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10.E：固定轴旋转简介（练习）

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    概念性问题

    10.1 旋转变量

    1. 墙上挂着一个时钟。 当你看的时候，二手的角速度矢量的方向是什么？
    2. 墙上时钟秒针的角加速度值是多少？
    3. 一根棒球棍在挥动。 球棒上的所有点都有相同的角速度吗？ 同样的切线速度？
    4. 当你从顶部观察时，柜台上的搅拌机刀片正在顺时针旋转。 如果搅拌机的速度更快，刀片的角加速度是哪个方向？

    10.2 以恒定角加速度旋转

    1. 如果刚体具有恒定的角加速度，那么就时间变量而言，角速度的函数形式是什么？
    2. 如果刚体具有恒定的角加速度，那么角位置的函数形式是什么？
    3. 如果刚体的角加速度为零，那么角速度的函数形式是什么？
    4. 两端均绑有质量的无质量系绳绕固定轴线旋转，穿过中心。 如果角速度恒定，系绳/质量组合的总加速度能否为零？

    10.3 关联角度量和平移量

    1. 解释为什么向心加速度会改变圆周运动中的速度方向，但不会改变其幅度。
    2. 在圆周运动中，切向加速度可以改变速度的大小，但不能改变其方向。 解释你的答案。
    3. 假设一块食物在旋转的微波炉盘的边缘。 当：（a）板开始更快旋转时，它会经历非零切向加速度、向心加速度还是两者兼而有之？ (b) 板以恒定角速度旋转？ (c) 盘子减速到停顿了？

    10.4 惯性矩和旋转动能

    1. 如果另一颗与地球大小相同的行星与地球一起进入绕太阳的轨道会怎样。 系统的惯性矩会增加、减少还是保持不变？
    2. 固体球体以恒定的旋转速度绕轴旋转，穿过其中心。 另一个具有相同质量和半径的空心球体以相同的旋转速度绕其轴线旋转，穿过中心。 哪个球体的旋转动能更大？

    10.5 计算惯性矩

    1. 如果孩子走向旋转木马的中心，惯性矩会增加还是减少？
    2. 铁饼投掷者手里拿着铁饼旋转，然后再放手。 (a) 释放铁饼后他的惯性矩会如何变化？ (b) 在计算铁饼投掷者和铁饼的惯性矩时，什么才是好的近似值？
    3. 增加螺旋桨上的叶片数量会增加还是减少其惯性矩，为什么？
    4. 长杆绕轴线旋转穿过垂直于其长度的一端的惯性矩为\(\frac{mL^{2}}{3}\)。 为什么这个惯性矩比你在杆的质心位置（at\(\frac{L}{2}\)）旋转一个点质量 m 时要大（也就是这样\(\frac{mL^{2}}{4}\)）
    5. 为什么质量为 M 和半径 R 的圈环的惯性矩大于质量和半径相同的圆盘的惯性矩？

    10.6 扭矩

    1. 哪三个因素会影响相对于特定枢轴点的力所产生的扭矩？
    2. 举一个小力施加大扭矩的例子。 再举一个例子，其中大力施加的扭矩很小。
    3. 在减少赛车的质量时，最大的好处是减少轮胎和轮圈的质量。 为什么这能让赛车手获得比同样减少自行车车架质量更高的加速度？
    4. 单力能否产生零扭矩？
    5. 一组力的净扭矩是否为零，净力不为零？
    6. 一组力的净力能否为零，净扭矩不为零？
    7. 在表情里\(\vec{r} \times \vec{F}\)能\(|\vec{r}|\)比杠杆臂还要小吗？ 它能等同于杠杆臂吗？

    10.7 牛顿第二旋转定律

    1. 如果你要用恒定的力停止旋转的车轮，你会在方向盘上的哪个位置施加力来产生最大的负加速度？
    2. 一根杆绕一端旋转。 对它施加了两种力\(\vec{F}\)。\(− \vec{F}\) 在什么情况下钓竿不会旋转？

