8.3 : Simplifier les expressions radic

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

• Utilisez la propriété Product pour simplifier les expressions radicales
• Utilisez la propriété Quotient pour simplifier les expressions radicales

Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.

1. Simplifiez :$\dfrac{x^{9}}{x^{4}}$.
   Si vous avez oublié ce problème, consultez l'exemple 5.13.
2. Simplifiez :$\dfrac{y^{3}}{y^{11}}$.
   Si vous avez oublié ce problème, consultez l'exemple 5.13.
3. Simplifiez :$\left(n^{2}\right)^{6}$.
   Si vous avez oublié ce problème, consultez l'exemple 5.17.

Utilisez la propriété Product pour simplifier les expressions radicales

Nous allons simplifier les expressions radicales de la même manière que nous avons simplifié les fractions. Une fraction est simplifiée s'il n'y a pas de facteurs communs dans le numérateur et le dénominateur. Pour simplifier une fraction, nous recherchons tous les facteurs communs dans le numérateur et le dénominateur.

Une expression radicale,$\sqrt[n]{a}$, est considérée comme simplifiée si elle ne comporte aucun facteur de$m^{n}$. Ainsi, pour simplifier une expression radicale, nous recherchons tous les facteurs du radical et qui sont des puissances de l'indice.

Définition$\PageIndex{1}$: Simplified Radical Expression

Pour les nombres réels$a$ et$m$$n\geq 2$,

$\sqrt[n]{a}$est considéré comme simplifié s'il ne$a$ comporte aucun facteur de$m^{n}$

Par exemple,$\sqrt{5}$ est considéré comme simplifié car il n'y a pas de facteurs carrés parfaits dans$5$. Mais n'$\sqrt{12}$est pas simplifié car$12$ a un facteur carré parfait de$4$.

De même,$\sqrt[3]{4}$ est simplifié car il n'y a pas de facteurs cubiques parfaits dans$4$. Mais n'$\sqrt[3]{24}$est pas simplifié car$24$ a un facteur cube parfait de$8$.

Pour simplifier les expressions radicales, nous utiliserons également certaines propriétés des racines. Les propriétés que nous utiliserons pour simplifier les expressions radicales sont similaires à celles des exposants. Nous savons que

$$(a b)^{n}=a^{n} b^{n}.$$

La correspondance de Product Property of Roots indique que

$$\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}.$$

Définition$\PageIndex{2}$: Product Property of $n^{th}$ Roots

Si$\sqrt[n]{a}$ et$\sqrt[n]{b}$ sont des nombres réels et$n\geq 2$ sont un entier, alors

$\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \quad \text { and } \quad \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a b}$

Nous utilisons la propriété de produit des racines pour supprimer tous les facteurs carrés parfaits d'une racine carrée.

Exemple$\PageIndex{1}$: Simplify square roots using the product property of roots

Simplifiez :$\sqrt{98}$.

Solution :

Étape 1 : Déterminez le facteur le plus important du radical qui constitue la puissance parfaite de l'indice.	Nous voyons que$49$ c'est le facteur le plus important$98$ qui a un pouvoir de$2$.	$\sqrt{98}$
Réécrivez le radicand comme le produit de deux facteurs, en utilisant ce facteur.	En d'autres termes,$49$ c'est le plus grand facteur carré parfait de$98$. $98 = 49\cdot 2$ Écrivez toujours d'abord le facteur carré parfait.	$\sqrt{49\cdot 2}$
Étape 2 : Utilisez la règle du produit pour réécrire le radical comme étant le produit de deux radicaux.		$\sqrt{49} \cdot \sqrt{2}$
Étape 3 : Simplifiez la racine de la puissance parfaite.		$7\sqrt{2}$

Essayez-le$\PageIndex{1}$

Simplifiez :$\sqrt{48}$

Réponse

$4 \sqrt{3}$

Essayez-le$\PageIndex{2}$

Simplifiez :$\sqrt{45}$.

Réponse

$3 \sqrt{5}$

Notez dans l'exemple précédent que la forme simplifiée de$\sqrt{98}$ est$7\sqrt{2}$, qui est le produit d'un entier et d'une racine carrée. Nous écrivons toujours l'entier devant la racine carrée.

Veillez à écrire votre entier afin qu'il ne soit pas confondu avec l'index. L'expression$7\sqrt{2}$ est très différente de$\sqrt[7]{2}$.

Simplification d'une expression radicale à l'aide de la propriété

1. Déterminez le facteur le plus important du radical qui constitue la puissance parfaite de l'indice. Réécrivez le radicand comme le produit de deux facteurs, en utilisant ce facteur.
2. Utilisez la règle du produit pour réécrire le radical comme étant le produit de deux radicaux.
3. Simplifiez la racine du pouvoir parfait.

Nous appliquerons cette méthode dans l'exemple suivant. Il peut être utile d'avoir un tableau de carrés parfaits, de cubes et de quatrièmes pouvoirs.

