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12.2E : Exercices

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    La pratique rend la perfection

    Exercice\(\PageIndex{25}\) Write the First Few Terms of a Sequence

    Dans les exercices suivants, écrivez les cinq premiers termes de la séquence dont le terme général est donné.

    1. \(a_{n}=2 n-7\)
    2. \(a_{n}=5 n-1\)
    3. \(a_{n}=3 n+1\)
    4. \(a_{n}=4 n+2\)
    5. \(a_{n}=2^{n}+3\)
    6. \(a_{n}=3^{n}-1\)
    7. \(a_{n}=3^{n}-2 n\)
    8. \(a_{n}=2^{n}-3 n\)
    9. \(a_{n}=\frac{2^{n}}{n^{2}}\)
    10. \(a_{n}=\frac{3^{n}}{n^{3}}\)
    11. \(a_{n}=\frac{4 n-2}{2^{n}}\)
    12. \(a_{n}=\frac{3 n+3}{3^{n}}\)
    13. \(a_{n}=(-1)^{n} \cdot 2 n\)
    14. \(a_{n}=(-1)^{n} \cdot 3 n\)
    15. \(a_{n}=(-1)^{n+1} n^{2}\)
    16. \(a_{n}=(-1)^{n+1} n^{4}\)
    17. \(a_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}}\)
    18. \(a_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{2 n}\)
    Réponse

    1. \(-5,-3,-1,1,3\)

    3. \(4,7,10,13,16\)

    5. \(5,7,11,19,35\)

    7. \(1,5,21,73,233\)

    9. \(2,1, \frac{8}{9}, 1, \frac{32}{25}\)

    11. \(1, \frac{3}{2}, \frac{5}{4}, \frac{7}{8}, \frac{9}{16}\)

    13. \(-2,4,-6,8,-10\)

    15. \(1,-4,9,-16,25\)

    17. \(1,-\frac{1}{4}, \frac{1}{9},-\frac{1}{16}, \frac{1}{25}\)

    Exercice\(\PageIndex{26}\) Find a Formula for the General Term (\(n\)th Term) of a Sequence

    Dans les exercices suivants, trouvez un terme général pour la séquence dont les cinq premiers termes sont affichés.

    1. \(8,16,24,32,40, \dots\)
    2. \(7,14,21,28,35, \ldots\)
    3. \(6,7,8,9,10, \dots\)
    4. \(-3,-2,-1,0,1, \dots\)
    5. \(e^{3}, e^{4}, e^{5}, e^{6}, e^{7}, \ldots\)
    6. \(\frac{1}{e^{2}}, \frac{1}{e}, 1, e, e^{2}, \ldots\)
    7. \(-5,10,-15,20,-25, \dots\)
    8. \(-6,11,-16,21,-26, \dots\)
    9. \(-1,8,-27,64,-125, \dots\)
    10. \(2,-5,10,-17,26, \dots\)
    11. \(-2,4,-6,8,-10, \dots\)
    12. \(1,-3,5,-7,9, \dots\)
    13. \(\frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \frac{1}{64}, \frac{1}{256}, \frac{1}{1,024}, \dots\)
    14. \(\frac{1}{1}, \frac{1}{8}, \frac{1}{27}, \frac{1}{64}, \frac{1}{125}, \dots\)
    15. \(-\frac{1}{2},-\frac{2}{3},-\frac{3}{4},-\frac{4}{5},-\frac{5}{6}, \dots\)
    16. \(-2,-\frac{3}{2},-\frac{4}{3},-\frac{5}{4},-\frac{6}{5}, \dots\)
    17. \(-\frac{5}{2},-\frac{5}{4},-\frac{5}{8},-\frac{5}{16},-\frac{5}{32}, \dots\)
    18. \(4, \frac{1}{2}, \frac{4}{27}, \frac{4}{64}, \frac{4}{125}, \dots\)
    Réponse

    1. \(a_{n}=8 n\)

    3. \(a_{n}=n+5\)

    5. \(a_{n}=e^{n+2}\)

    7. \(a_{n}=(-1)^{n} 5 n\)

    9. \(a_{n}=(-1)^{n} n^{3}\)

    11. \(a_{n}=(-1)^{n} 2 n\)

    13. \(a_{n}=\frac{1}{4^{n}}\)

    15. \(a_{n}=-\frac{n}{n+1}\)

    17. \(-\frac{5}{2^{n}}\)

    Exercice\(\PageIndex{27}\) Use Factorial Notation

    Dans les exercices suivants, à l'aide de la notation factorielle, écrivez les cinq premiers termes de la séquence dont le terme général est donné.

    1. \(a_{n}=\frac{4}{n !}\)
    2. \(a_{n}=\frac{5}{n !}\)
    3. \(a_{n}=3 n !\)
    4. \(a_{n}=2 n !\)
    5. \(a_{n}=(2 n) !\)
    6. \(a_{n}=(3 n) !\)
    7. \(a_{n}=\frac{(n-1) !}{(n) !}\)
    8. \(a_{n}=\frac{n !}{(n+1) !}\)
    9. \(a_{n}=\frac{n !}{n^{2}}\)
    10. \(a_{n}=\frac{n^{2}}{n !}\)
    11. \(a_{n}=\frac{(n+1) !}{n^{2}}\)
    12. \(a_{n}=\frac{(n+1) !}{2 n}\)
    Réponse

    1. \(4,2, \frac{2}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{30}\)

    3. \(3,6,18,72,360\)

    5. \(2,24,720,40320,3628800\)

    7. \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}\)

    9. \(1, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{2}, \frac{24}{5}\)

    11. \(2, \frac{3}{2}, \frac{8}{3}, \frac{15}{2}, \frac{144}{5}\)

    Exercice\(\PageIndex{28}\) Find the Partial Sum

    Dans les exercices suivants, développez la somme partielle et déterminez sa valeur.