    问题

    10.1 旋转变量

    1. 计算地球的角速度。
    2. 一位田径明星在 45 秒内在 400 米的环形赛道上跑了 400 米的比赛。假设速度恒定，他的角速度是多少？
    3. 车轮以 2.0 x 10 3 转/分钟的恒定速率旋转。 (a) 它的角速度（以弧度每秒为单位）是多少？ (b) 它在 10 秒内会转向什么角度？ 用弧度和度表示解。
    4. 粒子沿半径为 1.5 m 的圆移动 3.0 m。(a) 它通过什么角度旋转？ (b) 如果粒子在 1.0 秒内以恒定速度跳行，那么它的角速度是多少？ (c) 它的加速度是多少？
    5. 光盘以 500 转/分钟转速旋转。 如果圆盘的直径为 120 mm，(a) 圆盘边缘点的切向速度是多少？ (b) 在离光盘中心一半的地方？
    6. 结果不合理。 当飞行员关闭发动机时，飞机的螺旋桨以 10 转/秒的速度旋转。 螺旋桨在 40 秒的时间段内以 2.0 rad/s 2 的恒定角速度降低其角速度。40 秒后螺旋桨的旋转速度是多少？ 这是合理的情况吗？
    7. 陀螺仪从 32.0 rad/s 的初始速率减速，速度为 0.700 rad/s 2。 休息需要多长时间？
    8. 起飞时，无人机（无人驾驶飞行器）上的螺旋桨以\(\omega\) = (25.0t) rad/s 的速率将其角速度从静止状态开始增加 3.0 秒，其中 t 以秒为单位测量。 (a) t = 2.0 秒时螺旋桨的瞬时角速度是多少？ (b) 角加速度是多少？
    9. 从时间 t = 0 开始，杆的角度位置变化为 20.0t 2 弧度。 杆上有两个珠子，如下图所示，一个距离旋转轴 10 厘米，另一个距离旋转轴 20 厘米。 (a) t = 5 s 时棒的瞬时角速度是多少？ (b) 拉杆的角加速度是多少？ (c) t = 5 秒时珠子的切向速度是多少？ (d) t = 5 s 时珠子的切向加速度是多少？ (e) t = 5 s 时珠子的向心加速度是多少？

    图是一张逆时针旋转的杆的图。 杆上有两个珠子，一个在距离旋转轴 10 厘米处，另一个距离旋转轴 20 厘米。

    10.2 以恒定角加速度旋转

    1. 车轮的恒定角加速度为 5.0 rad/s 2。 从静止开始，它会通过 300 rad。 (a) 它的最终角速度是多少？ (b) 它穿过 300 弧度需要多长时间？
    2. 在 6.0 秒的时间间隔内，具有恒定角加速度的飞轮会通过 500 弧度，获得的角速度为 100 rad/s。(a) 6.0 秒开始时的角速度是多少？ (b) 飞轮的角加速度是多少？
    3. 旋转刚体的角速度在 120 秒内从 500 转/分钟增加到 1500 转/分钟。(a) 物体的角加速度是多少？ (b) 在这 120 秒内它会转向什么角度？
    4. 飞轮在旋转 40 圈时从 600 转/分钟减速至 400 转/分钟。 (a) 飞轮的角加速度是多少？ (b) 在40次革命中经过了多长时间？
    5. 半径为 1.0 m 的车轮旋转，角加速度为 4.0 rad/s 2。 (a) 如果车轮的初始角速度为 2.0 rad/s，则 10 秒后的角速度是多少？ (b) 它在 10 秒间隔内通过什么角度旋转？ (c) 在 10 秒间隔结束时，车轮轮缘上某个点的切向速度和加速度是多少？
    6. 直径为 50 cm 的垂直轮从静止开始，以 5.0 rad/s 2 的恒定角加速度绕固定轴逆时针旋转。 (a) t = 10 s 时最初位于车轮底部的点在哪里？ (b) 此时该点的线性加速度是多少？
    7. 半径为 10 cm 的圆盘的恒定角加速度为 1.0 rad/s 2；t = 0 时，其角速度为 2.0 rad/s。(a) 在 t = 5.0 秒时确定圆盘的角速度。 (b) 在这段时间内它旋转的角度是多少？ (c) 圆盘上某点在 t = 5.0 s 时的切向加速度是多少？
    8. 气垫船上风扇的角速度与时间的关系如下所示。 (a) 风扇叶片在前 8 秒内旋转的角度是多少？ (b) 使用运动学方程验证结果。

