7.E：量子力学（练习）

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概念性问题

7.1 波浪函数

1。波函数的物理单位\(\displaystyle Ψ(x,t)\)是什么，？这个波函数平方的物理单位是多少？

2。波函数的大小\(\displaystyle (Ψ∗(x,t)Ψ(x,t))\)可以是负数吗？解释一下。

3。电子的波函数代表什么样的物理量？

4。粒子的波函数的物理含义是什么？

5。 “期望价值” 一词的含义是什么？解释一下。

7.2 海森堡不确定性原理

6。如果量子力学的形式主义比传统力学 “更精确”，为什么我们不用量子力学来描述跳蛙的运动呢？解释一下。

7。能否准确知道粒子的 de Broglie 波长？能否精确知道粒子的位置？

8。我们能否完全精确地测量自由局部粒子的能量？

9。我们能否完全精确地测量粒子的位置和动量？

7.3 薛定格方程

10。 同一粒子的波函数\(\displaystyle ψ(x,y,z)\)和波函数\(\displaystyle Ψ(x,y,z,t)\)有什么区别？

11。 如果量子粒子处于静止状态，这是否意味着它不会移动？

12。 解释随时间变化和与时间无关的薛定格方程之间的区别。

13。 假设波函数在某个时候是不连续的。这个函数能代表某个物理粒子的量子态吗？为什么？为什么不呢？

7.4 盒子里的量子粒子

14。 使用盒子模型中的量子粒子，描述粒子的可能能量与盒子的大小有何关系。

15。 当我们在盒子里测量量子粒子的能量时，测量结果返回的值可能小于基态能量吗？我们可以测量这个粒子的最大能量值是多少？

16。 对于盒子中的量子粒子，第一个激发态 (\(\displaystyle Ψ_2\)) 在盒子中点位置的值为零，因此在此点找到粒子的概率密度恰好为零。解释以下推理有什么问题：“如果在中点找到量子粒子的概率为零，那么粒子永远不会达到这个点，对吧？那么，粒子怎么能在从盒子的左侧到右侧的路上越过这个点呢？

7.5 量子谐波振荡器

17。 可以测量量子谐波振荡\(\displaystyle 0.75ℏω\)器的能量吗？为什么？为什么不呢？解释一下。

18。 解释普朗克的能量量假设与量子谐波振荡器的能量之间的联系。

19。 如果传统谐波振荡器可以处于静止状态，为什么量子谐波振荡器永远不会处于静止状态？这是否违反了玻尔的规定

对应原理？

20。 使用盒子中的量子粒子或量子振荡器的例子来解释玻尔对应原理的物理含义。

21。 我们可以同时测量量子振荡器的位置和能量吗？为什么？为什么不呢？

7.6 粒子穿越势垒的量子隧道

22。 当具有相同动能的电子和质子遇到相同高度和宽度的潜在屏障时，其中哪一个会出现

更容易穿过屏障？为什么？

23。 什么最能降低隧道开挖概率：将入射粒子的屏障宽度增加一倍或动能减半？

24。 解释盒电位和量子点电位之间的区别。

25。 量子粒子能否像盒子里那样 “逃脱” 无限潜能？为什么？为什么不呢？

26。 隧道二极管和谐振隧穿二极管都使用相同的量子隧穿物理原理。它们在什么重要方面有所不同？

问题

7.1 波浪函数

27。 计算\(\displaystyle |Ψ(x,t)|^2\)函数\(\displaystyle Ψ(x,t)=ψ(x)sinωt\)，其中\(\displaystyle ω\)是一个实常数。

28。 给定复值函数\(\displaystyle f(x,y)=(x−iy)/(x+iy)\)，计算\(\displaystyle |f(x,y)|^2\)。

29。 以下哪一个函数，以及为什么，有资格成为可以沿整个实轴移动的粒子的波浪函数？

(a)\(\displaystyle ψ(x)=Ae^{−x^2}\);

(b)\(\displaystyle ψ(x)=Ae^{−x};\)

(c)\(\displaystyle ψ(x)=Atanx\);

(d)\(\displaystyle ψ(x)=A(sinx)/x\);

