6.6 : Équations polynomiales
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À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Utiliser la propriété Zero Product
- Résolvez des équations quadratiques par factorisation
- Résolvez des équations à l'aide de fonctions
- Résoudre des applications modélisées par des équations polynomiales
Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.
Nous avons passé beaucoup de temps à apprendre à factoriser les polynômes. Nous allons maintenant examiner les équations polynomiales et les résoudre en utilisant la factorisation, si possible.
Une équation polynomiale est une équation qui contient une expression polynomiale. Le degré de l'équation polynomiale est le degré du polynôme.
Une équation polynomiale est une équation qui contient une expression polynomiale.
Le degré de l'équation polynomiale est le degré du polynôme.
Nous avons déjà résolu des équations polynomiales de degré 1. Les équations polynomiales de degré 1 sont des équations linéaires de la forme\(ax+b=c\).
Nous allons maintenant résoudre des équations polynomiales de degré deux. Une équation polynomiale de degré deux est appelée équation quadratique. Vous trouverez ci-dessous quelques exemples d'équations quadratiques :
\[x^2+5x+6=0 \qquad 3y^2+4y=10 \qquad 64u^2−81=0 \qquad n(n+1)=42 \nonumber\]
La variable ne semble pas être au carré dans la dernière équation, mais lorsque nous simplifierons l'expression de gauche, nous obtiendrons\(n^2+n\).
La forme générale d'une équation quadratique est\(ax^2+bx+c=0\), avec\(a\neq 0\). (Si\(a=0\), alors, il\(0·x^2=0\) ne nous reste plus de terme quadratique.)
Une équation de la forme\(ax^2+bx+c=0\) est appelée équation quadratique.
\[a,b,\text{ and }c\text{ are real numbers and }a\neq 0\nonumber\]
Pour résoudre des équations quadratiques, nous avons besoin de méthodes différentes de celles que nous avons utilisées pour résoudre des équations linéaires. Nous examinerons une méthode ici, puis plusieurs autres dans un chapitre ultérieur.
Utiliser la propriété Zero Product
Nous allons d'abord résoudre certaines équations quadratiques en utilisant la propriété Zero Product. La propriété Zero Product indique que si le produit de deux quantités est nul, alors au moins l'une des quantités est nulle. La seule façon d'obtenir un produit égal à zéro est de le multiplier par zéro lui-même.
Si\(a·b=0\), alors l'un\(a=0\) ou l'autre\(b=0\) ou les deux.
Nous allons maintenant utiliser la propriété Zero Product pour résoudre une équation quadratique.
Résoudre :\((5n−2)(6n−1)=0\).
- Réponse
-
Résoudre :\((3m−2)(2m+1)=0\).
- Réponse
-
\(m=\frac{2}{3},\space m=−\frac{1}{2}\)
Résoudre :\((4p+3)(4p−3)=0\).
- Réponse
-
\(p=−\frac{3}{4},\space p=\frac{3}{4}\)
- Attribuez à chaque facteur la valeur zéro.
- Résolvez les équations linéaires.
- Vérifiez.
Résoudre des équations quadratiques par factorisation
La propriété Zero Product fonctionne très bien pour résoudre des équations quadratiques. L'équation quadratique doit être factorisée, le zéro étant isolé sur un côté. Nous sommes donc sûrs de commencer par l'équation quadratique sous forme standard,\(ax^2+bx+c=0\). Ensuite, nous prenons en compte l'expression de gauche.
Résoudre :\(2y^2=13y+45\).
- Réponse
-
Résoudre :\(3c^2=10c−8\).
- Réponse
-
\(c=2,\space c=\frac{4}{3}\)
Résoudre :\(2d^2−5d=3\).
- Réponse
-
\(d=3,\space d=−12\)
- Écrivez l'équation quadratique sous forme standard,\(ax^2+bx+c=0\).
- Factoriez l'expression quadratique.
- Utilisez la propriété Zero Product.
- Résolvez les équations linéaires.
- Vérifiez. Remplacez chaque solution séparément dans l'équation d'origine.
Avant de procéder à la factorisation, nous devons nous assurer que l'équation quadratique est sous forme standard.
Pour résoudre des équations quadratiques par factorisation, vous utiliserez toutes les techniques de factorisation que vous avez apprises dans ce chapitre ! Reconnaissez-vous le modèle spécial du produit dans l'exemple suivant ?
