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8.6E : Exercices

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    La pratique rend la perfection

    Exercice SET A : diviser des racines carrées

    Dans les exercices suivants, simplifiez.

    1. a.\(\dfrac{\sqrt{128}}{\sqrt{72}}\quad\) b.\(\dfrac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{54}}\)

    2. a.\(\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{75}}\quad\) b.\(\dfrac{\sqrt[3]{81}}{\sqrt[3]{24}}\)

    3. a.\(\dfrac{\sqrt{200 m^{5}}}{\sqrt{98 m}}\quad\) b.\(\dfrac{\sqrt[3]{54 y^{2}}}{\sqrt[3]{2 y^{5}}}\)

    4. a.\(\dfrac{\sqrt{108 n^{7}}}{\sqrt{243 n^{3}}}\quad\) b.\(\dfrac{\sqrt[3]{54 y}}{\sqrt[3]{16 y^{4}}}\)

    5. a.\(\dfrac{\sqrt{75 r^{3}}}{\sqrt{108 r^{7}}}\quad\) b.\(\dfrac{\sqrt[3]{24 x^{7}}}{\sqrt[3]{81 x^{4}}}\)

    6. a.\(\dfrac{\sqrt{196 q}}{\sqrt{484 q^{5}}}\quad\) b.\(\dfrac{\sqrt[3]{16 m^{4}}}{\sqrt[3]{54 m}}\)

    7. a.\(\dfrac{\sqrt{108 p^{5} q^{2}}}{\sqrt{3 p^{3} q^{6}}}\quad\) b.\(\dfrac{\sqrt[3]{-16 a^{4} b^{-2}}}{\sqrt[3]{2 a^{-2} b}}\)

    8. a.\(\dfrac{\sqrt{98 r s^{10}}}{\sqrt{2 r^{3} s^{4}}}\quad\) b.\(\dfrac{\sqrt[3]{-375 y^{4} z^{2}}}{\sqrt[3]{3 y^{-2} z^{4}}}\)

    9. a.\(\dfrac{\sqrt{320 m n^{-5}}}{\sqrt{45 m^{-7} n^{3}}}\quad\) b.\(\dfrac{\sqrt[3]{16 x^{4} y^{-2}}}{\sqrt[3]{-54 x^{-2} y^{4}}}\)

    10. a.\(\dfrac{\sqrt{810 c^{-3} d^{7}}}{\sqrt{1000 c d}}\quad\) b.\(\dfrac{\sqrt[3]{24 a^{7} b^{-1}}}{\sqrt[3]{-81 a^{-2} b^{2}}}\)

    11. \(\dfrac{\sqrt{56 x^{5} y^{4}}}{\sqrt{2 x y^{3}}}\)

    12. \(\dfrac{\sqrt{72 a^{3} b^{6}}}{\sqrt{3 a b^{3}}}\)

    13. \(\dfrac{\sqrt[3]{48 a^{3} b^{6}}}{\sqrt[3]{3 a^{-1} b^{3}}}\)

    14. \(\dfrac{\sqrt[3]{162 x^{-3} y^{6}}}{\sqrt[3]{2 x^{3} y^{-2}}}\)

    Réponse

    1. a.\(\dfrac{4}{3}\) b.\(\dfrac{4}{3}\)

    3. a.\(\dfrac{10 m^{2}}{7}\) b.\(\dfrac{3}{y}\)

    5. a.\(\dfrac{5}{6 r^{2}}\) b.\(\dfrac{2x}{3}\)

    7. a.\(\dfrac{6 p}{q^{2}}\) b.\(-\dfrac{2 a^{2}}{b}\)

    9. a.\(\dfrac{8 m^{4}}{3 n^{4}}\) b.\(-\dfrac{2 x^{2}}{3 y^{2}}\)

    11. \(4 x^{4} \sqrt{7 y}\)

    13. \(2 a b \sqrt[3]{2 a}\)

    Exercice SET B : Rationaliser un dénominateur à un terme

    Dans les exercices suivants, rationalisez le dénominateur.

    15. a.\(\dfrac{10}{\sqrt{6}}\quad\) b.\(\sqrt{\dfrac{4}{27}}\quad\) c.\(\dfrac{10}{\sqrt{5 x}}\)

    16. a.\(\dfrac{8}{\sqrt{3}}\quad\) b.\(\sqrt{\dfrac{7}{40}}\quad\) c.\(\dfrac{8}{\sqrt{2 y}}\)

    17. a.\(\dfrac{6}{\sqrt{7}}\quad\) b.\(\sqrt{\dfrac{8}{45}}\quad\) c.\(\dfrac{12}{\sqrt{3 p}}\)

    18. a.\(\dfrac{4}{\sqrt{5}}\quad\) b.\(\sqrt{\dfrac{27}{80}}\quad\) c.\(\dfrac{18}{\sqrt{6 q}}\)

    19. a.\(\dfrac{1}{\sqrt[3]{5}}\quad\) b.\(\sqrt[3]{\dfrac{5}{24}}\quad\) c.\(\dfrac{4}{\sqrt[3]{36 a}}\)

    20. a.\(\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}\quad\) b.\(\sqrt[3]{\dfrac{5}{32}}\quad\) c.\(\dfrac{7}{\sqrt[3]{49 b}}\)

    21. a.\(\dfrac{1}{\sqrt[3]{11}}\quad\) b.\(\sqrt[3]{\dfrac{7}{54}}\quad\) c.\(\dfrac{3}{\sqrt[3]{3 x^{2}}}\)

    22. a.\(\dfrac{1}{\sqrt[3]{13}}\quad\) b.\(\sqrt[3]{\dfrac{3}{128}}\quad\) c.\(\dfrac{3}{\sqrt[3]{6 y^{2}}}\)

