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10.4E : Exercices

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    Section 10.3 Exercices

    La pratique rend parfait

    Exercice\(\PageIndex{21}\) Convert Between Exponential and Logarithmic Form

    Dans les exercices suivants, passez d'une forme exponentielle à une forme logarithmique.

    1. \(4^{2}=16\)
    2. \(2^{5}=32\)
    3. \(3^{3}=27\)
    4. \(5^{3}=125\)
    5. \(10^{3}=1000\)
    6. \(10^{-2}=\frac{1}{100}\)
    7. \(x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\)
    8. \(x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{6}\)
    9. \(32^{x}=\sqrt[4]{32}\)
    10. \(17^{x}=\sqrt[5]{17}\)
    11. \(\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}\)
    12. \(\left(\frac{1}{3}\right)^{4}=\frac{1}{81}\)
    13. \(3^{-2}=\frac{1}{9}\)
    14. \(4^{-3}=\frac{1}{64}\)
    15. \(e^{x}=6\)
    16. \(e^{3}=x\)
    Réponse

    2. \(\log _{2} 32=5\)

    4. \(\log _{5} 125=3\)

    6. \(\log \frac{1}{100}=-2\)

    8. \(\log _{x} \sqrt[3]{6}=\frac{1}{3}\)

    10. \(\log _{17} \sqrt[5]{17}=x\)

    12. \(\log _{\frac{1}{3}} \frac{1}{81}=4\)

    14. \(\log _{4} \frac{1}{64}=-3\)

    16. \(\ln x=3\)

    Exercice\(\PageIndex{22}\) Convert Between Exponential and Logarithmic Form

    Dans les exercices suivants, convertissez chaque équation logarithmique en une forme exponentielle.

    1. \(3=\log _{4} 64\)
    2. \(6=\log _{2} 64\)
    3. \(4=\log _{x} 81\)
    4. \(5=\log _{x} 32\)
    5. \(0=\log _{12} 1\)
    6. \(0=\log _{7} 1\)
    7. \(1=\log _{3} 3\)
    8. \(1=\log _{9} 9\)
    9. \(-4=\log _{10} \frac{1}{10,000}\)
    10. \(3=\log _{10} 1,000\)
    11. \(5=\log _{e} x\)
    12. \(x=\log _{e} 43\)
    Réponse

    2. \(64=2^{6}\)

    4. \(32=x^{5}\)

    6. \(1=7^{0}\)

    8. \(9=9^{1}\)

    10. \(1,000=10^{3}\)

    12. \(43=e^{x}\)

    Exercice\(\PageIndex{23}\) Evaluate Logarithmic Functions

    Dans les exercices suivants, déterminez la valeur de\(x\) dans chaque équation logarithmique.

    1. \(\log _{x} 49=2\)
    2. \(\log _{x} 121=2\)
    3. \(\log _{x} 27=3\)
    4. \(\log _{x} 64=3\)
    5. \(\log _{3} x=4\)
    6. \(\log _{5} x=3\)
    7. \(\log _{2} x=-6\)
    8. \(\log _{3} x=-5\)
    9. \(\log _{\frac{1}{4}} \frac{1}{16}=x\)
    10. \(\log _{\frac{1}{3}} \frac{1}{9}=x\)
    11. \(\log _{\frac{1}{4}} 64=x\)
    12. \(\log _{\frac{1}{9}} 81=x\)
    Réponse

    2. \(x=11\)

    4. \(x=4\)

    6. \(x=125\)

    8. \(x=\frac{1}{243}\)

    10. \(x=2\)

    12. \(x=-2\)

    Exercice\(\PageIndex{24}\) Evaluate Logarithmic Functions

    Dans les exercices suivants, déterminez la valeur exacte de chaque logarithme sans utiliser de calculatrice.

    1. \(\log _{7} 49\)
    2. \(\log _{6} 36\)
    3. \(\log _{4} 1\)
    4. \(\log _{5} 1\)
    5. \(\log _{16} 4\)
    6. \(\log _{27} 3\)
    7. \(\log _{\frac{1}{2}} 2\)
    8. \(\log _{\frac{1}{2}} 4\)
    9. \(\log _{2} \frac{1}{16}\)
    10. \(\log _{3} \frac{1}{27}\)
    11. \(\log _{4} \frac{1}{16}\)
    12. \(\log _{9} \frac{1}{81}\)
    Réponse

    2. \(2\)

    4. \(0\)

    6. \(\frac{1}{3}\)

    8. \(-2\)

    10. \(-3\)

    12. \(-2\)

    Exercice\(\PageIndex{25}\) Graph Logarithmic Functions

    Dans les exercices suivants, tracez graphiquement chaque fonction logarithmique.

    1. \(y=\log _{2} x\)
    2. \(y=\log _{4} x\)
    3. \(y=\log _{6} x\)
    4. \(y=\log _{7} x\)
    5. \(y=\log _{1.5} x\)
    6. \(y=\log _{2.5} x\)
    7. \(y=\log _{\frac{1}{3}} x\)
    8. \(y=\log _{\frac{1}{5}} x\)
    9. \(y=\log _{0.4} x\)
    10. \(y=\log _{0.6} x\)
    Réponse

    2.

