Skip to main content
Global

7.2E : Exercices

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    194446

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    La pratique rend la perfection

    Déterminer les valeurs pour lesquelles une expression rationnelle n'est pas définie

    Dans les exercices suivants, déterminez les valeurs pour lesquelles l'expression rationnelle n'est pas définie.

    1. a.\(\dfrac{2x^2}{z}\) b.\(\dfrac{4p−1}{6p−5}\) c.\(\dfrac{n−3}{n^2+2n−8}\)

    Réponse

    a.\(z=0\)
    b.\(p=\dfrac{5}{6}\)
    c.\(n=−4, n=2\)

    2. a.\(\dfrac{10m}{11n}\) b.\(\dfrac{6y+13}{4y−9}\) c.\(\dfrac{b−8}{b^2−36}\)

    3. a.\(\dfrac{4x^2y}{3y}\) b.\(\dfrac{3x−2}{2x+1}\) c.\(\dfrac{u−1}{u^2−3u−28}\)

    Réponse

    a.\(y=0\)
    b.\(x=−\dfrac{1}{2}\)
    c.\(u=−4, u=7\)

    4. a.\(\dfrac{5pq^2}{9q}\) b.\(\dfrac{7a−4}{3a+5}\) c.\(\dfrac{1}{x^2−4}\)

    Simplifier les expressions

    Dans les exercices suivants, simplifiez chaque expression rationnelle.

    5. \(−\dfrac{44}{55}\)

    Réponse

    \(−\dfrac{4}{5}\)

    6. \(\dfrac{56}{63}\)

    7. \(\dfrac{8m^3n}{12mn^2}\)

    Réponse

    \(\dfrac{2m^2}{3n}\)

    8. \(\dfrac{36v^3w^2}{27vw^3}\)

    9. \(\dfrac{8n−96}{3n−36}\)

    Réponse

    \(\dfrac{8}{3}\)

    10. \(\dfrac{12p−240}{5p−100}\)

    11. \(\dfrac{x^2+4x−5}{x^2−2x+1}\)

    Réponse

    \(\dfrac{x+5}{x−1}\)

    12. \(\dfrac{y^2+3y−4}{y^2−6y+5}\)

    13. \(\dfrac{a^2−4}{a^2+6a−16}\)

    Réponse

    \(\dfrac{a+2}{a+8}\)

    14. \(\dfrac{y^2−2y−3}{y^2−9}\)

    15. \(\dfrac{p^3+3p^2+4p+12}{p^2+p−6}\)

    Réponse

    \(\dfrac{p^2+4}{p−2}\)

    16. \(\dfrac{x^3−2x^2−25x+50}{x^2−25}\)

    17. \(\dfrac{8b^2−32b}{2b^2−6b−80}\)

    Réponse

    \(\dfrac{4b(b−4)}{(b+5)(b−8)}\)

    18. \(\dfrac{−5c^2−10c}{−10c^2+30c+100}\)

    19. \(\dfrac{3m^2+30mn+75n^2}{4m^2−100n^2}\)

    Réponse

    \(\dfrac{3(m+5n)}{4(m−5n)}\)

    20. \(\dfrac{5r^2+30rs−35s^2}{r^2−49s^2}\)

    21. \(\dfrac{a−5}{5−a}\)

    Réponse

    \(−1\)

    22. \(\dfrac{5−d}{d−5}\)

    23. \(\dfrac{20−5y}{y^2−16}\)

    Réponse

    \(\dfrac{−5}{y+4}\)

    24. \(\dfrac{4v−32}{64−v^2}\)

    25. \(\dfrac{w^3+21}{6w^2−36}\)

    Réponse

    \(\dfrac{w^2−6w+3}{6w−6}\)

    26. \(\dfrac{v^3+125}{v^2−25}\)

    27. \(\dfrac{z^2−9z+20}{16−z^2}\)

    Réponse

    \(\dfrac{−z−5}{4+z}\)

    28. \(\dfrac{a^2−5z−36}{81−a^2}\)

    Multipliez les expressions

    Dans les exercices suivants, multipliez les expressions rationnelles.

