10.6 : Résoudre des équations exponentielles et logarithmiques
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À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Résolvez des équations logarithmiques à l'aide des propriétés des logarithmes
- Résoudre des équations exponentielles en utilisant des logarithmes
- Utiliser des modèles exponentiels dans les applications
Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.
- Résoudre :\(x^{2}=16\).
Si vous avez oublié ce problème, consultez l'exemple 6.46. - Résoudre :\(x^{2}−5x+6=0\).
Si vous avez oublié ce problème, consultez l'exemple 6.45. - Résoudre :\(x(x+6)=2x+5\).
Si vous avez oublié ce problème, consultez l'exemple 6.47.
Résoudre des équations logarithmiques à l'aide des propriétés des logarithmes
Dans la section sur les fonctions logarithmiques, nous avons résolu certaines équations en réécrivant l'équation sous forme exponentielle. Maintenant que nous avons les propriétés des logarithmes, nous avons d'autres méthodes que nous pouvons utiliser pour résoudre des équations logarithmiques.
Si notre équation comporte deux logarithmes, nous pouvons utiliser une propriété qui indique que si c'est le cas\(\log _{a} M=\log _{a} N\), c'est vrai\(M=N\). Il s'agit de la propriété biunivoque des équations logarithmiques.
Propriété biunivoque des équations logarithmiques
Pour\(M>0,N>0,a>0\), et\(a≠1\) est n'importe quel nombre réel :
Si\(\log _{a} M=\log _{a} N,\) alors\(M=N\).
Pour utiliser cette propriété, nous devons nous assurer que les deux côtés de l'équation sont écrits avec la même base.
N'oubliez pas que les logarithmes ne sont définis que pour les nombres réels positifs. Vérifiez vos résultats dans l'équation d'origine. Vous avez peut-être obtenu un résultat qui donne un logarithme égal à zéro ou à un nombre négatif.
Résoudre :\(2 \log _{5} x=\log _{5} 81\).
Solution :
\(2 \log _{5} x=\log _{5} 81\)
Utilisez la propriété Power.
\(\log _{5} x^{2}=\log _{5} 81\)
Utilisez la propriété One-to-One, if\(\log _{a} M=\log _{a} N\), then\(M=N\).
\(x^{2}=81\)
Résolvez en utilisant la propriété Square Root.
\(x=\pm 9\)
Nous éliminons\(x=-9\) car nous ne pouvons pas prendre le logarithme d'un nombre négatif.
\(x=9, \cancel{x=-9}\)
Vérifiez. \(x=9\)
\(\begin{aligned}2 \log _{5} x&=\log _{5} 81 \\ 2 \log _{5} 9 &\stackrel{?}{=} \log _{5} 81 \\ \log _{5} 9^{2} & \stackrel{?}{=}\log _{5} 81 \\ \log _{5} 81 & =\log _{5} 81\end{aligned}\)
Résoudre :\(2 \log _{3} x=\log _{3} 36\)
- Réponse
-
\(x=6\)
Résoudre :\(3 \log x=\log 64\)
- Réponse
-
\(x=4\)
Une autre stratégie à utiliser pour résoudre des équations logarithmiques consiste à condenser les sommes ou les différences en un seul logarithme.
Résoudre :\(\log _{3} x+\log _{3}(x-8)=2\).
Solution :
\(\log _{3} x+\log _{3}(x-8)=2\)
Utilisez la propriété du produit,\(\log _{a} M+\log _{a} N=\log _{a} M \cdot N\).
\(\log _{3} x(x-8)=2\)
Réécrivez sous forme exponentielle.
\(3^{2}=x(x-8)\)
Simplifiez.
\(9=x^{2}-8 x\)
Soustrayez\(9\) de chaque côté.
\(0=x^{2}-8 x-9\)
Facteur.
\(0=(x-9)(x+1)\)
Utilisez la propriété Zero-Product
\(x-9=0, \quad x+1=0\)
Résolvez chaque équation.
\(x=9, \quad \cancel{x=-1}\)
Vérifiez. \(x=-1\)
\(\begin{aligned} \log _{3} x+\log _{3}(x-8)&=2 \\ \log _{3}(-1)+\log _{3}(-1-8) &\stackrel{?}{=}2\end{aligned}\)
Nous ne pouvons pas enregistrer un nombre négatif.
Vérifiez. \(x=9\)
\(\begin{aligned} \log _{3} x+\log _{3}(x-8) &=2 \\ \log _{3} 9+\log _{3}(9-8) & \stackrel{?}{=} 2 \\ 2+0 &\stackrel{?}{=}2 \\ 2 &=2 \end{aligned}\)
Résoudre :\(\log _{2} x+\log _{2}(x-2)=3\)
- Réponse
-
\(x=4\)
Résoudre :\(\log _{2} x+\log _{2}(x-6)=4\)
- Réponse
-
\(x=8\)
Lorsqu'il y a des logarithmes des deux côtés, nous condensons chaque côté en un seul logarithme. N'oubliez pas d'utiliser la propriété Power selon vos besoins.
