5.3E : Exercices

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

La pratique rend la perfection

Simplifier les expressions à l'aide des propriétés des exposants

Dans les exercices suivants, simplifiez chaque expression à l'aide des propriétés des exposants.

1. ⓐ$d^3·d^6$ ⓑ$4^{5x}·4^{9x}$ ⓒ$2y·4y^3$ ⓓ$w·w^2·w^3$

Réponse: ⓐ$d^9$ ⓑ$4^{14x}$ ⓒ$8y^4$ ⓓ$w^6$

2. ⓐ$x^4·x^2$ ⓑ$8^{9x}·8^3$ ⓒ$3z^{25}·5z^8$ ⓓ$y·y^3·y^5$

3. ⓐ$n^{19}·n^{12}$ ⓑ$3^x·3^6$ ⓒ$7w^5·8w$ ⓓ$a^4·a^3·a^9$

Réponse: ⓐ$n^{31}$ ⓑ$3^{x+6}$ ⓒ$56w^6$
ⓓ$a^{16}$

4. ⓐ$q^{27}·q^{15}$ ⓑ$5^x·5^{4x}$ ⓒ$9u^{41}·7u^{53}$
ⓓ$c^5·c^{11}·c^2$

5. $m^x·m^3$

Réponse: $m^{x+3}$

6. $n^y·n^2$

7. $y^a·y^b$

Réponse: $y^{a+b}$

8. $x^p·x^q$

9. ⓐ$\dfrac{x^{18}}{x^3}$ ⓑ$\dfrac{5^{12}}{5^3}$ ⓒ$\dfrac{q^{18}}{q^{36}}$ ⓓ$\dfrac{10^2}{10^3}$

Réponse: ⓐ$x^{15}$ ⓑ$5^9$ ⓒ$\dfrac{1}{q^{18}}$ ⓓ$\dfrac{1}{10}$

10. ⓐ$\dfrac{y^{20}}{y^{10}}$ ⓑ$\dfrac{7^{16}}{7^2}$ ⓒ$\dfrac{t^{10}}{t^{40}}$ ⓓ$\dfrac{8^3}{8^5}$

11. ⓐ$\dfrac{p^{21}}{p^7}$ ⓑ$\dfrac{4^{16}}{4^4}$ ⓒ$\dfrac{b}{b^9}$ ⓓ$\dfrac{4}{4^6}$

Réponse: ⓐ$p^{14}$ ⓑ$4^{12}$ ⓒ$\dfrac{1}{b^8}$ ⓓ$\dfrac{1}{4^5}$

12. ⓐ$\dfrac{u^{24}}{u^3}$ ⓑ$\dfrac{9^{15}}{9^5}$ ⓒ$\dfrac{x}{x^7}$ ⓓ$\dfrac{10}{10^3}$

13. ⓐ$20^0$ ⓑ$b^0$

Réponse: ⓐ 1 ⓑ 1

14. ⓐ$13^0$ ⓑ$k^0$

15. ⓐ$−27^0$ ⓑ$−(27^0)$

Réponse: ⓐ$−1$ ⓑ$−1$

16. ⓐ$−15^0$ ⓑ$−(15^0)$

Utiliser la définition d'un exposant négatif

Dans les exercices suivants, simplifiez chaque expression.

