10.S：固定轴旋转简介（摘要）

关键条款

角加速度	角速度变化时间率
角度位置	物体在固定坐标系中旋转的角度
角速度	角度位置变化的时间速率
瞬时角加速度	角速度相对于时间的导数
瞬时角速度	角位置相对于时间的导数
旋转运动学	描述了旋转角度、角速度、角加速度和时间之间的关系
杠杆臂	从力向量所在的直线到给定轴的垂直距离
线性质量密度	一维物体每单位长度的质量 λ
惯性矩	刚体的旋转质量，与改变旋转刚体的角速度的难易程度有关
牛顿第二旋转定律	旋转系统上的扭矩总和等于其惯性矩乘以其角加速度
平行轴	平行于已知物体惯性矩的轴的旋转轴
平行轴定理	如果已知给定轴的惯性矩，则可以找到与其平行的任何轴的惯性矩
旋转动力学	使用净扭矩和惯性矩分析旋转运动，找出角加速度
旋转动能	由物体旋转产生的动能；这是其总动能的一部分
轮流工作	在刚体上完成了工作，这是因为在刚体旋转的角度上积分的扭矩之和
表面质量密度	二维物体每单位面积$\sigma$的质量
扭矩	力与杠杆臂到给定轴的交叉积
总线性加速度	向心加速度向量和切向加速度向量的向量和
旋转的工作能量定理	在刚体上所做的总旋转功率等于物体旋转动能的变化

关键方程式

角度位置	$$\ theta =\ frac {s} {r}$$
角速度	$$\ omega =\ lim_ {\ Delta t\ rightarrow 0}\ frac {\ Delta\ theta} {\ Delta t} =\ frac {d\ theta}$$
切线速度	$$v_ {t} = r\ omega$$
角加速度	$$\ alpha =\ lim_ {\ Delta t\ rightarrow 0}\ frac {\ Delta\ omega} {\ Delta t} =\ frac {d\ omega} {dt} =\ frac {d^ {2}}$$
切向加速度	$$a_ {t} = r\ alpha$$
平均角速度	$$\ bar {\ omega} =\ frac {\ omega_ {0} +\ omega_ {f}} {2}$$
角位移	$$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ bar {\ omega} t$$
恒定角加速度产生的角速度	$$\ omega_ {f} =\ omega_ {0} +\ alpha t$$
来自位移和恒定角加速度的角速度	$$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ omega_ {0} t +\ frac {1} {2}\ alpha t^ {2}$$
角速度的变化	$$\ omega_ {f} ^ {2} =\ omega_ {0} ^ {2} + 2a (\ Delta\ theta)$$
总加速度	$$\ vec {a} =\ vec {a} _ {c} +\ vec {a} _ {t}$$
旋转动能	$$K =\ frac {1} {2}\ 左 (\ sum_ {j} m_ {j} r_ {j} ^ {2}\ 右)\ omega^ {2}$$
惯性矩	$$I =\ sum_ {j} m_ {j} r_ {j} ^ {2}$$
以刚体惯性矩表示的旋转动能	$$K =\ frac {1} {2} 我\ omega^ {2}$$
连续物体的惯性矩	$$I =\ int r^ {2} dm$$
平行轴定理	$$I_ {平行轴} = I_ {初始} + md^ {2}$$
复合物体的惯性矩	$$I_ {total} =\ sum_ {i} I_ {i}$$
扭矩矢量	$$\ vec {\ tau} =\ vec {r}\ times\ vec {F}$$
扭矩的大小	$$|\ vec {\ tau} | = r_ {\ perp} F$$
总扭矩	$$\ vec {\ tau} _ {net} =\ sum_ {i} |\ vec {\ tau} _ {i} |$$
牛顿第二旋转定律	$$\ sum_ {i}\ tau_ {i} = 我\ alpha$$
通过扭矩完成增量作业	$$dw =\ 左 (\ sum_ {i}\ tau_ {i}\ 右) d\ theta$$
工作能量定理	$$W_ {AB} = K_ {B}-K_ {A}$$
由净力完成的旋转工作	$$W_ {AB} =\ int_ {\ theta_ {A}} ^ {\ theta_ {B}}\ 左 (\ sum_ {i}\ tau_ {i}\ 右) d\ theta$$
旋转功率	$$P =\ tau\ omega$$

摘要

10.1 旋转变量

• 旋转物体的角度位置$\theta$是物体在固定坐标系中旋转的角度，固定坐标系用作参照系。
• 旋转物体绕固定轴的角速度定义为$\omega$ (rad/s)，即以弧度每秒为单位的物体的旋转速率。 旋转物体的瞬时角速度$\omega = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{d \theta}{dt}$是相对于角位置时间的导数$\theta$，通过在平均角速度中取极限$\Delta$ t → 0 得出$\bar{\omega} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$。 角速度通过关系 v _t = r 将 v _t 与旋转体上某个点的切向速度联系起来$\omega$，其中 r 是该点的半径，v _t 是给定点的切向速度。
• 角速度$\vec{\omega}$是使用右手法则得出的。 如果手指在绕固定轴的旋转方向卷曲，则拇指指向的方向$\vec{\omega}$（参见图 10.5）。
• 如果系统的角速度不恒定，则系统具有角加速度。 给定时间间隔内的平均角加速度是该时间间隔内角速度的变化$\bar{\alpha} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}$。 瞬时角加速度是角速度的时间导数$\alpha = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{d \omega}{dt} = \frac{d^{2} \theta}{dt^{2}}$。 角加速度$\vec{\alpha}$是通过定位角速度来找到的。 如果旋转体的旋转速率正在降低，则角加速度的方向与相反$\vec{\omega}$。 如果旋转速率增加，则角加速度的方向与相同$\vec{\omega}$。
• 点在距离旋转轴半径处的切向加速度是角加速度乘以该点的半径。