    1. \(\sum_{i=1}^{5} i^{2}\)
    2. \(\sum_{i=1}^{5} i^{3}\)
    3. \(\sum_{i=1}^{6}(2 i+3)\)
    4. \(\sum_{i=1}^{6}(3 i-2)\)
    5. \(\sum_{i=1}^{4} 2^{i}\)
    6. \(\sum_{i=1}^{4} 3^{i}\)
    7. \(\sum_{k=0}^{3} \frac{4}{k !}\)
    8. \(\sum_{k=0}^{4}-\frac{1}{k !}\)
    9. \(\sum_{k=1}^{5} k(k+1)\)
    10. \(\sum_{k=1}^{5} k(2 k-3)\)
    11. \(\sum_{n=1}^{5} \frac{n}{n+1}\)
    12. \(\sum_{n=1}^{4} \frac{n}{n+2}\)
    Réponse

    1. \(1+4+9+16+25=55\)

    3. \(5+7+9+11+13+15=60\)

    5. \(2+4+8+16=30\)

    7. \(\frac{4}{1}+\frac{4}{1}+\frac{4}{2}+\frac{4}{6}+\frac{32}{3}=10 \frac{2}{3}\)

    9. \(2+6+12+20+30=70\)

    11. \(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6}=\frac{71}{20}\)

    Exercice\(\PageIndex{29}\) Use Summation Notation to Write a Sum

    Dans les exercices suivants, écrivez chaque somme en utilisant la notation de sommation.

    1. \(\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}\)
    2. \(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}\)
    3. \(1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+\frac{1}{64}+\frac{1}{125}\)
    4. \(\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+\frac{1}{125}+\frac{1}{625}\)
    5. \(2+1+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+\frac{2}{5}\)
    6. \(3+\frac{3}{2}+1+\frac{3}{4}+\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\)
    7. \(3-6+9-12+15\)
    8. \(-5+10-15+20-25\)
    9. \(-2+4-6+8-10+\ldots+20\)
    10. \(1-3+5-7+9+\ldots+21\)
    11. \(14+16+18+20+22+24+26\)
    12. \(9+11+13+15+17+19+21\)
    Réponse

    1. \(\sum_{n=1}^{5} \frac{1}{3^{n}}\)

    3. \(\sum_{n=1}^{5} \frac{1}{n^{3}}\)

    5. \(\sum_{n=1}^{5} \frac{2}{n}\)

    7. \(\sum_{n=1}^{5}(-1)^{n+1} 3 n\)

    9. \(\sum_{n=1}^{10}(-1)^{n} 2 n\)

    11. \(\sum_{n=1}^{7}(2 n+12)\)

    Exercice\(\PageIndex{30}\) Writing Exercises
    1. Dans vos propres mots, expliquez comment écrire les termes d'une séquence lorsque vous connaissez la formule. Montrez un exemple pour illustrer votre explication.
    2. Quels termes de la séquence sont négatifs lorsque le\(n^{th}\) terme de la séquence l'est\(a_{n}=(-1)^{n}(n+2)\) ?
    3. Dans vos propres mots, expliquez ce que signifie\(n!\) Afficher quelques exemples pour illustrer votre explication.
    4. Expliquez ce que\(\sum_{k=1}^{12} 2 k\) signifie chaque partie de la notation.
    Réponse

    1. Les réponses peuvent varier.

    3. Les réponses peuvent varier.

    Auto-vérification

    a. Une fois les exercices terminés, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

    Cette figure montre un tableau composé de quatre colonnes et de six rangées. La première ligne est la ligne d'en-tête et indique pour chaque colonne « Je peux », « En toute confiance », « Avec de l'aide » et « Non, je ne comprends pas ! ». La première ligne de la deuxième colonne se lit comme suit : « Écrivez les premiers termes d'une séquence », la troisième ligne, la première colonne indique « Trouver une formule pour le nième terme d'une séquence », la quatrième ligne, la première colonne indique « Utiliser la notation factorielle, la cinquième ligne, la première colonne indique : Trouvez la somme partielle », et la dernière ligne, la première la colonne indique « Utiliser la notation de sommation pour écrire une somme ». Les trois colonnes et lignes restantes sont vides.
    Graphique 12.1.24

    b. Si la plupart de vos chèques étaient :

    ... en toute confiance. Félicitations ! Vous avez atteint les objectifs de cette section. Réfléchissez aux compétences d'étude que vous avez utilisées afin de pouvoir continuer à les utiliser. Qu'avez-vous fait pour avoir confiance en votre capacité à faire ces choses ? Soyez précis.

    ... avec de l'aide. Cela doit être abordé rapidement car les sujets que vous ne maîtrisez pas deviennent des nids-de-poule sur votre chemin vers le succès. En mathématiques, chaque sujet s'appuie sur des travaux antérieurs. Il est important de vous assurer d'avoir une base solide avant de passer à autre chose. À qui pouvez-vous demander de l'aide ? Vos camarades de classe et votre instructeur sont de bonnes ressources. Y a-t-il un endroit sur le campus où des professeurs de mathématiques sont disponibles ? Vos compétences d'étude peuvent-elles être améliorées ?

    ... non, je ne comprends pas ! Il s'agit d'un signe d'avertissement et vous ne devez pas l'ignorer. Vous devriez obtenir de l'aide immédiatement, sinon vous serez rapidement dépassé. Consultez votre instructeur dès que possible pour discuter de votre situation. Ensemble, vous pouvez élaborer un plan pour obtenir l'aide dont vous avez besoin.