Exemple$\PageIndex{2}$

Simplifiez :

1. $\sqrt{500}$
2. $\sqrt[3]{16}$
3. $\sqrt[4]{243}$

Solution :

un.

$\sqrt{500}$

Réécrivez le radicand en tant que produit en utilisant le plus grand facteur carré parfait.

$\sqrt{100 \cdot 5}$

Réécrivez le radical comme étant le produit de deux radicaux.

$\sqrt{100} \cdot \sqrt{5}$

Simplifiez.

$10\sqrt{5}$

b.

$\sqrt[3]{16}$

Réécrivez le radicand en tant que produit en utilisant le plus grand facteur cube parfait. $2^{3}=8$

$\sqrt[3]{8 \cdot 2}$

Réécrivez le radical comme étant le produit de deux radicaux.

$\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2}$

Simplifiez.

$2 \sqrt[3]{2}$

c.

$\sqrt[4]{243}$

Réécrivez le radicand en tant que produit en utilisant le quatrième facteur de puissance parfait le plus élevé. $3^{4}=81$

$\sqrt[4]{81 \cdot 3}$

Réécrivez le radical comme étant le produit de deux radicaux.

$\sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{3}$

Simplifiez.

$3 \sqrt[4]{3}$

Essayez-le$\PageIndex{3}$

Simplifier : a.$\sqrt{288}$ b.$\sqrt[3]{81}$ c.$\sqrt[4]{64}$

Réponse

a.$12\sqrt{2}$ b.$3 \sqrt[3]{3}$ c.$2 \sqrt[4]{4}$

Essayez-le$\PageIndex{4}$

Simplifier : a.$\sqrt{432}$ b.$\sqrt[3]{625}$ c.$\sqrt[4]{729}$

Réponse

a.$12\sqrt{3}$ b.$5 \sqrt[3]{5}$ c.$3 \sqrt[4]{9}$

L'exemple suivant ressemble beaucoup aux exemples précédents, mais avec des variables. N'oubliez pas d'utiliser les signes de valeur absolue lorsque vous prenez la racine paire d'une expression avec une variable dans le radical.

Exemple$\PageIndex{3}$

Simplifiez :

1. $\sqrt{x^{3}}$
2. $\sqrt[3]{x^{4}}$
3. $\sqrt[4]{x^{7}}$

Solution :

un.

$\sqrt{x^{3}}$

Réécrivez le radicand en tant que produit en utilisant le plus grand facteur carré parfait.

$\sqrt{x^{2} \cdot x}$

Réécrivez le radical comme étant le produit de deux radicaux.

$\sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{x}$

Simplifiez.

$|x| \sqrt{x}$

b.

$\sqrt[3]{x^{4}}$

Réécrivez le radicand en tant que produit en utilisant le plus grand facteur cube parfait.

$\sqrt[3]{x^{3} \cdot x}$

Réécrivez le radical comme étant le produit de deux radicaux.

$\sqrt[3]{x^{3}} \cdot \sqrt[3]{x}$

Simplifiez.

$x \sqrt[3]{x}$

c.

$\sqrt[4]{x^{7}}$

Réécrivez le radicand en tant que produit en utilisant le quatrième facteur de puissance parfait le plus élevé.

$\sqrt[4]{x^{4} \cdot x^{3}}$

Réécrivez le radical comme étant le produit de deux radicaux.

$\sqrt[4]{x^{4}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}$

Simplifiez.

$|x| \sqrt[4]{x^{3}}$

Essayez-le$\PageIndex{5}$

Simplifier : a.$\sqrt{b^{5}}$ b.$\sqrt[4]{y^{6}}$ c.$\sqrt[3]{z^{5}}$

Réponse

a.$b^{2} \sqrt{b}$ b.$|y| \sqrt[4]{y^{2}}$ c.$z \sqrt[3]{z^{2}}$

Essayez-le$\PageIndex{6}$

Simplifier : a.$\sqrt{p^{9}}$ b.$\sqrt[5]{y^{8}}$ c.$\sqrt[6]{q^{13}}$

Réponse

a.$p^{4} \sqrt{p}$ b.$p \sqrt[5]{p^{3}}$ c.$q^{2} \sqrt[6]{q}$

Nous suivons la même procédure lorsqu'il existe un coefficient dans le radicand. Dans l'exemple suivant, la constante et la variable ont des facteurs carrés parfaits.

Exemple$\PageIndex{4}$

Simplifiez :

1. $\sqrt{72 n^{7}}$
2. $\sqrt[3]{24 x^{7}}$
3. $\sqrt[4]{80 y^{14}}$

Solution :

un.

$\sqrt{72 n^{7}}$

Réécrivez le radicand en tant que produit en utilisant le plus grand facteur carré parfait.

$\sqrt{36 n^{6} \cdot 2 n}$

Réécrivez le radical comme étant le produit de deux radicaux.

$\sqrt{36 n^{6}} \cdot \sqrt{2 n}$

Simplifiez.

