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5.A:相对论(答案)

检查你的理解

5.1。 狭义相对论仅适用于以恒定速度移动的物体,而广义相对论适用于经历加速的物体。

5.2。 γ=11v2c2=11(0.650c)2c2=1.32

5.3。 一个Δt=Δτ1v2c2=2.10×108s1(1.90×108m/s)2(3.00×108m/s)2=2.71×108s

b. 只有两个航天器的相对速度才重要,因为在空间中没有绝对的运动。 信号是从 A 的参考系中的固定位置发射的,因此其发射的时间间隔是正确的τ=1.00s。 然后,从参考框架 B 测量的信号持续时间为

Δt=Δτ1v2c2=1.00s1(4.00×107m/s)2(3.00×108m/s)2=1.01s

5.4。 L=L01v2c2=(2.50km)1(0.750c)2c2=1.65km

5.5。 从定义正确的时间增量开始:

dτ=(ds)2/c2=dt2(dx2+dx2+dx2)/c2

哪里(dx,dy,dx,cdt)是在观察者的惯性框架中测量的,该观察者不一定能看见静止的粒子。 因此,这变成了

dτ=(ds)2/c2=dt2[(dx)2+(dy)2+(dz)2]/c2

=dt1[(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2]/c2

=dt1v2/c2

dt=γdτ

5.6。 尽管在两个参考系中,垂直于相对运动的位移是相同的,但事件之间的时间间隔不同,dt 的差异dt会导致从两个坐标系中看到的速度不同。

5.7。 我们可以将数据直接替换到相对论多普勒频率的方程中:

fobs=fs1vc1+vc=(1.50GHz)10.350cc1+0.350cc=1.04GHz.

5.8。 将数据替换为给定的方程式:

p=γmu=mu1u2c2=(9.11×1031kg)(0.985)(3.00×108m/s)1(0.985c)2c2=1.56×1021kgm/s

5.9。 Krel=(γ1)mc2=(11u2c2mc2=(11(0.992c)2c21(9.11×1031kg)(3.00×108m/s)2=5.67×1013J

概念性问题

1。 第二个假设涉及光速;经典物理学已经包括这样的观点,即至少所有惯性帧中的力学定律都是相同的,但是在相对于彼此移动的不同帧中,光脉冲的速度是不同的

3。 是的,前提是飞机相对于地球以恒定速度飞行;在这种情况下,在飞机内没有作用力的物体相对于飞机的速度没有变化,相对于地球的速度也没有变化;飞机和地面都是用于描述的惯性框架物体的运动

5。 随过程移动的观察者会看到其适当的时间间隔,这是所有观察者看到的最短的时间间隔。

7。 对于随物体一起移动的观察者来说,物体的长度最大,因此可以测量其正确的长度。

9。 a. 不,不在宇航员自己的参照范围内。

b. 他看见地球时钟在静止框架中由他移动,因此看见它们变慢了。

c. 不,不在宇航员自己的参照范围内。

d. 是的,他测量两颗恒星之间的距离要短一些。

e. 两位观察员就他们的相对速度达成了共识。

11。 在这种情况下,波长或频率没有测得的变化。 相对论的多普勒效应仅取决于光源和观察者的相对速度,而不取决于光波相对于介质的任何速度。

13。 它表明恒星离地球越来越远,宇宙正在膨胀,而且膨胀速度加快,距离更远的恒星的速度更快。]

15。 是的。 如果外力被其他外部施加的力所平衡,从而使净外力为零,就会发生这种情况。

17。 由于它损失了热能,即其组成粒子随机运动的动能,因此其质量减少幅度极小,如能量质量等效所述。

19。 是的,原则上,任何能量的减少都会对质量产生类似的影响,但是对于化学反应中的能量变化来说,这种变化会很小,以至于在实践中是无法察觉到的。

21。 不是根据狭义相对论。 任何有质量的东西都无法达到光速。

问题

23。 a. 1.0328;

b. 1.15

25。 5.96×108s

27。 0.800c

29。 0.140c

31。 48.6 m

33。 使用示例 5.3 中给出的值:

a. 1.39 千米;

b. 0.433 km;

c. 0.433 km

35。 a. 10.0c;

b. 由此产生的罐子速度大于 c,这是不可能的。

c. 假设罐子将在 1.20 摄氏度时向地球移动,这是不合理的。

37。 角度 α\displaystyle 45° 接近,\displaystyle t'-和向光锥的边缘\displaystyle x'-axes旋转。

39。 向东 15 米/秒

41。 32 m/s

43。 a. 第二个球以速度接近\displaystyle −v并休息,而另一个球继续保持速度\displaystyle −v

b. 这样可以保持势头。

45。 a.\displaystyle t_1'=0; x_1'=0;

\displaystyle t_2'=τ;x_2'=0;

b.\displaystyle t_1'=0;x_1'=0;

\displaystyle t_2'=\frac{τ}{\sqrt{1−v^2/c^2}};x_2'=\frac{−vτ}{\sqrt{1−v^2/c^2}}

47。 0.615c

49。 0.696c

51。 (证明)

53。 \displaystyle 4.09×10^{−19}kg⋅m/s

55。 a.\displaystyle 3.000000015×10^{13}kg⋅m/s;

b. 1.000000005

57。 \displaystyle 2.988×10^8m/s

59。 根据所述重要数字的数量,0.512 兆电子伏。 确切值接近 0.511 兆电子伏。

61。 \displaystyle 2.3×10^{−30}kg; 改为两位数,因为发现剩余质量能量的差异为两位数

63。 a.\displaystyle 1.11×10^{27}kg;

b。\displaystyle 5.56×10−5

65。 一个。\displaystyle 7.1×10^{−3}kg;

b.\displaystyle 7.1×10^{−3}=7.1×10^{−3};

c.\displaystyle \frac{Δm}{m} 对于氢气来说更大

67。 a. 208;

b. 0.99998c;六位数字用于显示与 c 的差异

69。 a.\displaystyle 6.92×10^5J;

b. 1.54

71。 a. 0.914c;

b. 电子的剩余质量能为0.511兆电子伏,因此动能约为剩余质量能的150%。 电子的传播速度应该接近光速。

其他问题

73。 a. 0.866c;

b. 0.995c

75。 a. 4.303 y 转换为四位数字以显示任何效果;

b. 0.1434 y;

c\displaystyle 1/\sqrt{(1−v^2/c^2)}=29.88.