10.2 以恒定角加速度旋转

• 旋转运动学描述了旋转角度（角位置）、角速度、角加速度和时间之间的关系。
• 对于恒定的角加速度，角速度呈线性变化。 因此，在给定时间段内，平均角速度为初始角速度加上最终角速度的 1/2： $$\ bar {\ omega_} =\ frac {\ omega_ {0} +\ omega_ {f}} {2}\ ldotp$$
• 我们使用图形分析来找到具有恒定角加速度的固定轴旋转的解决方案。 从关系中$\omega = \frac{d \theta}{dt}$，我们发现角速度下的面积与角速度的对比 时间曲线给出角位移，$\theta_{f} - \theta_{0} = \Delta \theta = \int_{t_{0}}^{t} \omega (t)dt$。 使用恒定角加速度的运动学方程对图形分析结果进行了验证。 同样，从那以后$\alpha = \frac{d \omega}{dt}$，角加速度下的面积-vs. -time graph 给出了角速度的变化：$\omega{f} - \omega{0} = \Delta \omega= \int_{t_{0}}^{t} \alpha (t)dt$。

10.3 关联角度量和平移量

• 线性运动学方程有其旋转对应方程，因此存在映射 x →$\theta$、v →$\omega$、a →$\alpha$。
• 进行均匀圆周运动的系统具有恒定的角速度，但距离旋转轴 r 处的点具有线性向心加速度。
• 进行非均匀圆周运动的系统具有角加速度，因此在距离旋转轴线 r 的点处既具有线性向心加速度，又具有线性切向加速度。
• 总线性加速度是向心加速度向量和切向加速度向量的矢量和。 由于圆周运动的向心和切向加速度向量彼此垂直，因此总线性加速度的大小为$|\vec{a}| = \sqrt{a_{c}^{2} + a_{t}^{2}}$。

10.4 惯性矩和旋转动能

• 旋转动能是旋转刚体或粒子系统的旋转动能，由以下公式给出$K = \frac{1}{2} I \omega^{2}$，其中 I 是刚体或粒子系统的惯性矩或 “旋转质量”。
• 绕固定轴旋转的点粒子系统的惯性矩为$I = \sum_{j} m_{j} r_{j}^{2}$，其中 m _j 是点粒子的质量，r _j 是点粒子到旋转轴的距离。 由于 r ² 项，惯性矩随着到固定旋转轴距离的平方而增加。 惯性矩是线性运动中质量的旋转对应物。
• 在既旋转又平移的系统中，如果没有非保守力量在起作用，则可以使用机械能守恒。 然后，总机械能被守恒，是旋转动能和平移动能与引力势能之和。

10.5 计算惯性矩

• 惯性矩可以通过将构成物体的每个 “质量块” 相加或积分乘以每个 “质量块” 到轴的距离的平方来得出。 在积分形式中，惯性矩为$I = \int r^{2} dm$。
• 当物体的质量离旋转轴更远时，惯性矩会更大。
• 一旦知道物体是平行轴，就有可能找到物体围绕新旋转轴的惯性矩。 这称为平行轴定理，由 I p _arall-axis = I _质心 + md ² 给出，其中 d 是从初始轴到平行轴的距离。
• 复合物体的惯性矩只是构成复合对象的每个单独物体的惯性矩之和。

10.6 扭矩

• 绕固定轴扭矩的大小是通过找到杠杆臂到施加力的点并使用关系$|\vec{\tau}|$ = r _$\perp$F 来计算的，其中 r _$\perp$是从轴到力向量所在线的垂直距离。
• 扭矩的标志是使用右手法则找到的。 如果页面是包含$\vec{r}$和的平面$\vec{F}$，则$\vec{r} \times \vec{F}$对于正扭矩，则不在页面中，对于负扭矩，则进入页面。
• 净扭矩可以通过将围绕给定轴的各个扭矩相加得出。

10.7 牛顿第二旋转定律

• 牛顿的第二旋转定律说$\sum_{i} \tau_{i} = I \alpha$，旋转系统上绕固定轴的扭矩之和等于惯性矩和角加速度的乘积。 这是牛顿线性运动第二定律的旋转模拟。
• 在牛顿第二旋转定律的矢量形式中，扭矩向$\vec{\tau}$量的方向与角加速度的方向相同$\vec{\alpha}$。 如果旋转系统的角加速度为正，则系统上的扭矩也为正；如果角加速度为负，则扭矩为负。

10.8 旋转运动的功率和功率

• 绕固定轴旋转刚体时的增量功率 dW 是围绕该轴的扭矩乘以增量角度 d 的总和$\theta$。
• 使刚体绕固定轴旋转一个角度所完成$\theta$的总工作量是角位移上积分的扭矩之和。 如果扭矩是 β 函数的常数，则 W _AB =$\tau$ ($\theta_{B} − \theta_{A}$)。
• 工作能定理将所做的旋转功与旋转动能的变化联系起来：W _AB = K _B − K _A 其中$K = \frac{1}{2} I \omega^{2}$。
• 传递给绕固定轴旋转的系统的功率是扭矩乘以角速度 P =$\tau \omega$。

贡献者和归因

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