$6\left|n^{3}\right| \sqrt{2 n}$

b.

$\sqrt[3]{24 x^{7}}$

Réécrivez le radicand en tant que produit en utilisant des facteurs cubiques parfaits.

$\sqrt[3]{8 x^{6} \cdot 3 x}$

Réécrivez le radical comme étant le produit de deux radicaux.

$\sqrt[3]{8 x^{6}} \cdot \sqrt[3]{3 x}$

Réécrivez le premier radical et comme$\left(2 x^{2}\right)^{3}$.

$\sqrt[3]{\left(2 x^{2}\right)^{3}} \cdot \sqrt[3]{3 x}$

Simplifiez.

$2 x^{2} \sqrt[3]{3 x}$

c.

$\sqrt[4]{80 y^{14}}$

Réécrivez le radicand en tant que produit en utilisant un quatrième facteur de puissance parfait.

$\sqrt[4]{16 y^{12} \cdot 5 y^{2}}$

Réécrivez le radical comme étant le produit de deux radicaux.

$\sqrt[4]{16 y^{12}} \cdot \sqrt[4]{5 y^{2}}$

Réécrivez le premier radical et comme$\left(2 y^{3}\right)^{4}$.

$\sqrt[4]{\left(2 y^{3}\right)^{4}} \cdot \sqrt[4]{5 y^{2}}$

Simplifiez.

$2\left|y^{3}\right| \sqrt[4]{5 y^{2}}$

Essayez-le$\PageIndex{7}$

Simplifier : a.$\sqrt{32 y^{5}}$ b.$\sqrt[3]{54 p^{10}}$ c.$\sqrt[4]{64 q^{10}}$

Réponse

a.$4 y^{2} \sqrt{2 y}$ b.$3 p^{3} \sqrt[3]{2 p}$ c.$2 q^{2} \sqrt[4]{4 q^{2}}$

Essayez-le$\PageIndex{8}$

Simplifier : a.$\sqrt{75 a^{9}}$ b.$\sqrt[3]{128 m^{11}}$ c.$\sqrt[4]{162 n^{7}}$

Réponse

a.$5 a^{4} \sqrt{3 a}$ b.$4 m^{3} \sqrt[3]{2 m^{2}}$ c.$3|n| \sqrt[4]{2 n^{3}}$

Dans l'exemple suivant, nous continuons à utiliser les mêmes méthodes même s'il existe plusieurs variables sous le radical.

Exemple$\PageIndex{5}$

Simplifiez :

1. $\sqrt{63 u^{3} v^{5}}$
2. $\sqrt[3]{40 x^{4} y^{5}}$
3. $\sqrt[4]{48 x^{4} y^{7}}$

Solution :

un.

$\sqrt{63 u^{3} v^{5}}$

Réécrivez le radicand en tant que produit en utilisant le plus grand facteur carré parfait.

$\sqrt{9 u^{2} v^{4} \cdot 7 u v}$

Réécrivez le radical comme étant le produit de deux radicaux.

$\sqrt{9 u^{2} v^{4}} \cdot \sqrt{7 u v}$

Réécrivez le premier radical et comme$\left(3 u v^{2}\right)^{2}$.

$\sqrt{\left(3 u v^{2}\right)^{2}} \cdot \sqrt{7 u v}$

Simplifiez.

$3|u| v^{2} \sqrt{7 u v}$

b.

$\sqrt[3]{40 x^{4} y^{5}}$

Réécrivez le radicand en tant que produit en utilisant le plus grand facteur cube parfait.

$\sqrt[3]{8 x^{3} y^{3} \cdot 5 x y^{2}}$

Réécrivez le radical comme étant le produit de deux radicaux.

$\sqrt[3]{8 x^{3} y^{3}} \cdot \sqrt[3]{5 x y^{2}}$

Réécrivez le premier radical et comme$(2xy)^{3}$.

$\sqrt[3]{(2 x y)^{3}} \cdot \sqrt[3]{5 x y^{2}}$

Simplifiez.

$2 x y \sqrt[3]{5 x y^{2}}$

c.

$\sqrt[4]{48 x^{4} y^{7}}$

Réécrivez le radicand en tant que produit en utilisant le quatrième facteur de puissance parfait le plus élevé.

$\sqrt[4]{16 x^{4} y^{4} \cdot 3 y^{3}}$

Réécrivez le radical comme étant le produit de deux radicaux.

$\sqrt[4]{16 x^{4} y^{4}} \cdot \sqrt[4]{3 y^{3}}$

Réécrivez le premier radical et comme$(2xy)^{4}$.

$\sqrt[4]{(2 x y)^{4}} \cdot \sqrt[4]{3 y^{3}}$

Simplifiez.

