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7.3E : Exercices

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    La pratique rend la perfection

    Ajouter et soustraire des expressions rationnelles avec un dénominateur commun

    Dans les exercices suivants, ajoutez.

    1. \(\dfrac{2}{15}+\dfrac{7}{15}\)

    Réponse

    \(\dfrac{3}{5}\)

    2. \(\dfrac{7}{24}+\dfrac{11}{24}\)

    3. \(\dfrac{3c}{4c−5}+\dfrac{5}{4c−5}\)

    Réponse

    \(\dfrac{3c+5}{4c−5}\)

    4. \(\dfrac{7m}{2m+n}+\dfrac{4}{2m+n}\)

    5. \(\dfrac{2r^2}{2r−1}+\dfrac{15r−8}{2r−1}\)

    Réponse

    \(r+8\)

    6. \(\dfrac{3s^2}{3s−2}+\dfrac{13s−10}{3s−2}\)

    7. \(\dfrac{2w^2}{w^2−16}+\dfrac{8w}{w^2−16}\)

    Réponse

    \(\dfrac{2w}{w−4}\)

    8. \(\dfrac{7x^2}{x^2−9}+\dfrac{21x}{x^2−9}\)

    Dans les exercices suivants, soustrayez.

    9. \(\dfrac{9a^2}{3a−7}−\dfrac{49}{3a−7}\)

    Réponse

    \(3a+7\)

    10. \(\dfrac{25b^2}{5b−6}−\dfrac{36}{5b−6}\)

    11. \(\dfrac{3m^2}{6m−30}−\dfrac{21m−30}{6m−30}\)

    Réponse

    \(\dfrac{m−2}{2}\)

    12. \(\dfrac{2n^2}{4n−32}−\dfrac{18n−16}{4n−32}\)

    13. \(\dfrac{6p^2+3p+4}{p^2+4p−5}−\dfrac{5p^2+p+7}{p^2+4p−5}\)

    Réponse

    \(\dfrac{p+3}{p+5}\)

    14. \(\dfrac{5q^2+3q−9}{q^2+6q+8}−\dfrac{4q^2+9q+7}{q^2+6q+8}\)

    15. \(\dfrac{5r^2+7r−33}{r^2−49}−\dfrac{4r^2+5r+30}{r^2−49}\)

    Réponse

    \(\dfrac{r+9}{r+7}\)

    16. \(\dfrac{7t^2−t−4}{t^2−25}−\dfrac{6t^2+12t−44}{t^2−25}\)

    Additionner et soustraire des expressions rationnelles dont les dénominateurs sont opposés

    Dans les exercices suivants, ajoutez ou soustrayez.

    17. \(\dfrac{10v}{2v−1}+\dfrac{2v+4}{1−2v}\)

    Réponse

    \(4\)

    18. \(\dfrac{20w}{5w−2}+\dfrac{5w+6}{2−5w}\)

    19. \(\dfrac{10x^2+16x−7}{8x−3}+\dfrac{2x^2+3x−1}{3−8x}\)

    Réponse

    \(x+2\)

    20. \(\dfrac{6y^2+2y−11}{3y−7}+\dfrac{3y^2−3y+17}{7−3y}\)

    21. \(\dfrac{z^2+6z}{z^2−25}−\dfrac{3z+20}{25−z^2}\)

    Réponse

    \(\dfrac{z+4}{z−5}\)

    22. \(\dfrac{a^2+3a}{a^2−9}−\dfrac{3a−27}{9−a^2}\)

    23. \(\dfrac{2b^2+30b−13}{b^2−49}−\dfrac{2b^2−5b−8}{49−b^2}\)

    Réponse

    \(\dfrac{4b−3}{b−7}\)

    24. \(\dfrac{c^2+5c−10}{c^2−16}−\dfrac{c^2−8c−10}{16−c^2}\)

    Trouvez le plus petit dénominateur commun des expressions rationnelles

    Dans les exercices suivants, a. trouvez l'écran LCD des expressions rationnelles données b. réécrivez-les en tant qu'expressions rationnelles équivalentes avec le plus petit dénominateur commun.

    25. \(\dfrac{5}{x^2−2x−8},\dfrac{2x}{x^2−x−12}\)

    Réponse

    a.\((x+2)(x−4)(x+3)\)
    b.\(\dfrac{5x+15}{(x+2)(x−4)(x+3)}\),
    \(\dfrac{2x^2+4x}{(x+2)(x−4)(x+3)}\)

    26. \(\dfrac{8}{y^2+12y+35},\dfrac{3y}{y^2+y−42}\)

    27. \(\dfrac{9}{z^2+2z−8},\dfrac{4z}{z^2−4}\)

    Réponse

    a.\((z−2)(z+4)(z−4)\)
    b.\(\dfrac{9z−36}{(z−2)(z+4)(z−4)}\),
    \(\dfrac{4z^2−8z}{(z−2)(z+4)(z−4)}\)