(e)\(\displaystyle ψ(x)=Ae^{−|x|}\)。

30。 质量为 m 的粒子沿 x 轴移动，其量子态由以下波函数表示：\(\displaystyle Ψ(x,t)=\begin{cases}0&x<0\\Axe^{−αx}e^{−iEt/ℏ}&,x≥0\end{cases}\)，其中\(\displaystyle α=2.0×10^{10}m^{−1}\)。

(a) 找到归一化常数。

(b) 计算在区间内找到粒子的概率\(\displaystyle 0≤x≤L\)。

(d) 找出动能的预期值。

31。 质量为 m 的粒子的波函数由 wher\(\displaystyle ψ(x)=\begin{cases}Acosαx&−\frac{π}{2α}≤x≤+\frac{π}{2α}\\0&otherwise\end{cases}\) e 给出\(\displaystyle α=1.00×10^{10}/m\)。

(a) 找到归一化常数。

(b) 计算在区间内找到粒子的概率\(\displaystyle 0≤x≤0.5×10^{−10}m\)。

(d) 找出其平均动量。

(e) 找出其平均动能\(\displaystyle −0.5×10^{−10}m≤x≤+0.5×10^{−10}m\)。

7.2 海森堡不确定性原理

32。 已对\(\displaystyle α\)-particle 进行了速度测量，精度为 0.02 mm/s。其位置的最小不确定度是多少？

33。 273 K 的氦原子气体位于侧面为 25.0 cm 的立方体容器中。

(a) 氦原子动量分量的最小不确定度是多少？

(b) 速度分量的最小不确定度是多少？

(b) 到原子在每个方向上的平均速度。

34。 如果质子位置的\(\displaystyle y\)-分量的不确定度为 2.0 pm，则在同时测量质子的速度\(\displaystyle y\)分量时找到最小的不确定度。同时测量质子的 xx 速度分量的最小不确定度是多少？

35。 一些不稳定的基本粒子的静止能量为80.41 GeV，静止能量的不确定性为2.06 GeV。估计这个粒子的寿命。

36。 处于亚稳态的原子的寿命为 5.2 ms。找出测量激发态能量的最小不确定度。

37。 测量结果表明，原子平均保持激发态的时间为50.0 ns，然后过渡到基态，同时发射 2.1 eV 光子。

(a) 估计光子频率的不确定性。

(b) 这是光子平均频率的多大比例？

38。 假设电子被限制在长度为 0.1 nm 的区域（大约相当于氢原子的大小）。

(a) 其动量的最低不确定性是多少？

(b) 如果封闭长度区域翻倍到0.2 nm，动量的不确定性会是多少？

7.3 薛定格方程

39。 将方程\(7.4.1\)和方程组合\(7.4.2\)起来显示\(\displaystyle k^2=\frac{ω^2}{c^2}\)。

40。 证明\(\displaystyle Ψ(x,t)=Ae^{i(kx−ωt)}\)这是薛定格时变方程的有效解。

41。 证明这一点\(\displaystyle Ψ(x,t)=Asin(kx−ωt)\)，\(\displaystyle Ψ(x,t)=Acos(kx−ωt)\)不要服从 Schrdinger 的时变方程。

42。 证明何时\(\displaystyle Ψ_1(x,t)\)和\(\displaystyle Ψ_2(x,t)\)是随时间变化的 Schrdinger 方程的解，A, B 是数字\(\displaystyle Ψ(x,t)\)，那么叠加这些函数的函数也是解：\(\displaystyle Ψ(x,t)=AΨ_1(x,t)+BΨ_1(x,t)\)。

43。 质量为 m 的粒子由以下波函数描述：\(\displaystyle ψ(x)=Acoskx+Bsinkx\)，其中 A、B 和 k 是常数。假设粒子是自由的，证明该函数是该粒子的静止薛定格方程的解，然后找出粒子在这种状态下所具有的能量。