$2|x y| \sqrt[4]{3 y^{3}}$

Essayez-le$\PageIndex{9}$

Simplifiez :

1. $\sqrt{98 a^{7} b^{5}}$
2. $\sqrt[3]{56 x^{5} y^{4}}$
3. $\sqrt[4]{32 x^{5} y^{8}}$

Réponse

1. $7\left|a^{3}\right| b^{2} \sqrt{2 a b}$
2. $2 x y \sqrt[3]{7 x^{2} y}$
3. $2|x| y^{2} \sqrt[4]{2 x}$

Essayez-le$\PageIndex{10}$

Simplifiez :

1. $\sqrt{180 m^{9} n^{11}}$
2. $\sqrt[3]{72 x^{6} y^{5}}$
3. $\sqrt[4]{80 x^{7} y^{4}}$

Réponse

1. $6 m^{4}\left|n^{5}\right| \sqrt{5 m n}$
2. $2 x^{2} y \sqrt[3]{9 y^{2}}$
3. $2|x y| \sqrt[4]{5 x^{3}}$

Exemple$\PageIndex{6}$

Simplifiez :

1. $\sqrt[3]{-27}$
2. $\sqrt[4]{-16}$

Solution :

un.

$\sqrt[3]{-27}$

Réécrivez le radicand en tant que produit en utilisant des facteurs cubiques parfaits.

$\sqrt[3]{(-3)^{3}}$

Prenez la racine cubique.

$-3$

b.

$\sqrt[4]{-16}$

Il n'y a pas de chiffre réel$n$ où$n^{4}=-16$.

Ce n'est pas un vrai chiffre

Essayez-le$\PageIndex{11}$

Simplifiez :

1. $\sqrt[3]{-64}$
2. $\sqrt[4]{-81}$

Réponse

1. $-4$
2. aucun chiffre réel

Essayez-le$\PageIndex{12}$

Simplifiez :

1. $\sqrt[3]{-625}$
2. $\sqrt[4]{-324}$

Réponse

1. $-5 \sqrt[3]{5}$
2. aucun chiffre réel

Nous avons vu comment utiliser l'ordre des opérations pour simplifier certaines expressions avec des radicaux. Dans l'exemple suivant, nous avons la somme d'un entier et d'une racine carrée. Nous simplifions la racine carrée mais nous ne pouvons pas ajouter l'expression résultante à l'entier car un terme contient un radical et l'autre non. L'exemple suivant inclut également une fraction avec un radical dans le numérateur. N'oubliez pas que pour simplifier une fraction, vous avez besoin d'un facteur commun au numérateur et au dénominateur.

Exemple$\PageIndex{7}$

Simplifiez :

1. $3+\sqrt{32}$
2. $\dfrac{4-\sqrt{48}}{2}$

Solution :

un.

$3+\sqrt{32}$

Réécrivez le radicand en tant que produit en utilisant le plus grand facteur carré parfait.

$3+\sqrt{16 \cdot 2}$

Réécrivez le radical comme étant le produit de deux radicaux.

$3+\sqrt{16} \cdot \sqrt{2}$

Simplifiez.

$3+4 \sqrt{2}$

Les termes ne peuvent pas être ajoutés car l'un a un radical et l'autre non. Essayer d'ajouter un entier et un radical revient à essayer d'ajouter un entier et une variable. Ce ne sont pas des termes similaires !

b.

$\dfrac{4-\sqrt{48}}{2}$

Réécrivez le radicand en tant que produit en utilisant le plus grand facteur carré parfait.

$\dfrac{4-\sqrt{16 \cdot 3}}{2}$

Réécrivez le radical comme étant le produit de deux radicaux.

$\dfrac{4-\sqrt{16} \cdot \sqrt{3}}{2}$

Simplifiez.

$\dfrac{4-4 \sqrt{3}}{2}$

Facturez le facteur commun à partir du numérateur.

$\dfrac{4(1-\sqrt{3})}{2}$

Supprimez le facteur commun, 2, du numérateur et du dénominateur.

$\dfrac{\cancel{2} \cdot 2(1-\sqrt{3})}{\cancel{2}}$

Simplifiez.

$2(1-\sqrt{3})$

Essayez-le$\PageIndex{13}$

Simplifiez :

1. $5+\sqrt{75}$
2. $\dfrac{10-\sqrt{75}}{5}$

Réponse

1. $5+5 \sqrt{3}$
2. $2-\sqrt{3}$

Essayez-le$\PageIndex{14}$

Simplifiez :

1. $2+\sqrt{98}$
2. $\dfrac{6-\sqrt{45}}{3}$

Réponse

1. $2+7 \sqrt{2}$
2. $2-\sqrt{5}$

Utilisez la propriété Quotient pour simplifier les expressions radicales

Chaque fois que vous devez simplifier une expression radicale, la première étape consiste à déterminer si le radical est une puissance parfaite de l'indice. Si ce n'est pas le cas, vérifiez le numérateur et le dénominateur pour détecter tout facteur commun et supprimez-les. Vous pouvez trouver une fraction dans laquelle le numérateur et le dénominateur sont des puissances parfaites de l'indice.

