11.4 : Ellipses

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

• Tracez une ellipse dont le centre se trouve à l'origine
• Trouvez l'équation d'une ellipse dont le centre est l'origine
• Tracez une ellipse dont le centre n'est pas à l'origine
• Résoudre une application avec des ellipses

Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.

1. Graphe$y=(x-1)^{2}-2$ utilisant des transformations.
   Si vous avez oublié ce problème, consultez l'exemple 9.57.
2. Complétez le carré :$x^{2}-8 x=8$.
   Si vous avez oublié ce problème, consultez l'exemple 9.12.
3. Écrivez sous forme standard. $y=2 x^{2}-12 x+14$
   Si vous avez oublié ce problème, consultez l'exemple 9.59.

Tracez une ellipse dont le centre est à l'origine

La prochaine section conique que nous allons examiner est une ellipse. Nous définissons une ellipse comme l'ensemble des points d'un plan où la somme des distances entre deux points fixes est constante. Chacun des points donnés est appelé foyer de l'ellipse.

Définition$\PageIndex{1}$

Une ellipse est constituée de tous les points d'un plan où la somme des distances entre deux points fixes est constante. Chacun des points fixes est appelé foyer de l'ellipse.

Graphique 11.3.1

Nous pouvons dessiner une ellipse en prenant une corde flexible d'une longueur fixe et en attachant les extrémités à deux punaises. Nous utilisons un stylo pour tendre la ficelle et la faire pivoter autour des deux punaises. La figure qui en résulte est une ellipse.

Graphique 11.3.2

Une ligne tracée à travers les foyers coupe l'ellipse en deux points. Chaque point est appelé sommet de l'ellipse. Le segment reliant les sommets est appelé axe principal. Le milieu du segment est appelé le centre de l'ellipse. Un segment perpendiculaire à l'axe principal qui passe par le centre et coupe l'ellipse en deux points est appelé axe secondaire.

Graphique 11.3.3

Nous avons mentionné précédemment que notre objectif est de relier la géométrie d'une conique à l'algèbre. Le fait de placer l'ellipse sur un système de coordonnées rectangulaires nous donne cette opportunité. Sur la figure, nous avons placé l'ellipse de manière à ce que$((−c,0),(c,0))$ les foyers soient sur l'$x$axe -et que le centre soit l'origine.

Graphique 11.3.4

La définition indique que la somme de la distance entre les foyers et un point$(x,y)$ est constante. $d_{1}+d_{2}$Il en va de même pour une constante que nous appellerons$2a$ ainsi$d_{1}+d_{2}=2 a$. Nous utiliserons la formule de distance pour nous amener à une formule algébrique pour une ellipse.

$d_{1} \quad+\quad \quad d_{2} \quad=\quad 2 a$

Utilisez la formule de distance pour trouver$d_{1},d_{2}$.

$\sqrt{(x-(-c))^{2}+(y-0)^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}=2 a$

Après avoir éliminé les radicaux et simplifié, on obtient :

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-c^{2}}=1$

Pour simplifier l'équation de l'ellipse, nous utilisons$a^{2}−c^{2}=b^{2}$. Ainsi, l'équation d'une ellipse centrée à l'origine sous forme standard est la suivante :

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Pour représenter graphiquement l'ellipse, il sera utile de connaître les interceptions. Nous trouverons les$x$ -intercepts et$y$ -intercepts en utilisant la formule.

$y$-intercepte

Laissez$x=0$.

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{0^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}} &=1 \\ \frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ y^{2} &=b^{2} \\ y &=\pm b \end{aligned}$

Les$y$ -intercepts sont$(0,b)$ et$(0, -b)$.

$x$-intercepte

Laissez$y=0$.

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{0^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} &=1 \\ x^{2} &=a^{2} \\ x &=\pm a \end{aligned}$

Les$x$ -intercepts sont$(a,0)$ et$(-a,0)$.

Définition$\PageIndex{2}$

Forme standard de l'équation : une ellipse avec un centre$(0,0)$

La forme standard de l'équation d'une ellipse avec centre$(0,​​0)$ est

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Les$x$ -intercepts sont$(a,0)$ et$(−a,0)$.

