Chapitre 3 Exercices de révision

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Nov 1, 2022
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194105
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- 3.7E : Exercices
- 4 : Systèmes d'équations linéaires

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Exercices de révision des

Tracez des équations linéaires à deux variables

Tracer des points dans un système de coordonnées rectangulaires

Dans les exercices suivants, tracez chaque point dans un système de coordonnées rectangulaires.

1. ⓐ $(−1,−5)$
ⓑ $(−3,4)$
ⓒ $(2,−3)$
ⓓ $(1,\frac{5}{2})$

Réponse: $Cette figure montre les points tracés sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 5 à 5. Le point marqué a se trouve à 1 unité à gauche de l'origine et à 5 unités en dessous de l'origine et se trouve dans le quadrant III. Le point marqué b se trouve à 3 unités à gauche de l'origine et à 4 unités au-dessus de l'origine et se trouve dans le quadrant II. Le point marqué c se trouve à 2 unités à droite de l'origine et à 3 unités en dessous de l'origine et se trouve dans le quadrant IV. Le point marqué d se trouve à 1 unité à droite de l'origine et à 2,5 unités au-dessus de l'origine et se trouve dans le quadrant I.$

2. ⓐ $(−2,0)$
ⓑ $(0,−4)$
ⓒ $(0,5)$
ⓓ $(3,0)$

Dans les exercices suivants, déterminez quelles paires ordonnées sont des solutions aux équations données.

3. $5x+y=10$ ;

ⓐ $(5,1)$
ⓑ $(2,0)$
ⓒ $(4,−10)$

Réponse: ⓑ, ⓒ

4. $y=6x−2$ ;

ⓐ $(1,4)$
ⓑ $(13,0)$
ⓒ $(6,−2)$

Tracez une équation linéaire en traçant des points

Dans les exercices suivants, tracez un graphique en traçant des points.

5. $y=4x−3$

Réponse: $Cette figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de 8 à 8. La ligne passe par les points (négatif 1, négatif 7), (0, moins 3), (1, négatif 1) et (2, 3).$

6. $y=−3x$

7. $y=\frac{1}{2}x+3$

Réponse: $Cette figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de 8 à 8. La ligne passe par les points (moins 6, 0), (0, 3), (2, 4) et (4, 5).$

8. $y=−\frac{4}{5}|x−1$

9. $x−y=6$

Réponse: $Cette figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de 8 à 8. La ligne passe par les points (moins 1, moins 7), (0, moins 6), (3, moins 3) et (6, 0).$

10. $2x+y=7$

11. $3x−2y=6$

Réponse: $Cette figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de 8 à 8. La ligne passe par les points (moins 2, moins 6), (0, moins 3), (2, 0) et (4, 3).$

Tracez des lignes verticales et horizontales

Dans les exercices suivants, tracez chaque équation.

12. $y=−2$

13. $x=3$

Réponse: $Cette figure montre une ligne droite verticale tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de 8 à 8. La ligne passe par les points (3, moins 1), (3, 0) et (3, 1).$

Dans les exercices suivants, tracez chaque paire d'équations dans le même système de coordonnées rectangulaires.

14. $y=−2x$ et $y=−2$

15. $y=\frac{4}{3}x$ et $y=\frac{4}{3}$

Réponse: $La figure montre les graphes d'une ligne droite horizontale et d'une ligne droite inclinée sur le même plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 5 à 5. La ligne horizontale passe par les points (0, 4 divisé par 3), (1, 4 divisé par 3) et (2, 4 divisé par 3). La ligne inclinée passe par les points (0, 0), (1, 4 divisé par 3) et (2, 8 divisé par 3).$

Trouvez les interceptions x et y

Dans les exercices suivants, trouvez les points d'intersection x et y.

16.
$La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de 8 à 8. La ligne passe par les points (négatif 6, moins 2), (négatif 4, 0), (négatif 2, 2), (0, 4), (2, 6) et (4, 8).$

17.
$La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de 8 à 8. La ligne passe par les points (négatif 2, 5), (négatif 1, 4), (0, 3), (3, 0) et (6, négatif 3).$

Réponse: $(0,3)(3,0)$

Dans les exercices suivants, trouvez les points d'intersection de chaque équation.

18. $x−y=−1$

19. $x+2y=6$

Réponse: $(6,0),\space (0,3)$

20. $2x+3y=12$

21. $y=\frac{3}{4}x−12$

Réponse: $(16,0),\space (0,−12)$

22. $y=3x$

Tracez une ligne à l'aide des interceptions

Dans les exercices suivants, tracez un graphique à l'aide des interceptions.

23. $−x+3y=3$

Réponse: $La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de 8 à 8. La ligne passe par les points (moins 3, 0), (0, 1), (3, 2) et (6, 3).$

24. $x−y=4$

25. $2x−y=5$

Réponse: $La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de 8 à 8. La ligne passe par les points (0, moins 5), (1, moins 3), (2, moins 1) et (3, 1).$

26. $2x−4y=8$

27. $y=4x$

Réponse: $La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de 8 à 8. La ligne passe par les points (moins 1, 4), (0, 0) et (1, moins 4).$

Pente d'une ligne

Trouvez la pente d'une ligne

Dans les exercices suivants, déterminez la pente de chaque ligne affichée.