Exemple$\PageIndex{8}$

Simplifiez :

1. $\sqrt{\dfrac{45}{80}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{16}{54}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{5}{80}}$

Solution :

un.

$\sqrt{\dfrac{45}{80}}$

Simplifiez d'abord l'intérieur du radical. Réécriture indiquant les facteurs communs du numérateur et du dénominateur.

$\sqrt{\dfrac{5 \cdot 9}{5 \cdot 16}}$

Simplifiez la fraction en supprimant les facteurs communs.

$\sqrt{\dfrac{9}{16}}$

Simplifiez. Remarque$\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}=\dfrac{9}{16}$.

$\dfrac{3}{4}$

b.

$\sqrt[3]{\dfrac{16}{54}}$

Simplifiez d'abord l'intérieur du radical. Réécriture indiquant les facteurs communs du numérateur et du dénominateur.

$\sqrt[3]{\dfrac{2 \cdot 8}{2 \cdot 27}}$

Simplifiez la fraction en supprimant les facteurs communs.

$\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}}$

Simplifiez. Remarque$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}=\dfrac{8}{27}$.

$\dfrac{2}{3}$

c.

$\sqrt[4]{\dfrac{5}{80}}$

Simplifiez d'abord l'intérieur du radical. Réécriture indiquant les facteurs communs du numérateur et du dénominateur.

$\sqrt[4]{\dfrac{5 \cdot 1}{5 \cdot 16}}$

Simplifiez la fraction en supprimant les facteurs communs.

$\sqrt[4]{\dfrac{1}{16}}$

Simplifiez. Remarque$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}=\dfrac{1}{16}$.

$\dfrac{1}{2}$

Essayez-le$\PageIndex{15}$

Simplifiez :

1. $\sqrt{\dfrac{75}{48}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{54}{250}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{32}{162}}$

Réponse

1. $\dfrac{5}{4}$
2. $\dfrac{3}{5}$
3. $\dfrac{2}{3}$

Essayez-le$\PageIndex{16}$

Simplifiez :

1. $\sqrt{\dfrac{98}{162}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{24}{375}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{4}{324}}$

Réponse

1. $\dfrac{7}{9}$
2. $\dfrac{2}{5}$
3. $\dfrac{1}{3}$

Dans le dernier exemple, notre première étape a été de simplifier la fraction sous le radical en supprimant les facteurs communs. Dans l'exemple suivant, nous utiliserons la propriété Quotient pour simplifier sous le radical. Nous divisons les bases similaires en soustrayant leurs exposants,

$\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, \quad a \neq 0$

Exemple$\PageIndex{9}$

Simplifiez :

1. $\sqrt{\dfrac{m^{6}}{m^{4}}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{a^{8}}{a^{5}}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{a^{10}}{a^{2}}}$

Solution :

un.

$\sqrt{\dfrac{m^{6}}{m^{4}}}$

Simplifiez d'abord la fraction à l'intérieur du radical. Divisez les bases similaires en soustrayant les exposants.

$\sqrt{m^{2}}$

Simplifiez.

$|m|$

b.

$\sqrt[3]{\dfrac{a^{8}}{a^{5}}}$

Utilisez la propriété quotient des exposants pour simplifier d'abord la fraction sous le radical.

$\sqrt[3]{a^{3}}$

Simplifiez.

$a$

c.

$\sqrt[4]{\dfrac{a^{10}}{a^{2}}}$

Utilisez la propriété quotient des exposants pour simplifier d'abord la fraction sous le radical.

$\sqrt[4]{a^{8}}$

Réécrivez le radicand en utilisant un quatrième facteur de puissance parfait.

$\sqrt[4]{\left(a^{2}\right)^{4}}$

Simplifiez.

$a^{2}$

Essayez-le$\PageIndex{17}$

Simplifiez :

1. $\sqrt{\dfrac{a^{8}}{a^{6}}}$
2. $\sqrt[4]{\dfrac{x^{7}}{x^{3}}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{y^{17}}{y^{5}}}$

Réponse

1. $|a|$
2. $|x|$
3. $y^{3}$

Essayez-le$\PageIndex{18}$

Simplifiez :

1. $\sqrt{\dfrac{x^{14}}{x^{10}}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{m^{13}}{m^{7}}}$
3. $\sqrt[5]{\dfrac{n^{12}}{n^{2}}}$

Réponse

1. $x^{2}$
2. $m^{2}$
3. $n^{2}$

Vous vous souvenez du quotient d'une propriété énergétique ? Il a dit que nous pouvions élever une fraction à une puissance en élevant séparément le numérateur et le dénominateur à la puissance.

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m}=\dfrac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0$

Définition$\PageIndex{3}$

Propriété de quotient des expressions radicales

Si$\sqrt[n]{a}$ et$\sqrt[n]{b}$ sont des nombres réels$b \neq 0$, et pour n'importe quel entier$n \geq 2$ alors,

$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \text { and } \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$

Exemple$\PageIndex{10}$ how to simplify the quotient of radical expressions

Simplifiez :$\sqrt{\dfrac{27 m^{3}}{196}}$

Solution :

Étape 1 : Simplifier la fraction dans le radicand, si possible.