Les$y$ -intercepts sont$(0,b)$ et$(0,−b)$.

Graphique 11.3.5

Notez que lorsque l'axe principal est horizontal, la valeur de$a$ sera supérieure à la valeur de$b$ et lorsque l'axe principal est vertical, la valeur de$b$ sera supérieure à la valeur de$a$. Nous utiliserons ces informations pour tracer une ellipse centrée à l'origine.

Ellipse avec centre$(0,0)$

Tableau 11.3.1

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$	$a>b$	$b>a$
Axe principal	sur l'$x$axe.	sur l'$y$axe -
$x$-intercepte	$(-a, 0),(a, 0)$
$y$-intercepte	$(0,-b),(0, b)$

Exemple$\PageIndex{1}$

Graphique :$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$.

Solution :

Tableau 11.3.2

Étape 1. Écrivez l'équation sous forme standard.	Il se présente sous une forme standard.	$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$
Étape 2. Déterminez si l'axe principal est horizontal ou vertical.	Puisque$9>4$ et$9$ est dans le$y^{2}$ terme, l'axe principal est vertical.	L'axe principal est vertical.
Étape 3. Trouvez les extrémités de l'axe principal.	Les points de terminaison seront les$y$ -intercepts. Depuis$b^{2}=9$, alors$b=\pm 3$. Les points d'extrémité de l'axe principal sont$(0,3),(0,-3)$.	Les points d'extrémité de l'axe principal sont$(0,3),(0,-3)$.
Étape 4. Trouvez les extrémités de l'axe secondaire.	Les points de terminaison seront les$x$ -intercepts. Depuis$a^{2}=4$, alors$a=\pm 2$. Les points d'extrémité de l'axe principal sont$(2,0),(-2,0)$.	Les points d'extrémité de l'axe principal sont$(2,0),(-2,0)$.
Étape 5. Esquissez l'ellipse.

Exercice$\PageIndex{1}$

Graphique :$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1$.

Réponse

Graphique 11.3.7

Exercice$\PageIndex{2}$

Graphique :$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1$.

Réponse

Graphique 11.3.8

Nous résumons les étapes à titre de référence.

COMMENT REPRÉSENTER GRAPHIQUEMENT UNE ELLIPSE AVEC UN CENTRE$(0,0)$.

1. Écrivez l'équation sous forme standard.
2. Déterminez si l'axe principal est horizontal ou vertical.
3. Trouvez les extrémités de l'axe principal.
4. Trouvez les extrémités de l'axe secondaire
5. Esquissez l'ellipse.

Parfois, notre équation devra d'abord être mise sous forme standard.

Exemple$\PageIndex{2}$

Graphe$x^{2}+4 y^{2}=16$.

Solution :

Tableau 11.3.3

Nous reconnaissons qu'il s'agit de l'équation d'une ellipse puisque les$y$ termes$x$ et sont tous deux au carré et ont des coefficients différents.	$x^{2}+4 y^{2}=16$
Pour obtenir l'équation sous forme standard, divisez les deux côtés par de$16$ telle sorte que l'équation soit égale à$1$.	$\frac{x^{2}}{16}+\frac{4 y^{2}}{16}=\frac{16}{16}$
Simplifiez.	$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$
L'équation se présente sous forme standard. L'ellipse est centrée à l'origine.	Le centre est$(0,0)$.
Puisque$16>4$ et$16$ est dans le$x^{2}$ terme, l'axe principal est horizontal.
$a^{2}=16, a=\pm 4$ $b^{2}=4, \quad b=\pm 2$	Les sommets sont$(4,0),(−4,0)$. Les extrémités de l'axe secondaire sont $(0,2),(0,−2)$.
Esquissez la parabole.

Exercice$\PageIndex{3}$

Graphe$9 x^{2}+16 y^{2}=144$.

Réponse

Graphique 11.3.10

Exercice$\PageIndex{4}$

Graphe$16 x^{2}+25 y^{2}=400$.

Réponse

Graphique 11.3.11

Trouvez l'équation d'une ellipse dont le centre est à l'origine

Si on nous donne le graphe d'une ellipse, on peut trouver l'équation de l'ellipse.

