5.A：相对论（答案）

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检查你的理解

5.1。 狭义相对论仅适用于以恒定速度移动的物体，而广义相对论适用于经历加速的物体。

5.2。 \(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{(0.650c)^2}{c^2}}}=1.32\)

5.3。 一个\(\displaystyle Δt=\frac{Δτ}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{2.10×10^{−8}s}{\sqrt{1−\frac{(1.90×10^8m/s)^2}{(3.00×10^8m/s)^2}}}=2.71×10^{−8}s\)。

b. 只有两个航天器的相对速度才重要，因为在空间中没有绝对的运动。信号是从 A 的参考系中的固定位置发射的，因此其发射的时间间隔是正确的\(\displaystyle τ=1.00s\)。然后，从参考框架 B 测量的信号持续时间为

\(\displaystyle Δt=\frac{Δτ}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1.00s}{\sqrt{1−\frac{(4.00×10^7m/s)^2}{(3.00×10^8m/s)^2}}}=1.01s\)。

5.4。 \(\displaystyle L=L_0\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}=(2.50km)\sqrt{1−\frac{(0.750c)^2}{c^2}}=1.65km\)

5.5。 从定义正确的时间增量开始：

\(\displaystyle dτ=\sqrt{−(ds)^2/c^2}=\sqrt{dt^2−(dx^2+dx^2+dx^2)/c^2}\)。

哪里\(\displaystyle (dx, dy, dx, cdt)\)是在观察者的惯性框架中测量的，该观察者不一定能看见静止的粒子。因此，这变成了

\(\displaystyle d_τ=\sqrt{−(ds)^2/c^2}=\sqrt{dt^2−[(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2]/c^2}\)

\(\displaystyle =dt\sqrt{1−[(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2+(\frac{dz}{dt})^2]/c^2}\)

\(\displaystyle =dt\sqrt{1−v^2/c^2}\)

\(\displaystyle dt=γdτ\)。

5.6。 尽管在两个参考系中，垂直于相对运动的位移是相同的，但事件之间的时间间隔不同，dt 的差异\(\displaystyle dt'\)会导致从两个坐标系中看到的速度不同。

5.7。 我们可以将数据直接替换到相对论多普勒频率的方程中：

\(\displaystyle f_{obs}=f_s\sqrt{\frac{1−\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}=(1.50GHz)\sqrt{\frac{1−\frac{0.350c}{c}}{1+\frac{0.350c}{c}}}=1.04GHz.\)

5.8。 将数据替换为给定的方程式：

\(\displaystyle p=γmu=\frac{mu}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}=\frac{(9.11×10^{−31}kg)(0.985)(3.00×10^8m/s)}{\sqrt{1−\frac{(0.985c)^2}{c^2}}}=1.56×10^{−21}kg-m/s\)。

5.9。 \(\displaystyle K_{rel}=(γ−1)mc^2=(\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}mc^2=(\frac{1}{\sqrt{1−\frac{(0.992c)^2}{c^2}}−1}(9.11×10^{−31}kg)(3.00×10^8m/s)^2=5.67×10^{−13}J\)

概念性问题

1。第二个假设涉及光速；经典物理学已经包括这样的观点，即至少所有惯性帧中的力学定律都是相同的，但是在相对于彼此移动的不同帧中，光脉冲的速度是不同的

3。是的，前提是飞机相对于地球以恒定速度飞行；在这种情况下，在飞机内没有作用力的物体相对于飞机的速度没有变化，相对于地球的速度也没有变化；飞机和地面都是用于描述的惯性框架物体的运动

5。随过程移动的观察者会看到其适当的时间间隔，这是所有观察者看到的最短的时间间隔。

7。对于随物体一起移动的观察者来说，物体的长度最大，因此可以测量其正确的长度。

9。 a. 不，不在宇航员自己的参照范围内。

b. 他看见地球时钟在静止框架中由他移动，因此看见它们变慢了。

c. 不，不在宇航员自己的参照范围内。

d. 是的，他测量两颗恒星之间的距离要短一些。

e. 两位观察员就他们的相对速度达成了共识。

11。 在这种情况下，波长或频率没有测得的变化。相对论的多普勒效应仅取决于光源和观察者的相对速度，而不取决于光波相对于介质的任何速度。

13。 它表明恒星离地球越来越远，宇宙正在膨胀，而且膨胀速度加快，距离更远的恒星的速度更快。]