$\dfrac{27 m^{3}}{196}$ne peut pas être simplifié.

$\sqrt{\dfrac{27 m^{3}}{196}}$

Étape 2 : Utilisez la propriété Quotient pour réécrire le radical en tant que quotient de deux radicaux.

Nous réécrivons$\sqrt{\dfrac{27 m^{3}}{196}}$ comme le quotient de$\sqrt{27 m^{3}}$ et$\sqrt{196}$.

$\dfrac{\sqrt{27 m^{3}}}{\sqrt{196}}$

Étape 3 : Simplifier les radicaux dans le numérateur et le dénominateur.

$9m^{2}$et$196$ sont des carrés parfaits.

$\dfrac{\sqrt{9 m^{2}} \cdot \sqrt{3 m}}{\sqrt{196}}$

$\dfrac{3 m \sqrt{3 m}}{14}$

Essayez-le$\PageIndex{19}$

Simplifiez :$\sqrt{\dfrac{24 p^{3}}{49}}$.

Réponse

$\dfrac{2|p| \sqrt{6 p}}{7}$

Essayez-le$\PageIndex{20}$

Simplifiez :$\sqrt{\dfrac{48 x^{5}}{100}}$.

Réponse

$\dfrac{2 x^{2} \sqrt{3 x}}{5}$

Simplifier une racine carrée à l'aide de la propriété quotient

1. Simplifiez la fraction dans le radicand, si possible.
2. Utilisez la propriété Quotient pour réécrire le radical en tant que quotient de deux radicaux.
3. Simplifiez les radicaux dans le numérateur et le dénominateur.

Exemple$\PageIndex{11}$

Simplifiez :

1. $\sqrt{\dfrac{45 x^{5}}{y^{4}}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{24 x^{7}}{y^{3}}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{48 x^{10}}{y^{8}}}$

Solution :

un.

$\sqrt{\dfrac{45 x^{5}}{y^{4}}}$

Nous ne pouvons pas simplifier la fraction du radicand. Réécrivez à l'aide de la propriété Quotient.

$\dfrac{\sqrt{45 x^{5}}}{\sqrt{y^{4}}}$

Simplifiez les radicaux dans le numérateur et le dénominateur.

$\dfrac{\sqrt{9 x^{4}} \cdot \sqrt{5 x}}{y^{2}}$

Simplifiez.

$\dfrac{3 x^{2} \sqrt{5 x}}{y^{2}}$

b.

$\sqrt[3]{\dfrac{24 x^{7}}{y^{3}}}$

La fraction du radicand ne peut pas être simplifiée. Utilisez la propriété Quotient pour écrire sous la forme de deux radicaux.

$\dfrac{\sqrt[3]{24 x^{7}}}{\sqrt[3]{y^{3}}}$

Réécrivez chaque radical en tant que produit en utilisant des facteurs cubiques parfaits.

$\dfrac{\sqrt[3]{8 x^{6} \cdot 3 x}}{\sqrt[3]{y^{3}}}$

Réécrivez le numérateur comme étant le produit de deux radicaux.

$\dfrac{\sqrt[3]{\left(2 x^{2}\right)^{3}} \cdot \sqrt[3]{3 x}}{\sqrt[3]{y^{3}}}$

Simplifiez.

$\dfrac{2 x^{2} \sqrt[3]{3 x}}{y}$

c.

$\sqrt[4]{\dfrac{48 x^{10}}{y^{8}}}$

La fraction du radicand ne peut pas être simplifiée.

$\dfrac{\sqrt[4]{48 x^{10}}}{\sqrt[4]{y^{8}}}$

Utilisez la propriété Quotient pour écrire sous la forme de deux radicaux. Réécrivez chaque radical en tant que produit en utilisant un quatrième facteur de puissance parfait.

$\dfrac{\sqrt[4]{16 x^{8} \cdot 3 x^{2}}}{\sqrt[4]{y^{8}}}$

Réécrivez le numérateur comme étant le produit de deux radicaux.

$\dfrac{\sqrt[4]{\left(2 x^{2}\right)^{4}} \cdot \sqrt[4]{3 x^{2}}}{\sqrt[4]{\left(y^{2}\right)^{4}}}$

Simplifiez.