    Cette figure montre la courbe logarithmique passant par les points (1 sur 4, moins 1), (1, 0) et (4, 1).
    Graphique 10.3.19

    4.

    Cette figure montre la courbe logarithmique passant par les points (1 sur 7, moins 1), (1, 0) et (7, 1).
    Graphique 10.3.20

    6.

    Cette figure montre la courbe logarithmique passant par les points (2 sur 5, moins 1), (1, 0) et (2,5, 1).
    Graphique 10.3.21

    8.

    Cette figure montre la courbe logarithmique passant par les points (1 sur 5, 1), (1, 0) et (5, moins 1).
    Graphique 10.3.22

    10.

    Cette figure montre la courbe logarithmique passant par les points (3 sur 5, 1), (1, 0) et (5 sur 3, moins 1).
    Graphique 10.3.23
    Exercice\(\PageIndex{26}\) Solve Logarithmic Equations

    Dans les exercices suivants, résolvez chaque équation logarithmique.

    1. \(\log _{a} 16=2\)
    2. \(\log _{a} 81=2\)
    3. \(\log _{a} 8=3\)
    4. \(\log _{a} 27=3\)
    5. \(\log _{a} 32=2\)
    6. \(\log _{a} 24=3\)
    7. \(\ln x=5\)
    8. \(\ln x=4\)
    9. \(\log _{2}(5 x+1)=4\)
    10. \(\log _{2}(6 x+2)=5\)
    11. \(\log _{3}(4 x-3)=2\)
    12. \(\log _{3}(5 x-4)=4\)
    13. \(\log _{4}(5 x+6)=3\)
    14. \(\log _{4}(3 x-2)=2\)
    15. \(\ln e^{4 x}=8\)
    16. \(\ln e^{2 x}=6\)
    17. \(\log x^{2}=2\)
    18. \(\log \left(x^{2}-25\right)=2\)
    19. \(\log _{2}\left(x^{2}-4\right)=5\)
    20. \(\log _{3}\left(x^{2}+2\right)=3\)
    Réponse

    2. \(a=9\)

    4. \(a=3\)

    6. \(a=\sqrt[3]{24}\)

    8. \(x=e^{4}\)

    10. \(x=5\)

    12. \(x=17\)

    14. \(x=6\)

    16. \(x=3\)

    18. \(x=-5 \sqrt{5}, x=5 \sqrt{5}\)

    20. \(x=-5, x=5\)

    Exercice\(\PageIndex{27}\) Use Logarithmic Models in Applications

    Dans les exercices suivants, utilisez un modèle logarithmique pour résoudre.

    1. Quel est le niveau de décibels d'une conversation normale avec une intensité en\(10^{−6}\) watts par pouce carré ?
    2. Quel est le niveau de décibels d'un murmure avec une intensité en\(10^{−10}\) watts par pouce carré ?
    3. Quel est le niveau en décibels du bruit d'une moto d'une intensité en\(10^{−2}\) watts par pouce carré ?
    4. Quel est le niveau en décibels du son d'une poubelle avec une intensité en\(10^{−2}\) watts par pouce carré ?
    5. En 2014, le Chili a connu un violent tremblement de terre d'une magnitude\(8.2\) de l'échelle de Richter. En 2010, Haïti a également connu un violent tremblement de terre d'une ampleur\(7.0\) sur l'échelle de Richter. Comparez les intensités des deux tremblements de terre.
    6. La région de Los Angeles connaît de nombreux tremblements de terre. En 1994, le tremblement de terre de Northridge a mesuré une magnitude de\(6.7\) sur l'échelle de Richter. En 2014, Los Angeles a également connu un tremblement de terre mesuré\(5.1\) sur l'échelle de Richter. Comparez les intensités des deux tremblements de terre.
    Réponse

    2. Un chuchotement a un niveau de décibels de\(20\) dB.

    4. Le son d'une poubelle a un niveau de décibels de\(100\) dB.

    6. L'intensité du tremblement de terre de Northridge en 1994 dans la région de Los Angeles était environ\(40\) fois supérieure à celle du tremblement de terre de 2014.

    Exercice\(\PageIndex{28}\) Writing Exercises
    1. Expliquer comment modifier une équation de la forme logarithmique à la forme exponentielle.
    2. Expliquez la différence entre les logarithmes courants et les logarithmes naturels.
    3. Expliquez pourquoi\(\log _{a} a^{x}=x\).
    4. Expliquez comment le trouver\(\log _{7} 32\) sur votre calculatrice.
    Réponse

    2. Les réponses peuvent varier

    4. Les réponses peuvent varier

    Auto-vérification

    a. Une fois les exercices terminés, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

    Ce tableau comporte quatre lignes et cinq colonnes. La première ligne, qui sert d'en-tête, se lit comme suit : Je peux..., En toute confiance, avec de l'aide, et Non, je ne comprends pas.™ La première colonne sous la ligne d'en-tête indique Convertir entre une forme exponentielle et une forme logarithmique, évaluer des fonctions logarithmiques, représenter graphiquement des fonctions logarithmiques, résoudre des équations logarithmiques et utiliser des modèles logarithmiques dans les applications. Les autres cellules sont vides.
    Graphique 10.3.24

    b. Après avoir examiné cette liste de contrôle, que ferez-vous pour atteindre tous les objectifs en toute confiance ?