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12.4E : Exercices

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    La pratique rend la perfection

    Exercice\(\PageIndex{21}\) Determine if a Sequence is Geometric

    Dans les exercices suivants, déterminez si la séquence est géométrique et, dans l'affirmative, indiquez le ratio commun.

    1. \(3,12,48,192,768,3072, \dots\)
    2. \(2,10,50,250,1250,6250, \dots\)
    3. \(48,24,12,6,3, \frac{3}{2}, \dots\)
    4. \(54,18,6,2, \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, \dots\)
    5. \(-3,6,-12,24,-48,96, \dots\)
    6. \(2,-6,18,-54,162,-486, \dots\)
    Réponse

    1. La séquence est géométrique avec un ratio commun\(r=4\).

    3. La séquence est géométrique avec un ratio commun\(r=\frac{1}{2}\).

    5. La séquence est géométrique avec un ratio commun\(r=−2\).

    Exercice\(\PageIndex{22}\) Determine if a Sequence is Geometric

    Dans les exercices suivants, déterminez si chaque séquence est arithmétique, géométrique ou aucune des deux. Si vous êtes arithmétique, indiquez la différence commune. Si elle est géométrique, indiquez le ratio commun.

    1. \(48,24,12,6,3, \frac{3}{2}, \ldots\)
    2. \(12,6,0,-6,-12,-18, \dots\)
    3. \(-7,-2,3,8,13,18, \dots\)
    4. \(5,9,13,17,21,25, \ldots\)
    5. \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \dots\)
    6. \(4,8,12,24,48,96, \dots\)
    Réponse

    1. La séquence est géométrique avec un ratio commun\(r=\frac{1}{2}\).

    3. La séquence est arithmétique avec des différences communes\(d=5\).

    5. La séquence est géométrique avec un ratio commun\(r=\frac{1}{2}\).

    Exercice\(\PageIndex{23}\) Determine if a Sequence is Geometric

    Dans les exercices suivants, écrivez les cinq premiers termes de chaque séquence géométrique avec le premier terme donné et le ratio commun.

    1. \(a_{1}=4\)et\(r=3\)
    2. \(a_{1}=9\)et\(r=2\)
    3. \(a_{1}=-4\)et\(r=-2\)
    4. \(a_{1}=-5\)et\(r=-3\)
    5. \(a_{1}=27\)et\(r=\frac{1}{3}\)
    6. \(a_{1}=64\)et\(r=\frac{1}{4}\)
    Réponse

    1. \(4,12,36,108,324\)

    3. \(-4,8,-16,32,-64\)

    5. \(27,9,3,1, \frac{1}{3}\)

    Exercice\(\PageIndex{24}\) Find the General Term (\(n\)th Term) of a Geometric Sequence
    1. Trouver\(a_{11}\) donné\(a_{1}=8\) et\(r=3\).
    2. Trouver\(a_{13}\) donné\(a_{1}=7\) et\(r=2\).
    3. Trouver\(a_{10}\) donné\(a_{1}=-6\) et\(r=-2\).
    4. Trouver\(a_{15}\) donné\(a_{1}=-4\) et\(r=-3\).
    5. Trouver\(a_{10}\) donné\(a_{1}=100,000\) et\(r=0.1\).
    6. Trouver\(a_{8}\) donné\(a_{1}=1,000,000\) et\(r=0.01\).
    Réponse

    1. \(472,392\)

    3. \(3,072\)

    5. \(0.0001\)

    Exercice\(\PageIndex{25}\) Find the General Term (\(n\)th Term) of a Geometric Sequence

    Dans les exercices suivants, trouvez le terme indiqué de la séquence donnée. Trouvez le terme général pour la séquence.

    1. Recherche\(a_{9}\) de la séquence,\(9,18,36,72,144,288, \dots\)
    2. Recherche\(a_{12}\) de la séquence,\(5,15,45,135,405,1215, \dots\)
    3. Recherche\(a_{15}\) de la séquence,\(-486,162,-54,18,-6,2, \dots\)
    4. Recherche\(a_{16}\) de la séquence,\(224,-112,56,-28,14,-7, \ldots\)
    5. Recherche\(a_{10}\) de la séquence,\(1,0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001, \ldots\)
    6. Recherche\(a_{9}\) de la séquence,\(1000,100,10,1,0.1,0.01, \dots\)
    Réponse

    1. \(a_{9}=2,304 .\)Le terme général est\(a_{n}=9(2)^{n-1}\).

    3. \(a_{15}=-\frac{2}{19,683} .\)Le terme général est\(a_{n}=-486\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}\).

    5. \(a_{10}=0.000000001 .\)Le terme général est\(a_{n}=(0.1)^{n-1}\).

    Exercice\(\PageIndex{26}\) Find the Sum of the First \(n\) terms of a Geometric Sequence

    Dans les exercices suivants, trouvez la somme des quinze premiers termes de chaque séquence géométrique.

    1. \(8,24,72,216,648,1944, \dots\)
    2. \(7,14,28,56,112,224, \dots\)
    3. \(-6,12,-24,48,-96,192, \dots\)
    4. \(-4,12,-36,108,-324,972, \ldots\)
    5. \(81,27,9,3,1, \frac{1}{3}, \ldots\)
    6. \(256,64,16,4,1, \frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \dots\)
    Réponse

    1. \(57,395,624\)

    3. \(-65,538\)

    5. \(\frac{7,174,453}{59,049} \approx 121.5\)

    Exercice\(\PageIndex{27}\) Find the Sum of the First \(n\) terms of a Geometric Sequence

    Dans les exercices suivants, trouvez la somme de la séquence géométrique.