$\dfrac{2 x^{2} \sqrt[4]{3 x^{2}}}{y^{2}}$

Essayez-le$\PageIndex{21}$

Simplifiez :

1. $\sqrt{\dfrac{80 m^{3}}{n^{6}}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{108 c^{10}}{d^{6}}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{80 x^{10}}{y^{4}}}$

Réponse

1. $\dfrac{4|m| \sqrt{5 m}}{\left|n^{3}\right|}$
2. $\dfrac{3 c^{3} \sqrt[3]{4 c}}{d^{2}}$
3. $\dfrac{2 x^{2} \sqrt[4]{5 x^{2}}}{|y|}$

Essayez-le$\PageIndex{22}$

Simplifiez :

1. $\sqrt{\dfrac{54 u^{7}}{v^{8}}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{40 r^{3}}{s^{6}}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{162 m^{14}}{n^{12}}}$

Réponse

1. $\dfrac{3 u^{3} \sqrt{6 u}}{v^{4}}$
2. $\dfrac{2 r \sqrt[3]{5}}{s^{2}}$
3. $\dfrac{3\left|m^{3}\right| \sqrt[4]{2 m^{2}}}{\left|n^{3}\right|}$

Assurez-vous de simplifier d'abord la fraction dans le radicand, si possible.

Exemple$\PageIndex{12}$

Simplifiez :

1. $\sqrt{\dfrac{18 p^{5} q^{7}}{32 p q^{2}}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{16 x^{5} y^{7}}{54 x^{2} y^{2}}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{5 a^{8} b^{6}}{80 a^{3} b^{2}}}$

Solution :

un.

$\sqrt{\dfrac{18 p^{5} q^{7}}{32 p q^{2}}}$

Simplifiez la fraction dans le radicand, si possible.

$\sqrt{\dfrac{9 p^{4} q^{5}}{16}}$

Réécrivez à l'aide de la propriété Quotient.

$\dfrac{\sqrt{9 p^{4} q^{5}}}{\sqrt{16}}$

Simplifiez les radicaux dans le numérateur et le dénominateur.

$\dfrac{\sqrt{9 p^{4} q^{4}} \cdot \sqrt{q}}{4}$

Simplifiez.

$\dfrac{3 p^{2} q^{2} \sqrt{q}}{4}$

b.

$\sqrt[3]{\dfrac{16 x^{5} y^{7}}{54 x^{2} y^{2}}}$

Simplifiez la fraction dans le radicand, si possible.

$\sqrt[3]{\dfrac{8 x^{3} y^{5}}{27}}$

Réécrivez à l'aide de la propriété Quotient.

$\dfrac{\sqrt[3]{8 x^{3} y^{5}}}{\sqrt[3]{27}}$

Simplifiez les radicaux dans le numérateur et le dénominateur.

$\dfrac{\sqrt[3]{8 x^{3} y^{3}} \cdot \sqrt[3]{y^{2}}}{\sqrt[3]{27}}$

Simplifiez.

$\dfrac{2 x y \sqrt[3]{y^{2}}}{3}$

c.

$\sqrt[4]{\dfrac{5 a^{8} b^{6}}{80 a^{3} b^{2}}}$

Simplifiez la fraction dans le radicand, si possible.

$\sqrt[4]{\dfrac{a^{5} b^{4}}{16}}$

Réécrivez à l'aide de la propriété Quotient.

$\dfrac{\sqrt[4]{a^{5} b^{4}}}{\sqrt[4]{16}}$

Simplifiez les radicaux dans le numérateur et le dénominateur.

$\dfrac{\sqrt[4]{a^{4} b^{4}} \cdot \sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{16}}$

Simplifiez.

$\dfrac{|a b| \sqrt[4]{a}}{2}$

Essayez-le$\PageIndex{23}$

Simplifiez :

1. $\sqrt{\dfrac{50 x^{5} y^{3}}{72 x^{4} y}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{16 x^{5} y^{7}}{54 x^{2} y^{2}}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{5 a^{8} b^{6}}{80 a^{3} b^{2}}}$

Réponse

1. $\dfrac{5|y| \sqrt{x}}{6}$
2. $\dfrac{2 x y \sqrt[3]{y^{2}}}{3}$
3. $\dfrac{|a b| \sqrt[4]{a}}{2}$

Essayez-le$\PageIndex{24}$

Simplifiez :

1. $\sqrt{\dfrac{48 m^{7} n^{2}}{100 m^{5} n^{8}}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{54 x^{7} y^{5}}{250 x^{2} y^{2}}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{32 a^{9} b^{7}}{162 a^{3} b^{3}}}$

Réponse

1. $\dfrac{2|m| \sqrt{3}}{5\left|n^{3}\right|}$
2. $\dfrac{3 x y \sqrt[3]{x^{2}}}{5}$
3. $\dfrac{2|a b| \sqrt[4]{a^{2}}}{3}$

Dans l'exemple suivant, il n'y a rien à simplifier dans les dénominateurs. Comme l'indice des radicaux est le même, nous pouvons utiliser à nouveau la propriété du quotient pour les combiner en un seul radical. Nous verrons ensuite s'il est possible de simplifier l'expression.

Exemple$\PageIndex{13}$

Simplifiez :

1. $\dfrac{\sqrt{48 a^{7}}}{\sqrt{3 a}}$
2. $\dfrac{\sqrt[3]{-108}}{\sqrt[3]{2}}$
3. $\dfrac{\sqrt[4]{96 x^{7}}}{\sqrt[4]{3 x^{2}}}$

Solution :

un.