    29. \(\dfrac{12}{16}·\dfrac{4}{10}\)

    Réponse

    \(\dfrac{3}{10}\)

    30. \(\dfrac{3}{25}·\dfrac{16}{24}\)

    31. \(\dfrac{5x^2y^4}{12xy^3}·\dfrac{6x^2}{20y^2}\)

    Réponse

    \(\dfrac{x^3}{8y}\)

    32. \(\dfrac{12a^3b}{b^2}·\dfrac{2ab^2}{9b^3}\)

    33. \(\dfrac{5p^2}{p^2−5p−36}·\dfrac{p^2−16}{10p}\)

    Réponse

    \(\dfrac{p(p−4)}{2(p−9)}\)

    34. \(\dfrac{3q^2}{q^2+q−6}·\dfrac{q^2−9}{9q}\)

    35. \(\dfrac{2y^2−10y}{y^2+10y+25}·\dfrac{y+5}{6y}\)

    Réponse

    \(\dfrac{y−5}{3(y+5)}\)

    36. \(\dfrac{z^2+3z}{z^2−3z−4}·\dfrac{z−4}{z^2}\)

    37. \(\dfrac{28−4b}{3b−3}·\dfrac{b^2+8b−9}{b^2−49}\)

    Réponse

    \(\dfrac{−4(b+9)}{3(b+7)}\)

    38. \(\dfrac{72m−12m^2}{8m+32}·\dfrac{m^2+10m+24}{m^2−36}\)

    39. \(\dfrac{c^2-10c+25}{c^2−25}·\dfrac{c^2+10c+25}{3c^2−14c−5}\)

    Réponse

    \(\dfrac{c+5}{3c+1}\)

    40. \(\dfrac{2d^2+d−3}{d^2−16}·\dfrac{d^2−8d+16}{2d^2−9d−18}\)

    41. \(\dfrac{2m^2−3m−2}{2m2+7m+3}·\dfrac{3m^2−14m+15}{3m^2+17m−20}\)

    Réponse

    \(\dfrac{(m−3)(m−2)}{(m+4)(m+3)}\)

    42. \(\dfrac{2n^2−3n−14}{25−n^2}·\dfrac{n^2−10n+25}{2n^2−13n+21}\)

    Divisez les expressions

    Dans les exercices suivants, divisez les expressions rationnelles.

    43. \(\dfrac{v−5}{11−v}÷\dfrac{v^2−25}{v−11}\)

    Réponse

    \(−\dfrac{1}{v+5}\)

    44. \(\dfrac{10+w}{w−8}÷\dfrac{100−w^2}{8−w}\)

    45. \(\dfrac{3s^2}{s^2−16}÷\dfrac{s^3−4s^2+16s}{s^3−64}\)

    Réponse

    \(\dfrac{3s}{s+4}\)

    46. \(\dfrac{r^2−9}{15}÷\dfrac{r^3−27}{5r^2+15r+45}\)

    47. \(\dfrac{p^3+q^3}{3p^2+3pq+3q^2}÷\dfrac{p^2−q^2}{12}\)

    Réponse

    \(\dfrac{4(p^2−pq+q^2)}{(p−q)(p^2+pq+q^2)}\)

    48. \(\dfrac{v^3−8w^3}{2v^2+4vw+8w^2}÷\dfrac{v^2−4w^2}{4}\)

    49. \(\dfrac{x^2+3x−10}{4x}÷(2x^2+20x+50)\)

    Réponse

    \(\dfrac{x−2}{8x(x+5)}\)

    50. \(\dfrac{2y^2−10yz−48z^2}{2y−1}÷(4y^2−32yz)\)

