7.S：量子力学（摘要）
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关键条款
| 反对称函数 | 奇数函数 |
| 天生解读 | 指出波函数的平方是概率密度 |
| 复杂函数 | 同时包含实部和虚部的函数 |
| 哥本哈根解 | 指出，当观察者不看或没有进行测量时，粒子有许多可测量量的值，例如位置 |
| 对应原理 | 在大能量的极限下，量子力学的预测与经典力学的预测一致 |
| 能量水平 | 定能状态，通常用能量 “阶梯” 图中的水平线表示 |
| 能量量子数 | 标示允许的能量状态的索引 |
| 能量时间不确定性原理 | 同时测量量子态能量及其寿命时的不确定性的能量时间关系 |
| 偶数函数 | 在一维中，一个与坐标系原点对称的函数 |
| 期望值 | 假设大量具有相同波函数的粒子的物理量平均值 |
| 场发射 | 当在法向导体表面施加强大的外部电场时，从导体表面发射电子 |
| 基态能量 | 能量谱中最低的能量状态 |
| 海森堡的不确定性原理 | 对通过同时测量位置和动量可以得知的情况施加了限制；指出，如果位置的不确定性很小，则动量的不确定性很大，反之亦然 |
| 无限正方形井 | 在固定区间内为零且无限超出此范围的势函数 |
| 动量运算符 | 对应于粒子动量的运算符 |
| 纳米技术 | 一种基于操纵分子或单个原子等纳米结构以生产集成电路等纳米器件的技术 |
| 正常化条件 | 要求在整个物理空间中积分的概率密度得出第一名 |
| 奇数函数 | 在一维中，一个与坐标系原点对称的函数 |
| 位置操作员 | 对应于粒子位置的运算符 |
| 潜在的屏障 | 随着位置值的增加而上升和下降的势函数 |
| 主量子数 | 能量量子数 |
| 概率密度 | 粒子波函数的平方 |
| 量子点 | 半导体纳米晶的小区域嵌入另一个半导体纳米晶体中，充当电子的潜在井 |
| 量子隧道 | 一种现象，即粒子穿透势能屏障，其高度大于粒子的总能量 |
| 共振隧道 | 电子穿过有限高势阱的隧道发生在量子点中，只有当电子能量与阱中的能量水平相匹配时才会发生 |
| 谐振隧道二极管 | 量子点两端施加了电压偏差 |
| 扫描隧道显微镜 (STM) | 利用金属表面的量子隧道现象来获取纳米级结构图像的设备 |
| 薛定格的时变方程 | 时空方程使我们能够确定量子粒子的波函数 |
| 薛定格的时间无关方程 | 空间中的方程允许我们确定量子粒子的波函数；必须将该波函数乘以时间调制因子才能获得随时间变化的波函数 |
| 驻波状态 | (x, t) (x, t) (x, t) 的实部和虚部像驻波一样上下振荡的静止状态（通常使用正弦和余弦函数建模） |
| 减少状态 | 观测或探测到的粒子 “跳入” 确定状态的假设过程，通常用粒子波函数的崩溃来描述 |
| 静止状态 | 概率密度函数不\(\displaystyle |Ψ(x,t)|^2\)随时间变化的状态 |
| 时间调制系数 | 当粒子的\(\displaystyle e^{−iωt}\)势能与时间无关时，它将与时间无关的波函数相乘的因子 |
| 传输概率 | 也称为隧道开挖概率，即粒子穿过潜在屏障的概率 |
| 隧道二极管 | 两个不同半导体之间的电子隧道结 |
| 隧道开挖概率 | 也称为传输概率，即粒子穿过潜在屏障的概率 |
| 波浪函数 | 代表粒子量子态的函数（量子系统） |
| wave 函数崩溃 | 等同于状态减少 |
| 波包 | 叠加许多可用于表示局部粒子的平面物质波 |
关键方程式
| 一维标准化条件 | \(\displaystyle P(x=−∞,+∞)=∫_{−∞}^∞∣Ψ(x,t)∣^2dx=1\) |
| 在一维的狭窄位置间隔内找到粒子的概率\(\displaystyle (x,x+dx)\) | \(\displaystyle P(x,x+dx)=Ψ^∗(x,t)Ψ(x,t)dx\) |
| 一维位置的期望值 | \(\displaystyle ⟨x⟩=∫_{−∞}^∞Ψ^∗(x,t)xΨ(x,t)dx\) |
| 海森堡的位置动量不确定性原理 | \(\displaystyle ΔxΔp≥\frac{ℏ}{2}\) |
| 海森堡的能量时间不确定性原理 | \(\displaystyle ΔEΔt≥\frac{ℏ}{2}\) |
| 薛定格的时变方程 | \(\displaystyle −\frac{ℏ^2}{2m}\frac{∂^2Ψ(x,t)}{∂x^2}+U(x,t)Ψ(x,t)=iℏ\frac{∂Ψ(x,t)}{∂t}\) |
| 一维与时间无关的势的波函数的一般形式 | \(\displaystyle Ψ(x,t)=ψ(x)e^{−iω}\) |
| 薛定格的时间无关方程 | \(\displaystyle −\frac{ℏ^2}{2m}\frac{d^2ψ(x)}{dx^2}+U(x)ψ(x)=Eψ(x)\) |
| 薛定格方程（自由粒子） | \(\displaystyle −\frac{ℏ^2}{2m}\frac{∂^2ψ(x)}{∂x^2}=Eψ(x)\) |