44。 求出处于状态的粒子动能的预期值\(\displaystyle Ψ(x,t)=Ae^{i(kx−ωt)}\)。你能从你的解决方案中得出什么结论？

45。 求出处于状态的粒子的动量平方的期望值\(\displaystyle Ψ(x,t)=Ae^{i(kx−ωt)}\)。你能从你的解决方案中得出什么结论？

46。 自由质子的波函数由给出\(\displaystyle Ψ(x,t)=Ae^{i(5.02×10^{11}x−8.00×10^{15}t)}\)。 x 的系数是反米 (\(\displaystyle m^{−1}\))，t 上的系数是反秒 (\(\displaystyle s^{−1}\))。找到它的动力和能量。

7.4 盒子里的量子粒子

47。 假设原子中的电子可以被当作被限制在一个宽度的盒子里来对待\(\displaystyle 2.0Å\)。电子的基态能量是多少？将您的结果与玻尔氢原子模型中氢原子的基态动能进行比较。

48。 假设原子核中的质子可以被当作被限制在宽度为 10.0 fm 的一维盒子里来对待。

(a) 当质子处于与\(\displaystyle n=1, n=2,\)和相对应的状态时，它的能量是\(\displaystyle n=3\)多少？

(b) 当质子从第一和第二激发态过渡到基态时，发射的光子的能量是多少？

49。 限制在盒子内的电子的基态能量为 2.5 eV。盒子的宽度是多少？

50。 限于半径约为15.0 fm的铀核大小的一维盒子中的质子的基态能量（以eV为单位）是多少？

51。 限制在半径约为15.0 fm的铀核大小的一维盒子中的αα粒子的基态能量（以eV为单位）是多少？

52。 要在一维盒子中激发电子从其第一个激发态到第三个激发态需要 20.0 eV。盒子的宽度是多少？

53。 被无限势能屏障限制在宽度为0.15 nm的盒子内的电子在从第一个激发态过渡到基态时会发射光子。找到发射光子的波长。

54。 如果盒子中电子的第一个激发态的能量为25.0 eV，那么盒子的宽度是多少？

55。 假设局限在盒子里的电子会发射光子。注册的最长波长为 500.0 nm。盒子的宽度是多少？

56。 氢\(\displaystyle H_2\)分子在边长为 20.0 cm 的立方体容器中保存 300.0 K。假设你可以把这些分子当作在一维盒子里移动一样对待。

(a) 找到容器中氢分子的基态能量。

(b) 假设分子的热能由给出，\(\displaystyle k_BT/2\)然后找到与该热能相对应的量子态的相应量子数 n。

57。 电子被限制在宽度为 0.25 nm 的盒子内。

(a) 画一张代表电子前五个状态的能级图。

(b) 计算当电子在第四和第二激发态之间、第二激发态与基态之间以及第三和第二激发态之间发生过渡时，发射光子的波长。

58。 盒子里的电子处于基态，能量为 2.0 eV。

(a) 找到方框的宽度。

(b) 激发电子到第一个激发态需要多少能量？

7.5 量子谐波振荡器

59。 证明简单谐波振荡器\( ψ_0(x) \)和 from with\( ψ_1(x) \) 的\[\psi_n (x) = N_n e^{-\beta^2 x^2/2} H_n (\beta x) \nonumber \]两个最低能量状态\(n = 0,1,2,3, ...\)满足相关的与时间无关的薛定格方程\[-\dfrac{\hbar}{2m} \dfrac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + \dfrac{1}{2}m\omega^2 x^2 \psi(x) = E\psi (x). \nonumber \]

60。 如果简单谐波振荡器的基态能量为1.25 eV，则其运动频率是多少？

61。 当量子谐波振荡器从\(\displaystyle (n+1)\)态过渡到n态并发射450纳米光子时，它的频率是多少？

62。 氢分子的振动\(\displaystyle H_2\)可以建模为具有弹簧常数\(\displaystyle k=1.13×10^3N/m\)和质量的简单谐波振荡器\(\displaystyle m=1.67×10^{−27}kg\)。

(a) 这个分子的振动频率是多少？

(b) 当分子在其第三和第二激发态之间过渡时，发射光子的能量和波长是多少？

63。 质量为 0.030 kg 的粒子在频率为 4.0 Hz 的弹簧上来回振荡。在平衡位置，它的速度为0.60 m/s。如果粒子处于定能量状态，则找出其能量量子数。