    51. \(\dfrac{\dfrac{2a^2−a−21}{5a+20}}{\dfrac{a^2+7a+12}{a^2+8a+16}}\)

    Réponse

    \(\dfrac{2a−7}{5}\)

    52. \(\dfrac{\dfrac{3b^2+2b−8}{12b+18}}{\dfrac{3b^2+2b−8}{2b^2−7b−15}}\)

    53. \(\dfrac{\dfrac{12c^2−12}{2c^2−3c+1}}{\dfrac{4c+4}{6c^2−13c+5}}\)

    Réponse

    \(3(3c−5)\)

    54. \(\dfrac{\dfrac{4d^2+7d−2}{35d+10}}{\dfrac{d^2−4}{7d^2−12d−4}}\)

    Pour les exercices suivants, effectuez les opérations indiquées.

    55. \(\dfrac{10m^2+80m}{3m−9}·\dfrac{m^2+4m−21}{m^2−9m+20}÷\dfrac{5m^2+10m}{2m−10}\)

    Réponse

    \(\dfrac{4(m+8)(m+7)}{3(m−4)(m+2)}\)

    56. \(\dfrac{4n^2+32n}{3n+2}·\dfrac{3n^2−n−2}{n^2+n−30}÷\dfrac{108n^2−24n}{n+6}\)

    57. \(\dfrac{12p^2+3p}{p+3}÷\dfrac{p^2+2p−63}{p^2−p−12}·\dfrac{p−7}{9p^3−9p^2}\)

    Réponse

    \(\dfrac{(4p+1)(p−4)}{3p(p+9)(p−1)}\)

    58. \(\dfrac{6q+3}{9q^2−9q}÷\dfrac{q^2+14q+33}{q^2+4q−5}·\dfrac{4q^2+12q}{12q+6}\)

    Multiplier et diviser les fonctions rationnelles

    Dans les exercices suivants, trouvez le domaine de chaque fonction.

    59. \(R(x)=\dfrac{x^3−2x^2−25x+50}{x^2−25}\)

    Réponse

    \(x\neq 5\)et\(x\neq −5\)

    60. \(R(x)=\dfrac{x^3+3x^2−4x−12}{x^2−4}\)

    61. \(R(x)=\dfrac{3x^2+15x}{6x^2+6x−36}\)

    Réponse

    \(x\neq 2\)et\(x\neq −3\)

    62. \(R(x)=\dfrac{8x^2−32x}{2x^2−6x−80}\)

    Pour les exercices suivants, trouvez\(R(x)=f(x)·g(x)\) où\(f(x)\) et\(g(x)\) recevez.

    63. \(f(x)=\dfrac{6x^2−12x}{x^2+7x−18} \quad g(x)=\dfrac{x^2−81}{3x^2−27x}\)

    Réponse

    \(R(x)=2\)

    64. \(f(x)=\dfrac{x^2−2x}{x^2+6x−16} \quad g(x)=\dfrac{x^2−64}{x^2−8x}\)

    65. \(f(x)=\dfrac{4x}{x^2−3x−10} \quad g(x)=\dfrac{x^2−25}{8x^2}\)

    Réponse

    \(R(x)=\dfrac{x+5}{2x(x+2)}\)

    66. \(f(x)=\dfrac{2x^2+8x}{x^2−9x+20} \quad g(x)=\dfrac{x−5}{x^2}\)

    Pour les exercices suivants, trouvez\(R(x)=f(x)g(x)\) où\(f(x)\) et\(g(x)\) recevez.