    23. a.\(\dfrac{1}{\sqrt[4]{7}}\quad\) b.\(\sqrt[4]{\dfrac{5}{32}}\quad\) c.\(\dfrac{4}{\sqrt[4]{4 x^{2}}}\)

    24. a.\(\dfrac{1}{\sqrt[4]{4}}\quad\) b.\(\sqrt[4]{\dfrac{9}{32}}\quad\) c.\(\dfrac{6}{\sqrt[4]{9 x^{3}}}\)

    25. a.\(\dfrac{1}{\sqrt[4]{9}}\quad\) b.\(\sqrt[4]{\dfrac{25}{128}}\quad\) c.\(\dfrac{6}{\sqrt[4]{27 a}}\)

    26. a.\(\dfrac{1}{\sqrt[4]{8}}\quad\) b.\(\sqrt[4]{\dfrac{27}{128}}\quad\) c.\(\dfrac{16}{\sqrt[4]{64 b^{2}}}\)

    Réponse

    15. a.\(\dfrac{5 \sqrt{6}}{3}\) b.\(\dfrac{2 \sqrt{3}}{9}\) c.\(\dfrac{2 \sqrt{5 x}}{x}\)

    17. a.\(\dfrac{6 \sqrt{7}}{7}\) b.\(\dfrac{2 \sqrt{10}}{15}\) c.\(\dfrac{4 \sqrt{3 p}}{p}\)

    19. a.\(\dfrac{\sqrt[3]{25}}{5}\) b.\(\dfrac{\sqrt[3]{45}}{6}\) c.\(\dfrac{2 \sqrt[3]{6 a^{2}}}{3 a}\)

    21. a.\(\dfrac{\sqrt[3]{121}}{11}\) b.\(\dfrac{\sqrt[3]{28}}{6}\) c.\(\dfrac{\sqrt[3]{9 x}}{x}\)

    23. a.\(\dfrac{\sqrt[4]{343}}{7}\) b.\(\dfrac{\sqrt[4]{40}}{4}\) c.\(\dfrac{2 \sqrt[4]{4 x^{2}}}{x}\)

    25. a.\(\dfrac{\sqrt[4]{9}}{3}\) b.\(\dfrac{\sqrt[4]{50}}{4}\) c.\(\dfrac{2 \sqrt[4]{3 a^{2}}}{a}\)

    Exercice SET C : Rationaliser un dénominateur à deux termes

    Dans les exercices suivants, simplifiez.

    27. \(\dfrac{8}{1-\sqrt{5}}\)

    28. \(\dfrac{7}{2-\sqrt{6}}\)

    29. \(\dfrac{6}{3-\sqrt{7}}\)

    30. \(\dfrac{5}{4-\sqrt{11}}\)

    31. \(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{m}-\sqrt{5}}\)

    32. \(\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{n}-\sqrt{7}}\)

    33. \(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}-\sqrt{6}}\)

    34. \(\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{y}+\sqrt{3}}\)

    35. \(\dfrac{\sqrt{r}+\sqrt{5}}{\sqrt{r}-\sqrt{5}}\)

    36. \(\dfrac{\sqrt{s}-\sqrt{6}}{\sqrt{s}+\sqrt{6}}\)

    37. \(\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{8}}{\sqrt{x}-\sqrt{8}}\)

    38. \(\dfrac{\sqrt{m}-\sqrt{3}}{\sqrt{m}+\sqrt{3}}\)

    Réponse

    27. \(-2(1+\sqrt{5})\)

    29. \(3(3+\sqrt{7})\)

    31. \(\dfrac{\sqrt{3}(\sqrt{m}+\sqrt{5})}{m-5}\)

    33. \(\dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{x}+\sqrt{6})}{x-6}\)

    35. \(\dfrac{(\sqrt{r}+\sqrt{5})^{2}}{r-5}\)

    37. \(\dfrac{(\sqrt{x}+2 \sqrt{2})^{2}}{x-8}\)

    Exercice SET D : exercices d'écriture
      1. Simplifiez\(\sqrt{\dfrac{27}{3}}\) et expliquez toutes vos étapes.
      2. Simplifiez\(\sqrt{\dfrac{27}{5}}\) et expliquez toutes vos étapes.
      3. Pourquoi les deux méthodes de simplification des racines carrées sont-elles différentes ?
    2. Expliquez ce que signifie le mot rationaliser dans l'expression « rationaliser un dénominateur ».
    3. Expliquez pourquoi la multiplication\(\sqrt{2x}-3\) par son conjugué donne une expression sans radicaux.
    4. Expliquez pourquoi le fait de multiplier\(\dfrac{7}{\sqrt[3]{x}}\) par\(\dfrac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}\) ne permet pas de rationaliser le dénominateur.
    Réponse

    1. Les réponses peuvent varier

    3. Les réponses peuvent varier

    Auto-vérification

    a. Une fois les exercices terminés, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

    Ce tableau comporte 4 lignes et 4 colonnes. La première ligne est une ligne d'en-tête et elle étiquette chaque colonne. L'en-tête de la première colonne est « Je peux », la seconde est « En toute confiance », la troisième est « Avec un peu d'aide », et la quatrième est « Non, je ne comprends pas ».™ Dans la première colonne se trouvent les phrases « diviser les expressions radicales », « rationaliser un dénominateur à un terme » et « rationaliser un dénominateur à deux termes ». Les autres colonnes sont laissées vides afin que l'apprenant puisse indiquer son niveau de maîtrise pour chaque sujet.
    Graphique 8.5.63

    b. Après avoir examiné la liste de contrôle, pensez-vous être bien préparé pour la section suivante ? Pourquoi ou pourquoi pas ?