    图是一张逆时针旋转的杆的图。 杆上有两个珠子，一个在距离旋转轴 10 厘米处，另一个距离旋转轴 20 厘米。

    1. 一根长度为 20 厘米的杆的末端附有两个珠子。 带珠子的鱼竿从静止处开始旋转。 如果珠子要在 7 秒内具有 20 m/s 的切向速度，那么达到这个目标的杆的角加速度是多少？

    10.3 关联角度量和平移量

    1. 在高峰期，龙卷风的直径为60.0米，风速为500 km/h。 以每秒转数为单位的角速度是多少？
    2. 一个人站在以 2.5 rad/s 的速度旋转的旋转木马上。如果男鞋和旋转木马之间的静摩擦系数为\(\mu\) S = 0.5，那么他在不滑动的情况下能站在离旋转轴多远的地方？
    3. 超速离心机在 2.00 分钟内从静止状态加速到 100,000 rpm。 (a) 以 rad/s 2 为单位的平均角加速度是多少？ (b) 距离旋转轴 9.50 厘米的点的切向加速度是多少？ (c) 以 m/s 2 为单位的向心加速度是多少，全转速时该点的 g 倍数是多少？ (d) 距离超级离心机旋转轴线 9.5 厘米处的总行驶距离是多少？
    4. 风力涡轮机以 0.5 转/秒的速度逆时针旋转，并在 10 秒内减速至停止。其叶片长 20 米。 (a) 涡轮机的角加速度是多少？ (b) t = 0 s 时叶片尖端的向心加速度是多少？ (c) t = 0 s 时，叶片尖端的总线性加速度的大小和方向是多少？
    5. 什么是（a）角速度和（b）北纬 30° 地球表面某个点的线性速度假设地球半径为 6309 km。 (c) 您的线性速度在多大纬度为 10 m/s？
    6. 体重为 30 kg 的孩子坐在旋转木马的边缘，距离旋转木马旋转轴线 3.0 m。 旋转木马在 10 秒内从静止状态加速到 0.4 rev/s。如果孩子和旋转木马表面之间的静摩擦系数为 0.6，孩子会在 5 秒之前掉下来吗？
    7. 半径为 0.3 米的自行车车轮在 5 秒内从静止旋转到 3 转/秒。1.0 秒时车轮边缘的总加速度向量的大小和方向是多少？
    8. 半径为 1.0 m 的飞轮的角速度根据\(\omega\) (t) = 2.0t 而变化。 为 r = 1.0 m 绘制从 t = 0 到 3.0 s 的 c (t) 和 t (t)。分析这些结果以解释何时 a c >> a t 以及何时 a c << a t 代表飞轮上半径为 1.0 m 的点。

    10.4 惯性矩和旋转动能

    1. 点粒子系统如下图所示。 每个粒子的质量为 0.3 kg，它们都位于同一个平面上。 (a) 系统绕给定轴的惯性矩是多少？ (b) 如果系统以 5 rev/s 的速度旋转，它的旋转动能是多少？