28.
$Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 6 à 6. L'axe Y va de moins 6 à 6. La ligne passe par les points (0, 0) et (1, moins 3).$

29.
$Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 6 à 6. L'axe Y va de moins 6 à 6. La ligne passe par les points (moins 4, 0) et (0, 4).$

Réponse: 1

30.
$Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 6 à 6. L'axe Y va de moins 6 à 6. La ligne passe par les points (moins 4, moins 4) et (2, moins 2).$

31.
$Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 6 à 6. L'axe Y va de moins 6 à 6. La ligne passe par les points (1, 4) et (5, 2).$

Réponse: $−12$

Dans les exercices suivants, déterminez la pente de chaque ligne.

32. $y=2$

33. $x=5$

Réponse: indéfini

34. $x=−3$

35. $y=−1$

Réponse: 0

Utilisez la formule de pente pour déterminer la pente d'une droite entre deux points

Dans les exercices suivants, utilisez la formule de pente pour déterminer la pente de la ligne entre chaque paire de points.

36. $(−1,−1),(0,5)$

37. $(3.5),(4,−1)$

Réponse: $−6$

38. $(−5,−2),(3,2)$

39. $(2,1),(4,6)$

Réponse: $52$

Tracez une droite en fonction d'un point et de la pente

Dans les exercices suivants, tracez chaque ligne avec le point et la pente donnés.

40. $(2,−2);\space m=52$

41. $(−3,4);\space m=−13$

Réponse: $Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 8 à 8. L'axe Y va de moins 8 à 8. La ligne passe par les points (moins 3, 4) et (0, 3).$

42. $x$ -intercepter $−4; m=3$

43. $y$ -intercepter $1; m=−34$

Réponse: $Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 8 à 8. L'axe Y va de moins 8 à 8. La ligne passe par les points (0, 1) et (4, moins 2).$

Tracez une ligne en utilisant sa pente et son intersection

Dans les exercices suivants, identifiez la pente et l' $y$ intersection de chaque ligne.

44. $y=−4x+9$

45. $y=53x−6$

Réponse: $m=53;\space (0,−6)$

46. $5x+y=10$

47. $4x−5y=8$

Réponse: $m=\frac{4}{5};\space (0,−\frac{8}{5})$

Dans les exercices suivants, tracez la droite de chaque équation en utilisant sa pente et son intersection y.

48. $y=2x+3$

49. $y=−x−1$

Réponse: $Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 10 à 10. L'axe Y va de moins 10 à 10. La ligne passe par les points (0, moins 1) et (1, moins 2).$

50. $y=−25x+3$

51. $4x−3y=12$

Réponse: $Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 10 à 10. L'axe Y va de moins 10 à 10. La ligne passe par les points (0, moins 4) et (3, 0).$

Dans les exercices suivants, déterminez la méthode la plus pratique pour représenter graphiquement chaque ligne.

52. $x=5$

53. $y=−3$

Réponse: ligne horizontale

54. $2x+y=5$

55. $x−y=2$

Réponse: intercepte

56. $y=22x+2$

57. $y=34x−1$

Réponse: points de traçage

Applications graphiques et interprétatives de Slope-Intercept

58. Katherine est chef privée. L'équation $C=6.5m+42$ modélise la relation entre son coût hebdomadaire, C, en dollars et le nombre de repas, m, qu'elle sert.

ⓐ Trouvez le coût de Katherine pour une semaine lorsqu'elle ne sert aucun repas.
ⓑ Trouvez le coût pour une semaine lorsqu'elle sert 14 repas.
ⓒ Interprétez la pente et l'intersection C de l'équation.
ⓓ Tracez l'équation.

59. Marjorie enseigne le piano. L'équation $P=35h−250$ modélise la relation entre son bénéfice hebdomadaire, P, en dollars et le nombre de leçons qu'elle donne aux étudiants.

ⓐ Trouvez le profit de Marjorie pendant une semaine lorsqu'elle ne donne aucun cours aux élèves.
ⓑ Trouvez le profit d'une semaine lorsqu'elle donne des cours à 20 élèves.
ⓒ Interprétez la pente et l'intersection P de l'équation.
ⓓ Tracez l'équation.

Réponse

ⓐ $−$250$
ⓑ $$450$
ⓒ La pente, 35, signifie que le bénéfice hebdomadaire de Marjorie, P, augmente de 35$ pour chaque leçon supplémentaire qu'elle donne à un élève.
L'intercept P signifie que lorsque le nombre de leçons est de 0, Marjorie perd 250$.
ⓓ

$Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 4 à 28. L'axe Y va de moins 250 à 450. La ligne passe par les points (0, moins 250) et (20, 450).$

Utiliser les pentes pour identifier les lignes parallèles et perpendiculaires

Dans les exercices suivants, utilisez les pentes et $y$ les interceptions pour déterminer si les lignes sont parallèles, perpendiculaires ou aucune des deux.