    28. \(\dfrac{6}{a^2+14a+45},\dfrac{5a}{a^2−81}\)

    29. \(\dfrac{4}{b^2+6b+9},\dfrac{2b}{b^2−2b−15}\)

    Réponse

    a.\((b+3)(b+3)(b−5)\)
    b.\(\dfrac{4b−20}{(b+3)(b+3)(b−5)}\),
    \(\dfrac{2b^2+6b}{(b+3)(b+3)(b−5)}\)

    30. \(\dfrac{5}{c^2−4c+4},\dfrac{3c}{c^2−7c+10}\)

    31. \(\dfrac{2}{3d^2+14d−5},\dfrac{5d}{3d^2−19d+6}\)

    Réponse

    a.\((d+5)(3d−1)(d−6)\)
    b.\(\dfrac{2d−12}{(d+5)(3d−1)(d−6)}\),
    \(\dfrac{5d^2+25d}{(d+5)(3d−1)(d−6)}\)

    32. \(\dfrac{3}{5m^2−3m−2},\dfrac{6m}{5m^2+17m+6}\)

    Ajouter et soustraire des expressions rationnelles avec des dénominateurs différents

    Dans les exercices suivants, effectuez les opérations indiquées.

    33. \(\dfrac{7}{10x^2y}+\dfrac{4}{15xy^2}\)

    Réponse

    \(\dfrac{21y+8x}{30x^2y^2}\)

    34. \(\dfrac{1}{12a^3b^2}+\dfrac{5}{9a^2b^3}\)

    35. \(\dfrac{3}{r+4}+\dfrac{2}{r−5}\)

    Réponse

    \(\dfrac{5r−7}{(r+4)(r−5)}\)

    36. \(\dfrac{4}{s−7}+\dfrac{5}{s+3}\)

    37. \(\dfrac{5}{3w−2}+\dfrac{2}{w+1}\)

    Réponse

    \(\dfrac{11w+1}{(3w−2)(w+1)}\)

    38. \(\dfrac{4}{2x+5}+\dfrac{2}{x−1}\)

    39. \(\dfrac{2y}{y+3}+\dfrac{3}{y−1}\)

    Réponse

    \(\dfrac{2y^2+y+9}{(y+3)(y−1)}\)

    40. \(\dfrac{3z}{z−2}+\dfrac{1}{z+5}\)

    41. \(\dfrac{5b}{a^2b−2a^2}+\dfrac{2b}{b^2−4}\)

    Réponse

    \(\dfrac{b(5b+10+2a^2)}{a^2(b−2)(b+2)}\)

    42. \(\dfrac{4}{cd+3c}+\dfrac{1}{d^2−9}\)

    43. \(\dfrac{−3m}{3m−3}+\dfrac{5m}{m^2+3m−4}\)

    Réponse

    \(-\dfrac{m}{m+4}\)

    44. \(\dfrac{8}{4n+4}+\dfrac{6}{n^2−n−2}\)

    45. \(\dfrac{3r}{r^2+7r+6}+\dfrac{9}{r^2+4r+3}\)

    Réponse

    \(\dfrac{3(r^2+6r+18)}{(r+1)(r+6)(r+3)}\)

    46. \(\dfrac{2s}{s^2+2s−8}+\dfrac{4}{s^2+3s−10}\)

    47. \(\dfrac{t}{t−6}−\dfrac{t−2}{t+6}\)

    Réponse

    \(\dfrac{2(7t−6)}{(t−6)(t+6)}\)

    48. \(\dfrac{x−3}{x+6}−\dfrac{x}{x+3}\)

    49. \(\dfrac{5a}{a+3}−\dfrac{a+2}{a+6}\)

    Réponse

    \(\dfrac{4a^2+25a−6}{(a+3)(a+6)}\)

    50. \(\dfrac{3b}{b−2}−\dfrac{b−6}{b−8}\)

    51. \(\dfrac{6}{m+6}−\dfrac{12m}{m^2−36}\)

    Réponse

    \(\dfrac{−6}{m−6}\)

    52. \(\dfrac{4}{n+4}−\dfrac{8n}{n^2−16}\)

    53. \(\dfrac{−9p−17}{p^2−4p−21}−\dfrac{p+1}{7−p}\)

    Réponse

    \(\dfrac{p+2}{p+3}\)

    54. \(\dfrac{−13q−8}{q^2+2q−24}−\dfrac{q+2}{4−q}\)

    55. \(\dfrac{−2r−16}{r^2+6r−16}−\dfrac{5}{2−r}\)

    Réponse

    \(\dfrac{3}{r−2}\)

    56. \(\dfrac{2t−30}{t^2+6t−27}−\dfrac{2}{3−t}\)

    57. \(\dfrac{2x+7}{10x−1}+3\)

    Réponse

    \(\dfrac{4(8x+1)}{10x−1}\)

    58. \(\dfrac{8y−4}{5y+2}−6\)

