8.4 : Simplifier les exposants rationnels

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

• Simplifiez les expressions\(a^{\frac{1}{n}}\)
• Simplifiez les expressions\(a^{\frac{m}{n}}\)
• Utilisez les propriétés des exposants pour simplifier les expressions avec des exposants rationnels

Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.

1. Ajoutez :\(\frac{7}{15}+\frac{5}{12}\).
   Si vous avez oublié ce problème, consultez l'exemple 1.28.
2. Simplifiez :\((4x^{2}y^{5})^{3}\).
   Si vous avez oublié ce problème, consultez l'exemple 5.18.
3. Simplifiez :\(5^{−3}\).
   Si vous avez oublié ce problème, consultez l'exemple 5.14.

Simplifiez les expressions\(a^{\frac{1}{n}}\)

Les exposants rationnels sont une autre façon d'écrire des expressions avec des radicaux. Lorsque nous utilisons des exposants rationnels, nous pouvons appliquer les propriétés des exposants pour simplifier les expressions.

La propriété de puissance pour les exposants indique que\(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}\) quand\(m\) et\(n\) sont des nombres entiers. Supposons que nous ne soyons plus limités à des nombres entiers.

Supposons que nous voulions trouver un nombre\(p\) tel que\(\left(8^{p}\right)^{3}=8\). Nous utiliserons la propriété de puissance des exposants pour trouver la valeur de\(p\).

\(\left(8^{p}\right)^{3}=8\)

Multipliez les exposants sur la gauche.

\(8^{3p}=8\)

Écrivez l'exposant\(1\) sur la droite.

\(8^{3p}=8^{1}\)

Les bases étant les mêmes, les exposants doivent être égaux.

\(3p=1\)

Résolvez pour\(p\).

\(p=\frac{1}{3}\)

Donc\(\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^{3}=8\). Mais nous le savons aussi\((\sqrt[3]{8})^{3}=8\). Alors ça doit être ça\(8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}\).

Cette même logique peut être utilisée pour n'importe quel exposant entier positif\(n\) pour le montrer\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\).

Définition\(\PageIndex{1}\): Rational Exponent \(a^{\frac{1}{n}}\)

Si\(\sqrt[n]{a}\) c'est un nombre réel et\(n \geq 2\), alors

\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)

Le dénominateur de l'exposant rationnel est l'indice du radical.

Il y aura des moments où il sera plus facile de travailler avec des expressions si vous utilisez des exposants rationnels et des moments où cela sera plus facile si vous utilisez des radicaux. Dans les premiers exemples, vous allez vous entraîner à convertir des expressions entre ces deux notations.

Exemple\(\PageIndex{1}\)

Écrivez comme une expression radicale :

1. \(x^{\frac{1}{2}}\)
2. \(y^{\frac{1}{3}}\)
3. \(z^{\frac{1}{4}}\)

Solution :

Nous voulons écrire chaque expression dans le formulaire\(\sqrt[n]{a}\).

un.

\(x^{\frac{1}{2}}\)

Le dénominateur de l'exposant rationnel est\(2\), donc l'indice du radical est\(2\). Nous n'affichons pas l'indice lorsqu'il l'est\(2\).

\(\sqrt{x}\)

b.

\(y^{\frac{1}{3}}\)

Le dénominateur de l'exposant est\(3\), donc l'indice l'est\(3\).

\(\sqrt[3]{y}\)

c.

\(z^{\frac{1}{4}}\)

Le dénominateur de l'exposant est \\(4\), donc l'indice est\(4\).

\(\sqrt[4]{z}\)

Exercice\(\PageIndex{1}\)

Écrivez comme une expression radicale :

1. \(t^{\frac{1}{2}}\)
2. \(m^{\frac{1}{3}}\)
3. \(r^{\frac{1}{4}}\)

Réponse

1. \(\sqrt{t}\)
2. \(\sqrt[3]{m}\)
3. \(\sqrt[4]{r}\)

Exercice\(\PageIndex{2}\)

Écrivez comme une expression radicale :

1. \(b^{\frac{1}{6}}\)
2. \(z^{\frac{1}{5}}\)
3. \(p^{\frac{1}{4}}\)

Réponse

1. \(\sqrt[6]{b}\)
2. \(\sqrt[5]{z}\)
3. \(\sqrt[4]{p}\)

Dans l'exemple suivant, nous allons écrire chaque radical en utilisant un exposant rationnel. Il est important d'utiliser des parenthèses autour de l'expression entière dans le radicand, car l'expression entière est élevée au pouvoir rationnel.