    1. \(\sum_{i=1}^{15}(2)^{i}\)
    2. \(\sum_{i=1}^{10}(3)^{i}\)
    3. \(\sum_{i=1}^{9} 4(2)^{i}\)
    4. \(\sum_{i=1}^{8} 5(3)^{i}\)
    5. \(\sum_{i=1}^{10} 9\left(\frac{1}{3}\right)^{i}\)
    6. \(\sum_{i=1}^{15} 4\left(\frac{1}{2}\right)^{i}\)
    Réponse

    1. \(65,534\)

    3. \(4088\)

    5. \(\frac{29,524}{6561} \approx 4.5\)

    Exercice\(\PageIndex{28}\) Find the Sum of an Infinite Geometric Series

    Dans les exercices suivants, trouvez la somme de chaque série géométrique infinie.

    1. \(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\frac{1}{729}+\ldots\)
    2. \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\ldots\)
    3. \(6-2+\frac{2}{3}-\frac{2}{9}+\frac{2}{27}-\frac{2}{81}+\ldots\)
    4. \(-4+2-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\dots\)
    5. \(6+12+24+48+96+192+\dots\)
    6. \(5+15+45+135+405+1215+\ldots\)
    7. \(1,024+512+256+128+64+32+\ldots\)
    8. \(6,561+2187+729+243+81+27+\dots\)
    Réponse

    1. \(\frac{3}{2}\)

    3. \(\frac{9}{2}\)

    5. Aucune somme en tant que\(r≥1\)

    7. \ (2 048 \ (

    Exercice\(\PageIndex{29}\) Find the Sum of an Infinite Geometric Series

    Dans les exercices suivants, écrivez chaque décimale répétée sous forme de fraction.

    1. \(0 . \overline{3}\)
    2. \(0 . \overline{6}\)
    3. \(0 . \overline{7}\)
    4. \(0 . \overline{2}\)
    5. \(0 . \overline{45}\)
    6. \(0 . \overline{27}\)
    Réponse

    1. \(\frac{1}{3}\)

    3. \(\frac{7}{9}\)

    5. \(\frac{5}{11}\)

    Exercice\(\PageIndex{30}\) Apply Geometric Sequences and Series in the Real World

    Dans les exercices suivants, résolvez le problème.

    1. Déterminez l'effet total sur l'économie de chaque réduction d'impôt gouvernementale accordée à chaque ménage afin de stimuler l'économie si chaque ménage dépense le pourcentage indiqué de la réduction en biens et services.
    Réduction d'impôt pour chaque ménage Pourcentage dépensé en biens et services Effet total sur l'économie
    un $\(1,000\) \(85\)%  
    b. $\(1,000\) \(75\)%  
    c. $\(1,500\) \(90\)%  
    d. $\(1,500\) \(80\)%  
    Tableau 12.3.3

    2. Les nouveaux grands-parents décident d'investir $\(100\) par mois dans une rente pour leur petit-enfant. Le compte paiera un\(6\) % d'intérêt par an, composé mensuellement (\(12\)fois par an). Quel sera le montant sur le compte de l'enfant à son vingt et unième anniversaire ?

    3. Berenice vient de décrocher son premier emploi à temps plein après avoir obtenu son diplôme universitaire à l'âge adulte\(30\). Elle a décidé d'investir $\(500\) par trimestre dans un IRA (une rente). L'intérêt sur la rente est de\(7\) %, composé trimestriellement (\(4\)fois par an). Quel sera le montant sur le compte de Bérénice lorsqu'elle prendra sa retraite à l'âge adulte\(65\) ?

    4. Alice veut acheter une maison dans environ cinq ans. Elle dépose $\(500\) par mois dans une rente qui rapporte\(5\) % par an et qui est composée mensuellement (\(12\)fois par an). Combien aura Alice pour son acompte dans cinq ans ?

    5. Myra vient de décrocher son premier emploi à temps plein après avoir obtenu son diplôme universitaire. Elle a l'intention d'obtenir une maîtrise et de déposer\(2,500\) un dollar par an provenant de sa prime de fin d'année dans une rente. La rente est payée\(6.5\) en % par an et est composée chaque année. Combien aura-t-elle économisé en cinq ans pour poursuivre sa maîtrise ?

    Réponse

    1. a. $\(6666.67\) b. $\(4000\) c. $\(15,000\) d. $\(7500\)

    3. $\(295,581.88\)

    5. $\(14,234.10\)

    Exercice\(\PageIndex{31}\) Writing Exercises
    1. Dans vos propres termes, expliquez comment déterminer si une séquence est géométrique.
    2. Dans vos propres mots, expliquez comment trouver le terme général d'une séquence géométrique.
    3. Dans vos propres mots, expliquez la différence entre une séquence géométrique et une série géométrique.
    4. Dans vos propres termes, expliquez comment déterminer si une série géométrique infinie possède une somme et comment la trouver.
    Réponse

    2. Les réponses peuvent varier.

    4. Les réponses peuvent varier

    Auto-vérification

    Cette figure montre sept lignes et quatre colonnes. La première rangée est la ligne d'en-tête et se lit comme suit : « Je peux », « En toute confiance », « Avec de l'aide » et « Non, je ne comprends pas. La première colonne se lit comme suit : « Déterminez si une séquence est géométrique », « Trouvez le terme général (nième terme) d'une », « Séquence géométrique », « Trouvez la somme d'une série géométrique infinie », utilisez des séquences géométriques pour résoudre des applications ». Les colonnes restantes sont vides.
    Graphique 12.3.11
    1. Une fois les exercices terminés, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.
    2. Que vous apprend cette liste de contrôle sur votre maîtrise de cette section ? Quelles mesures allez-vous prendre pour vous améliorer ?