6.5 : Stratégie générale de factorisation des expressions polynomiales
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À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Reconnaître et utiliser la méthode appropriée pour factoriser complètement un polynôme
Reconnaître et utiliser la méthode appropriée pour factoriser complètement un polynôme
Vous avez maintenant pris connaissance de toutes les méthodes d'affacturage dont vous aurez besoin dans ce cours. Le tableau suivant résume toutes les méthodes de factorisation que nous avons abordées et décrit une stratégie à utiliser pour factoriser des polynômes.
- Y a-t-il un plus grand facteur commun ?
Tenez-le en compte. - Le polynôme est-il binomial, trinomial ou existe-t-il plus de trois termes ?
S'il s'agit d'un binôme :- Est-ce une somme ?
Des carrés ? Les sommes des carrés ne sont pas prises en compte.
Des cubes ? Utilisez le modèle de somme des cubes. - Est-ce une différence ?
Des carrés ? Facteur en tant que produit de conjugués.
Des cubes ? Utilisez la différence de motif de cubes.
- Est-ce de la forme\(x^2+bx+c\) ? Annuler FOIL.
- Est-ce de la forme\(ax^2+bx+c\) ?
Si a et c sont des carrés, vérifiez s'ils correspondent au motif carré trinomial.
Utilisez la méthode des essais et des erreurs ou la méthode «\(ac\) ».
- Utilisez la méthode de regroupement.
- Est-ce une somme ?
- Vérifiez.
Est-ce complètement pris en compte ?
Les facteurs se multiplient-ils jusqu'au polynôme d'origine ?
N'oubliez pas qu'un polynôme est complètement factorisé si, à l'exception des monômes, ses facteurs sont premiers !
Facteur complètement :\(7x^3−21x^2−70x\).
Solution
\(\begin{array} {ll} {7x^3−21x^2−70x} & \\ \text{Is there a GCF? Yes, }7x. & \\ \text{Factor out the GCF.} &7x(x^2−3x−10) \\ \text{In the parentheses, is it a binomial, trinomial,} & \\ \text{or are there more terms?} & \\ \text{Trinomial with leading coefficient 1.} & \\ \text{“Undo” FOIL.} &7x(x\hspace{8mm})(x\hspace{8mm}) \\ &7x(x+2)(x−5) \\ \text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Neither binomial can be factored.} & \\ \text{Check your answer.} & \\ \text{Multiply.} & \\ & \\ & \\ \hspace{15mm}7x(x+2)(x−5) & \\ \hspace{10mm}7x(x^2−5x+2x−10) & \\ \hspace{15mm}7x(x^2−3x−10) & \\ \hspace{13mm}7x^3−21x^2−70x\checkmark & \end{array} \)
Facteur complètement :\(8y^3+16y^2−24y\).
- Réponse
-
\(8y(y−1)(y+3)\)
Facteur complètement :\(5y^3−15y^2−270y\).
- Réponse
-
\(5y(y−9)(y+6)\)
Soyez prudent lorsqu'on vous demande de factoriser un binôme car il existe plusieurs options !
Facteur complet :\(24y^2−150\)
Solution
\(\begin{array} {ll} &24y^2−150 \\ \text{Is there a GCF? Yes, }6. & \\ \text{Factor out the GCF.} &6(4y^2−25) \\ \text{In the parentheses, is it a binomial, trinomial} & \\ \text{or are there more than three terms? Binomial.} & \\ \text{Is it a sum? No.} & \\ \text{Is it a difference? Of squares or cubes? Yes, squares.} &6((2y)^2−(5)^2) \\ \text{Write as a product of conjugates.} &6(2y−5)(2y+5) \\ & \\ & \\ \hspace{5mm}\text{Is the expression factored completely?} & \\ \hspace{5mm}\text{Neither binomial can be factored.} & \\ \text{Check:} & \\ & \\ & \\ \hspace{5mm}\text{Multiply.} & \\ & \\ \hspace{15mm}6(2y−5)(2y+5) & \\ & \\ \hspace{18mm}6(4y^2−25) & \\ \hspace{18mm}24y^2−150\checkmark \end{array}\)
Facteur complètement :\(16x^3−36x\).
- Réponse
-
\(4x(2x−3)(2x+3)\)
Facteur complètement :\(27y^2−48\).
- Réponse
-
\(3(3y−4)(3y+4)\)
L'exemple suivant peut être pris en compte à l'aide de plusieurs méthodes. Reconnaître le motif des carrés trinomiaux facilitera votre travail.
Facteur complètement :\(4a^2−12ab+9b^2\).