64。 求出处于基\(\displaystyle x^2\)态的量子谐波振荡器的位置平方的期望值。注意：\(\displaystyle ∫^{+∞}_{−∞}dxx^2e ^{−ax^2}=\sqrt{π}(2a^{3/2})^{−1}\)。

65。 确定量子谐波振荡器在基态下的势能的预期值。使用它来计算动能的预期值。

66。 验证方程7.57\(\displaystyle ψ_1(x)\) 给出的是否是薛定格量子谐波振荡器方程的解。

67。 用海森堡的不确定性原理估算量子谐波振荡器的基态能量。首先假设不确定性的乘积\(\displaystyle Δx\)和\(\displaystyle Δp\)处于最小值。用基态写下\(\displaystyle Δp\)\(\displaystyle Δx\)并假设它代表基\(\displaystyle p≈Δp\)态，\(\displaystyle x≈Δx\)然后用 x 写出基态能量。最后，找到能量最小化的 x 值，然后找到能量的最小值。

68。 0.250 kg 的质量在弹簧上振荡，力常数 110 N/m。计算地面能级和相邻能级之间的间隔。以焦耳和电子伏特表示结果。量子效应重要吗？

7.6 粒子穿越势垒的量子隧道

69。 显示波浪函数在

(a) 方程 7.68 满足方程 7.61，并且

(b) 方程 7.69 满足方程 7.63。

70。 6.0 eV 的电子撞击高度为 11.0 eV 的屏障。如果屏障宽度为，则计算电子穿过屏障的概率

(a) 0.80 nm 和

(b) 0.40 纳米。

71。 一个 5.0-eV 的电子撞击了 0.60 nm 的屏障。如果屏障高度为，则计算电子穿过屏障的概率

(a) 7.0 eV；

(b) 9.0 eV；以及

72。 一个 12.0 eV 的电子遇到了高度为 15.0 eV 的屏障。如果电子穿过屏障的概率为2.5％，则找出其宽度。

73。 初始动能为32.0 eV的量子粒子遇到高度为41.0 eV、宽度为0.25 nm的方形屏障。如果粒子是，则计算粒子穿过此屏障的概率

(a) 电子和

(b) 质子。

74。 放射性核衰变的简单模型假设\(\displaystyle α\)-particle被困在具有核电位的井中，墙壁是有限宽度2.0 fm和高度为30.0 meV的屏障。找出具有动能的 αα-粒子穿过墙壁潜在屏障的隧道概率

(a) 29.0 兆电子伏和

(b) 20.0 兆电子伏。 \(\displaystyle α\)-particle 的质量为\(\displaystyle m=6.64×10^{−27}kg\)。

75。 μ子是一种质量约为电子200倍的量子粒子，它入射在高度为10.0 eV的势垒上。撞击的μ子的动能为5.5 eV，其入射波函数的平方振幅中只有大约 0.10% 过滤过屏障。屏障的宽度是多少？

76。 一粒质量为 1.0 mg、动能 1.0 J 的沙粒入射在高度为 1.000001 J、宽 2500 nm 的势能屏障上。平均而言，有多少沙粒落在这个屏障上才能穿过？

其他问题

77。 表明，如果粒子位置的不确定性与其 de Broglie 的波长差不多，则其动量的不确定性约为其动量值。

78。 测量的\(\displaystyle ρ\)-meson 的质量不确定\(\displaystyle 770MeV/c^2\)度为\(\displaystyle 100MeV/c^2\)。估计这个介子的寿命。

79。 质量为 m 的粒子被限制在宽度为 L 的盒子内。如果粒子处于第一激发态，那么在给定点 x 周围宽度为 0.020 L 的区域内找到粒子的概率是多少：

(a)\(\displaystyle x=0.25L\);

(b)\(\displaystyle x=0.40L\);