Résoudre :\(169q^2=49\).
- Réponse
-
\(\begin{array} {ll} &169x^2=49 \\ \text{Write the quadratic equation in standard form.} &169x^2−49=0 \\ \text{Factor. It is a difference of squares.} &(13x−7)(13x+7)=0 \\ \text{Use the Zero Product Property to set each factor to }0. & \\ \text{Solve each equation.} &\begin{array} {ll} 13x−7=0 &13x+7=0 \\ 13x=7 &13x=−7 \\ x=\frac{7}{13} &x=−\frac{7}{13} \end{array} \end{array}\)
Vérifiez :
Nous vous laissons le soin de régler le chèque.
Résoudre :\(25p^2=49\).
- Réponse
-
\(p=\frac{7}{5},p=−\frac{7}{5}\)
Résoudre :\(36x^2=121\).
- Réponse
-
\(x=\frac{11}{6},x=−\frac{11}{6}\)
Dans l'exemple suivant, le côté gauche de l'équation est pris en compte, mais le côté droit n'est pas zéro. Pour utiliser la propriété Zero Product, l'un des côtés de l'équation doit être zéro. Nous allons multiplier les facteurs, puis écrire l'équation sous forme standard.
Résoudre :\((3x−8)(x−1)=3x\).
- Réponse
-
\(\begin{array} {ll} &(3x−8)(x−1)=3x \\ \text{Multiply the binomials.} &3x^2−11x+8=3x \\ \text{Write the quadratic equation in standard form.} &3x^2−14x+8=0 \\ \text{Factor the trinomial.} &(3x−2)(x−4)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the Zero Product Property to set each factor to 0.} \\ \text{Solve each equation.} \end{array} &\begin{array} {ll} 3x−2=0 &x−4=0 \\ 3x=2 &x=4 \\ x=\frac{2}{3} & \end{array} \\ \text{Check your answers.} &\text{The check is left to you.} \end{array}\)
Résoudre :\((2m+1)(m+3)=12m\).
- Réponse
-
\(m=1,\space m=\frac{3}{2}\)
Résoudre :\((k+1)(k−1)=8\).
- Réponse
-
\(k=3,\space k=−3\)
Dans l'exemple suivant, lorsque nous factorisons l'équation quadratique, nous obtenons trois facteurs. Cependant, le premier facteur est une constante. Nous savons que ce facteur ne peut pas être égal à 0.
Résoudre :\(3x^2=12x+63\).
- Réponse
-
\(\begin{array} {ll} &3x^2=12x+63 \\ \text{Write the quadratic equation in standard form.} &3x^2−12x−63=0 \\ \text{Factor the greatest common factor first.} &3(x^2−4x−21)=0 \\ \text{Factor the trinomial.} &3(x−7)(x+3)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the Zero Product Property to set each factor to 0.} \\ \text{Solve each equation.} \end{array} &\begin{array} {lll} 3\neq 0 &x−7=0 &x+3=0 \\ 3\neq 0 &x=7 &x=−3 \end{array} \\ \text{Check your answers.} &\text{The check is left to you.} \end{array}\)
Résoudre :\(18a^2−30=−33a\).
- Réponse
-
\(a=−\frac{5}{2},a=\frac{2}{3}\)
Résoudre :\(123b=−6−60b^2\)
- Réponse
-
\(b=−2,\space b=−\frac{1}{20}\)
La propriété Zéro produit s'applique également au produit de trois facteurs ou plus. Si le produit est égal à zéro, au moins l'un des facteurs doit être nul. Nous pouvons résoudre certaines équations de degrés supérieurs à deux en utilisant la propriété Zero Product, tout comme nous avons résolu des équations quadratiques.
Résoudre :\(9m^3+100m=60m^2\)
- Réponse
-
\(\begin{array} {ll} & 9m^3+100m=60m^2 \\ \text{Bring all the terms to one side so that the other side is zero.} &9m^3−60m^2+100m=0 \\ \text{Factor the greatest common factor first.} &m(9m^2−60m+100)=0 \\ \text{Factor the trinomial.} &m(3m−10)^2=0 \end{array}\\ \begin{array} {l} \text{Use the Zero Product Property to set each factor to 0.} \\ \text{Solve each equation.} &\begin{array} {lll} m=0 &3m−10=0 &{}\\ m=0 &m=\frac{10}{3} & {} \end{array}\\ \text{Check your answers.} &\text{The check is left to you.} \end{array}\)
Résoudre :\(8x^3=24x^2−18x\).