Résoudre :\(\log _{4}(x+6)-\log _{4}(2 x+5)=-\log _{4} x\).
Solution :
\(\log _{4}(x+6)-\log _{4}(2 x+5)=-\log _{4} x\)
Utilisez la propriété Quotient sur le côté gauche et la propriété PowerProperty sur la droite.
\(\log _{4}\left(\frac{x+6}{2 x+5}\right)=\log _{4} x^{-1}\)
Réécrire\(x^{-1}=\frac{1}{x}\).
\(\log _{4}\left(\frac{x+6}{2 x+5}\right)=\log _{4} \frac{1}{x}\)
Utilisez la propriété One-to-One, if\(\log _{a} M=\log _{a} N\), then\(M=N\).
\(\frac{x+6}{2 x+5}=\frac{1}{x}\)
Résolvez l'équation rationnelle.
\(x(x+6)=2 x+5\)
Distribuez.
\(x^{2}+6 x=2 x+5\)
Écrivez sous forme standard.
\(x^{2}+4 x-5=0\)
Facteur.
\((x+5)(x-1)=0\)
Utilisez la propriété Zero-Product.
\(x+5=0, \quad x-1=0\)
Résolvez chaque équation.
\(\cancel{x=-5}, \quad x=1\)
Vérifiez.
Nous vous laissons le chèque.
Résoudre :\(\log (x+2)-\log (4 x+3)=-\log x\).
- Réponse
-
\(x=3\)
Résoudre :\(\log (x-2)-\log (4 x+16)=\log \frac{1}{x}\).
- Réponse
-
\(x=8\)
Résoudre\(5^{x}=11\). Trouvez la réponse exacte, puis approchez-la à trois décimales près.
Solution :
\(5^{x}=11\)
Puisque l'exponentielle est isolée, prenez le logarithme des deux côtés.
\(\log 5^{x}=\log 11\)
Utilisez la propriété Power pour obtenir la valeur\(x\) en tant que facteur et non en tant qu'exposant.
\(x \log 5=\log 11\)
Résolvez pour\(x\). Trouvez la réponse exacte.
\(x=\frac{\log 11}{\log 5}\)
Approximation de la réponse.
\(x \approx 1.490\)
Depuis\(5^{1}=5\) et\(5^{2}=25\), est-ce logique\(5^{1.490}≈11\) ?
Résoudre\(7^{x}=43\). Trouvez la réponse exacte, puis approchez-la à trois décimales près.
- Réponse
-
\(x=\frac{\log 43}{\log 7} \approx 1.933\)
Résoudre\(8^{x}=98\). Trouvez la réponse exacte, puis approchez-la à trois décimales près.
- Réponse
-
\(x=\frac{\log 98}{\log 8} \approx 2.205\)
Lorsque nous prenons le logarithme des deux côtés, nous obtenons le même résultat, que nous utilisions le logarithme commun ou le logarithme naturel (essayez d'utiliser le logarithme naturel dans le dernier exemple). Avez-vous obtenu le même résultat ?) Lorsque l'exponentielle a une base\(e\), nous utilisons le logarithme naturel.
Résoudre\(3e^{x+2}=24\). Trouvez la réponse exacte, puis approchez-la à trois décimales près.
Solution :
\(3 e^{x+2}=24\)
Isolez l'exponentielle en divisant les deux côtés par\(3\).
\(e^{x+2}=8\)
Prenez le logarithme naturel des deux côtés.
\(\ln e^{x+2}=\ln 8\)
Utilisez la propriété Power pour obtenir la valeur\(x\) en tant que facteur et non en tant qu'exposant.
\((x+2) \ln e=\ln 8\)
Utilisez la propriété\(\ln e=1\) pour simplifier.
\(x+2=\ln 8\)
Résolvez l'équation. Trouvez la réponse exacte.
\(x=\ln 8-2\)
Approximation de la réponse.
\(x \approx 0.079\)
Résoudre\(2e^{x−2}=18\). Trouvez la réponse exacte, puis approchez-la à trois décimales près.
- Réponse
-
\(x=\ln 9+2 \approx 4.197\)
Résoudre\(5e^{2x}=25\). Trouvez la réponse exacte, puis approchez-la à trois décimales près.
- Réponse
-
\(x=\frac{\ln 5}{2} \approx 0.805\)
Utiliser des modèles exponentiels dans les applications
Dans les sections précédentes, nous avons pu résoudre certaines applications modélisées à l'aide d'équations exponentielles. Maintenant que nous avons beaucoup plus d'options pour résoudre ces équations, nous sommes en mesure de résoudre davantage d'applications.