Exemple\(\PageIndex{2}\)

Écrivez avec un exposant rationnel :

1. \(\sqrt{5y}\)
2. \(\sqrt[3]{4 x}\)
3. \(3 \sqrt[4]{5 z}\)

Solution :

Nous voulons écrire chaque radical sous la forme\(a^{\frac{1}{n}}\)

un.

\(\sqrt{5y}\)

Aucun index n'est affiché, il l'est donc\(2\).

Le dénominateur de l'exposant sera\(2\).

Placez des parenthèses autour de l'ensemble de l'expression\(5y\).

\((5 y)^{\frac{1}{2}}\)

b.

\(\sqrt[3]{4 x}\)

L'indice est\(3\), donc le dénominateur de l'exposant est\(3\). Incluez des parenthèses\((4x)\).

\((4 x)^{\frac{1}{3}}\)

c.

\(3 \sqrt[4]{5 z}\)

L'indice est\(4\), donc le dénominateur de l'exposant est\(4\). Ne mettez que des parenthèses autour du signe\(5z\) puisque 3 n'est pas sous le signe radical.

\(3(5 z)^{\frac{1}{4}}\)

Exercice\(\PageIndex{3}\)

Écrivez avec un exposant rationnel :

1. \(\sqrt{10m}\)
2. \(\sqrt[5]{3 n}\)
3. \(3 \sqrt[4]{6 y}\)

Réponse

1. \((10 m)^{\frac{1}{2}}\)
2. \((3 n)^{\frac{1}{5}}\)
3. \(3(6 y)^{\frac{1}{4}}\)

Exercice\(\PageIndex{4}\)

Écrivez avec un exposant rationnel :

1. \(\sqrt[7]{3 k}\)
2. \(\sqrt[4]{5 j}\)
3. \(8 \sqrt[3]{2 a}\)

Réponse

1. \((3 k)^{\frac{1}{7}}\)
2. \((5 j)^{\frac{1}{4}}\)
3. \(8(2 a)^{\frac{1}{3}}\)

Dans l'exemple suivant, il sera peut-être plus facile de simplifier les expressions si vous les réécrivez d'abord sous forme de radicaux.

Exemple\(\PageIndex{3}\)

Simplifiez :

1. \(25^{\frac{1}{2}}\)
2. \(64^{\frac{1}{3}}\)
3. \(256^{\frac{1}{4}}\)

Solution :

un.

\(25^{\frac{1}{2}}\)

Réécrivez en tant que racine carrée.

\(\sqrt{25}\)

Simplifiez.

\(5\)

b.

\(64^{\frac{1}{3}}\)

Réécrivez en tant que racine cubique.

\(\sqrt[3]{64}\)

Reconnaître\(64\) est un cube parfait.

\(\sqrt[3]{4^{3}}\)

Simplifiez.

\(4\)

c.

\(256^{\frac{1}{4}}\)

Réécrivez en tant que quatrième racine.

\(\sqrt[4]{256}\)

Reconnaître\(256\) est un quatrième pouvoir parfait.

\(\sqrt[4]{4^{4}}\)

Simplifiez.

\(4\)

Exercice\(\PageIndex{5}\)

Simplifiez :

1. \(36^{\frac{1}{2}}\)
2. \(8^{\frac{1}{3}}\)
3. \(16^{\frac{1}{4}}\)

Réponse

1. \(6\)
2. \(2\)
3. \(2\)

Exercice\(\PageIndex{6}\)

Simplifiez :

1. \(100^{\frac{1}{2}}\)
2. \(27^{\frac{1}{3}}\)
3. \(81^{\frac{1}{4}}\)

Réponse

1. \(10\)
2. \(3\)
3. \(3\)

Faites attention à l'emplacement des signes négatifs dans l'exemple suivant. Nous devrons utiliser la propriété\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\) dans un cas.