17. ⓐ$a^{−2}$ ⓑ$10^{−3}$ ⓒ$\dfrac{1}{c^{−5}}$ ⓓ$\dfrac{1}{3^{−2}}$

Réponse: ⓐ$\dfrac{1}{a^{2}}$ ⓑ$\dfrac{1}{1000}$ ⓒ$c^{5}$ ⓓ$9$

18. ⓐ$b^{−4}$ ⓑ$10^{−2}$ ⓒ$\dfrac{1}{c^{−5}}$ ⓓ$\dfrac{1}{5^{−2}}$

19. ⓐ$r^{−3}$ ⓑ$10^{−5}$ ⓒ$\dfrac{1}{q^{−10}}$ ⓓ$\dfrac{1}{10^{−3}}$

Réponse: ⓐ$\dfrac{1}{r3}$ ⓑ$\dfrac{1}{100,000}$ ⓒ$q^{10}$ ⓓ$1,000$

20. ⓐ$s^{−8}$ ⓑ$10^{−2}$ ⓒ$\dfrac{1}{t^{−9}}$ ⓓ$\dfrac{1}{10^{−4}}$

21. ⓐ$\left(\dfrac{5}{8}\right)^{-2}$ ⓑ$\left(−\dfrac{b}{a}\right)^{−2}$

Réponse: ⓐ$\dfrac{64}{25}$ ⓑ$\dfrac{a^{2}}{b^{2}}$

22. ⓐ$\left(\dfrac{3}{10}\right)^{−2}$ ⓑ$\left(−\dfrac{2}{z}\right)^{−3}$

23. ⓐ$\left(\dfrac{4}{9}\right)^{−3}$ ⓑ$\left(−\dfrac{u}{v}\right)^{−5}$

Réponse: ⓐ$\dfrac{729}{64}$ ⓑ$−\dfrac{v^{5}}{u^{5}}$

24. ⓐ$\left(\dfrac{7}{2}\right)^{−3}$ ⓑ$\left(−\dfrac{3}{x}\right)^{−3}$

25. ⓐ$(−5)^{−2}$ ⓑ$−5^{−2}$ ⓒ$\left(−\dfrac{1}{5}\right)^{−2}$ ⓓ$−\left(\dfrac{1}{5}\right)^{−2}$

Réponse: ⓐ$\dfrac{1}{25}$ ⓑ$−\dfrac{1}{25}$ ⓒ$25$ ⓓ$−25$

26. ⓐ$−5^{−3}$ ⓑ$\left(−\dfrac{1}{5}\right)^{−3}$ ⓒ$−\left(\dfrac{1}{5}\right)^{−3}$ ⓓ$(−5)^{−3}$

27. ⓐ$3·5^{−1}$ ⓑ$(3·5)^{−1}$

Réponse: ⓐ$\dfrac{3}{5}$ ⓑ$\dfrac{1}{15}$

28. ⓐ$3·4^{−2}$ ⓑ$(3·4)^{−2}$

Dans les exercices suivants, simplifiez chaque expression à l'aide de la propriété Product.

29. ⓐ$b^{4}b^{−8}$ ⓑ$(w^{4}x^{−5})(w^{−2}x^{−4})$) ⓒ$(−6c^{−3}d^9)(2c^4d^{−5})$

Réponse: ⓐ$\dfrac{1}{b^{4}}$ ⓑ$\dfrac{w^{2}}{x^{9}}$ ⓒ$−12cd^{4}$

30. ⓐ$s^{3}·s^{−7}$ ⓑ$(m^{3}n^{−3})(m^{5}n^{−1})$
ⓒ$(−2j^{−5}k^{8})(7j^{2}k^{−3})$

31. ⓐ$a^{3}·a^{−3}$ ⓑ$(uv^{−2})(u^{−5}v^{−3})$
ⓒ$(−4r^{−2}s^{−8})(9r^{4}s^{3})$

Réponse: ⓐ$1$ ⓑ$\dfrac{1}{u^{4}v^{5}}$ ⓒ$−36\dfrac{r^{2}}{j^{5}}$

32. ⓐ$y^{5}·y^{−5}$ ⓑ$(pq^{−4})(p^{−6}q^{−3})$
ⓒ$(−5m^{4}n^{6})(8m^{−5}n^{−3})$

33. $p^{5}·p^{−2}·p^{−4}$

Réponse: $\dfrac{1}{p}$

34. $x^{4}·x^{−2}·x^{−3}$

Dans les exercices suivants, simplifiez chaque expression à l'aide de la propriété Power.