    59. \(\dfrac{3}{x^2−3x−4}−\dfrac{2}{x^2−5x+4}\)

    Réponse

    \(\dfrac{x−5}{(x−4)(x+1)(x−1)}\)

    60. \(\dfrac{4}{x^2−6x+5}−\dfrac{3}{x^2−7x+10}\)

    61. \(\dfrac{5}{x^2+8x−9}−\dfrac{4}{x^2+10x+9}\)

    Réponse

    \(\dfrac{1}{(x−1)(x+1)}\)

    62. \(\dfrac{3}{2x^2+5x+2}−\dfrac{1}{2x^2+3x+1}\)

    63. \(\dfrac{5a}{a−2}+\dfrac{9}{a}−\dfrac{2a+18}{a^2−2a}\)

    Réponse

    \(\dfrac{5a^2+7a−36}{a(a−2)}\)

    64. \(\dfrac{2b}{b−5}+\dfrac{3}{2b}−\dfrac{2b−15}{2b^2−10b}\)

    65. \(\dfrac{c}{c+2}+\dfrac{5}{c−2}−\dfrac{10c}{c^2−4}\)

    Réponse

    \(\dfrac{c−5}{c+2}\)

    66. \(\dfrac{6d}{d−5}+\dfrac{1}{d+4}+\dfrac{7d−5}{d^2−d−20}\)

    67. \(\dfrac{3d}{d+2}+\dfrac{4}{d}−\dfrac{d+8}{d^2+2d}\)

    Réponse

    \(\dfrac{3(d+1)}{d+2}\)

    68. \(\dfrac{2q}{q+5}+\dfrac{3}{q−3}−\dfrac{13q+15}{q^2+2q−15}\)

    Ajouter et soustraire des fonctions rationnelles

    Dans les exercices suivants, trouvez a.\(R(x)=f(x)+g(x)\)\(R(x)=f(x)−g(x)\) b.

    69. \(f(x)=\dfrac{−5x−5}{x^2+x−6}\)et\( g(x)=\dfrac{x+1}{2−x}\)

    Réponse

    a.\(R(x)=−\dfrac{(x+8)(x+1)}{(x−2)(x+3)}\)
    b.\(R(x)=\dfrac{x+1}{x+3}\)

    70. \(f(x)=\dfrac{−4x−24}{x^2+x−30}\)et\( g(x)=\dfrac{x+7}{5−x}\)

    71. \(f(x)=\dfrac{6x}{x^2−64}\)et\(g(x)=\dfrac{3}{x−8}\)

    Réponse

    a.\(R(x)=\dfrac{3(3x+8)}{(x−8)(x+8)}\)
    b.\(R(x)=\dfrac{3}{x+8}\)

    72. \(f(x)=\dfrac{5}{x+7}\)et\( g(x)=\dfrac{10x}{x^2−49}\)

    Exercices d'écriture

    73. Donald pense que c'\(\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x}\)est le cas\(\dfrac{7}{2x}\). Donald a-t-il raison ? Expliquez.

    Réponse

    Les réponses peuvent varier.

    74. Expliquez comment vous trouvez le plus petit dénominateur commun de\(x^2+5x+4\) et\(x^2−16\).

    75. Felipe pense\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) que oui\(\dfrac{2}{x+y}\).
    a. Choisissez des valeurs numériques pour x et y et évaluez\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\).
    b. Évaluez\(\dfrac{2}{x+y}\) pour les mêmes valeurs de x et de y que celles que vous avez utilisées dans la partie a.
    c. Expliquez pourquoi Felipe se trompe.
    d. Trouvez l'expression correcte pour\(1x+1y\).

    Réponse

    a. Les réponses peuvent varier.
    b. Les réponses peuvent varier.
    c. Les réponses peuvent varier.
    d.\(\dfrac{x+y}{x}\)

    76. Simplifiez l'expression\(\dfrac{4}{n^2+6n+9}−\dfrac{1}{n^2−9}\) et expliquez toutes vos étapes.

    Auto-vérification

    a. Une fois les exercices terminés, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

    Ce tableau comporte quatre colonnes et six rangées. La première ligne est un en-tête et chaque colonne est étiquetée comme suit : « Je peux... », « En toute confiance », « Avec de l'aide » et « Non, je ne comprends pas ! » Dans la ligne 2, le I can était d'ajouter et de soustraire des expressions rationnelles ayant un dénominateur commun. Dans la rangée 3, le I can était d'ajouter et de soustraire des expressions rationnelles avec des dénominateurs opposés. Dans la ligne 4, le I peut trouver le plus petit dénominateur commun des expressions rationnelles. Dans la ligne 5, le I can était d'ajouter et de soustraire des expressions rationnelles avec des dénominateurs différents. Dans la ligne 6, le I can était d'ajouter ou de soustraire des fonctions rationnelles. Il n'y a rien dans les autres colonnes.

    b. Après avoir examiné cette liste de contrôle, que ferez-vous pour atteindre tous les objectifs en toute confiance ?