Exemple\(\PageIndex{4}\)

Simplifiez :

1. \((-16)^{\frac{1}{4}}\)
2. \(-16^{\frac{1}{4}}\)
3. \((16)^{-\frac{1}{4}}\)

Solution :

un.

\((-16)^{\frac{1}{4}}\)

Réécrivez en tant que quatrième racine.

\(\sqrt[4]{-16}\)

\(\sqrt[4]{(-2)^{4}}\)

Simplifiez.

Aucune véritable solution

b.

\(-16^{\frac{1}{4}}\)

L'exposant s'applique uniquement au\(16\). Réécrivez en tant que quatrième racine.

\(-\sqrt[4]{16}\)

Réécrire en\(16\) tant que\(2^{4}\)

\(-\sqrt[4]{2^{4}}\)

Simplifiez.

\(-2\)

c.

\((16)^{-\frac{1}{4}}\)

Réécrivez à l'aide de la propriété\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\).

\(\frac{1}{(16)^{\frac{1}{4}}}\)

Réécrivez en tant que quatrième racine.

\(\frac{1}{\sqrt[4]{16}}\)

Réécrivez\(16\) en tant que\(2^{4}\).

\(\frac{1}{\sqrt[4]{2^{4}}}\)

Simplifiez.

\(\frac{1}{2}\)

Exercice\(\PageIndex{7}\)

Simplifiez :

1. \((-64)^{-\frac{1}{2}}\)
2. \(-64^{\frac{1}{2}}\)
3. \((64)^{-\frac{1}{2}}\)

Réponse

1. Aucune véritable solution
2. \(-8\)
3. \(\frac{1}{8}\)

Exercice\(\PageIndex{8}\)

Simplifiez :

1. \((-256)^{\frac{1}{4}}\)
2. \(-256^{\frac{1}{4}}\)
3. \((256)^{-\frac{1}{4}}\)

Réponse

1. Aucune véritable solution
2. \(-4\)
3. \(\frac{1}{4}\)

Simplifiez les expressions\(a^{\frac{m}{n}}\)

Nous pouvons envisager la situation\(a^{\frac{m}{n}}\) de deux manières. N'oubliez pas que la propriété Power nous dit de multiplier les exposants\(\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}\) et ainsi de suite,\(\left(a^{m}\right)^{\frac{1}{n}}\) les deux étant égaux\(a^{\frac{m}{n}}\). Si nous écrivons ces expressions sous une forme radicale, nous obtenons

\(a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}=(\sqrt[n]{a})^{m} \quad \text { and } \quad a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{m}\right)^{^{\frac{1}{n}}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)

Cela nous amène à la définition suivante.

Définition\(\PageIndex{2}\): Rational Exponent \(a^{\frac{m}{n}}\)

Pour tous les entiers positifs\(m\) et\(n\),

\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m} \quad \text { and } \quad a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)

Quelle forme utilisons-nous pour simplifier une expression ? Nous prenons généralement la racine en premier, de cette façon, nous maintenons les nombres dans le radical et plus petits, avant de l'élever à la puissance indiquée.

Exemple\(\PageIndex{5}\)

Écrivez avec un exposant rationnel :

1. \(\sqrt{y^{3}}\)
2. \((\sqrt[3]{2 x})^{4}\)
3. \(\sqrt{\left(\frac{3 a}{4 b}\right)^{3}}\)

Solution :

Nous voulons utiliser\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\) pour écrire chaque radical dans la forme\(a^{\frac{m}{n}}\)

un.

Graphique 8.3.1

b.

Graphique 8.3.2

c.

Graphique 8.3.3

Exercice\(\PageIndex{9}\)

Écrivez avec un exposant rationnel :

1. \(\sqrt{x^{5}}\)
2. \((\sqrt[4]{3 y})^{3}\)
3. \(\sqrt{\left(\frac{2 m}{3 n}\right)^{5}}\)

Réponse

1. \(x^{\frac{5}{2}}\)
2. \((3 y)^{\frac{3}{4}}\)
3. \(\left(\frac{2 m}{3 n}\right)^{\frac{5}{2}}\)

Exercice\(\PageIndex{10}\)

Écrivez avec un exposant rationnel :

1. \(\sqrt[5]{a^{2}}\)
2. \((\sqrt[3]{5 a b})^{5}\)
3. \(\sqrt{\left(\frac{7 x y}{z}\right)^{3}}\)

Réponse

1. \(a^{\frac{2}{5}}\)
2. \((5 a b)^{\frac{5}{3}}\)
3. \(\left(\frac{7 x y}{z}\right)^{\frac{3}{2}}\)

N'oubliez pas cela\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\). Le signe négatif dans l'exposant ne modifie pas le signe de l'expression.