    该图显示了 XYZ 坐标系。 三个粒子位于距离中心 20 厘米的 X 轴上、距离中心 60 厘米的 Y 轴和距离中心 40 厘米的 Z 轴上。

    1. (a) 计算地球在其轴线上的旋转动能。 (b) 地球在绕太阳的轨道上的旋转动能是多少？
    2. 如果 12 千克摩托车车轮的角速度为 120 rad/s，内半径为 0.280 m，外半径为 0.330 m，则计算 12 千克摩托车车轮的旋转动能。
    3. 棒球投手以前臂围绕肘关节旋转的动作以及其他动作来投球。 如果在距离关节0.480 m的距离处，球相对于肘关节的线性速度为20.0 m/s，而前臂的惯性矩为0.500 kg-m 2，那么前臂的旋转动能是多少？
    4. 潜水员在潜水时通过塞住四肢进入翻筋斗。 如果她的旋转动能为 100 J，而她在塔克中的惯性矩为 9.0 kg • m 2，那么她在翻筋斗期间的旋转速率是多少？
    5. 当螺旋桨掉落时，一架飞机正在 300 米高处降落。 飞机水平飞行速度为40.0 m/s。 螺旋桨的旋转速度为 20 转/秒，惯性矩为 70.0 kg • m 2，质量为 200 kg。 忽略空气阻力。 (a) 螺旋桨以什么平移速度撞击地面？ (b) 螺旋桨撞击时的旋转速度是多少？
    6. 如果上述问题中存在空气阻力，并且螺旋桨在撞击时的旋转动能降低30％，那么螺旋桨在撞击时的旋转速度是多少？
    7. 质量为 2 x 10 30 kg、半径为 10 km 的中子星以 0.02 秒的周期旋转。 它的旋转动能是多少？
    8. 由质量为 0.7 kg、半径为 10 cm 的旋转圆盘组成的电动砂光机以 15 转/秒的速度旋转。当涂在粗糙的木墙上时，旋转速度会降低 20%。 (a) 旋转盘的最终旋转动能是多少？ (b) 它的旋转动能减少了多少？
    9. 系统由一个质量为 2.0 kg、半径为 50 cm 的圆盘组成，其上安装了一个质量为 1.0 kg 的环形圆柱体，内半径为 20 cm，外半径为 30 cm（见下文）。 系统以 10 rev/s 的速度绕轴旋转穿过圆盘和环形圆柱体的中心。(a) 系统的惯性矩是多少？ (b) 它的旋转动能是多少？

    图中显示了一个半径为 50 cm 的圆盘，上面安装了一个内半径为 20 cm、外半径为 30 cm 的环形圆柱体

    10.5 计算惯性矩

    1. 踢足球时，踢球者会绕臀部关节旋转双腿。 腿的惯性矩为 3.75 kg • m 2，其旋转动能为 175 J. (a) 腿的角速度是多少？ (b) 如果下注者的鞋尖距离臀部关节 1.05 米，它的脚尖速度是多少？
    2. 使用平行轴定理，质棒 m 围绕下图所示轴的惯性矩是多少？

    图中显示了一个半径为 50 cm 的圆盘，上面安装了一个内半径为 20 cm、外半径为 30 cm 的环形圆柱体

    1. 通过直接积分找出前面问题中杆的惯性矩。
    2. 质量为 1.0 kg、长 2.0 m 的均匀杆可以绕一端自由旋转（见下图）。 如果杆相对于水平方向成60°的角度从静止状态中松开，则杆尖在通过水平位置时的速度是多少？

    该图显示了相对于水平方向以 60 度的角度脱离静止状态的杆。

    1. 摆锤由一根质量为 2 kg、长 1 m 的杆组成，一端有一个质量为 0.3 kg、半径为 20 cm 的实心球体（见下图）。 如果摆锤以 30° 的角度脱离静止状态，那么最低点的角速度是多少？

    图中所示的摆锤由一根质量为 2 kg、长 1 m 的杆组成，一端有一个质量为 0.3 kg、半径为 20 cm 的实心球体。 摆锤以 30 度的角度脱离静止状态。

    1. 允许半径为 10 cm 的实心球体绕轴自由旋转。 球体受到猛烈打击，因此其质心从下图所示的位置开始，速度为 15 cm/s。直径与垂直方向的最大角度是多少？

    左图显示了一个半径为 10 cm 的实心球体，它首先绕轴线自由旋转，然后在其质心受到猛烈打击。 右图是打击后同一个球体的图像。 直径与垂直方向形成的角度被标记为 theta。

    1. 通过将一根质量为 M 和长度为 L 的细棒在 L/3 处穿过杆的轴线直接积分来计算惯性矩，如下所示。 用平行轴定理检查你的答案。

    图中显示了一根围绕轴旋转的杆，该轴从一端以长度为1/3的长度从另一端穿过它的长度为2/3。

    10.6 扭矩

    1. 两个质量可以忽略不计、半径不同的飞轮连接在一起并绕公共轴旋转（见下文）。 半径为 30 cm 的较小飞轮上有一根拉力为 50 N 的绳索。 需要对连接半径为 50 cm 的较大飞轮的绳索施加什么拉力，这样组合就不会旋转？