60. $4x−3y=−1;\quad y=43x−3$

61. $y=5x−1;\quad 10x+2y=0$

Réponse: ni

62. $3x−2y=5;\quad 2x+3y=6$

63. $2x−y=8;\quad x−2y=4$

Réponse: pas parallèle

Trouvez l'équation d'une droite

Trouvez une équation de la droite en fonction de la pente et de l'intersection y

Dans les exercices suivants, trouvez l'équation d'une droite avec une pente et une intersection y données. Écrivez l'équation sous forme de pente et d'intersection.

64. Pente $\frac{1}{3}$ et $y$ intersection $(0,−6)$

65. Pente $−5$ et $y$ intersection $(0,−3)$

Réponse: $y=−5x−3$

66. Pente $0$ et $y$ intersection $(0,4)$

67. Pente $−2$ et $y$ intersection $(0,0)$

Réponse: $y=−2x$

Dans les exercices suivants, trouvez l'équation de la droite affichée sur chaque graphique. Écrivez l'équation sous forme de pente et d'intersection.

68.
$Cette figure présente un graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. La ligne passe par les points (0, 1), (1, 3) et (2, 5).$

69.
$Cette figure présente un graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. La ligne passe par les points (0, 5), (1, 2) et (2, moins 1).$

Réponse: $y=−3x+5$

70.
$Cette figure présente un graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. La ligne passe par les points (0, moins 2), (4, 1) et (8, 4).$

71.
$Cette figure montre un graphique d'une ligne droite horizontale sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. La ligne passe par les points (0, moins 4), (1, moins 4) et (2, moins 4).$

Réponse: $y=−4$

Trouvez une équation de la droite en fonction de la pente et d'un point

Dans les exercices suivants, trouvez l'équation d'une droite avec une pente donnée et contenant le point donné. Écrivez l'équation sous forme de pente et d'intersection.

72. $m=−\frac{1}{4}$ , point $(−8,3)$

73. $m=\frac{3}{5}$ , point $(10,6)$

Réponse: $y=\frac{3}{5}x$

74. Ligne horizontale contenant $(−2,7)$

75. $m=−2$ , point $(−1,−3)$

Réponse: $y=−2x−5$

Trouvez une équation de la droite à partir de deux points

Dans les exercices suivants, trouvez l'équation d'une droite contenant les points donnés. Écrivez l'équation sous forme de pente et d'intersection.

76. $(2,10)$ et $(−2,−2)$

77. $(7,1)$ et $(5,0)$

Réponse: $y=\frac{1}{2}x−\frac{5}{2}$

78. $(3,8)$ et $(3,−4)$

79. $(5,2)$ et $(−1,2)$

Réponse: $y=2$

Trouver l'équation d'une droite parallèle à une droite donnée

Dans les exercices suivants, trouvez l'équation d'une droite parallèle à la droite donnée et contenant le point donné. Écrivez l'équation sous forme de pente et d'intersection.

80. ligne $y=−3x+6$ , point $(1,−5)$

81. ligne $2x+5y=−10$ , point $(10,4)$

Réponse: $y=−\frac{2}{5}x+8$

82. Ligne $x=4$ , point $(−2,−1)$

83. ligne $y=−5$ , point $(−4,3)$

Réponse: $y=3$

Trouver l'équation d'une droite perpendiculaire à une droite donnée

Dans les exercices suivants, trouvez l'équation d'une droite perpendiculaire à la droite donnée et contenant le point donné. Écrivez l'équation sous forme de pente et d'intersection.

84. ligne $y=−\frac{4}{5}x+2$ , point $(8,9)$

85. ligne $2x−3y=9$ , point $(−4,0)$

Réponse: $y=−\frac{3}{2}x−6$

86. ligne $y=3$ , point $(−1,−3)$

87. $x=−5$ point de ligne $(2,1)$

Réponse: $y=1$

Représenter graphiquement les inégalités linéaires dans deux variables

Vérifier les solutions à une inégalité entre deux variables

Dans les exercices suivants, déterminez si chaque paire ordonnée est une solution à l'inégalité donnée.

88. Déterminez si chaque paire ordonnée est une solution à l'inégalité $y<x−3$ :

ⓐ $(0,1)$ ⓑ $(−2,−4)$ ⓒ $(5,2)$ ⓓ $(3,−1)$
ⓔ $(−1,−5)$

89. Déterminez si chaque paire ordonnée est une solution à l'inégalité $x+y>4$ :

ⓐ $(6,1)$ ⓑ $(−3,6)$ ⓒ $(3,2)$ ⓓ $(−5,10)$ ⓔ $(0,0)$

Réponse: ⓐ oui ⓑ non ⓒ oui ⓓ oui ; ⓔ nom

Reconnaître la relation entre les solutions d'une inégalité et son graphe

Dans les exercices suivants, écrivez l'inégalité indiquée par la région ombrée.

90. Écrivez l'inégalité indiquée par le graphique avec la ligne de démarcation $y=−x+2.$

$Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne passe par les points (0, 2), (1, 1) et (2, 0). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La ligne et la moitié inférieure gauche sont ombrées en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

91. Écrivez l'inégalité indiquée par le graphique avec la ligne de démarcation $y=\frac{2}{3}x−3$ .

$Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne est tracée entre les points (0, moins 3), (3, moins 1) et (6, 1). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La ligne et la moitié supérieure gauche sont ombrées en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

Réponse: $y>\frac{2}{3}x−3$

92. Écrivez l'inégalité indiquée par la région ombrée dans le graphique avec la ligne de démarcation $x+y=−4$ .

$Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne est tracée entre les points (0, moins 4), (moins 2, moins 2) et (moins 4, 0). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La ligne et la moitié supérieure droite sont ombrées en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

93. Écrivez l'inégalité indiquée par la région ombrée dans le graphique avec la ligne de démarcation $x−2y=6$ .

$Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne est tracée entre les points (0, moins 3), (2, moins 2) et (6, 0). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La ligne et la moitié inférieure droite sont ombrées en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

Réponse: $x−2y\geq 6$

Représenter graphiquement les inégalités linéaires dans deux variables

Dans les exercices suivants, représentez graphiquement chaque inégalité linéaire.

94. Tracez l'inégalité linéaire $y>\frac{2}{5}x−4$ .

95. Tracez l'inégalité linéaire $y\leq −\frac{1}{4}x+3$ .

Réponse: $Cette figure présente le graphique d'une ligne droite pointillée sur le plan de coordonnées x y. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne droite pointillée passe par les points (0, 3), (4, 2) et (8, 1). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La moitié inférieure gauche est ombrée en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

96. Tracez l'inégalité linéaire $x−y\leq 5$ .

97. Représenter graphiquement l'inégalité linéaire $3x+2y>10.$

Réponse: $Cette figure présente le graphique d'une ligne droite pointillée sur le plan de coordonnées x y. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne droite pointillée passe par les points (0, 5), (2, 2) et (4, moins 1). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La moitié supérieure droite est ombrée en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

98. Tracez l'inégalité linéaire $y\leq −3x$ .

99. Représenter graphiquement l'inégalité linéaire $y<6.$

Réponse: $Cette figure présente le graphique d'une ligne pointillée horizontale droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne droite pointillée passe par les points (0, 6), (1, 6) et (2, 6). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La moitié inférieure est ombrée en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

Résolvez des applications en utilisant des inégalités linéaires dans deux variables

100. Shanthie doit gagner au moins 500$ par semaine pendant ses vacances d'été pour payer ses études universitaires. Elle a deux emplois. L'un en tant que moniteur de natation payant 10 dollars de l'heure et l'autre en tant que stagiaire dans un cabinet d'avocats pour 25 dollars de l'heure. Combien d'heures Shanthie doit-elle travailler pour chaque emploi pour gagner au moins 500$ par semaine ?

ⓐ Soit x le nombre d'heures pendant lesquelles elle enseigne la natation et y le nombre d'heures pendant lesquelles elle travaille en tant que stagiaire. Écrivez une inégalité qui modéliserait cette situation.
ⓑ Représenter graphiquement l'inégalité.
ⓒ Trouvez trois paires ordonnées $(x,y)$ qui seraient des solutions à l'inégalité. Ensuite, expliquez ce que cela signifie pour Shanthie.

101. Au sushi, il doit faire suffisamment d'exercice pour brûler des $600$ calories chaque jour. Il préfère courir ou faire du vélo et brûle des $20$ calories par minute en courant et des $15$ calories par minute en faisant du vélo.

ⓐ Si x est le nombre de minutes pendant lesquelles Atsushi court et y le nombre de minutes pendant lesquelles il fait du vélo, trouvez l'inégalité qui modélise la situation.
ⓑ Représenter graphiquement l'inégalité.
ⓒ Énumérez trois solutions à l'inégalité. Quelles options les solutions offrent-elles à Atsushi ?

Réponse

ⓐ $20x+15y\geq 60020x+15y\geq 600$
ⓑ

$La figure présente une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X s'étend de 0 à 50. L'axe Y va de 0 à 50. La ligne passe par les points (0, 40) et (30, 0). La ligne divise le plan de coordonnées en deux moitiés. La moitié supérieure droite et la ligne sont colorées en rouge pour indiquer qu'il s'agit de l'ensemble de solutions.$

Relations et fonctions

Trouvez le domaine et l'étendue d'une relation

Dans les exercices suivants, pour chaque relation, ⓐ trouvez le domaine de la relation ⓑ trouvez la plage de la relation.

102. ${\{(5,−2),\,(5,−4),\,(7,−6),\,(8,−8),\,(9,−10)}\}$

103. ${\{(−3,7),\,(−2,3),\,(−1,9), \,(0,−3),\,(−1,8)}\}$

Réponse: ⓐ $D: {−3, −2, −1, 0}$
ⓑ $R: {7, 3, 9, −3, 8}$

Dans l'exercice suivant, utilisez le mappage de la relation pour ⓐ répertorier les paires ordonnées de la relation ⓑ trouver le domaine de la relation ⓒ trouver la plage de la relation.