- Réponse
-
\(x=0,\space x=\frac{3}{2}\)
Résoudre :\(16y^2=32y^3+2y\).
- Réponse
-
\(y=0,\space y=14\)
Résolvez des équations à l'aide de fonctions
Au fur et à mesure que notre étude des fonctions polynomiales se poursuit, il sera souvent important de savoir quand la fonction aura une certaine valeur ou quels points se trouvent sur le graphique de la fonction. Notre travail avec Zero Product Property nous aidera à trouver ces réponses.
Pour la fonction\(f(x)=x^2+2x−2\),
ⓐ trouve\(x\) quand\(f(x)=6\)
ⓑ trouve deux points situés sur le graphique de la fonction.
- Réponse
-
ⓐ
\(\begin{array} {ll} &f(x)=x^2+2x−2 \\ \text{Substitute }6\text{ for }f(x). &6=x^2+2x−2 \\ \text{Put the quadratic in standard form.} &x^2+2x−8=0 \\ \text{Factor the trinomial.} &(x+4)(x−2)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the zero product property.} \\ \text{Solve.} \end{array} &\begin{array} {lll} x+4=0 &\text{or} &x−2=0 \\ x=−4 &\text{or} &x=2 \end{array} \\ \text{Check:} & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ \begin{array} {lll} \quad &\hspace{3mm} f(x)=x^2+2x−2 &f(x)=x^2+2x−2 \\ \quad &f(−4)=(−4)^2+2(−4)−2 &f(2)=2^2+2·2−2 \\ \quad &f(−4)=16−8−2 &f(2)=4+4−2 \\ \quad &f(−4)=6\checkmark &f(2)=6\checkmark \end{array} & \end{array} \)
ⓑ Depuis\(f(−4)=6\) et\(f(2)=6\), les points\((−4,6)\) et\((2,6)\) se trouvent sur le graphique de la fonction.
Pour la fonction\(f(x)=x^2−2x−8\),
ⓐ trouve\(x\) quand\(f(x)=7\)
ⓑ Trouve deux points situés sur le graphique de la fonction.
- Réponse
-
ⓐ\(x=−3\) ou\(x=5\)
ⓑ\((−3,7)\space (5,7)\)
Pour la fonction\(f(x)=x^2−8x+3\),
ⓐ trouve\(x\) quand\(f(x)=−4\)
ⓑ Trouve deux points situés sur le graphique de la fonction.
- Réponse
-
ⓐ\(x=1\) ou\(x=7\)
ⓑ\((1,−4)\space (7,−4)\)
La propriété Zero Product nous aide également à déterminer où la fonction est zéro. La valeur de l'\(x\)emplacement de la fonction est\(0\) appelée zéro de la fonction.
Pour n'importe quelle fonction\(f\)\(f(x)=0\), si, alors\(x\) est un zéro de la fonction.
Quand\(f(x)=0\), le point\((x,0)\) est un point sur le graphique. Ce point est une intersection\(x\) - du graphique. Il est souvent important de savoir où le graphe d'une fonction croise les axes. Nous verrons quelques exemples plus tard.
Pour la fonction\(f(x)=3x^2+10x−8\), trouvez
ⓐ les zéros de la fonction,
ⓑ toutes\(x\) les interceptions du graphe de la fonction
ⓒ toutes\(y\) les interceptions du graphe de la fonction
- Réponse
-
ⓐ Pour trouver les zéros de la fonction, nous devons déterminer quand la valeur de la fonction est 0.
\(\begin{array} {ll} &f(x)=3x^2+10x−8 \\ \text{Substitute }0\text{ for}f(x). &0=3x^2+10x−8 \\ \text{Factor the trinomial.} &(x+4)(3x−2)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the zero product property.} \\ \text{Solve.} \end{array} &\begin{array} {lll} x+4=0 &\text{or} &3x−2=0 \\ x=−4 &\text{or} &x=\frac{2}{3} \end{array} \end{array}\)
ⓑ Une\(x\) -interception se produit lorsque\(y=0\). Depuis\(f(−4)=0\) et\(f(\frac{2}{3})=0\), les points\((−4,0)\) et\((\frac{2}{3},0)\) se trouvent sur le graphique. Ces points sont\(x\) des interceptions de la fonction.