Solution
\(\begin{array} {ll} &4a^2−12ab+9b^2 \\ \text{Is there a GCF? No.} & \\ \text{Is it a binomial, trinomial, or are there more terms?} & \\ \text{Trinomial with }a\neq 1.\text{ But the first term is a perfect square.} \\ \text{Is the last term a perfect square? Yes.} &(2a)^2−12ab+(3b)^2 \\ \text{Does it fit the pattern, }a^2−2ab+b^2?\text{ Yes.} &(2a)^2 −12ab+ (3b)^2 \\ &\hspace{7mm} {\,}^{\searrow}{\,}_{−2(2a)(3b)}{\,}^{\swarrow}\\ \text{Write it as a square.} &(2a−3b)^2 \\ & \\ & \\ \quad\text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \quad\text{The binomial cannot be factored.} & \\ \text{Check your answer.} \\ & \\ & \\ \quad\text{Multiply.} & \\ \hspace{30mm}(2a−3b)^2 \\ \hspace{20mm} (2a)^2−2·2a·3b+(3b)^2 \\ \hspace{24mm}4a^2−12ab+9b^2\checkmark & \end{array} \)
Facteur complètement :\(4x^2+20xy+25y^2\).
- Réponse
-
\((2x+5y)^2\)
Facteur complètement :\(9x^2−24xy+16y^2\).
- Réponse
-
\((3x−4y)^2\)
N'oubliez pas que les sommes des carrés ne sont pas prises en compte, mais les sommes des cubes, oui !
Facteur complètement\(12x^3y^2+75xy^2\).
Solution
\(\begin{array} {ll} &12x^3y^2+75xy^2 \\ \text{Is there a GCF? Yes, }3xy^2. & \\ \text{Factor out the GCF.} &3xy^2(4x^2+25) \\ \text{In the parentheses, is it a binomial, trinomial, or are} & \\ \text{there more than three terms? Binomial.} & \\ & \\ \text{Is it a sum? Of squares? Yes.} &\text{Sums of squares are prime.} \\ & \\ & \\ \quad\text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Check:} & \\ & \\ & \\ \quad\text{Multiply.} & \\ \hspace{15mm}3xy^2(4x^2+25) & \\ \hspace{14mm}12x^3y^2+75xy^2\checkmark \end{array} \)
Facteur complètement :\(50x^3y+72xy\).
- Réponse
-
\(2xy(25x^2+36)\)
Facteur complètement :\(27xy^3+48xy\).
- Réponse
-
\(3xy(9y^2+16)\)
Lorsque vous utilisez le motif de somme ou de différence de cubes, faites attention aux signes.
Facteur complètement :\(24x^3+81y^3\).
Solution
| Y a-t-il un GCF ? Oui, 3. |  |
| Tenez-le en compte. |  |
| Entre parenthèses, s'agit-il d'un binôme, d'un trinôme, ou y a-t-il plus de trois termes ? Binomiale. |
|
| S'agit-il d'une somme ou d'une différence ? Somme. | |
| De carrés ou de cubes ? Somme de cubes. |  |
| Écrivez-le en utilisant le motif de la somme des cubes. |  |
| L'expression est-elle complètement prise en compte ? Oui. |  |
| Vérifiez en multipliant. |
Facteur complètement :\(250m^3+432n^3\).
- Réponse
-
\(2(5m+6n)(25m^2−30mn+36n^2)\)
Facteur complètement :\(2p^3+54q^3\).
- Réponse
-
\(2(p+3q)(p^2−3pq+9q^2)\)
Facteur complètement :\(3x^5y−48xy\).
Solution
\(\begin{array} {ll} &3x^5y−48xy \\ \text{Is there a GCF? Factor out }3xy &3xy(x^4−16) \\ \begin{array} {l} \text{Is the binomial a sum or difference? Of squares or cubes?} \\ \text{Write it as a difference of squares.} \end{array} &3xy\left((x^2)^2−(4)2\right) \\ \text{Factor it as a product of conjugates} &3xy(x^2−4)(x^2+4) \\ \text{The first binomial is again a difference of squares.} &3xy\left((x)^2−(2)^2\right)(x^2+4) \\ \text{Factor it as a product of conjugates.} &3xy(x−2)(x+2)(x^2+4) \\ \text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Check your answer.} & \\ \text{Multiply.} & \\ 3xy(x−2)(x+2)(x^2+4) & \\ 3xy(x^2−4)(x^2+4) & \\ 3xy(x^4−16) & \\ 3x^5y−48xy\checkmark & \end{array}\)
Facteur complètement :\(4a^5b−64ab\).
- Réponse
-
\(4ab(a^2+4)(a−2)(a+2)\)
Facteur complètement :\(7xy^5−7xy\).
- Réponse
-
\(7xy(y^2+1)(y−1)(y+1)\)
Facteur complètement :\(4x^2+8bx−4ax−8ab\).
Solution
\(\begin{array} {ll} &4x^2+8bx−4ax−8ab \\ \text{Is there a GCF? Factor out the GCF, }4. &4(x^2+2bx−ax−2ab) \\ \text{There are four terms. Use grouping.} &4[x(x+2b)−a(x+2b)]4(x+2b)(x−a) \\ \text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Check your answer.} & \\ \text{Multiply.} & \\ \hspace{25mm}4(x+2b)(x−a) & \\ \hspace{20mm} 4(x^2−ax+2bx−2ab) & \\ \hspace{20mm}4x^2+8bx−4ax−8ab\checkmark \end{array}\)
Facteur complètement :\(6x^2−12xc+6bx−12bc\).