Exemple\(\PageIndex{6}\)

Simplifiez :

1. \(125^{\frac{2}{3}}\)
2. \(16^{-\frac{3}{2}}\)
3. \(32^{-\frac{2}{5}}\)

Solution :

Nous allons d'abord réécrire l'expression en tant que radical en utilisant la définition,\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m}\). Cette forme nous permet de prendre la racine en premier et de garder les nombres dans le radical et plus petits que si nous utilisions l'autre forme.

un.

\(125^{\frac{2}{3}}\)

La puissance du radical est le numérateur de l'exposant,\(2\). L'indice du radical est le dénominateur de l'exposant,\(3\).

\((\sqrt[3]{125})^{2}\)

Simplifiez.

\((5)^{2}\)

\(25\)

b. Nous allons d'abord réécrire chaque expression en utilisant\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\) puis en utilisant une forme radicale.

\(16^{-\frac{3}{2}}\)

Réécrire en utilisant\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)

\(\frac{1}{16^{\frac{3}{2}}}\)

Passez à une forme radicale. La puissance du radical est le numérateur de l'exposant,\(3\). L'indice est le dénominateur de l'exposant,\(2\).

\(\frac{1}{(\sqrt{16})^{3}}\)

Simplifiez.

\(\frac{1}{4^{3}}\)

\(\frac{1}{64}\)

c.

\(32^{-\frac{2}{5}}\)

Réécrire en utilisant\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)

\(\frac{1}{32^{\frac{2}{5}}}\)

Passez à une forme radicale.

\(\frac{1}{(\sqrt[5]{32})^{2}}\)

Réécrivez le radicand en tant que pouvoir.

\(\frac{1}{\left(\sqrt[5]{2^{5}}\right)^{2}}\)

Simplifiez.

\(\frac{1}{2^{2}}\)

\(\frac{1}{4}\)

Exercice\(\PageIndex{11}\)

Simplifiez :

1. \(27^{\frac{2}{3}}\)
2. \(81^{-\frac{3}{2}}\)
3. \(16^{-\frac{3}{4}}\)

Réponse

1. \(9\)
2. \(\frac{1}{729}\)
3. \(\frac{1}{8}\)

Exercice\(\PageIndex{12}\)

Simplifiez :

1. \(4^{\frac{3}{2}}\)
2. \(27^{-\frac{2}{3}}\)
3. \(625^{-\frac{3}{4}}\)

Réponse

1. \(8\)
2. \(\frac{1}{9}\)
3. \(\frac{1}{125}\)

Exemple\(\PageIndex{7}\)

Simplifiez :

1. \(-25^{\frac{3}{2}}\)
2. \(-25^{-\frac{3}{2}}\)
3. \((-25)^{\frac{3}{2}}\)

Solution :

un.

\(-25^{\frac{3}{2}}\)

Réécrivez sous une forme radicale.

\(-(\sqrt{25})^{3}\)

Simplifiez le radical.

\(-(5)^{3}\)

Simplifiez.

\(-125\)

b.

\(-25^{-\frac{3}{2}}\)

Réécrivez en utilisant\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\).

\(-\left(\frac{1}{25^{\frac{3}{2}}}\right)\)

Réécrivez sous une forme radicale.

\(-\left(\frac{1}{(\sqrt{25})^{3}}\right)\)

Simplifiez le radical.

\(-\left(\frac{1}{(5)^{3}}\right)\)

Simplifiez.

\(-\frac{1}{125}\)

c.

\((-25)^{\frac{3}{2}}\)

Réécrivez sous une forme radicale.

\((\sqrt{-25})^{3}\)

Il n'y a pas de nombre réel dont la racine carrée est\(-25\).

Ce n'est pas un vrai chiffre.