(c)\(\displaystyle x=0.75L\)；以及

(d)\(\displaystyle x=0.90L\)。

80。 盒子 [0; L] 中的粒子处于第三激发态。它最可能的位置是什么？

81。 一个 0.20 公斤的台球可以在 1.5 米长的桌子的垫子之间来回弹跳而不会损失能量

(a) 如果球处于地面状态，那么从一个垫子到另一个垫子需要多少年？你可以将这个时间间隔与宇宙的年龄进行比较。

(b) 让球从基态变为第一个激发状态需要多少能量？将其与以 2.0 m/s 移动的球的动能进行比较。

82。 求出盒子中的粒子处于第三个激发状态且盒子的长度为 L 时位置平方的期望值。

83。 考虑一口无限的正方形井，上面有墙壁边界\(\displaystyle x=0\)和\(\displaystyle x=L\). 证明只有在以下情况下，该函数才\(\displaystyle ψ(x)=Asinkx\)是方框中粒子的静止薛定格方程的解\(\displaystyle k=\sqrt{2mE}/ℏ\)。解释为什么只有当 k 是的整数倍数时，它才是可接受的波函数\(\displaystyle π/L\)。

84。 考虑一口无限的正方形井，上面有墙壁边界\(\displaystyle x=0\)和\(\displaystyle x=L\). 解释为什么该函数\(\displaystyle ψ(x)=Acoskx\)不是盒子中粒子的静止薛定格方程的解。

85。 晶格中的原子以简单的谐波运动振动。假设晶格原子的质量为\(\displaystyle 9.4×10^{−26}kg\)，如果晶格原子在吸收\(\displaystyle 525-µm\)光子时从基态过渡到第一激发态，则晶格的力常数是多少？

86。 双原子分子的行为类似于量子谐波振荡器，力常数为12.0 N/m，质量为12.0 N/m\(\displaystyle 5.60×10^{−26}kg\)。

(a) 当分子从第三激发态过渡到第二激发态时，发射光子的波长是多少？

(b) 找到该双原子分子的基态振动能。

87。 动能 2.0 兆电子伏的电子遇到高度为 16.0 兆电子伏、宽 2.00 nm 的势能屏障。电子出现在屏障另一侧的概率是多少？

88。 一束能量为2.0 meV的单能质子束落在高度为20.0 meV、宽度为1.5 fm的潜在能量屏障上。有多少百分比的光束是通过屏障传输的？

挑战问题

89。 染料激光器中使用的长有机分子中的电子的行为与宽度为 4.18 nm 的盒子中的量子粒子差不多。当电子从第一激发态过渡到基态以及从第二激发态过渡到第一激发态时，找到发射的光子。

90。 在 STM 中，可以非常精确地确定被扫描表面上方的尖端高度，因为表面原子和尖端原子之间的隧道电子电流对它们之间沿表面点与点之间的间隙变化极为敏感。假设隧道电子电流与隧道开挖概率成正比，并且隧道开挖概率\(\displaystyle e^{−2βL}\)与指数函数表示的良好近似值相同\(\displaystyle β=10.0/nm\)，则确定当尖端比隧道开挖概率高出 0.500 nm 时隧道电流的比率当尖端比表面高出 0.515 nm 时，表面转向电流。

91。 如果STM要探测局部高度约为0.00200 nm的表面特征，那么STM电子设备必须能够检测到隧道电子电流的百分比变化？假设隧道电子电流具有前面问题中给出的特性。

92。 使用海森堡的不确定性原理估计粒子以角频率在弹簧上振荡的基态能量\(\displaystyle ω=\sqrt{k/m}\)，其中 k 是弹簧常数，m 是质量。

93。 假设一个无限方井从延伸\(\displaystyle −L/2\)到\(\displaystyle +L/2\)了。求解与时间无关的 Schrdinger 方程，找出质量为 m 且仅限于该井的粒子的允许能量和静止状态。然后证明这些解可以通过对在 0 和 L 之间延伸\(\displaystyle x'=x−L/2\)的井获得的解进行坐标变换来获得。

94。 限制在宽度为 L 的盒子内的质量为 m 的粒子处于其第一激发态\(\displaystyle ψ_2(x)\)。

(a) 找到其平均头寸（即头寸的预期价值）。

(b) 粒子最有可能在哪里被发现？