ⓒ Une\(y\) -interception se produit lorsque\(x=0\). Pour trouver les\(y\) -intercepts, nous devons les trouver\(f(0)\).
\(\begin{array} {ll} &f(x)=3x^2+10x−8 \\ \text{Find }f(0)\text{ by substituting }0\text{ for }x. &f(0)=3·0^2+10·0−8 \\ \text{Simplify.} &f(0)=−8 \end{array} \)
Depuis\(f(0)=−8\), le point\((0,−8)\) se trouve sur le graphique. Ce point est l'\(y\)intercept de la fonction.
Pour la fonction\(f(x)=2x^2−7x+5\), trouvez
ⓐ les zéros de la fonction
ⓑ toutes\(x\) les interceptions du graphe de la fonction
ⓒ toutes\(y\) les interceptions du graphe de la fonction.
- Réponse
-
ⓐ\(x=1\) ou\(x=\frac{5}{2}\)
ⓑ\((1,0),\space (\frac{5}{2},0)\) ⓒ\((0,5)\)
Pour la fonction\(f(x)=6x^2+13x−15\), trouvez
ⓐ les zéros de la fonction
ⓑ toutes\(x\) les interceptions du graphe de la fonction
ⓒ toutes\(y\) les interceptions du graphe de la fonction.
- Réponse
-
ⓐ\(x=−3\) ou\(x=\frac{5}{6}\)
ⓑ\((−3,0),\space (\frac{5}{6},0)\) ⓒ\((0,−15)\)
Résoudre des applications modélisées par des équations polynomiales
La stratégie de résolution de problèmes que nous avons utilisée précédemment pour les applications qui se traduisent en équations linéaires fonctionnera tout aussi bien pour les applications qui se traduisent en équations polynomiales. Nous allons copier la stratégie de résolution des problèmes ici afin de pouvoir l'utiliser à titre de référence.
- Lisez le problème. Assurez-vous que tous les mots et toutes les idées sont compris.
- Identifiez ce que nous recherchons.
- Nommez ce que nous recherchons. Choisissez une variable pour représenter cette quantité.
- Traduisez en une équation. Il peut être utile de reformuler le problème en une phrase avec toutes les informations importantes. Traduisez ensuite la phrase anglaise en une équation algébrique.
- Résolvez l'équation en utilisant les techniques d'algèbre appropriées.
- Vérifiez la réponse au problème et assurez-vous qu'elle est logique.
- Répondez à la question par une phrase complète.
Nous allons commencer par un problème numérique pour nous entraîner à traduire des mots en une équation polynomiale.
Le produit de deux entiers impairs consécutifs est 323. Trouve les nombres entiers.
- Réponse
-
\(\begin{array} {ll} \textbf{Step 1. Read }\text{the problem.} & \\ \textbf{Step 2. Identify }\text{what we are looking for.} &\text{We are looking for two consecutive integers.} \\ \textbf{Step 3. Name}\text{ what we are looking for.} &\text{Let } n=\text{ the first integer.} \\ &n+2= \text{ next consecutive odd integer} \\ \begin{array} {l} \textbf{Step 4. Translate }\text{into an equation. Restate the}\hspace{20mm} \\ \text{problem in a sentence.} \end{array} &\begin{array} {l} \text{The product of the two consecutive odd} \\ \text{integers is }323. \end{array} \\ &\quad n(n+2)=323 \\ \textbf{Step 5. Solve }\text{the equation.} n^2+2n=323 \\ \text{Bring all the terms to one side.} &n^2+2n−323=0 \\ \text{Factor the trinomial.} &(n−17)(n+19)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the Zero Product Property.} \\ \text{Solve the equations.} \end{array} &\begin{array} {ll} n−17=0 \hspace{10mm}&n+19=0 \\ n=17 &n=−19 \end{array} \end{array} \)
Il existe deux valeurs pour trouver\(n\) des solutions à ce problème. Il y a donc deux ensembles d'entiers impairs consécutifs qui fonctionneront.\(\begin{array} {ll} \text{If the first integer is } n=17 \hspace{60mm} &\text{If the first integer is } n=-19 \\ \text{then the next odd integer is} &\text{then the next odd integer is} \\ \hspace{53mm} n+2 &\hspace{53mm} n+2 \\ \hspace{51mm} 17+2 &\hspace{51mm} -19+2 \\ \hspace{55mm} 19 &\hspace{55mm} -17 \\ \hspace{51mm} 17,19 &\hspace{51mm} -17,-19 \\ \textbf{Step 6. Check }\text{the answer.} & \\ \text{The results are consecutive odd integers} & \\ \begin{array} {ll} 17,\space 19\text{ and }−19,\space −17. & \\ 17·19=323\checkmark &−19(−17)=323\checkmark \end{array} & \\ \text{Both pairs of consecutive integers are solutions.} & \\ \textbf{Step 7. Answer }\text{the question} &\text{The consecutive integers are }17, 19\text{ and }−19,−17. \end{array} \)
Le produit de deux entiers impairs consécutifs est 255. Trouve les nombres entiers.