Exemple$\PageIndex{3}$

Trouvez l'équation de l'ellipse affichée.

Graphique 11.3.12

Solution :

Nous reconnaissons qu'il s'agit d'une ellipse centrée à l'origine.

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Puisque l'axe principal est horizontal et que la distance entre le centre et le sommet l'est$4$, nous le savons$a=4$ et ainsi de suite$a^{2}=16$.

$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

L'axe secondaire est vertical et la distance entre le centre et l'ellipse est$3$, nous le savons$b=3$ et ainsi de suite$b^{2}=9$.

$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$

Exercice$\PageIndex{5}$

Trouvez l'équation de l'ellipse affichée.

Graphique 11.3.13

Réponse

$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{25}=1$

Exercice$\PageIndex{6}$

Trouvez l'équation de l'ellipse affichée.

Graphique 11.3.14

Réponse

$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$

Tracez une ellipse dont le centre n'est pas à l'origine

Les ellipses que nous avons examinées jusqu'à présent étaient toutes centrées à l'origine. Nous allons maintenant examiner les ellipses dont le centre est$(h,k)$.

L'équation est$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ et quand$a>b$, l'axe principal est horizontal, donc la distance entre le centre et le sommet est$a$. Lorsque$b>a$, l'axe principal est vertical, de sorte que la distance entre le centre et le sommet est de$b$.

Définition$\PageIndex{3}$

Forme standard de l'équation : une ellipse avec un centre$(h,k)$

La forme standard de l'équation d'une ellipse avec centre$(h,k)$ est

$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$

Lorsque$a>b$, l'axe principal est horizontal, de sorte que la distance entre le centre et le sommet est de$a$.

Lorsque$b>a$, l'axe principal est vertical, de sorte que la distance entre le centre et le sommet est de$b$.

Exemple$\PageIndex{4}$

Graphique :$\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1$.

Solution :

Tableau 11.3.4

L'équation est sous forme standard,$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$.	$\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1$
L'ellipse est centrée sur$(h,k)$.	Le centre est$(3,1)$.
Puisque$9>4$ et$9$ est dans le$x^{2}$ terme, l'axe principal est horizontal.
$a^{2}=9, a=\pm 3$ $b^{2}=4, b=\pm 2$	La distance entre le centre et les sommets est de$3$. La distance entre le centre et les extrémités du petit axe est de$2$.
Esquissez l'ellipse.

Exercice$\PageIndex{7}$

Graphique :$\frac{(x+3)^{2}}{4}+\frac{(y-5)^{2}}{16}=1$.

Réponse

Graphique 11.3.16

Exercice$\PageIndex{8}$

Graphique :$\frac{(x-1)^{2}}{25}+\frac{(y+3)^{2}}{16}=1$.

Réponse

Graphique 11.3.17

Si nous examinons les équations de$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ et$\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1$, nous voyons qu'il s'agit toutes deux d'ellipses avec$a=3$ et$b=2$. Ils auront donc la même taille et la même forme. Ils sont différents en ce sens qu'ils n'ont pas le même centre.

Graphique 11.3.18

Remarquez dans le graphique ci-dessus que nous aurions pu représenter graphiquement$\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1$ par traductions. Nous avons déplacé l'ellipse d'origine vers les$3$ unités de droite, puis l'$1$unité vers le haut.

Graphique 11.3.19

Dans l'exemple suivant, nous utiliserons la méthode de translation pour représenter graphiquement l'ellipse.

Exemple$\PageIndex{5}$

Graphe$\frac{(x+4)^{2}}{16}+\frac{(y-6)^{2}}{9}=1$ par traduction.

Solution :

Cette ellipse aura la même taille et la même forme$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$ que son centre$(0,0)$. Nous dessinons d'abord cette ellipse.