| 允许的能量（长度为 L 的盒子中的粒子） | \(\displaystyle E_n=n^2\frac{π^2ℏ^2}{2mL^2},n=1,2,3,...\) |
| 静止状态（长度为 L 的盒子中的粒子） | \(\displaystyle ψ_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}sin\frac{nπx}{L},n=1,2,3,...\) |
| 谐波振荡器的势能函数 | \(\displaystyle U(x)=\frac{1}{2}mω^2x^2\) |
| 薛定格方程（谐波振荡器） | \(\displaystyle −\frac{ℏ^{2}}{2m}\frac{d^2ψ(x)}{dx^2}+\frac{1}{2}mω^2x^2ψ(x)=Eψ(x)\) |
| 能量谱 | \(\displaystyle E_n=(n+\frac{1}{2})ℏω,n=0,1,2,3,...\) |
| 能量波函数 | \(\displaystyle ψ_n(x)=N_ne^{−β^2x^2/2}H_n(βx),n=0,1,2,3,...\) |
| 潜在的屏障 | \(\displaystyle U(x)=\begin{cases}0,& \mathrm{when} \: x<0\\ U_0,& \mathrm{when} \: 0≤x≤L\\0,& \mathrm{when} \: x>L\end{cases}\) |
| 传输系数的定义 | \(\displaystyle T(L,E)=\frac{|ψ_{tra}(x)|^2}{|ψ_{in}(x)|^2}\) |
| 传输系数中的一个参数 | \(\displaystyle β^2=\frac{2m}{ℏ^2}(U_0−E)\) |
| 传输系数，精确 | \(\displaystyle T(L,E)=\frac{1}{cosh^2βL+(γ/2)^2sinh^2βL}\) |
| 传输系数，近似值 | \(\displaystyle T(L,E)=16\frac{E}{U_0}(1−\frac{E}{U_0})e^{−2βL}\) |
摘要
7.1: 波函数
- 在量子力学中，物理系统的状态由波函数表示。
- 在伯恩的解释中，粒子波函数的平方表示在太空中特定位置周围找到粒子的概率密度。
- 在使用波浪函数进行预测之前，必须先对其进行归一化。
- 期望值是需要波浪函数和积分的量的平均值。
7.2: 海森堡不确定性原理
- 海森堡不确定性原理指出，不可能以任意高的精度同时测量粒子位置和动量的 x 分量。 实验不确定性的乘积总是大于或等于\(\displaystyle ℏ/2\)。
- 这个原理的局限性与实验设备的质量无关，而是源于物质的波浪状性质。
- 能量时间不确定性原理表达了实验观察结果，即仅存在很短时间的量子态不可能有确定的能量。
7.3: 薛定格方程
- 薛定格方程是波量子力学的基本方程。 它使我们能够对波浪函数做出预测。
- 当粒子在与时间无关的势中移动时，随时间变化的薛定格方程的解是与时间无关的波函数和时间调制因子的乘积。
- 薛定格方程可以应用于许多物理情况。
7.4: 盒子里的量子粒子
- 盒子中量子粒子的能量态是通过求解与时间无关的 Schrdinger 方程得出的。
- 为了求解盒子中粒子的与时间无关的 Schrdinger 方程并找到静止状态和允许的能量，我们要求波函数在箱墙处终止。
- 盒子中粒子的能量状态由主量子数量化并索引。
- 当粒子处于低量子数的低能态时，量子图与经典画面有很大不同。
- 在高量子数的极限下，当量子粒子处于高激发态时，本着玻尔对应原理的精神，对盒子中粒子的量子描述与经典描述相吻合。
7.5: 量子谐波振荡器
- 量子谐波振荡器是一种类似于传统谐波振荡器模型的模型。 它可以模拟许多物理系统的行为，例如量子光学中的分子振动或波包。
- 量子振荡器的允许能量是离散的，间隔均匀。 能量间距等于普朗克的能量量子。
- 基态能量大于零。 这意味着，与传统振荡器不同，量子振荡器永远不会处于静止状态，即使在潜在井的底部也是如此，并且会经历量子波动。
- 在传统转折点以外的区域，静止态（定能量状态）也具有非零值。 当处于基态时，量子振荡器最有可能出现在潜在井的最小位置附近，这是传统振荡器最不可能的位置。
- 根据玻尔的对应原理，对于高量子数，量子振荡器的运动变得与传统振荡器的运动更加相似。
7.6 粒子穿越势垒的量子隧道
- 入射在有限宽度和高度的潜在屏障上的量子粒子可能会越过屏障并出现在其另一侧。 这种现象被称为 “量子隧道”。 它没有经典的模拟。
- 为了找到量子隧道的概率，我们假设入射粒子的能量，然后求解平稳的薛定格方程以找到屏障内外的波函数。 隧道开挖概率是越过屏障的波浪与入射波的平方振幅之比。
- 隧道开挖概率取决于入射粒子相对于屏障高度的能量以及屏障的宽度。 它以非线性指数方式受到屏障宽度的强烈影响，因此屏障宽度的微小变化会导致传输概率发生不成比例的巨大变化。
- 量子隧道现象控制着放射性核衰变。 它们被用于许多现代技术，例如STM和纳米电子学。 STM 使我们能够看到金属表面上的单个原子。 电子隧道设备彻底改变了电子设备，使我们能够制造微型快速电子设备。