- Réponse
-
\(−15,−17\)et\(15, 17\)
Le produit de deux entiers impairs consécutifs est 483 Trouvez les entiers.
- Réponse
-
\(−23,−21\)et\(21, 23\)
Avez-vous été surpris par la paire d'entiers négatifs qui constitue l'une des solutions à l'exemple précédent ? Le produit des deux nombres entiers positifs et le produit des deux nombres entiers négatifs donnent tous deux des résultats positifs.
Dans certaines applications, des solutions négatives résulteront de l'algèbre, mais ne seront pas réalistes compte tenu de la situation.
Une chambre rectangulaire a une superficie de 117 pieds carrés. La longueur de la chambre est supérieure de quatre pieds à la largeur. Trouvez la longueur et la largeur de la chambre.
- Réponse
-
Étape 1. Lisez le problème. En cas de problèmes impliquant des figures
géométriques, un croquis peut vous aider à visualiser
la situation.
Étape 2. Identifiez ce que vous recherchez. Nous recherchons la longueur et la largeur. Étape 3. Nommez ce que vous recherchez. Laissez\(w=\text{ the width of the bedroom}\). La longueur est supérieure de quatre pieds à la largeur. \(w+4=\text{ the length of the garden}\) Étape 4. Traduisez en une équation. Réaffirmez les informations importantes dans une phrase. La superficie de la chambre est de 117 pieds carrés. Utilisez la formule pour l'aire d'un rectangle. \(A=l·w\) Substituez les variables. \(117=(w+4)w\) Étape 5. Résolvez d'abord l'équation Distribuer. \(117=w^2+4w\) Mets zéro sur un côté. \(117=w^2+4w\) Tenez compte du trinôme. \(0=w^2+4w−117\) Utilisez la propriété Zero Product. \(0=(w^2+13)(w−9)\) Résolvez chaque équation. \(0=w+13\quad 0=w−9\) Comme\(w\) c'est la largeur de la chambre, cela n'a aucun
sens qu'elle soit négative. Nous éliminons cette valeur pour\(w\).\(\cancel{w=−13}\)\(\quad w=9\) \(w=9\)La largeur est de 9 pieds. Détermine la valeur de la longueur. \(w+4\)
\(9+4\)
13 La longueur est de 13 pieds.Étape 6. Vérifiez la réponse.
La réponse a-t-elle du sens ?
Oui, c'est logique.Étape 7. Réponds à la question. La largeur de la chambre est de 9 pieds et
la longueur de 13 pieds.
Un panneau rectangulaire a une superficie de 30 pieds carrés. La longueur du panneau est supérieure d'un pied à la largeur. Déterminez la longueur et la largeur du panneau.
- Réponse
-
La largeur est de 5 pieds et la longueur de 6 pieds.
Un patio rectangulaire a une superficie de 180 pieds carrés. La largeur du patio est inférieure de trois pieds à la longueur. Déterminez la longueur et la largeur du patio.
- Réponse
-
La longueur du patio est de 12 pieds et la largeur de 15 pieds.
Dans l'exemple suivant, nous utiliserons le théorème de Pythagore\((a^2+b^2=c^2)\). Cette formule donne la relation entre les jambes et l'hypoténuse d'un triangle droit.
Nous utiliserons cette formule dans l'exemple suivant.
