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10.6E : Exercices

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    La pratique rend la perfection

    Exercice\(\PageIndex{17}\) Solve Logarithmic Equations Using the Properties of Logarithms

    Dans les exercices suivants, résolvez pour\(x\).

    1. \(\log _{4} 64=2 \log _{4} x\)
    2. \(\log 49=2 \log x\)
    3. \(3 \log _{3} x=\log _{3} 27\)
    4. \(3 \log _{6} x=\log _{6} 64\)
    5. \(\log _{5}(4 x-2)=\log _{5} 10\)
    6. \(\log _{3}\left(x^{2}+3\right)=\log _{3} 4 x\)
    7. \(\log _{3} x+\log _{3} x=2\)
    8. \(\log _{4} x+\log _{4} x=3\)
    9. \(\log _{2} x+\log _{2}(x-3)=2\)
    10. \(\log _{3} x+\log _{3}(x+6)=3\)
    11. \(\log x+\log (x+3)=1\)
    12. \(\log x+\log (x-15)=2\)
    13. \(\log (x+4)-\log (5 x+12)=-\log x\)
    14. \(\log (x-1)-\log (x+3)=\log \frac{1}{x}\)
    15. \(\log _{5}(x+3)+\log _{5}(x-6)=\log _{5} 10\)
    16. \(\log _{5}(x+1)+\log _{5}(x-5)=\log _{5} 7\)
    17. \(\log _{3}(2 x-1)=\log _{3}(x+3)+\log _{3} 3\)
    18. \(\log (5 x+1)=\log (x+3)+\log 2\)
    Réponse

    2. \(x=7\)

    4. \(x=4\)

    6. \(x=1, x=3\)

    8. \(x=8\)

    10. \(x=3\)

    12. \(x=20\)

    14. \(x=3\)

    16. \(x=6\)

    18. \(x=\frac{5}{3}\)

    Exercice\(\PageIndex{18}\) Solve Exponential Equations Using Logarithms

    Dans les exercices suivants, résolvez chaque équation exponentielle. Trouvez la réponse exacte, puis approchez-la à trois décimales près.

    1. \(3^{x}=89\)
    2. \(2^{x}=74\)
    3. \(5^{x}=110\)
    4. \(4^{x}=112\)
    5. \(e^{x}=16\)
    6. \(e^{x}=8\)
    7. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=6\)
    8. \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=8\)
    9. \(4 e^{x+1}=16\)
    10. \(3 e^{x+2}=9\)
    11. \(6 e^{2 x}=24\)
    12. \(2 e^{3 x}=32\)
    13. \(\frac{1}{4} e^{x}=3\)
    14. \(\frac{1}{3} e^{x}=2\)
    15. \(e^{x+1}+2=16\)
    16. \(e^{x-1}+4=12\)
    Réponse

    2. \(x=\frac{\log 74}{\log 2} \approx 6.209\)

    4. \(x=\frac{\log 112}{\log 4} \approx 3.404\)

    6. \(x=\ln 8 \approx 2.079\)

    8. \(x=\frac{\log 8}{\log \frac{1}{3}} \approx-1.893\)

    10. \(x=\ln 3-2 \approx-0.901\)

    12. \(x=\frac{\ln 16}{3} \approx 0.924\)

    14. \(x=\ln 6 \approx 1.792\)

    16. \(x=\ln 8+1 \approx 3.079\)

    Exercice\(\PageIndex{19}\) Solve Exponential Equations Using Logarithms

    Dans les exercices suivants, résolvez chaque équation.

    1. \(3^{3 x+1}=81\)
    2. \(6^{4 x-17}=216\)
    3. \(\frac{e^{x^{2}}}{e^{14}}=e^{5 x}\)
    4. \(\frac{e^{x^{2}}}{e^{x}}=e^{20}\)
    5. \(\log _{a} 64=2\)
    6. \(\log _{a} 81=4\)
    7. \(\ln x=-8\)
    8. \(\ln x=9\)
    9. \(\log _{5}(3 x-8)=2\)
    10. \(\log _{4}(7 x+15)=3\)
    11. \(\ln e^{5 x}=30\)
    12. \(\ln e^{6 x}=18\)
    13. \(3 \log x=\log 125\)
    14. \(7 \log _{3} x=\log _{3} 128\)
    15. \(\log _{6} x+\log _{6}(x-5)=\log _{6} 24\)
    16. \(\log _{9} x+\log _{9}(x-4)=\log _{9} 12\)
    17. \(\log _{2}(x+2)-\log _{2}(2 x+9)=-\log _{2} x\)
    18. \(\log _{6}(x+1)-\log _{6}(4 x+10)=\log _{6} \frac{1}{x}\)
    Réponse

    2. \(x=5\)

    4. \(x=-4, x=5\)

    6. \(a=3\)

    8. \(x=e^{9}\)

    10. \(x=7\)

    12. \(x=3\)

    14. \(x=2\)

    16. \(x=6\)

    18. \(x=5\)

    Exercice\(\PageIndex{20}\) Solve Exponential Equations Using Logarithms

    Dans les exercices suivants, résolvez pour\(x\), en donnant une réponse exacte ainsi qu'une approximation à trois décimales.