35. ⓐ$(m^4)^2$ ⓑ$(10^3)^6$ ⓒ$(x^3)^{−4}$

Réponse: ⓐ$m^{8}$ ⓑ$10^{18}$ ⓒ$\dfrac{1}{x^{12}}$

36. ⓐ$(b^{2})^{7}$ ⓑ$(3^8)^2$ ⓒ$(k^2)^{−5}$

37. ⓐ$(y^3)^x$ ⓑ$(5^x)^x$ ⓒ$(q^6)^{−8}$

Réponse: ⓐ$y^{3x}$ ⓑ$5^{xy}$ ⓒ$\dfrac{1}{q^{48}}$

38. ⓐ$(x^2)^y$ ⓑ$(7^a)^b$ ⓒ$(a^9)^{−10}$

Dans les exercices suivants, simplifiez chaque expression à l'aide de la propriété Product to a Power.

39. ⓐ$(−3xy)^2$ ⓑ$(6a)^0$ ⓒ$(5x^2)^{−2}$ ⓓ$(−4y^{−3})^2$

Réponse: ⓐ$9x^2y^2$ ⓑ 1 ⓒ$\dfrac{1}{25x^4}$ ⓓ$\dfrac{16}{y^6}$

40. ⓐ$(−4ab)^2$ ⓑ$(5x)^0$ ⓒ$(4y^3)^{−3}$ ⓓ$(−7y^{−3})^2$

41. ⓐ$(−5ab)^3$ ⓑ$(−4pq)^0$ ⓒ$(−6x^3)^{−2}$ ⓓ$(3y^{−4})^2$

Réponse: ⓐ$−125a^3b^3$ ⓑ 1 ⓒ$\dfrac{1}{36x^6}$ ⓓ$\dfrac{9}{y^8}$

42. ⓐ$(−3xyz)^4$ ⓑ$(−7mn)^0$ ⓒ$(−3x^3)^{−2}$
ⓓ$(2y^{−5})^2$

Dans les exercices suivants, simplifiez chaque expression à l'aide du quotient par rapport à une propriété de puissance.

43. ⓐ$(p^2)^5$ ⓑ$\left(\dfrac{x}{y}\right)^{−6}$ ⓒ$\left(\dfrac{2xy^2}{z}\right)^3$ ⓓ$\left(\dfrac{4p^{−3}}{q^2}\right)^2$

Réponse: ⓐ$\dfrac{p^5}{32}$ ⓑ$\dfrac{y^6}{x^6}$ ⓒ$\dfrac{8x^3y^6}{z^3}$
ⓓ$\dfrac{16}{p^6q^4}$

44. ⓐ$\left(\dfrac{x}{3}\right)^4$ ⓑ$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{−5}$ ⓒ$\left(\dfrac{2xy^2}{z}\right)^3$ ⓓ$\left(\dfrac{x^3y}{z^4}\right)^2$

45. ⓐ$\left(\dfrac{a}{3b}\right)^4$ ⓑ$\left(\dfrac{5}{4m}\right)^{−2}$ ⓒ$\left(\dfrac{3a^{−2}b^3}{c^3}\right)^{−2}$ ⓓ$\left(\dfrac{p^{−1}q^4}{r^{−4}}\right)^2$

Réponse: ⓐ$\dfrac{a^4}{81b^4}$ ⓑ$\dfrac{16m^2}{25}$ ⓒ$\dfrac{a^4c^4}{9b^6}$ ⓓ$\dfrac{q^8r^8}{p^2}$

46. ⓐ$\left(\dfrac{x^2}{y}\right)^3$ ⓑ$\left(\dfrac{10}{3q}\right)^{−4}$ ⓒ$\left(\dfrac{2x^3y^4}{3z^2}\right)^5$ ⓓ$\left(\dfrac{5a^3b^{−1}}{2c^4}\right)^{−3}$

Dans les exercices suivants, simplifiez chaque expression en appliquant plusieurs propriétés.