15。 是的。如果外力被其他外部施加的力所平衡，从而使净外力为零，就会发生这种情况。

17。 由于它损失了热能，即其组成粒子随机运动的动能，因此其质量减少幅度极小，如能量质量等效所述。

19。 是的，原则上，任何能量的减少都会对质量产生类似的影响，但是对于化学反应中的能量变化来说，这种变化会很小，以至于在实践中是无法察觉到的。

21。 不是根据狭义相对论。任何有质量的东西都无法达到光速。

问题

23。 a. 1.0328；

b. 1.15

25。 \(\displaystyle 5.96×10^{−8}s\)

27。 0.800c

29。 0.140c

31。 48.6 m

33。 使用示例 5.3 中给出的值：

a. 1.39 千米；

b. 0.433 km;

c. 0.433 km

35。 a. 10.0c；

b. 由此产生的罐子速度大于 c，这是不可能的。

c. 假设罐子将在 1.20 摄氏度时向地球移动，这是不合理的。

37。 角度 α\(\displaystyle 45°\) 接近，\(\displaystyle t'-\)和向光锥的边缘\(\displaystyle x'-axes\)旋转。

39。 向东 15 米/秒

41。 32 m/s

43。 a. 第二个球以速度接近\(\displaystyle −v\)并休息，而另一个球继续保持速度\(\displaystyle −v\)；

b. 这样可以保持势头。

45。 a.\(\displaystyle t_1'=0; x_1'=0\);

\(\displaystyle t_2'=τ;x_2'=0;\)

b.\(\displaystyle t_1'=0;x_1'=0\);

\(\displaystyle t_2'=\frac{τ}{\sqrt{1−v^2/c^2}};x_2'=\frac{−vτ}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\)

47。 0.615c

49。 0.696c

51。 （证明）

53。 \(\displaystyle 4.09×10^{−19}kg⋅m/s\)

55。 a.\(\displaystyle 3.000000015×10^{13}kg⋅m/s\);

b. 1.000000005

57。 \(\displaystyle 2.988×10^8m/s\)

59。 根据所述重要数字的数量，0.512 兆电子伏。确切值接近 0.511 兆电子伏。

61。 \(\displaystyle 2.3×10^{−30}kg\); 改为两位数，因为发现剩余质量能量的差异为两位数

63。 a.\(\displaystyle 1.11×10^{27}kg\);

b。\(\displaystyle 5.56×10−5\)

65。 一个。\(\displaystyle 7.1×10^{−3}kg;\)

b.\(\displaystyle 7.1×10^{−3}=7.1×10^{−3}\);

c.\(\displaystyle \frac{Δm}{m}\) 对于氢气来说更大

67。 a. 208；

b. 0.99998c；六位数字用于显示与 c 的差异

69。 a.\(\displaystyle 6.92×10^5J\);

b. 1.54

71。 a. 0.914c；

b. 电子的剩余质量能为0.511兆电子伏，因此动能约为剩余质量能的150％。电子的传播速度应该接近光速。

其他问题

73。 a. 0.866c；

b. 0.995c

75。 a. 4.303 y 转换为四位数字以显示任何效果；

b. 0.1434 y;

c\(\displaystyle 1/\sqrt{(1−v^2/c^2)}=29.88.\)。

77。 a. 4.00；

b。\(\displaystyle v=0.867c\)

79。 a. A 在每次心跳时向 B 发送无线电脉冲，B 知道它们的相对速度，并使用时间膨胀公式根据观测信号计算出心跳之间的正确时间间隔。

b. b\(\displaystyle (66beats/min)\sqrt{1−v^2/c^2}=57.1\) eats/min

81。 a. 第一个光子：\(\displaystyle (0,0,0)\)at\(\displaystyle t=t′\)；第二个光子：

\(\displaystyle t'=\frac{−vx/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}=\frac{−(c/2)(1.00m)/c^2}{\sqrt{0.75}}=\frac{0.577m}{c}=1.93×10^{−9}s\)