104. La cartographie ci-dessous montre le poids moyen d'un enfant en fonction de son âge.

$Cette figure montre deux tableaux comportant chacun une colonne. Le tableau de gauche contient l'en-tête « Âge (ans) » et répertorie les chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7. Le tableau de droite contient l'en-tête « Poids (livres) » et répertorie les chiffres 20, 35, 30, 45, 40, 25 et 50. Des flèches commencent par des chiffres dans la table des âges et pointent vers des chiffres dans la table des poids. La première flèche va de 1 à 20. La deuxième flèche va de 2 à 25. La troisième flèche va de 3 à 30. La quatrième flèche va de 4 à 35. La cinquième flèche va de 5 à 40. La sixième flèche va de 6 à 45. La septième flèche va de 7 à 50.$

Dans l'exercice suivant, utilisez le graphe de la relation pour ⓐ répertorier les paires ordonnées de la relation ⓑ trouver le domaine de la relation ⓒ trouver la plage de la relation.

105.
$La figure montre le graphique de certains points sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 6 à 6. Les points (négatif 3, 1), (négatif 2, négatif 1), (négatif 2, négatif 3), (0, négatif 1), (0, 4) et (4, 3).$

Réponse: ⓐ $(4, 3), \,(−2, −3), \,(−2, −1), \,(−3, 1), \,(0, −1), \,(0, 4)$
ⓑ $D: {−3, −2, 0, 4}$
ⓒ $R: {−3, −1, 1, 3, 4}$

Déterminer si une relation est une fonction

Dans les exercices suivants, utilisez l'ensemble de paires ordonnées pour ⓐ déterminer si la relation est une fonction ⓑ trouver le domaine de la relation ⓒ trouver la plage de la relation.

106. ${\{(9,−5),\,(4,−3),\,(1,−1),\,(0,0),\,(1,1),\,(4,3),\,(9,5)}\}$

107. ${\{(−3,27),\,(−2,8),\,(−1,1),\,(0,0),\,(1,1),\,(2,8),\,(3,27)}\}$

Réponse: ⓐ Oui ⓑ ${−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}$
ⓒ ${0, 1, 8, 27}$

Dans les exercices suivants, utilisez le mappage pour ⓐ déterminer si la relation est une fonction ⓑ trouver le domaine de la fonction ⓒ trouver la plage de la fonction.

108.
$Cette figure montre deux tableaux comportant chacun une colonne. Le tableau de gauche comporte l'en-tête « x » et répertorie les nombres négatifs 3, moins 2, moins 1, 0, 1, 2 et 3. Le tableau de droite contient l'en-tête « x jusqu'à la quatrième puissance » et répertorie les nombres 0, 1, 16 et 81. Des flèches commencent à des nombres dans la table x et pointent vers des nombres dans la table x jusqu'à la quatrième table de puissance. La première flèche va de moins 3 à 81. La deuxième flèche va de moins 2 à 16. La troisième flèche va de moins 1 à 1. La quatrième flèche va de 0 à 0. La cinquième flèche va de 1 à 1. La sixième flèche va de 2 à 16. La septième flèche va de 3 à 81.$

109.
$Cette figure montre deux tableaux comportant chacun une colonne. Le tableau de gauche comporte l'en-tête « x » et répertorie les nombres négatifs 3, moins 2, moins 1, 0, 1, 2 et 3. Le tableau de droite contient l'en-tête « x jusqu'à la cinquième puissance » et répertorie les nombres 0, 1, 32, 243, moins 1, moins 32 et moins 243. Des flèches commencent à des nombres dans la table x et pointent vers des nombres dans la table x jusqu'à la cinquième table de puissance. La première flèche va de moins 3 à moins 243. La deuxième flèche va de moins 2 à moins 32. La troisième flèche va de moins 1 à 1. La quatrième flèche va de 0 à 0. La cinquième flèche va de 1 à 1. La sixième flèche va de 2 à 32. La septième flèche va de 3 à 243.$

Réponse: ⓐ ${−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}$
ⓑ ${−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}$
ⓒ ${−243, −32, −1, 0, 1, 32, 243}$

Dans les exercices suivants, déterminez si chaque équation est une fonction.

110. $2x+y=−3$

111. $y=x^2$

Réponse: oui

112. $y=3x−5$

113. $y=x^3$

Réponse: oui

114. $2x+y2=4$

Trouver la valeur d'une fonction

Dans les exercices suivants, évaluez la fonction :

ⓐ $f(−2)$ ⓑ $f(3)$ ⓒ $f(a)$ .

115. $f(x)=3x−4$

Réponse: ⓐ $f(−2)=−10$ ⓑ $f(3)=5$ ⓒ $f(a)=3a−4$

116. $f(x)=−2x+5$

117. $f(x)=x^2−5x+6$

Réponse: ⓐ $f(−2)=20$ ⓑ $f(3)=0$ ⓒ $f(a)=a^2−5a+6$

118. $f(x)=3x^2−2x+1$

Dans les exercices suivants, évaluez la fonction.

119. $g(x)=3x2−5x;\space g(2)$

Réponse: $2$

120. $F(x)=2x2−3x+1;\space F(−1)$

121. $h(t)=4|t−1|+2;\space h(t)=4$

Réponse: $18$

122. $f(x)=x+2x−1;\space f(3)$

Graphiques des fonctions

Utiliser le test de la ligne verticale

Dans les exercices suivants, déterminez si chaque graphique est le graphe d'une fonction.