47. ⓐ$(5t^2)^3(3t)^2$ ⓑ$\dfrac{(t^2)^5(t^{−4})^2}{(t^3)^7}$ ⓒ$\left(\dfrac{2xy^2}{x^3y^{−2}}\right)^2\left(\dfrac{12xy^3}{x^3y^{−1}}\right)^{−1}$

Réponse: ⓐ$1125t^8$ ⓑ$\dfrac{1}{t^{19}}$ ⓒ$\dfrac{y^4}{3x^2}$

48. ⓐ$(10k^4)^3(5k^6)^2$ ⓑ$\dfrac{(q^3)^6(q^{−2})^3}{(q^4)^8}$

49. ⓐ$(m^2n)^2(2mn^5)^4$ ⓑ$\dfrac{(−2p^{−2})^4(3p^4)^2}{(−6p^3)^2}$

Réponse: ⓐ$16m^8n^{22}$ ⓑ$\dfrac{4}{p^6}$

50. ⓐ$(3pq^4)^2(6p^6q)^2$ ⓑ$\dfrac{(−2k^{−3})^2(6k^2)^4}{(9k^4)^2}$

Pratique mixte

Dans les exercices suivants, simplifiez chaque expression.

51. ⓐ$7n^{−1}$ ⓑ$(7n)^{−1}$ ⓒ$(−7n)^{−1}$

Réponse: ⓐ$\dfrac{7}{n}$ ⓑ$\dfrac{1}{7n}$ ⓒ$−\dfrac{1}{7n}$

52. ⓐ$6r^{−1}$ ⓑ$(6r)^{−1}$ ⓒ$(−6r)^{−1}$

53. ⓐ$(3p)^{−2}$ ⓑ$3p^{−2}$ ⓒ$−3p^{−2}$

Réponse: ⓐ$\dfrac{1}{9p^2}$ ⓑ$\dfrac{3}{p^2}$ ⓒ$−\dfrac{3}{p^2}$

54. ⓐ$(2q)^{−4}$ ⓑ$2q^{−4}$ ⓒ$−2q^{−4}$

55. $(x^2)^4·(x^3)^2$

Réponse: $x^{14}$

56. $(y^4)^3·(y^5)^2$

57. $(a^2)^6·(a^3)^8$

Réponse: $a^{30}$

58. $(b^7)^5·(b^2)^6$

59. $(2m^6)^3$

Réponse: $2m^{18}$

60. $(3y^2)^4$

61. $(10x^2y)^3$

Réponse: $1,000x^6y^3$

62. $(2mn^4)^5$

63. $(−2a^3b^2)^4$

Réponse: $16a^{12}b^8$

64. $(−10u^2v^4)^3$

65. $\left(\dfrac{2}{3}x^2y\right)^3$

Réponse: $\dfrac{8}{27}x^6y^3$

66. $\left(\dfrac{7}{9}pq^4\right)^2$

67. $(8a^3)^2(2a)^4$

Réponse: $1,024a^{10}$

68. $(5r^2)^3(3r)^2$

69. $(10p^4)^3(5p^6)^2$

Réponse: $25,000p^{24}$

70. $(4x^3)^3(2x^5)^4$

71. $\left(\dfrac{1}{2}x^2y^3\right)^4\left(4x^5y^3\right)^2$

Réponse: $x^{18}y^{18}$

72. $\left(\dfrac{1}{3}m^3n^2\right)^4\left(9m^8n^3\right)^2$

73. $(3m^2n)^2(2mn^5)^4$

Réponse: $144m^8n^{22}$

74. $(2pq^4)^3(5p^6q)^2$

75. ⓐ$(3x)^2(5x)$ ⓑ$(2y)^3(6y)$

Réponse: ⓐ$45x^3$ ⓑ$48y^4$

76. ⓐ$\left(\dfrac{1}{2}y^2\right)^3\left(\dfrac{2}{3}y\right)^2$ ⓑ$\left(\dfrac{1}{2}j^2\right)^5\left(\dfrac{2}{5}j^3\right)^2$

77. ⓐ$(2r^{−2})^3(4^{−1}r)^2$ ⓑ$(3x^{−3})^3(3^{−1}x^5)^4$

Réponse: ⓐ$12r^4$ ⓑ$13x^{11}$

78. $\left(\dfrac{k^{−2}k^8}{k^3}\right)^2$

79. $\left(\dfrac{j^{−2}j^5}{j^4}\right)^3$

Réponse: $\dfrac{1}{j^3}$

80. $\dfrac{(−4m^{−3})^2(5m^4)^3}{(−10m^6)^3}$

81. $\dfrac{(−10n^{−2})^3(4n^5)^2}{(2n^8)^2}$

Réponse: $−\dfrac{4000}{n^{12}}$

Utiliser la notation scientifique

Dans les exercices suivants, écrivez chaque nombre en notation scientifique.

