15.4：比较简单谐波运动和圆周运动
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- 描述简单谐波运动和圆周运动之间的联系
对简单谐波运动 (SHM) 进行建模的一种简单方法是考虑均匀的圆周运动。 图中\(\PageIndex{1}\)显示了使用此方法的一种方法。 钉子（木柱体）固定在垂直圆盘上，以恒定的角频旋转。
该图\(\PageIndex{2}\)显示了磁盘和挂钩的侧视图。 如果在圆盘上方放置一盏灯并将其钉住，则钉子会产生阴影。 假设圆盘的半径为 r = A，并将与圆盘中心线重合的阴影位置定义为 x = 0.00 m。当圆盘以恒定速率旋转时，阴影在 x = + A 和 x = −A 之间振荡。现在想象一下地板下方弹簧上有一个方块，如图所示\(\PageIndex{2}\)。
如果圆盘以正确的角频率转动，则阴影会随方块一起出现。 阴影的位置可以用方程建模
\[x(t) = A \cos (\omega t) \ldotp \label{15.14}\]
回想一下，附着在弹簧上的方块不会以恒定速度移动。 方向盘必须多久转一次才能让钉子的阴影始终出现在方块上？ 圆盘必须以恒定的角频率转动，该频率等于振荡频率的 2\(\pi\) 倍（\(\omega\)= 2\(\pi\) f）。
图中\(\PageIndex{3}\)显示了均匀圆周运动与 SHM 之间的基本关系。 钉子位于半径的顶端，距圆盘中心 A 的距离。 x 轴由一条平行于地面的直线定义，将圆盘切成两半。 y 轴（未显示）由一条垂直于地面的直线定义，将圆盘切成左半部分和右半部分。 圆盘的中心是点（x = 0，y = 0）。 将钉子的位置投影到固定的 x 轴上给出了阴影的位置，阴影经历的 SHM 类似于方块和弹簧的系统。 在图中所示的时间，投影的位置为 x 并随速度向左移动\(v\)。 环绕圆圈的钉子的切向速度等\(\bar{v}_{max}\)于弹簧上的方块。 速度的 x 分量等于弹簧上方块的速度。
我们可以使用图形\(\PageIndex{3}\)来分析圆盘旋转时阴影的速度。 钉子围成一圈移动，速度为 v max = A\(\omega\)。 阴影的移动速度等于钉子速度的分量，该分量平行于产生阴影的表面：
\[v = -v_{max} \sin (\omega t) \ldotp \label{15.15}\]
因此，加速度为
\[a = -a_{max} \cos (\omega t) \ldotp \label{15.16}\]
识别经历均匀圆周运动的物体。 描述如何追踪这个物体的 SHM。