\(\displaystyle x'=\frac{x}{\sqrt{1−v^2/c^2}}=\frac{1.00m}{\sqrt{0.75}}\)=1.15m\)

b. 在 A 中同时存在，在 B 中不同步

83。 \(\displaystyle t^{\prime}=\frac{t-v x / c^{2}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}=\frac{\left(4.5 \times 10^{-4} \: \mathrm{s}\right)-(0.6 c)\left(\frac{150 \times 10^{3} \: \mathrm{m}}{c^{2}}\right)}{\sqrt{1-(0.6)^{2}}} \)

\(\displaystyle = 1.88 \times 10^{-4} \: s\)

\(\displaystyle x^{\prime}=\frac{x-v t}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}=\frac{150 \times 10^{3} \: \mathrm{m}-(0.60)\left(3.00 \times 10^{8} \: \mathrm{m} / \mathrm{s}\right)\left(4.5 \times 10^{-4} \: \mathrm{s}\right)}{\sqrt{1-(0.6)^{2}}}\)

\(\displaystyle = 8.6 \times 10^{4} \: m = 86 \: km\)

\(\displaystyle y=y'=15 \: km\)

\(\displaystyle z=z'=1 \: km\)

85。 \(\displaystyle Δt=\frac{Δt'+vΔx'/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\)

\(\displaystyle 0=\frac{Δt'+v(500m)/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\);

因为\(\displaystyle v≪c\)，我们可以忽略这个词\(\displaystyle v^2/c^2\)然后找到

\(\displaystyle Δt'=−\frac{(50m/s)(500m)}{(3.00×10^8m/s)^2}=−2.78×10^{−13}s\)

在实际列车速度为50 m/s时，牛顿同时性的分解可以忽略不计，但不完全为零。

87。 \(\displaystyle Δt'=\frac{Δt−vΔx/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\)

\(\displaystyle 0=\frac{(0.30s)−\frac{(v)(2.0×10^9m)}{(3.00×10^8m/s)^2}}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\)

\(\displaystyle v=\frac{(0.30s)}{(2.0×10^9m)}(3.00×10^8m/s)^2\)

\(\displaystyle v=1.35×10^7m/s\)

89。 请注意，此问题的所有答案都报告为五个重要数字，以区分结果。

a. 0.99947c；

b.\(\displaystyle 1.2064×10^{11}y\);

c。\(\displaystyle 1.2058×10^{11}y\)

91。 a. —0.400c；

b. —0.909c

93。 a. 1.65 km/s；

b. 是的，如果光速这么小，那么我们在日常生活中可以达到的速度将大于光速的1％，我们可以更频繁地观察相对论效应。

95。 775 MHz

97。 a.\(\displaystyle 1.12×10^{−8}m/s\);

b. 小速度告诉我们，蛋白质的质量远小于即使是极少量的宏观物质的质量。

99。 a.\(\displaystyle F=\frac{dp}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{mu}{\sqrt{1−u^2/c^2}})=\frac{du}{dt}(\frac{m}{\sqrt{1−u^2/c^2}})−\frac{1}{2}\frac{mu^2}{(1−u^2/c^2)^{3/2}}2\frac{du}{dt}=\frac{m}{(1−u^2/c^2)^{3/2}}\frac{du}{dt}\);

b。\(\displaystyle F=\frac{m}{(1−u^2/c^2)^{3/2}}\frac{du}{dt}=\frac{1kg}{(1−(\frac{1}{2})^2)^{3/2}}(1m/s^2)=1.53N\)

101。 90.0 meV

103。 a.\(\displaystyle γ^2−1\);

b. 是的

105。 \(\displaystyle 1.07×10^3\)

107。 a.\(\displaystyle 6.56×10^{−8}kg\);

b.\(\displaystyle m=(200L)(1m^3/1000L)(750kg/m^3)=150kg\)；因此，\(\displaystyle \frac{Δm}{m}=4.37×10^{−10}\)

109。 a. 0.314c；

b. 0.99995c（五位数用于显示与 c 的差异）

111。 a. 1.00 千克；

b. 这么大的质量是可以测量的，但可能仅靠观察就无法观察，因为它占总质量的0.01％。

113。 一个。\(\displaystyle 6.06×10^{11}kg/s;\)

b。\(\displaystyle 4.67×10^{10}y;\)

c.\(\displaystyle 4.27×10^9kg\);

d。\(\displaystyle 0.32%\)