82. ⓐ 57 000 ⓑ 0,026

83. ⓐ 340 000 ⓑ 0,041

Réponse: ⓐ$34\times10^4$ ⓑ$41\times10^{−3}$

84. ⓐ 8 750 000 ⓑ 0,00000871

85. ⓐ 1 290 000 ⓑ 0,00000103

Réponse

ⓐ$1.29\times10^6$

ⓑ$103\times10^{−8}$

Dans les exercices suivants, convertissez chaque nombre au format décimal.

86. ⓐ$5.2\times10^2$ ⓑ$2.5\times10^{−2}$

87. ⓐ$−8.3\times10^2$ ⓑ$3.8\times10^{−2}$

Réponse: ⓐ$−830$ ⓑ 0,038

88. ⓐ$7.5\times10^6$ ⓑ$−4.13\times10^{−5}$

89. ⓐ$1.6\times10^{10}$ ⓑ$8.43\times10^{−6}$

Réponse: ⓐ 16 000 000 000
ⓑ 0,00 000843

Dans les exercices suivants, multipliez ou divisez comme indiqué. Écrivez votre réponse sous forme décimale.

90. ⓐ$(3\times10^{−5})(3\times10^9)$ ⓑ$\dfrac{7\times10^{−3}}{1\times10^{−7}}$

91. ⓐ$(2\times10^2)(1\times10^{−4})$ ⓑ$\dfrac{5\times10^{−2}}{1\times10^{−10}}$

Réponse: ⓐ 0,02 ⓑ 500 000 000

92. ⓐ$(7.1\times10^{−2})(2.4\times10^{−4})$ ⓑ$\dfrac{6\times10^4}{3\times10^{−2}}$

93. ⓐ$(3.5\times10^{−4})(1.6\times10^{−2})$ ⓑ$\dfrac{8\times10^6}{4\times10^{−1}}$

Réponse: ⓐ 0,0000056 ⓑ 20 000 000

Exercices d'écriture

94. Utilisez la propriété de produit pour les exposants pour expliquer pourquoi$x·x=x^2$.

95. Jennifer pense que le quotient se$\dfrac{a^{24}}{a^6}$ simplifie à$a^4$. Qu'est-ce qui ne va pas dans son raisonnement ?

Réponse: Les réponses peuvent varier.

96. Expliquez pourquoi$−5^3=(−5)^3$ mais$−5^4 \neq (−5)^4$.

97. Lorsque vous convertissez un nombre de la notation décimale en notation scientifique, comment savoir si l'exposant sera positif ou négatif ?

Réponse: Les réponses peuvent varier.

Auto-vérification

ⓐ Une fois les exercices terminés, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

$Ce tableau comporte 4 lignes et 4 colonnes. La première ligne est une ligne d'en-tête et elle étiquette chaque colonne. Le premier en-tête de colonne est « Je peux... », le second est « En toute confiance », le troisième est « Avec de l'aide » et le quatrième est « Non, je ne comprends pas ». Sous la première colonne se trouvent les phrases « simplifier les expressions à l'aide des propriétés des exposants », « utiliser la définition d'un exposant négatif » et « utiliser la notation scientifique ». Les autres colonnes sont laissées vides afin que l'apprenant puisse indiquer son niveau de maîtrise pour chaque sujet.$

ⓑ Après avoir examiné cette liste de contrôle, que ferez-vous pour atteindre tous vos objectifs en toute confiance ?