- Réponse
-
\(6(x+b)(x−2c)\)
Facteur complètement :\(16x^2+24xy−4x−6y\).
- Réponse
-
\(2(4x−1)(2x+3y)\)
Le fait de retirer le GCF complet dans un premier temps facilitera toujours votre travail.
Facteur complètement :\(40x^2y+44xy−24y\).
Solution
\(\begin{array} {ll} &40x^2y+44xy−24y \\ \text{Is there a GCF? Factor out the GCF, }4y. &4y(10x^2+11x−6) \\ \text{Factor the trinomial with }a\neq 1. &4y(10x^2+11x−6) \\ &4y(5x−2)(2x+3) \\ \text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Check your answer.} & \\ \text{Multiply.} & \\ \hspace{25mm}4y(5x−2)(2x+3) & \\ \hspace{24mm}4y(10x^2+11x−6) & \\ \hspace{22mm}40x^2y+44xy−24y\checkmark \end{array}\)
Facteur complètement :\(4p^2q−16pq+12q\).
- Réponse
-
\(4q(p−3)(p−1)\)
Facteur complètement :\(6pq^2−9pq−6p\).
- Réponse
-
\(3p(2q+1)(q−2)\)
Lorsque nous avons factorisé un polynôme à quatre termes, nous l'avons le plus souvent séparé en deux groupes de deux termes. N'oubliez pas que nous pouvons également le séparer en un trinôme puis en un terme.
Facteur complètement :\(9x^2−12xy+4y^2−49\).
Solution
\(\begin{array} {ll} &9x^2−12xy+4y^2−49 \\ \text{Is there a GCF? No.} & \\ \begin{array} {l} \text{With more than 3 terms, use grouping. Last 2 terms} \\ \text{have no GCF. Try grouping first 3 terms.} \end{array} &9x^2−12xy+4y^2−49 \\ \begin{array} {l} \text{Factor the trinomial with }a\neq 1. \text{ But the first term is a} \\ \text{perfect square.} \end{array} & \\ \text{Is the last term of the trinomial a perfect square? Yes.} &(3x)^2−12xy+(2y)^2−49 \\ \text{Does the trinomial fit the pattern, }a^2−2ab+b^2? \text{ Yes.} &(3x)^2 −12xy+ (2y)^2−49 \\ &\hspace{7mm} {\,}^{\searrow}{\,}_{−2(3x)(2y))}{\,}^{\swarrow} \\ \text{Write the trinomial as a square.} &(3x−2y)^2−49 \\ \begin{array} {ll} \text{Is this binomial a sum or difference? Of squares or} \\ \text{cubes? Write it as a difference of squares.} \end{array} &(3x−2y)^2−72 \\ \text{Write it as a product of conjugates.} &((3x−2y)−7)((3x−2y)+7) \\ &(3x−2y−7)(3x−2y+7) \\ \text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Check your answer.} & \\ \text{Multiply.} & \\ \hspace{23mm}(3x−2y−7)(3x−2y+7) & \\ \hspace{10mm}9x^2−6xy−21x−6xy+4y^2+14y+21x−14y−49 \qquad & \\ \hspace{25mm}9x^2−12xy+4y^2−49\checkmark & \end{array}\)
Facteur complètement :\(4x^2−12xy+9y^2−25\).
- Réponse
-
\((2x−3y−5)(2x−3y+5)\)
Facteur complètement :\(16x^2−24xy+9y^2−64\).
- Réponse
-
\((4x−3y−8)(4x−3y+8)\)
Concepts clés
- Comment utiliser une stratégie générale pour factoriser les polynômes.
- Y a-t-il un plus grand facteur commun ?
Tenez-le en compte. - Le polynôme est-il binomial, trinomial ou existe-t-il plus de trois termes ?
S'il s'agit d'un binôme :
est-ce une somme ?
Des carrés ? Les sommes des carrés ne sont pas prises en compte.
Des cubes ? Utilisez le modèle de somme des cubes.
Est-ce une différence ?
Des carrés ? Facteur en tant que produit de conjugués.
Des cubes ? Utilisez la différence de motif de cubes.
S'il s'agit d'un trinôme :
est-ce de la forme\(x^2+bx+c\) ? Annuler FOIL.
Est-ce que c'est de la forme\(ax^2+bx+c\) ?
Si a et c sont des carrés, vérifiez s'ils correspondent au motif carré trinomial.
Utilisez la méthode des essais et des erreurs ou la méthode «\(ac\) ».
S'il contient plus de trois termes :
utilisez la méthode de regroupement. - Vérifiez.
Est-ce complètement pris en compte ?
Les facteurs se multiplient-ils jusqu'au polynôme d'origine ?
- Y a-t-il un plus grand facteur commun ?