    1. \(6^{x}=91\)
    2. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=10\)
    3. \(7 e^{x-3}=35\)
    4. \(8 e^{x+5}=56\)
    Réponse

    2. \(x=\frac{\log 10}{\log \frac{1}{2}} \approx-3.322\)

    4. \(x=\ln 7-5 \approx-3.054\)

    Exercice\(\PageIndex{21}\) Use Exponential Models in Applications

    Dans les exercices suivants, résolvez.

    1. Sung Lee investit $\(5,000\) à l'âge\(18\). Il espère que les investissements vaudront $\(10,000\) à son tour\(25\). Si l'intérêt augmente continuellement, de quel taux de croissance aura-t-il besoin approximativement pour atteindre son objectif ? Est-ce là une attente raisonnable ?
    2. Alice investit de l'argent en\(15,000\) âge grâce\(30\) à la prime à la signature de son nouvel emploi. Elle espère que les investissements vaudront $\(30,000\) à son tour\(40\). Si l'intérêt ne cesse de croître, de quel taux de croissance aura-t-elle besoin approximativement pour atteindre son objectif ?
    3. Coralee investit $\(5,000\) dans un compte qui compose les intérêts mensuels et gagne\(7\) %. Combien de temps faudra-t-il pour que son argent double ?
    4. Simone investit $\(8,000\) dans un compte qui compose les intérêts trimestriels et gagne\(5\) %. Combien de temps faudra-t-il pour que son argent double ?
    5. Les chercheurs ont enregistré qu'une certaine population de bactéries avait diminué de\(100,000\) à\(100\) en\(24\) quelques heures. À ce rythme de décomposition, combien de bactéries y aura-t-il en\(16\) quelques heures ?
    6. Les chercheurs ont enregistré qu'une certaine population de bactéries avait diminué de\(800,000\)\(500,000\) à\(6\) quelques heures après l'administration du médicament. À ce rythme de décomposition, combien de bactéries y aura-t-il en\(24\) quelques heures ?
    7. Il faut plusieurs\(6\) jours à un virus pour doubler sa population d'origine\(\left(A=2 A_{0}\right)\). Combien de temps faudra-t-il pour tripler sa population ?
    8. Une bactérie double sa population initiale en\(24\) quelques heures\(\left(A=2 A_{0}\right)\). Quelle sera la taille de sa population en\(72\) heures ?
    9. Le carbone 14 est utilisé pour la datation archéologique au carbone. Sa demi-vie est de\(5,730\) plusieurs années. Quelle quantité\(100\) d'un échantillon de carbone 14 restera-t-il dans les\(1000\) années ?
    10. Le technétium 99m radioactif est souvent utilisé en médecine diagnostique car sa demi-vie est relativement courte mais sa durée de vie est suffisamment longue pour que les tests nécessaires soient effectués sur le patient. Si sa demi-vie est de\(6\) quelques heures, quelle quantité de matière radioactive formée par une injection de\(0.5\) ml se retrouvera dans l'organisme en\(24\) quelques heures ?
    Réponse

    2. \(6.9\)%

    4. \(13.9\)ans

    6. \(122,070\)bactéries

    8. \(8\)fois plus importante que la population d'origine

    10. \(0.03\)mL

    Exercice\(\PageIndex{22}\) Writing Exercises
    1. Expliquez la méthode que vous utiliseriez pour résoudre ces équations :\(3^{x+1}=81\),\(3^{x+1}=75\). Votre méthode nécessite-t-elle des logarithmes pour les deux équations ? Pourquoi ou pourquoi pas ?
    2. Quelle est la différence entre l'équation de la croissance exponentielle et celle de la décroissance exponentielle ?
    Réponse

    2. Les réponses peuvent varier.

    Auto-vérification

    a. Une fois les exercices terminés, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

    Ce tableau comporte quatre lignes et quatre colonnes. La première ligne, qui sert d'en-tête, se lit comme suit : Je peux..., En toute confiance, avec de l'aide, et Non, je ne comprends pas.™ La première colonne sous la ligne d'en-tête indique comment résoudre des équations logarithmiques à l'aide des propriétés des logarithmes, résoudre des équations exponentielles à l'aide de logarithmes et utiliser des modèles exponentiels dans les applications. Les autres cellules sont vides.
    Graphique 10.5.1

    b. Après avoir examiné la liste de contrôle, pensez-vous être bien préparé pour la section suivante ? Pourquoi ou pourquoi pas ?