Nous utiliserons à nouveau les formules d'intérêt composé et nous les listons donc ici à titre de référence.
Intérêt composé
Pour un capital investi à un taux d'intérêt\(r\), pendant des\(t\) années, le nouveau solde\(A\) est le suivant :\(P\)
\(\begin{array}{ll}{A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}} & {\text { when compounded } n \text { times a year. }} \\ {A=P e^{r t}} & {\text { when compounded continuously. }}\end{array}\)
Les parents de Jermael ont\(10,000\) investi $ pour ses dépenses universitaires le jour de son premier anniversaire. Ils espèrent que les investissements vaudront $\(50,000\) quand il se tournera\(18\). Si l'intérêt augmente continuellement, quel sera le taux de croissance approximatif dont ils auront besoin pour atteindre leur objectif ?
Solution :
Identifiez les variables de la formule.
\(\begin{aligned} A &=\$ 50,000 \\ P &=\$ 10,000 \\ r &=? \\ t &=17 \text { years } \\ A &=P e^{r t} \end{aligned}\)
Remplacez les valeurs dans la formule.
\(50,000=10,000 e^{r \cdot 17}\)
Résolvez pour\(r\). Divisez chaque côté par\(10,000\).
\(5=e^{17 r}\)
Prenez la bûche naturelle de chaque côté.
\(\ln 5=\ln e^{17 r}\)
Utilisez la propriété Power.
\(\ln 5=17 r \ln e\)
Simplifiez.
\(\ln 5=17 r\)
Divisez chaque côté par\(17\).
\(\frac{\ln 5}{17}=r\)
Approximation de la réponse.
\(r \approx 0.095\)
Convertissez-la en pourcentage.
\(r \approx 9.5 \%\)
Ils ont besoin que le taux de croissance soit d'environ\(9.5\) %.
Hector investit $\(10,000\) à l'âge\(21\). Il espère que les investissements vaudront $\(150,000\) à son tour\(50\). Si l'intérêt augmente continuellement, de quel taux de croissance aura-t-il besoin approximativement pour atteindre son objectif ?
- Réponse
-
\(r \approx 9.3 \%\)
Rachel investit $\(15,000\) à l'âge\(25\). Elle espère que les investissements vaudront $\(90,000\) à son tour\(40\). Si l'intérêt augmente continuellement, de quel taux de croissance aura-t-elle besoin approximativement pour atteindre son objectif ?
- Réponse
-
\(r \approx 11.9 \%\)
Nous avons vu que la croissance et la décroissance sont modélisées par des fonctions exponentielles. Pour la croissance et la décomposition, nous utilisons la formule\(A=A_{0} e^{k t}\). La croissance exponentielle a un taux de croissance positif ou une constante de croissance\(k\), et la décroissance exponentielle a un taux de croissance négatif ou une constante de décroissance,\(k\).
Croissance et décroissance exponentielles
Pour une quantité initiale\(A_{0}\), qui augmente ou diminue à un rythme donné\(k\), pendant un certain temps\(t\), la quantité finale est la suivante :\(A\)
\(A=A_{0} e^{k t}\)
Nous pouvons désormais résoudre des applications qui nous fournissent suffisamment d'informations pour déterminer le taux de croissance. Nous pouvons ensuite utiliser ce taux de croissance pour prévoir d'autres situations.
Les chercheurs ont enregistré qu'une certaine population de bactéries augmentait de\(100\) à\(300\) en\(3\) quelques heures. À ce rythme de croissance, combien de bactéries existera-t-il dans les\(24\) heures qui suivront le début de l'expérience ?
Solution :
Ce problème nécessite deux étapes principales. Nous devons d'abord trouver le taux inconnu,\(k\). Ensuite, nous utilisons cette valeur de\(k\) pour nous aider à trouver le nombre inconnu de bactéries.
Identifiez les variables de la formule.
\(\begin{aligned} A &=300 \\ A_{0} &=100 \\ k &=? \\ t &=3 \text { hours } \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}\)
Remplacez les valeurs dans la formule.
\(300=100 e^{k \cdot 3}\)
Résolvez pour\(k\). Divisez chaque côté par\(100\).
\(3=e^{3 k}\)
Prenez la bûche naturelle de chaque côté.
\(\ln 3=\ln e^{3 k}\)
Utilisez la propriété Power.
\(\ln 3=3 k \ln e\)
Simplifiez.
\(\ln 3=3 k\)
Divisez chaque côté par\(3\).
\(\frac{\ln 3}{3}=k\)
Approximation de la réponse.
\(k \approx 0.366\)
Nous utilisons ce taux de croissance pour prédire le nombre de bactéries qu'il y aura en\(24\) heures.