    67. \(f(x)=\dfrac{27x^2}{3x−21} \quad g(x)=\dfrac{3x^2+18x}{x^2+13x+42}\)

    Réponse

    \(R(x)=\dfrac{3x(x+7)}{x−7}\)

    68. \(f(x)=\dfrac{24x^2}{2x−8} \quad g(x)=\dfrac{4x^3+28x^2}{x^2+11x+28}\)

    69. \(f(x)=\dfrac{16x^2}{4x+36} \quad g(x)=\dfrac{4x^2−24x}{x^2+4x−45}\)

    Réponse

    \(R(x)=\dfrac{x(x−5)}{x−6}\)

    70. \(f(x)=\dfrac{24x^2}{2x−4} \quad g(x)=\dfrac{12x^2+36x}{x^2−11x+18}\)

    Exercices d'écriture

    71. Expliquez comment vous trouvez les valeurs de x pour lesquelles l'expression rationnelle n'\(\dfrac{x^2−x−20}{x^2−4}\)est pas définie.

    Réponse

    Les réponses peuvent varier.

    72. Expliquez toutes les étapes à suivre pour simplifier l'expression rationnelle\(\dfrac{p^2+4p−21}{9−p^2}\).

    73. a. Multipliez\(\dfrac{7}{4}·\dfrac{9}{10}\) et expliquez toutes vos étapes.
    b. Multipliez\(\dfrac{n}{n−3}·\dfrac{9}{n+3}\) et expliquez toutes vos étapes.
    c. Évaluez votre réponse à la partie b. Quand\(n=7\). Avez-vous obtenu la même réponse que celle que vous avez obtenue dans la partie a. ? Pourquoi ou pourquoi pas ?

    Réponse

    Les réponses peuvent varier.

    74. a. Divisez\(\dfrac{24}{5}÷6\) et expliquez toutes vos étapes.
    b. Divisez\(\dfrac{x^2−1}{x}÷(x+1)\) et expliquez toutes vos étapes.
    c. Évaluez votre réponse à la partie b. Quand\(x=5\). Avez-vous obtenu la même réponse que celle que vous avez obtenue dans la partie a. ? Pourquoi ou pourquoi pas ?

    Auto-vérification

    a. Une fois les exercices terminés, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

    Ce tableau comporte quatre colonnes et six rangées. La première ligne est un en-tête et chaque colonne est étiquetée comme suit : « Je peux... », « En toute confiance », « Avec de l'aide » et « Non, je ne comprends pas ! » Dans la ligne 2, le I can était de déterminer les valeurs pour lesquelles une expression rationnelle n'est pas définie. Dans la rangée 3, le I can était de simplifier les expressions de justification. Dans la rangée 4, le I can était de multiplier les expressions rationnelles. Au rang 5, le I can était de diviser les expressions rationnelles. Dans la rangée 6, le I can était de multiplier et de diviser des fonctions rationnelles. Il n'y a rien dans les autres colonnes.

    b. Si la plupart de vos chèques étaient :

    ... en toute confiance. Félicitations ! Vous avez atteint vos objectifs dans cette section ! Réfléchissez aux compétences d'étude que vous avez utilisées afin de pouvoir continuer à les utiliser. Qu'avez-vous fait pour avoir confiance en votre capacité à faire ces choses ? Soyez précis !

    ... avec de l'aide. Cela doit être abordé rapidement, car les sujets que vous ne maîtrisez pas deviennent des nids-de-poule sur votre chemin vers le succès. Les mathématiques sont séquentielles : chaque sujet s'appuie sur des travaux antérieurs. Il est important de s'assurer que vous disposez d'une base solide avant de passer à autre chose. À qui pouvez-vous demander de l'aide ? Vos camarades de classe et votre instructeur sont de bonnes ressources. Y a-t-il un endroit sur le campus où des professeurs de mathématiques sont disponibles ? Vos compétences en matière d'études peuvent-elles être améliorées ?

    ... non, je ne comprends pas ! C'est essentiel et vous ne devez pas l'ignorer. Vous devez obtenir de l'aide immédiatement, sinon vous serez rapidement dépassé. Consultez votre instructeur dès que possible pour discuter de votre situation. Ensemble, vous pouvez élaborer un plan pour obtenir l'aide dont vous avez besoin.