Tableau 11.3.5

Le centre est$(0,0)$.	Centre$(0,0)$
Depuis$16>9$, l'axe principal est horizontal.
$a^{2}=16, a=\pm 4$ $b^{2}=9, \quad b=\pm 3$	Les sommets sont$(4,0),(−4,0)$. Les extrémités de l'axe secondaire sont $(0,3),(0,−3)$.
Esquissez l'ellipse.
L'équation d'origine est sous forme standard,$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$.	$\frac{(x-(-4))^{2}}{16}+\frac{(y-6)^{2}}{9}=1$
L'ellipse est centrée sur$(h,k)$.	Le centre est$(-4,6)$.
Nous traduisons le graphique de$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$ quatre unités vers la gauche, puis vers le haut$6$. Vérifiez que le centre est$(−4,6)$. La nouvelle ellipse est l'ellipse dont l'équation est $\frac{(x+4)^{2}}{16}+\frac{(y-6)^{2}}{9}=1$.

Exercice$\PageIndex{9}$

Graphe$\frac{(x-5)^{2}}{9}+\frac{(y+4)^{2}}{4}=1$ par traduction.

Réponse

Graphique 11.3.22

Exercice$\PageIndex{10}$

Graphe$\frac{(x+6)^{2}}{16}+\frac{(y+2)^{2}}{25}=1$ par traduction.

Réponse

Graphique 11.3.23

Lorsqu'une équation possède à la fois un$x^{2}$ et un$y^{2}$ avec des coefficients différents, nous vérifions qu'il s'agit d'une ellipse en la mettant sous forme standard. Nous serons alors en mesure de représenter graphiquement l'équation.

Exemple$\PageIndex{6}$

Écrivez l'équation$x^{2}+4 y^{2}-4 x+24 y+24=0$ sous une forme et un graphique standard.

Solution :

Nous mettons l'équation sous forme standard en complétant les carrés à la fois dans$x$ et$y$.

Tableau 11.3.6

	$x^{2}+4 y^{2}-4 x+24 y+24=0$
Réécrivez en regroupant les$x$ termes et les$y$ termes.
Faites en sorte que les coefficients$x^{2}$ soient$y^{2}$ égaux à$1$.
Complétez les carrés.
Écrivez sous forme de carrés binomiaux.
Divisez les deux côtés$16$ pour arriver$1$ sur la droite.
Simplifiez.
L'équation est sous forme standard,$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$
L'ellipse est centrée sur$(h,k)$.	Le centre est$(2,-3)$.
Puisque$16>4$ et$16$ est dans le$x^{2}$ terme, l'axe principal est horizontal. $a^{2}=16, a=\pm 4$ $b^{2}=4, \quad b=\pm 2$	La distance entre le centre et les sommets est de$4$. La distance entre le centre et les extrémités du petit axe est de$2$.
Esquissez l'ellipse.

Exercice$\PageIndex{11}$

1. Écrivez l'équation$6 x^{2}+4 y^{2}+12 x-32 y+34=0$ sous forme standard et
2. Graphe.

Réponse

1. $\frac{(x+1)^{2}}{6}+\frac{(y-4)^{2}}{9}=1$

Graphique 11.3.32

Exercice$\PageIndex{12}$

1. Écrivez l'équation$4 x^{2}+y^{2}-16 x-6 y+9=0$ sous forme standard et
2. Graphe.

Réponse

1. $\frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{(y-3)^{2}}{16}=1$

Graphique 11.3.3

Résoudre une application avec des ellipses

Les orbites des planètes autour du soleil suivent des trajectoires elliptiques.

Exemple$\PageIndex{7}$

Pluton (une planète naine) se déplace sur une orbite elliptique autour du Soleil. La distance la plus proche entre Pluton et le Soleil est approximativement en unités$30$ astronomiques (UA) et la plus éloignée est approximativement en$50$ UA. Le Soleil est l'un des foyers de l'orbite elliptique. En laissant l'ellipse se centrer sur l'origine et en étiquetant les axes en UA, l'orbite ressemblera à la figure ci-dessous. Utilisez le graphique pour écrire une équation pour l'orbite elliptique de Pluton.

Graphique 11.3.34

Solution :

Nous reconnaissons qu'il s'agit d'une ellipse centrée à l'origine.

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Puisque l'axe principal est horizontal et que la distance entre le centre et le sommet l'est$40$, nous le savons$a=40$ et ainsi de suite$a^{2}=1600$.