La voile d'un bateau a la forme d'un triangle droit, comme illustré. L'hypoténuse mesurera 17 pieds de long. La longueur d'un côté sera inférieure de 7 pieds à la longueur de l'autre côté. Déterminez la longueur des côtés de la voile.
- Réponse
-
Étape 1. Lisez le problème Étape 2. Identifiez ce que vous recherchez. Nous cherchons la longueur des
flancs de la voile.Étape 3. Nommez ce que vous recherchez.
Un côté est 7 de moins que l'autre.Laissez\(x=\text{ length of a side of the sail}\).
\(x−7=\text{ length of other side}\)Étape 4. Traduisez en une équation. Comme il s'agit d'un triangle
droit, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore.\(a^2+b^2=c^2\) Substituez les variables. \(x^2+(x−7)^2=17^2\) Étape 5. Résolvez l'équation
Simplifier\(x^2+x^2−14x+49=289\) \(2x^2−14x+49=289\) C'est une équation quadratique, alors mettez zéro sur un côté. \(2x^2−14x−240=0\) Facteur le plus commun. \(2(x^2−7x−120)=0\) Tenez compte du trinôme. \(2(x−15)(x+8)=0\) Utilisez la propriété Zero Product. \(2\neq 0\quad x−15=0\quad x+8=0\) Résoudre. \(2\neq 0\quad x=15\quad x=−8\) Puisque\(x\) c'est un côté du triangle,\(x=−8\) cela n'a aucun
sens.\(2\neq 0\quad x=15\quad \cancel{x=−8}\) Trouve la longueur de l'autre côté. Si la longueur d'un côté est
alors la longueur de l'autre côté est
8 est la longueur de l'autre côté.Étape 6. Vérifiez la réponse dans le problème
Ces chiffres ont-ils un sens ?
Étape 7. Répondez à la question Les côtés de la voile mesurent 8, 15 et 17 pieds.
Justine souhaite aménager une terrasse dans le coin de son jardin en forme de triangle droit. La longueur d'un côté du pont est supérieure de 7 pieds à celle de l'autre côté. L'hypoténuse est de 13. Déterminez la longueur des deux côtés du pont.
- Réponse
-
5 pieds et 12 pieds
Un jardin de méditation a la forme d'un triangle droit, avec une jambe de 7 pieds. La longueur de l'hypoténuse est supérieure d'un à la longueur de l'autre jambe. Déterminez la longueur de l'hypoténuse et de l'autre jambe.
- Réponse
-
24 pieds et 25 pieds
L'exemple suivant utilise la fonction qui donne la hauteur d'un objet en fonction du temps lorsqu'il est projeté à 80 pieds au-dessus du sol.
Dennis va lancer sa balle élastique vers le haut depuis le haut d'un bâtiment du campus. Lorsqu'il lance la balle élastique à 80 pieds au-dessus du sol, la fonction\(h(t)=−16t^2+64t+80\) modélise la hauteur de la balle au-dessus du sol en fonction du temps\(t\).\(h\) Trouvez :
ⓐ les zéros de cette fonction qui nous indiquent quand la balle touche le sol
ⓑ quand la balle se trouvera à 80 pieds au-dessus du sol
ⓒ la hauteur de la balle en\(t=2\) secondes.
- Réponse
-
ⓐ Les zéros de cette fonction sont trouvés en résolvant\(h(t)=0\). Cela nous indiquera quand la balle touchera le sol.
\(\begin{array} {ll} &h(t)=0 \\ \text{Substitute in the polynomial for }h(t). &−16t^2+64t+80=0 \\ \text{Factor the GCF, }−16. &−16(t^2−4t−5)=0 \\ \text{Factor the trinomial.} &−16(t−5)(t+1)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the Zero Product Property.} \\ \text{Solve.} \end{array} &\begin{array} {ll} t−5=0 &t+1=0 \\ t=5 &t=−1 \end{array} \end{array} \)Le résultat nous\(t=5\) indique que la balle va toucher le sol 5 secondes après son lancement. Comme le temps ne peut pas être négatif, le résultat\(t=−1\) est rejeté.
ⓑ La balle sera à 80 pieds au-dessus du sol lorsque\(h(t)=80\).