\(\begin{aligned} A &=? \\ A_{0} &=100 \\ k &=\frac{\ln 3}{3} \\ t &=24 \text { hours } \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}\)
Substituez les valeurs.
\(A=100 e^{\frac{\ln 3}{3} \cdot 24}\)
Évaluer.
\(A \approx 656,100\)
À ce rythme de croissance, ils peuvent s'attendre à\(656,100\) des bactéries.
Les chercheurs ont enregistré qu'une certaine population de bactéries augmentait de\(100\) à\(500\) en\(6\) quelques heures. À ce rythme de croissance, combien de bactéries existera-t-il dans les\(24\) heures qui suivront le début de l'expérience ?
- Réponse
-
Il y aura\(62,500\) des bactéries.
Les chercheurs ont enregistré qu'une certaine population de bactéries avait diminué de\(700,000\)\(400,000\) à\(5\) quelques heures après l'administration du médicament. À ce rythme de décomposition, combien de bactéries restera-t-il dans les\(24\) heures qui suivront le début de l'expérience ?
- Réponse
-
Il y aura\(5,870,061\) des bactéries.
Les substances radioactives se désintègrent ou se décomposent selon la formule de désintégration exponentielle. Le temps qu'il faut à la substance pour se décomposer jusqu'à la moitié de sa quantité initiale est appelé demi-vie de la substance.
Comme dans l'exemple précédent, nous pouvons utiliser les informations fournies pour déterminer la constante de décroissance, puis utiliser cette constante pour répondre à d'autres questions.
La demi-vie du radium-226 est de\(1,590\) plusieurs années. Quelle quantité d'un échantillon de\(100\) mg restera-t-il dans les\(500\) années ?
Solution :
Ce problème nécessite deux étapes principales. Nous devons d'abord trouver la constante de décroissance\(k\). Si nous commençons\(100\) par -mg, il restera\(50\) -mg à la demi-vie. Nous utiliserons ces informations pour trouver\(k\). Ensuite, nous utilisons cette valeur de\(k\) pour nous aider à déterminer la quantité d'échantillon qui restera dans les\(500\) années.
Identifiez les variables de la formule.
\(\begin{aligned} A &=50 \\ A_{0} &=100 \\ k &=? \\ t &=1590 \text { years } \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}\)
Remplacez les valeurs dans la formule.
\(50=100 e^{k \cdot 1590}\)
Résolvez pour\(k\). Divisez chaque côté par\(100\).
\(0.5=e^{1590 k}\)
Prenez la bûche naturelle de chaque côté.
\(\ln 0.5=\ln e^{1590 k}\)
Utilisez la propriété Power.
\(\ln 0.5=1590 k \ln e\)
Simplifiez.
\(\ln 0.5=1590 k\)
Divisez chaque côté par\(1590\).
\(\frac{\ln 0.5}{1590}=k\)réponse exacte
Nous utilisons ce taux de croissance pour prévoir le montant qui restera dans les\(500\) années.
\(\begin{aligned} A &=? \\ A_{0} &=100 \\ k &=\frac{\ln 0.5}{1590} \\ t &=500\: \mathrm{years} \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}\)
Substituez les valeurs.
\(A=100 e^{\frac{1 \mathrm{n} 0.5}{1500} \cdot 500}\)
Évaluer.
\(A \approx 80.4 \mathrm{mg}\)
Dans les\(500\) années, il en resterait environ\(80.4\) mg.
La demi-vie du magnésium-27 est de\(9.45\) quelques minutes. Quelle quantité d'un échantillon de\(10\) -mg restera-t-il en\(6\) quelques minutes ?
- Réponse
-
Il me\(6.43\) restera.
La demi-vie de l'iode radioactif est de\(60\) quelques jours. Quelle quantité d'un échantillon de\(50\) -mg restera-t-il en\(40\) quelques jours ?
- Réponse
-
Il me\(31.5\) restera.
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Concepts clés
- Propriété biunivoque des équations logarithmiques : Pour\(M>0, N>0, a>0\), et\(a≠1\) est un nombre réel quelconque :
Si\(\log _{a} M=\log _{a} N,\) alors\(M=N\)
- Intérêt composé :
Pour un capital investi à un taux d'intérêt\(r\), pendant des\(t\) années, le nouveau solde est le suivant :\(P\)\(A\)\(\begin{array}{ll}{A} & {=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}} & {\text { when compounded } n \text { times a year. }} \\ {A} & {=P e^{r t}} & {\text { when compounded continuously. }}\end{array}\)
- Croissance et décroissance exponentielles : Pour une quantité initiale,\(A_{0}\) qui croît ou diminue à un rythme donné\(r\), pendant un certain temps\(t\), la quantité finale est de\(A=A_{0} e^{r t}\).\(A\)