\)

    4. \(\begin{array}{l}{p^{9}+9 p^{8} q+36 p^{7} q^{2}+84 p^{6} q^{3}} {+126 p^{5} q^{4}+126 p^{4} q^{5}+84 p^{3} q^{6}} {+36 p^{2} q^{7}+9 p q^{8}+q^{9}}\end{array}\)

    6. \(\begin{array}{l}{a^{6}-6 a^{5} b+15 a^{4} b^{2}-20 a^{3} b^{3}} {+15 a^{2} b^{4}-6 a b^{5}+b^{6}}\end{array}\)

    8. \(x^{3}+15 x^{2}+75 x+125\)

    10. \(\begin{array}{l}{y^{7}+7 y^{6}+21 y^{5}+35 y^{4}+35 y^{3}} {+21 y^{2}+7 y+1}\end{array}\)

    12. \(\begin{array}{l}{z^{6}-12 z^{5}+60 z^{4}-160 z^{3}+240 z^{2}} \\ {-192 z+64}\end{array}\)

    14. \(\begin{array}{l}{243 x^{5}-405 x^{4}+270 x^{3}-90 x^{2}} {+15 x-1}\end{array}\)

    16. \(27 x^{3}-135 x^{2}+225 x-125\)

    18. \(27 x^{3}+135 x^{2} y+225 x y^{2}+125 y^{3}\)

    Exercice\(\PageIndex{20}\) Evaluate a Binomial Coefficient
      1. \(\left( \begin{array}{l}{8} \\ {1}\end{array}\right)\)
      2. \(\left( \begin{array}{l}{10} \\ {10}\end{array}\right)\)
      3. \(\left( \begin{array}{l}{6} \\ {0}\end{array}\right)\)
      4. \(\left( \begin{array}{l}{9} \\ {3}\end{array}\right)\)
      1. \(\left( \begin{array}{l}{7} \\ {1}\end{array}\right)\)
      2. \(\left( \begin{array}{l}{4} \\ {4}\end{array}\right)\)
      3. \(\left( \begin{array}{l}{3} \\ {0}\end{array}\right)\)
      4. \(\left( \begin{array}{l}{5} \\ {3}\end{array}\right)\)
      1. \(\left( \begin{array}{l}{3} \\ {1}\end{array}\right)\)
      2. \(\left( \begin{array}{l}{9} \\ {9}\end{array}\right)\)
      3. \(\left( \begin{array}{l}{7} \\ {0}\end{array}\right)\)
      4. \(\left( \begin{array}{l}{5} \\ {3}\end{array}\right)\)
      1. \(\left( \begin{array}{l}{4} \\ {1}\end{array}\right)\)
      2. \(\left( \begin{array}{l}{5} \\ {5}\end{array}\right)\)
      3. \(\left( \begin{array}{l}{8} \\ {0}\end{array}\right)\)
      4. \(\left( \begin{array}{l}{11} \\ {9}\end{array}\right)\)
    Réponse

    2.

    1. \(7\)
    2. \(1\)
    3. \(1\)
    4. \(45\)

    4.

    1. \(4\)
    2. \(1\)
    3. \(1\)
    4. \(55\)
    Exercice\(\PageIndex{21}\) Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial

    Dans les exercices suivants, développez chaque binôme.

    1. \((x+y)^{3}\)
    2. \((m+n)^{5}\)
    3. \((a+b)^{6}\)
    4. \((s+t)^{7}\)
    5. \((x-2)^{4}\)
    6. \((y-3)^{4}\)
    7. \((p-1)^{5}\)
    8. \((q-4)^{3}\)
    9. \((3x-y)^{5}\)
    10. \((5x-2y)^{4}\)
    11. \((2x+5y)^{4}\)
    12. \((3x+4y)^{5}\)
    Réponse

    2. \(\begin{array}{l}{m^{5}+5 m^{4} n+10 m^{3} n^{2}+10 m^{2} n^{3}} {+5 m n^{4}+n^{5}}\end{array}\)

    4. \(\begin{array}{l}{s^{7}+7 s^{6} t+21 s^{5} t^{2}+35 s^{4} t^{3}} {+35 s^{3} t^{4}+21 s^{2} t^{5}+7 s t^{6}+t^{7}}\end{array}\)

    6. \(y^{4}-12 y^{3}+54 y^{2}-108 y+81\)

    8. \(q^{3}-12 q^{2}+48 q-64\)

    10. \(\begin{array}{l}{625 x^{4}-1000 x^{3} y+600 x^{2} y^{2}} {-160 x y^{3}+16 y^{4}}\end{array}\)

    12. \(\begin{array}{l}{243 x^{5}+1620 x^{4} y+4320 x^{3} y^{2}} {+5760 x^{2} y^{3}+3840 x y^{4}+1024 y^{5}}\end{array}\)

    Exercice\(\PageIndex{22}\) Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial

    Dans les exercices suivants, trouvez le terme indiqué dans l'expansion du binôme.

    1. Sixième mandat de\((x+y)^{10}\)
    2. Cinquième mandat de\((a+b)^{9}\)
    3. Quatrième mandat de\((x-y)^{8}\)
    4. Septième mandat de\((x-y)^{11}\)
    Réponse

    2. \(126a^{5} b^{4}\)

    4. \(462x^{5} y^{6}\)

    Exercice\(\PageIndex{23}\) Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial

    Dans les exercices suivants, trouvez le coefficient du terme indiqué dans l'expansion du binôme.

    1. \(y^{3}\)durée de\((y+5)^{4}\)
    2. \(x^{6}\)durée de\((x+2)^{8}\)
    3. \(x^{5}\)durée de\((x-4)^{6}\)
    4. \(x^{7}\)durée de\((x-3)^{9}\)
    5. \(a^{4} b^{2}\)durée de\((2 a+b)^{6}\)
    6. \(p^{5} q^{4}\)durée de\((3 p+q)^{9}\)
    Réponse

    2. \(112\)

    4. \(324\)

    6. \(30,618\)

    Exercice\(\PageIndex{24}\) Writing Exercises
    1. Dans vos propres mots, expliquez comment trouver les lignes du triangle de Pascal. Écrivez les cinq premières lignes du Triangle de Pascal.
    2. Dans vos propres termes, expliquez le schéma des exposants pour chaque variable dans l'expansion de.
    3. Dans vos propres mots, expliquez la différence entre\((a+b)^{n}\) et\((a-b)^{n}\).
    4. Dans vos propres mots, expliquez comment trouver un terme spécifique dans l'expansion d'un binôme sans développer l'ensemble. Utilisez un exemple pour expliquer.
    Réponse

    2. Les réponses peuvent varier

    4. Les réponses peuvent varier

    Auto-vérification

    a. Une fois les exercices terminés, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

    Cette figure montre un tableau composé de quatre lignes et de quatre colonnes. La première ligne est la ligne d'en-tête et se lit comme suit. « Je peux », « En toute confiance », « Avec de l'aide » et « Non, je ne comprends pas ». La première colonne, qui commence à la deuxième rangée, se lit comme suit : « Utiliser le triangle de Pascal pour développer un binôme », « Évaluer un coefficient binomial » et « Utiliser le théorème binomial pour développer un binôme ». Les colonnes restantes sont vides.
    Graphique 12.4.31

    b. Sur une échelle de 1 à 10, comment évalueriez-vous votre maîtrise de cette section à la lumière de vos réponses à la liste de contrôle ? Comment pouvez-vous améliorer cela ?