123.
$La figure possède une fonction carrée représentée sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 6 à 6. L'axe Y va de moins 2 à 10. La parabole passe par les points (négatif 2, 5), (négatif 1, 2), (0, 1), (1, 2) et (2, 5). Le point le plus bas du graphique est (0, 1).$

Réponse: oui

124.
$La figure possède une fonction en forme de S représentée graphiquement sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 6 à 6. L'axe Y va de moins 6 à 6. La courbe passe par les points (négatif 1, négatif 1), (0, 0) et (1, 1).$

125.
$La figure présente un cercle représenté sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 6 à 6. L'axe Y va de moins 6 à 6. Le cercle passe par les points (moins 5, 0), (5, 0), (0, moins 5) et (0, 5).$

Réponse: non

126.
$La figure possède une parabole s'ouvrant vers la droite, représentée graphiquement sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 6 à 6. L'axe Y va de moins 2 à 10. La parabole passe par les points (négatif 2, 0), (négatif 1, 1), (négatif 1, négatif 1), (2, 2) et (2, négatif 2). Le point le plus à gauche du graphique est (moins 2, 0).$

127.
$La figure possède une fonction cubique représentée sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 6 à 6. L'axe Y va de moins 6 à 6. La ligne courbe passe par les points (négatif 1, négatif 1), (0, 0) et (1, 1).$

Réponse: oui

128.
$La figure comporte deux lignes courbes tracées sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 6 à 6. L'axe Y va de moins 6 à 6. La ligne courbe sur la gauche passe par les points (négatif 3, 0), (négatif 4, 2) et (négatif 4, négatif 2). La ligne courbe sur la droite passe par les points (3, 0), (4, 2) et (4, moins 2).$

129.
$La figure possède une fonction de valeur absolue orientée latéralement sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 6 à 6. L'axe Y va de moins 6 à 6. La ligne se courbe au point (0, moins 1) et va vers la droite. La ligne passe par les points (1, 0), (1, moins 2), (2, 1) et (2, moins 3).$

Réponse: non

Identifier les graphes des fonctions de base

Dans les exercices suivants, ⓐ représente graphiquement chaque fonction ⓑ indiquez son domaine et sa plage. Écrivez le domaine et la plage en notation par intervalles.

130. $f(x)=5x+1$

131. $f(x)=−4x−2$

Réponse

ⓐ

$La figure possède une fonction linéaire représentée sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 6 à 6. L'axe Y va de moins 6 à 6. La ligne passe par les points (négatif 2, 6), (négatif 1, 2) et (0, moins 2).$

ⓑ $D: (-\inf ,\inf ), R: (-\inf ,\inf )$

132. $f(x)=\frac{2}{3}x−1$

133. $f(x)=−6$

Réponse

ⓐ

$La figure possède une fonction constante représentée sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 6 à 6. L'axe Y va de moins 8 à 4. La ligne passe par les points (0, moins 6), (1, moins 6) et (2, moins 6).$

ⓑ $D: (-\inf ,\inf ), R: (-\inf ,\inf )$

134. $f(x)=2x$

135. $f(x)=3x^2$

Réponse

ⓐ

$La figure possède une fonction carrée représentée sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 6 à 6. L'axe Y va de moins 2 à 10. La parabole passe par les points (moins 1, 3), (0, 0) et (1, 3). Le point le plus bas du graphique est (0, 0).$

ⓑ $D: (-\inf ,\inf ), R: (-\inf ,0]$

136. $f(x)=−12x^2$

137. $f(x)=x^2+2$

Réponse

ⓐ

$La figure possède une fonction carrée représentée sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 6 à 6. L'axe Y va de moins 4 à 8. La parabole passe par les points (négatif 2, 6), (négatif 1, 3), (0, 2), (1, 3) et (2, 6). Le point le plus bas du graphique est (0, 2).$

ⓑ $D: (-\inf ,\inf ), R: (-\inf ,\inf )$

138. $f(x)=x^3−2$

139. $f(x)=\sqrt{x+2}$

Réponse

ⓐ

$La figure possède une fonction de racine carrée représentée graphiquement sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 4 à 8. L'axe Y va de moins 2 à 10. La demi-ligne commence au point (moins 2, 0) et passe par les points (moins 1, 1) et (2, 2).$

ⓑ $D: [−2,−2, \inf ), \space R: [0,\inf )$

140. $f(x)=−|x|$

141. $f(x)=|x|+1$

Réponse

ⓐ

$La figure possède une fonction de valeur absolue représentée graphiquement sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 6 à 6. L'axe Y va de moins 2 à 10. Le sommet se trouve au point (0, 1). La ligne passe par les points (moins 1, 2) et (1, 2).$

ⓑ $D: (-\inf ,\inf ), \space R: [1,\inf )$

Lire des informations à partir du graphe d'une fonction

Dans les exercices suivants, utilisez le graphique de la fonction pour déterminer son domaine et sa plage. Écrivez le domaine et la plage en notation par intervalles

142.
$La figure possède une fonction de racine carrée représentée graphiquement sur le plan de coordonnées x. L'axe X s'étend de 0 à 10. L'axe Y s'étend de 0 à 10. La demi-ligne commence au point (1, 0) et passe par les points (2, 1) et (5, 2).$

143.
$La figure possède une fonction de valeur absolue représentée graphiquement sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 6 à 6. L'axe Y va de moins 2 à 10. Le sommet se trouve au point (0, 2). La ligne passe par les points (moins 1, 3) et (1, 3).$

Réponse: $D: (-\inf ,\inf ), R: [2,\inf )$

144.
$La figure possède une fonction cubique représentée sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 6 à 6. L'axe Y va de moins 6 à 6. La ligne courbe passe par les points (moins 2, moins 4), (0, 0) et (2, 4).$

Dans les exercices suivants, utilisez le graphique de la fonction pour trouver les valeurs indiquées.