Exercice\(\PageIndex{13}\)

Simplifiez :

1. \(-16^{\frac{3}{2}}\)
2. \(-16^{-\frac{3}{2}}\)
3. \((-16)^{-\frac{3}{2}}\)

Réponse

1. \(-64\)
2. \(-\frac{1}{64}\)
3. Ce n'est pas un vrai chiffre

Exercice\(\PageIndex{14}\)

Simplifiez :

1. \(-81^{\frac{3}{2}}\)
2. \(-81^{-\frac{3}{2}}\)
3. \((-81)^{-\frac{3}{2}}\)

Réponse

1. \(-729\)
2. \(-\frac{1}{729}\)
3. Ce n'est pas un vrai chiffre

Utiliser les propriétés des exposants pour simplifier les expressions avec des exposants rationnels

Les mêmes propriétés des exposants que celles que nous avons déjà utilisées s'appliquent également aux exposants rationnels. Nous listerons les propriétés des exposants ici pour les avoir comme référence lors de la simplification des expressions.

Propriétés des exposants

Si\(a\) et\(b\) sont des nombres réels et\(m\) et\(n\) sont des nombres rationnels, alors

Propriété du produit

\(a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\)

Propriété énergétique

\(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}\)

Du produit à une puissance

\((a b)^{m}=a^{m} b^{m}\)

Propriété du quotient

\(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, a \neq 0\)

Définition de l'exposant zéro

\(a^{0}=1, a \neq 0\)

Quotient par rapport à une propriété énergétique

\(\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0\)

Propriété d'exposant négatif

\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}, a \neq 0\)

Nous appliquerons ces propriétés dans l'exemple suivant.

Exemple\(\PageIndex{8}\)

Simplifiez :

1. \(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{6}}\)
2. \(\left(z^{9}\right)^{\frac{2}{3}}\)
3. \(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}\)

Solution

a. La propriété du produit nous indique que lorsque nous multiplions la même base, nous ajoutons les exposants.

\(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{6}}\)

Les bases sont les mêmes, nous ajoutons donc les exposants.

\(x^{\frac{1}{2}+\frac{5}{6}}\)

Ajoutez les fractions.

\(x^{\frac{8}{6}}\)

Simplifiez l'exposant.

\(x^{\frac{4}{3}}\)

b. La propriété Power nous indique que lorsque nous élevons une puissance à une puissance, nous multiplions les exposants.

\(\left(z^{9}\right)^{\frac{2}{3}}\)

Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants.

\(z^{9 \cdot \frac{2}{3}}\)

Simplifiez.

\(z^{6}\)

c. La propriété du quotient nous indique que lorsque nous divisons avec la même base, nous soustrayons les exposants.

\(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}\)

Pour diviser avec la même base, on soustrait les exposants.

\(\frac{1}{x^{\frac{5}{3}-\frac{1}{3}}}\)

Simplifiez.

\(\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}\)

Exercice\(\PageIndex{15}\)

Simplifiez :

1. \(x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{4}{3}}\)
2. \(\left(x^{6}\right)^{\frac{4}{3}}\)
3. \(\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}\)

Réponse

1. \(x^{\frac{3}{2}}\)
2. \(x^{8}\)
3. \(\frac{1}{x}\)

Exercice\(\PageIndex{16}\)

Simplifiez :

1. \(y^{\frac{3}{4}} \cdot y^{\frac{5}{8}}\)
2. \(\left(m^{9}\right)^{\frac{2}{9}}\)
3. \(\frac{d^{\frac{1}{5}}}{d^{\frac{6}{5}}}\)

Réponse

1. \(y^{\frac{11}{8}}\)
2. \(m^{2}\)
3. \(\frac{1}{d}\)

Parfois, nous avons besoin d'utiliser plus d'une propriété. Dans l'exemple suivant, nous utiliserons à la fois la propriété Product to a Power, puis la propriété Power.

Exemple\(\PageIndex{9}\)

Simplifiez :

1. \(\left(27 u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)
2. \(\left(m^{\frac{2}{3}} n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\)

Solution :

un.

\(\left(27 u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)

Nous utilisons d'abord le produit pour une propriété énergétique.

\((27)^{\frac{2}{3}}\left(u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)

La réécriture\(27\) en tant que pouvoir de\(3\).

\(\left(3^{3}\right)^{\frac{2}{3}}\left(u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)

Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants.