$\dfrac{\sqrt{48 a^{7}}}{\sqrt{3 a}}$

Le dénominateur ne peut pas être simplifié. Utilisez donc la propriété Quotient pour écrire sous la forme d'un radical.

$\sqrt{\dfrac{48 a^{7}}{3 a}}$

Simplifiez la fraction sous le radical.

$\sqrt{16 a^{6}}$

Simplifiez.

$4\left|a^{3}\right|$

b.

$\dfrac{\sqrt[3]{-108}}{\sqrt[3]{2}}$

Le dénominateur ne peut pas être simplifié. Utilisez donc la propriété Quotient pour écrire sous la forme d'un radical.

$\sqrt[3]{\dfrac{-108}{2}}$

Simplifiez la fraction sous le radical.

$\sqrt[3]{-54}$

Réécrivez le radicand en tant que produit en utilisant des facteurs cubiques parfaits.

$\sqrt[3]{(-3)^{3} \cdot 2}$

Réécrivez le radical comme étant le produit de deux radicaux.

$\sqrt[3]{(-3)^{3}} \cdot \sqrt[3]{2}$

Simplifiez.

$-3 \sqrt[3]{2}$

c.

$\dfrac{\sqrt[4]{96 x^{7}}}{\sqrt[4]{3 x^{2}}}$

Le dénominateur ne peut pas être simplifié. Utilisez donc la propriété Quotient pour écrire sous la forme d'un radical.

$\sqrt[4]{\dfrac{96 x^{7}}{3 x^{2}}}$

Simplifiez la fraction sous le radical.

$\sqrt[4]{32 x^{5}}$

Réécrivez le radicand en tant que produit en utilisant un quatrième facteur de puissance parfait.

$\sqrt[4]{16 x^{4}} \cdot \sqrt[4]{2 x}$

Réécrivez le radical comme étant le produit de deux radicaux.

$\sqrt[4]{(2 x)^{4}} \cdot \sqrt[4]{2 x}$

Simplifiez.

$2|x| \sqrt[4]{2 x}$

Essayez-le$\PageIndex{25}$

Simplifiez :

1. $\dfrac{\sqrt{98 z^{5}}}{\sqrt{2 z}}$
2. $\dfrac{\sqrt[3]{-500}}{\sqrt[3]{2}}$
3. $\dfrac{\sqrt[4]{486 m^{11}}}{\sqrt[4]{3 m^{5}}}$

Réponse

1. $7z^{2}$
2. $-5 \sqrt[3]{2}$
3. $3|m| \sqrt[4]{2 m^{2}}$

Essayez-le$\PageIndex{26}$

Simplifiez :

1. $\dfrac{\sqrt{128 m^{9}}}{\sqrt{2 m}}$
2. $\dfrac{\sqrt[3]{-192}}{\sqrt[3]{3}}$
3. $\dfrac{\sqrt[4]{324 n^{7}}}{\sqrt[4]{2 n^{3}}}$

Réponse

1. $8m^{4}$
2. $-4$
3. $3|n| \sqrt[4]{2}$

Accédez à ces ressources en ligne pour obtenir des instructions supplémentaires et vous entraîner à simplifier les expressions radicales.

• Simplification de la racine carrée et de la racine cubique
• Exprimer un radical sous forme simplifiée : racines carrées et cubiques avec des variables et des exposants
• Simplifier les racines

Concepts clés

• Expression radicale simplifiée
  • Pour les nombres réels$a, m$ et$n≥2$
    $\sqrt[n]{a}$ est considéré comme simplifié s'il n'y$a$ a pas de facteurs de$m^{n}$
• Propriété du produit$n^{th}$ Roots
  • Pour tous les nombres réels,$\sqrt[n]{a}$ et$\sqrt[n]{b}$, et pour tout entier$n≥2$
    $\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ et$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a b}$
• Comment simplifier une expression radicale à l'aide de la propriété du produit
  1. Déterminez le facteur le plus important du radical qui constitue la puissance parfaite de l'indice.
     Réécrivez le radicand comme le produit de deux facteurs, en utilisant ce facteur.
  2. Utilisez la règle du produit pour réécrire le radical comme étant le produit de deux radicaux.
  3. Simplifiez la racine du pouvoir parfait.
• Propriété de quotient des expressions radicales
  • Si$\sqrt[n]{a}$ et$\sqrt[n]{b}$ sont des nombres réels$b≠0$, et pour n'importe quel entier$n≥2$ alors,$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ et$\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$
• Comment simplifier une expression radicale à l'aide de la propriété Quotient.
  1. Simplifiez la fraction dans le radicand, si possible.
  2. Utilisez la propriété Quotient pour réécrire le radical en tant que quotient de deux radicaux.
  3. Simplifiez les radicaux dans le numérateur et le dénominateur.