145.
$Cette figure présente une ligne incurvée ondulée tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de 2 fois pi à 2 fois pi et 2 fois pi. L'axe Y va de moins 6 à 6. Le segment de ligne courbe passe par les points (négatif 2 fois pi, 0), (négatif 3 divisé par 2 fois pi, 1), (négatif pi, 0), (négatif 1 divisé par 2 fois pi, négatif 1), (0, 0), (1 divisé par 2 fois pi, 1), (pi, 0), (3 divisé par 2 fois pi, négatif 1) et (2 fois pi, 0). Les points (moins 3 divisé par 2 fois pi, 1) et (1 divisé par 2 fois pi, 1) sont les points les plus élevés du graphique. Les points (moins 1 divisé par 2 fois pi, moins 1) et (3 divisé par 2 fois pi, moins 1) sont les points les plus bas du graphique. Le motif s'étend à l'infini vers la gauche et la droite.$

ⓐ Trouvez $f(0)$ .
ⓑ Trouvez $f(12\pi )$ .
ⓒ Trouvez $f(−32\pi )$ .
ⓓ Trouvez les valeurs pour savoir $x$ quand $f(x)=0$ .
ⓔ Trouvez les $x$ -intercepts.
ⓕ Trouvez le ou les $y$ -intercept (s).
ⓖ Trouvez le domaine. Écrivez-le en notation par intervalles.
ⓗ Trouvez la gamme. Écrivez-le en notation par intervalles.

Réponse: ⓐ $f(x)=0$ ⓑ $f(\pi /2)=1$
ⓒ $f(−3\pi /2)=1$ ⓓ $f(x)=0$ pour $x=−2\pi ,−\pi ,0,\pi ,2\pi$
ⓔ $(−2\pi ,0), (−\pi ,0), (0,0), (\pi ,0), (2\pi ,0)$ ⓕ $(0,0)$
ⓖ $[−2\pi ,2\pi ]$ ⓗ $[−1,1]$

146.
$La figure comporte un demi-cercle tracé sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 6 à 6. L'axe Y va de moins 6 à 6. Le segment de ligne courbe commence au point (négatif 2, 0). La ligne passe par le point (0, 2) et se termine au point (2, 0). Le point (0, 2) est le point le plus haut du graphique.$

ⓐ Trouvez $f(0)$ .
ⓑ Trouvez les valeurs pour savoir $x$ quand $f(x)=0$ .
ⓒ Trouvez les $x$ -intercepts.
ⓓ Trouvez le ou les $y$ -intercept (s).
ⓔ Trouvez le domaine. Écrivez-le en notation par intervalles.
ⓕ Trouvez la gamme. Écrivez-le en notation par intervalles.

Test d'entraînement

1. Tracez chaque point dans un système de coordonnées rectangulaires.

Réponse: $Cette figure montre les points tracés sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Le point marqué a se trouve à 2 unités à droite de l'origine et à 5 unités au-dessus de l'origine et se trouve dans le quadrant I. Le point marqué b se trouve à 1 unité à gauche de l'origine et à 3 unités en dessous de l'origine et se trouve dans le quadrant III. Le point marqué c se trouve à 2 unités au-dessus de l'origine et se trouve sur l'axe Y. Le point marqué d se trouve à 4 unités à gauche de l'origine et à 1,5 unité au-dessus de l'origine et se trouve dans le quadrant II. Le point marqué e se trouve à 5 unités à droite de l'origine et se trouve sur l'axe des abscisses.$

2. Parmi les paires ordonnées données, lesquelles sont des solutions à l'équation $3x−y=6$ ?

3. Déterminez la pente de chaque ligne affichée.

ⓐ

$La figure présente une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 10 à 10. L'axe Y va de moins 10 à 10. La ligne passe par les points (moins 5, 2) (0, moins 1) et (5, moins 4).$

ⓑ

$La figure présente une ligne verticale droite tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 10 à 10. L'axe Y va de moins 10 à 10. La ligne passe par les points (2, 0) (2, moins 1) et (2, 1).$

Réponse: ⓐ $−\frac{3}{5}$ ⓑ indéfini

4. Détermine la pente de la ligne entre les points $(5,2)$ et $(−1,−4)$ .

5. Tracez la ligne avec la pente $\frac{1}{2}$ contenant le point $(−3,−4)$ .

Réponse: $La figure présente une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 10 à 10. L'axe Y va de moins 10 à 10. La ligne passe par les points (moins 3, moins 4) (moins 1, moins 3) et (1, moins 2).$

6. Trouvez les points d'intersection $4x+2y=−8$ et tracez un graphique.

Tracez la droite pour chacune des équations suivantes.