\(\left(3^{2}\right)\left(u^{\frac{1}{3}}\right)\)

Simplifiez.

\(9 u^{\frac{1}{3}}\)

b.

\(\left(m^{\frac{2}{3}} n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\)

Nous utilisons d'abord le produit pour une propriété énergétique.

\(\left(m^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}\left(n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\)

Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants.

\(m n^{\frac{3}{4}}\)

Exercice\(\PageIndex{17}\)

Simplifiez :

1. \(\left(32 x^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{3}{5}}\)
2. \(\left(x^{\frac{3}{4}} y^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)

Réponse

1. \(8 x^{\frac{1}{5}}\)
2. \(x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{3}}\)

Exercice\(\PageIndex{18}\)

Simplifiez :

1. \(\left(81 n^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{3}{2}}\)
2. \(\left(a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{4}{3}}\)

Réponse

1. \(729 n^{\frac{3}{5}}\)
2. \(a^{2} b^{\frac{2}{3}}\)

Nous utiliserons à la fois la propriété du produit et la propriété du quotient dans l'exemple suivant.

Exemple\(\PageIndex{10}\)

Simplifiez :

1. \(\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{-\frac{1}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}\)
2. \(\left(\frac{16 x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{5}{6}}}{x^{-\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)

Solution :

un.

\(\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{-\frac{1}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}\)

Utilisez la propriété Product dans le numérateur, ajoutez les exposants.

\(\frac{x^{\frac{2}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}\)

Utilisez la propriété Quotient, soustrayez les exposants.

\(x^{\frac{8}{4}}\)

Simplifiez.

\(x^{2}\)

b.

\(\left(\frac{16 x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{5}{6}}}{x^{-\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)

Utilisez la propriété Quotient, soustrayez les exposants.

\(\left(\frac{16 x^{\frac{6}{3}}}{y^{\frac{6}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)

Simplifiez.

\(\left(\frac{16 x^{2}}{y}\right)^{\frac{1}{2}}\)

Utilisez la propriété Product to a Power, multipliez les exposants.

\(\frac{4 x}{y^{\frac{1}{2}}}\)

Exercice\(\PageIndex{19}\)

Simplifiez :

1. \(\frac{m^{\frac{2}{3}} \cdot m^{-\frac{1}{3}}}{m^{-\frac{5}{3}}}\)
2. \(\left(\frac{25 m^{\frac{1}{6}} n^{\frac{11}{6}}}{m^{\frac{2}{3}} n^{-\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)

Réponse

1. \(m^{2}\)
2. \(\frac{5 n}{m^{\frac{1}{4}}}\)

Exercice\(\PageIndex{20}\)

Simplifiez :

1. \(\frac{u^{\frac{4}{5}} \cdot u^{-\frac{2}{5}}}{u^{-\frac{13}{5}}}\)
2. \(\left(\frac{27 x^{\frac{4}{5}} y^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{5}} y^{-\frac{5}{6}}}\right)^{\frac{1}{3}}\)

Réponse

1. \(u^{3}\)
2. \(3 x^{\frac{1}{5}} y^{\frac{1}{3}}\)

Accédez à ces ressources en ligne pour obtenir des instructions et des exercices supplémentaires en simplifiant les exposants rationnels.

• Review-Rational Exponents
• Utilisation des lois des exposants sur les radicaux : propriétés des exposants rationnels

Concepts clés

• Exposant rationnel\(a^{\frac{1}{n}}\)
  • C'\(\sqrt[n]{a}\)est un vrai nombre et\(n≥2\), alors\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\).
• Exposant rationnel\(a^{\frac{m}{n}}\)
  • Pour tous les entiers positifs\(m\) et\(n\),
    \(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m} \text { and } a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)
• Propriétés des exposants
  • Si\(a, b\) sont des nombres réels et\(m, n\) des nombres rationnels, alors
    • Propriété du produit\(a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\)
    • Propriété énergétique\(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}\)
    • Du produit à une puissance\((a b)^{m}=a^{m} b^{m}\)
    • Propriété du quotient\(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, a \neq 0\)
    • Définition de l'exposant zéro\(a^{0}=1, a \neq 0\)
    • Quotient par rapport à une propriété énergétique\(\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0\)
    • Propriété d'exposant négatif\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}, a \neq 0\)