$\frac{x^{2}}{1600}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

L'axe secondaire est vertical mais les points d'extrémité ne sont pas indiqués. Pour le trouver,$b$ nous utiliserons la position du Soleil. Puisque le Soleil est au centre de l'ellipse au point$(10,0)$, nous le savons$c=10$. Utilisez ceci pour résoudre$b^{2}$.

$b^{2}=a^{2}-c^{2}$
$b^{2}=40^{2}-10^{2}$
$b^{2}=1600-100$
$b^{2}=1500$

Remplacez$a^{2}$ et$b^{2}$ dans la forme standard de l'ellipse.

$\frac{x^{2}}{1600}+\frac{y^{2}}{1500}=1$

Exercice$\PageIndex{13}$

Une planète se déplace sur une orbite elliptique autour de son soleil. Le plus proche que la planète se rapproche du soleil se trouve approximativement$20$ au et le plus éloigné se trouve à peu près$30$ au UA. Le soleil est l'un des foyers de l'orbite elliptique. En laissant l'ellipse se centrer sur l'origine et en étiquetant les axes en UA, l'orbite ressemblera à la figure ci-dessous. Utilisez le graphique pour écrire une équation pour l'orbite elliptique de la planète.

Graphique 11.3.35

Réponse

$\frac{x^{2}}{625}+\frac{y^{2}}{600}=1$

Exercice$\PageIndex{14}$

Une planète se déplace sur une orbite elliptique autour de son soleil. Le plus proche que la planète se rapproche du soleil se trouve approximativement$20$ au et le plus éloigné se trouve à peu près$50$ au UA. Le soleil est l'un des foyers de l'orbite elliptique. En laissant l'ellipse se centrer sur l'origine et en étiquetant les axes en UA, l'orbite ressemblera à la figure ci-dessous. Utilisez le graphique pour écrire une équation pour l'orbite elliptique de la planète.

Graphique 11.3.36

Réponse

$\frac{x^{2}}{1225}+\frac{y^{2}}{1000}=1$

Accédez à ces ressources en ligne pour obtenir des instructions supplémentaires et vous entraîner à utiliser les ellipses.

• Sections coniques : représentation graphique d'ellipses, partie 1
• Sections coniques : représentation graphique d'ellipses, partie 2
• Équation de l'ellipse à partir d'

Concepts clés

• Ellipse : Une ellipse est constituée de tous les points d'un plan où la somme des distances entre deux points fixes est constante. Chacun des points fixes est appelé foyer de l'ellipse.
  

Graphique 11.3.37

• Si nous tracons une ligne à travers les foyers, l'ellipse croise en deux points, chacun étant appelé sommet de l'ellipse.
  Le segment reliant les sommets est appelé axe principal.
  Le milieu du segment est appelé le centre de l'ellipse.
  Un segment perpendiculaire à l'axe principal qui passe par le centre et coupe l'ellipse en deux points est appelé axe secondaire.
• Forme standard de l'équation, une ellipse avec un centre$(0,0)$ : La forme standard de l'équation d'une ellipse avec un centre$(0,0)$ est

  $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

  Les$x$ -intercepts sont$(a,0)$ et$(−a,0)$.
  Les$y$ -intercepts sont$(0,b)$ et$(0,−b)$.
• Comment créer une ellipse avec centre$(0,0)$
  1. Écrivez l'équation sous forme standard.
  2. Déterminez si l'axe principal est horizontal ou vertical.
  3. Trouvez les extrémités de l'axe principal.
  4. Trouvez les extrémités de l'axe secondaire
  5. Esquissez l'ellipse.
• Forme standard de l'équation, une ellipse avec un centre$(h,k)$ : La forme standard de l'équation d'une ellipse avec un centre$(h,k)$ est

  $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$

  Lorsque$a>b$, l'axe principal est horizontal, de sorte que la distance entre le centre et le sommet est de$a$.
  Lorsque$b>a$, l'axe principal est vertical, de sorte que la distance entre le centre et le sommet est de$b$.

Lexique

ellipse

Une ellipse est constituée de tous les points d'un plan où la somme des distances entre deux points fixes est constante.