\(\begin{array} {ll} &h(t)=80 \\ \text{Substitute in the polynomial for }h(t). &−16t^2+64t+80=80 \\ \text{Subtract 80 from both sides.} &−16t^2+64t=0 \\ \text{Factor the GCF, }−16t. &−16t(t−4)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the Zero Product Property.} \\ \text{Solve.}\end{array} &\begin{array} {ll} −16t=0 &t−4=0 \\ t=0 &t=4 \end{array} \\ &\text{The ball will be at 80 feet the moment Dennis} \\ &\text{tosses the ball and then 4 seconds later, when} \\ &\text{the ball is falling.} \end{array} \)ⓒ Pour trouver la boule de hauteur en\(t=2\) quelques secondes, nous trouvons\(h(2)\).
\(\begin{array} {ll} &h(t)=−16t^2+64t+80 \\ \text{To find }h(2)\text{ substitute }2\text{ for }t. &h(2)=−16(2)^2+64·2+80 \\ \text{Simplify.} &h(2)=144 \\ &\text{After 2 seconds, the ball will be at 144 feet.} \end{array}\)
Geneviève va lancer un rocher depuis le sommet d'un sentier surplombant l'océan. Lorsqu'elle projette la roche vers le haut à 160 pieds au-dessus de l'océan, la fonction\(h(t)=−16t^2+48t+160\) modélise\(h\) la hauteur de la roche au-dessus de l'océan en fonction du temps\(t\). Trouvez :
ⓐ les zéros de cette fonction qui nous indiquent quand la roche va toucher l'océan
ⓑ quand la roche se trouvera à 160 pieds au-dessus de l'océan.
ⓒ la hauteur du rocher en\(t=1.5\) quelques secondes.
- Réponse
-
ⓐ 5 ⓑ 0 ; 3 ⓒ 196
Calib va jeter son sou porte-bonheur depuis son balcon sur un bateau de croisière. Lorsqu'il jette la pièce d'un cent vers le haut à 128 pieds au-dessus du sol, la fonction\(h(t)=−16t^2+32t+128\)\(h\) modélise la hauteur de la pièce au-dessus de l'océan en fonction du temps\(t\). Trouvez :
ⓐ les zéros de cette fonction qui correspond au moment où la pièce d'un cent touche l'océan
ⓑ lorsque la pièce d'un cent se trouve à 128 pieds au-dessus de l'océan.
ⓒ la hauteur de la pièce d'un cent en\(t=1\) secondes, c'est-à-dire lorsque la pièce d'un cent atteindra son point le plus haut.
- Réponse
-
ⓐ 4 ⓑ 0 ; 2 ⓒ 144
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Concepts clés
- Équation polynomiale : Une équation polynomiale est une équation qui contient une expression polynomiale. Le degré de l'équation polynomiale est le degré du polynôme.
- Équation quadratique : Une équation de la forme\(ax^2+bx+c=0\) est appelée équation quadratique.
\[a,b,c\text{ are real numbers and } a\neq 0\nonumber\]
- Propriété de produit nulle : Si\(a·b=0\), alors l'un\(a=0\) ou l'autre\(b=0\) ou les deux.
- Comment utiliser la propriété Zero Product
- Attribuez à chaque facteur la valeur zéro.
- Résolvez les équations linéaires.
- Vérifiez.
- Comment résoudre une équation quadratique par factorisation.
- Écrivez l'équation quadratique sous forme standard,\(ax^2+bx+c=0\).
- Factoriez l'expression quadratique.
- Utilisez la propriété Zero Product.
- Résolvez les équations linéaires.
- Vérifiez. Remplacez chaque solution séparément dans l'équation d'origine.
- Zéro d'une fonction : pour n'importe quelle fonction\(f\)\(f(x)=0\), si, alors\(x\) est un zéro de la fonction.
- Comment utiliser une stratégie de résolution de problèmes pour résoudre des problèmes de mots.
- Lisez le problème. Assurez-vous que tous les mots et toutes les idées sont compris.
- Identifiez ce que nous recherchons.
- Nommez ce que nous recherchons. Choisissez une variable pour représenter cette quantité.
- Traduisez en une équation. Il peut être utile de reformuler le problème en une phrase avec toutes les informations importantes. Traduisez ensuite la phrase anglaise en une équation algébrique.
- Résolvez l'équation en utilisant les techniques d'algèbre appropriées.
- Vérifiez la réponse au problème et assurez-vous qu'elle est logique.
- Répondez à la question par une phrase complète.