77。 a. 4.00;

b。\displaystyle v=0.867c

79。 a. A 在每次心跳时向 B 发送无线电脉冲,B 知道它们的相对速度,并使用时间膨胀公式根据观测信号计算出心跳之间的正确时间间隔。

b. b\displaystyle (66beats/min)\sqrt{1−v^2/c^2}=57.1 eats/min

81。 a. 第一个光子:\displaystyle (0,0,0)at\displaystyle t=t′;第二个光子:

\displaystyle t'=\frac{−vx/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}=\frac{−(c/2)(1.00m)/c^2}{\sqrt{0.75}}=\frac{0.577m}{c}=1.93×10^{−9}s

\displaystyle x'=\frac{x}{\sqrt{1−v^2/c^2}}=\frac{1.00m}{\sqrt{0.75}}=1.15m\)

b. 在 A 中同时存在,在 B 中不同步

83。 \displaystyle t^{\prime}=\frac{t-v x / c^{2}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}=\frac{\left(4.5 \times 10^{-4} \: \mathrm{s}\right)-(0.6 c)\left(\frac{150 \times 10^{3} \: \mathrm{m}}{c^{2}}\right)}{\sqrt{1-(0.6)^{2}}}

\displaystyle = 1.88 \times 10^{-4} \: s

\displaystyle x^{\prime}=\frac{x-v t}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}=\frac{150 \times 10^{3} \: \mathrm{m}-(0.60)\left(3.00 \times 10^{8} \: \mathrm{m} / \mathrm{s}\right)\left(4.5 \times 10^{-4} \: \mathrm{s}\right)}{\sqrt{1-(0.6)^{2}}}

\displaystyle = 8.6 \times 10^{4} \: m = 86 \: km

\displaystyle y=y'=15 \: km

\displaystyle z=z'=1 \: km

85。 \displaystyle Δt=\frac{Δt'+vΔx'/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}

\displaystyle 0=\frac{Δt'+v(500m)/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}};

因为\displaystyle v≪c,我们可以忽略这个词\displaystyle v^2/c^2然后找到

\displaystyle Δt'=−\frac{(50m/s)(500m)}{(3.00×10^8m/s)^2}=−2.78×10^{−13}s

在实际列车速度为50 m/s时,牛顿同时性的分解可以忽略不计,但不完全为零。

87。 \displaystyle Δt'=\frac{Δt−vΔx/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}

\displaystyle 0=\frac{(0.30s)−\frac{(v)(2.0×10^9m)}{(3.00×10^8m/s)^2}}{\sqrt{1−v^2/c^2}}

\displaystyle v=\frac{(0.30s)}{(2.0×10^9m)}(3.00×10^8m/s)^2

\displaystyle v=1.35×10^7m/s

89。 请注意,此问题的所有答案都报告为五个重要数字,以区分结果。

a. 0.99947c;

b.\displaystyle 1.2064×10^{11}y;

c。\displaystyle 1.2058×10^{11}y

91。 a. —0.400c;

b. —0.909c

93。 a. 1.65 km/s;

b. 是的,如果光速这么小,那么我们在日常生活中可以达到的速度将大于光速的1%,我们可以更频繁地观察相对论效应。

95。 775 MHz

97。 a.\displaystyle 1.12×10^{−8}m/s;

b. 小速度告诉我们,蛋白质的质量远小于即使是极少量的宏观物质的质量。

99。 a.\displaystyle F=\frac{dp}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{mu}{\sqrt{1−u^2/c^2}})=\frac{du}{dt}(\frac{m}{\sqrt{1−u^2/c^2}})−\frac{1}{2}\frac{mu^2}{(1−u^2/c^2)^{3/2}}2\frac{du}{dt}=\frac{m}{(1−u^2/c^2)^{3/2}}\frac{du}{dt};

b。\displaystyle F=\frac{m}{(1−u^2/c^2)^{3/2}}\frac{du}{dt}=\frac{1kg}{(1−(\frac{1}{2})^2)^{3/2}}(1m/s^2)=1.53N

101。 90.0 meV

103。 a.\displaystyle γ^2−1;

b. 是的

105。 \displaystyle 1.07×10^3

107。 a.\displaystyle 6.56×10^{−8}kg;

b.\displaystyle m=(200L)(1m^3/1000L)(750kg/m^3)=150kg;因此,\displaystyle \frac{Δm}{m}=4.37×10^{−10}

109。 a. 0.314c;

b. 0.99995c(五位数用于显示与 c 的差异)

111。 a. 1.00 千克;

b. 这么大的质量是可以测量的,但可能仅靠观察就无法观察,因为它占总质量的0.01%。

113。 一个。\displaystyle 6.06×10^{11}kg/s;

b。\displaystyle 4.67×10^{10}y;

c.\displaystyle 4.27×10^9kg;

d。\displaystyle 0.32%