7. $y=\frac{5}{3}x−1$

Réponse: $La figure présente une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 10 à 10. L'axe Y va de moins 10 à 10. La ligne passe par les points (moins 3, moins 6) (0, moins 1) et (3, 4).$

8. $y=−x$

9. $y=2$

Réponse: $La figure présente une ligne horizontale droite tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 10 à 10. L'axe Y va de moins 10 à 10. La ligne passe par les points (moins 1, 2) (0, 2) et (1, 2).$

Trouvez l'équation de chaque droite. Écrivez l'équation sous forme d'intersection de pente.

10. pente $−\frac{3}{4}$ et $y$ intersection $(0,−2)$

11. $m=2$ , point $(−3,−1)$

Réponse: $y=2x+5$

12. contenant $(10,1)$ et $(6,−1)$

13. perpendiculaire à la ligne $y=\frac{5}{4}x+2$ , contenant le point $(−10,3)$

Réponse: $y=−\frac{4}{5}x−5$

14. Écrivez l'inégalité indiquée par le graphique avec la ligne de démarcation $y=−x−3$ .

$La figure présente une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 10 à 10. L'axe Y va de moins 10 à 10. La ligne passe par les points (moins 3, 0), (0, moins 3) et (1, moins 4). La ligne divise le plan de coordonnées en deux moitiés. La moitié inférieure gauche et la ligne sont colorées en rouge pour indiquer qu'il s'agit de l'ensemble de solutions.$

Tracez chaque inégalité linéaire.

15. $y>\frac{3}{2}x+5$

Réponse: $La figure présente une ligne droite en pointillés tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 10 à 10. L'axe Y va de moins 10 à 10. La ligne passe par les points (moins 2, 2), (0, 5) et (2, 8). La ligne divise le plan de coordonnées en deux moitiés. La moitié supérieure gauche est colorée en rouge pour indiquer qu'il s'agit de l'ensemble de solutions.$

16. $x−y\geq −4$

17. $y\leq −5x$

Réponse: $La figure présente une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 8 à 8. L'axe Y va de moins 8 à 8. La ligne passe par les points (moins 1, 5), (0, 0) et (1, moins 5). La ligne divise le plan de coordonnées en deux moitiés. La moitié inférieure gauche et la ligne sont colorées en rouge pour indiquer qu'il s'agit de l'ensemble de solutions.$

18. Hiro occupe deux emplois à temps partiel afin de gagner suffisamment d'argent pour s'acquitter de ses obligations d'au moins 450$ par semaine. Son travail au centre commercial rapporte 10 dollars de l'heure et son emploi d'assistante administrative sur le campus rapporte 15 dollars de l'heure. Combien d'heures Hiro a-t-il besoin pour travailler à chaque poste pour gagner au moins 450$ ?

ⓐ Soit x le nombre d'heures pendant lesquelles elle travaille au centre commercial et y le nombre d'heures pendant lesquelles elle travaille en tant qu'assistante administrative. Écrivez une inégalité qui modéliserait cette situation.
ⓑ Représenter graphiquement l'inégalité.
ⓒ Trouvez trois paires ordonnées $(x,y)$ qui seraient des solutions à l'inégalité. Expliquez ensuite ce que cela signifie pour Hiro.

19. Utilisez l'ensemble de paires ordonnées pour ⓐ déterminer si la relation est une fonction, ⓑ trouver le domaine de la relation et ⓒ trouver la plage de la relation.

\ ({\ {(−3,27), (−2,8), (−1,1), (0,0),
(1,1), (2,8), (3,27)} \} \)

$f(x)=4x^2−2x−3$

21. Pour $h(y)=3|y−1|−3$ , évaluez $h(−4)$ .

Réponse: $12$

22. Déterminez si le graphe est le graphe d'une fonction. Expliquez votre réponse.

$La figure possède une fonction cubique représentée sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 6 à 6. L'axe Y va de moins 6 à 6. La ligne courbe passe par les points (moins 1, 1), (0, 2) et (1, 3).$

Dans les exercices suivants, ⓐ représente graphiquement chaque fonction ⓑ indiquez son domaine et sa plage.
Écrivez le domaine et la plage en notation par intervalles.

23. $f(x)=x^2+1$

Réponse

ⓐ

$La figure possède une fonction carrée représentée sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 6 à 6. L'axe Y va de moins 2 à 10. La parabole passe par les points (négatif 2, 5), (négatif 1, 2), (0, 1), (1, 2) et (2, 5). Le point le plus bas du graphique est (0, 1).$

ⓑ $D: (-\inf ,\inf ), R: [1,\inf )$

24. $f(x)=\sqrt{x+1}$

$La figure possède une fonction carrée représentée sur le plan de coordonnées x. L'axe X va de moins 6 à 6. L'axe Y va de moins 6 à 6. La parabole passe par les points (négatif 2, 0), (négatif 1, négatif 3), (0, négatif 4), (1, négatif 3) et (2, 0). Le point le plus bas du graphique est (0, moins 4).$

ⓑ Trouvez les $y$ -intercepts.
ⓒ Trouvez $f(−1)$ .
ⓓ Trouvez $f(1)$ .
ⓔ Trouvez le domaine. Écrivez-le en notation par intervalles.
ⓕ Trouvez la gamme. Écrivez-le en notation par intervalles.