    图中显示了两个不同半径的飞轮，它们结合在一起并围绕公共轴旋转。 对较小的飞轮施加 50 N 的力。 对较大的飞轮施加未知大小的力，并将其拉向相反的方向。

    1. 汽车上的气缸盖螺栓要用 62.0 n·m 的扭矩拧紧。如果机械师使用长度为 20 cm 的扳手，他必须对扳手末端施加什么垂直力才能正确拧紧螺栓？
    2. (a) 打开门时，在距离铰链 0.850 m 的距离处，以 55.0 N 的力垂直推动门。 相对于铰链，你施加的扭矩是多少？ (b) 推到与铰链相同的高度有关系吗？ 只有一对铰链。
    3. 拧紧螺栓时，在距离螺栓中心 0.140 m 的距离处，以 165 N 的力垂直推动扳手。 你施加了多少扭矩，单位是牛顿米（相对于螺栓的中心）？
    4. 为了防止滑轮旋转，必须在绳索上放置什么悬挂物（见下图）？ 无摩擦飞机上的质量为 5.0 kg。 滑轮的内半径为 20 厘米，外半径为 30 厘米。

    图中所示为滑轮，其中 5 kg 的质量以 45 度角停留在倾斜平面上，充当悬挂在空中的未知质量物体的配重。

    1. 简单的摆锤由一根长度为50厘米的无质量系绳和连接在另一端的1.0千克的小质量系绳组成。 当摆锤相对于垂直方向成40°的角度时，枢轴的扭矩是多少？
    2. 假设 F 1 = 3 N，F 2 = 2 N，F 3 = 3 N，F 4 = 1.8 N，计算出下图中原点页面外的 z 轴扭矩

    该图显示了 XY 坐标系。 力 F1 从位于坐标系中心的直线上的点施加，并指向右上角。 点距离原点 3 米，力 F1 指向右下角。 力 F2 是从位于 Y 轴的点施加的，距离坐标系中心 2 米。 力 F2 形成 30 度角，直线平行于 X 轴，指向左下角。 力 F3 从坐标系的中心施加，并指向左下角。 力 F4 从位于 X 轴的点施加，距离坐标系中心向右 2 米。 力 F2 形成 20 度角，直线平行于 Y 轴，指向左下角。

    1. 跷跷板的长度为 10.0 m，均匀的质量为 10.0 kg，并且与地面成了 30° 的角度（见下图）。 枢轴位于 6.0 m 处。为了让跷跷板几乎无法开始旋转，需要在凸起端垂直于跷跷板施加多大的力？

    该图显示了跷跷板。 跷跷板的一端靠在地面上，与之成30度角，另一端悬挂在空中。

    1. 摆锤由一根质量为1 kg、长度为1 m的杆组成，该杆与枢轴相连，另一端连接一个质量为0.5 kg，半径为30厘米的实心球体。 当摆锤相对于垂直方向成30°的角度时，枢轴的扭矩是多少？
    2. 升起吊桥需要 5.00 x 10 3 N • m 的扭矩（见下图）。 产生这种扭矩所需的张力是多少？ 如果角度\(\theta\)变大或变小，抬起吊桥会更容易吗？

    该图显示了长度为 6 米的吊桥。 以 30 度角向吊桥施加力。

    1. 长度为 3 m、质量为 2.0 kg 的水平梁的质量为 1.0 kg，宽度为 0.2 m，位于梁的末端（见下图）。 系统对墙壁支架的扭矩是多少？

    该图显示了与墙壁相连的水平梁。 光束的长度为 3 米，质量为 2.0 千克。 此外，光束末端的质量为1.0 kg，宽度为0.2 m。

    1. 为了在杆上产生大约 8.0\(\hat{k}\) N • m 原点的扭矩，必须沿着长度为 2.0 m 的 x 轴向杆端部施加什么力？
    2. 如果在位置为:\(\vec{r}\)= (−2.0\(\hat{j}\) + 4.0\(\hat{k}\)) m 的点施加力，则力原点 (5.0\(\hat{i}\) − 2.0\(\hat{i}\) + 1.0\(\hat{j}\)) N 的扭矩是多少？

    10.7 牛顿第二旋转定律

    1. 你有一块重量为 90.0 kg 的磨石（圆盘），半径为 0.340 米，以 90.0 rpm 的速度转动，然后用一把钢斧按向它，径向力为 20.0 N。(a) 假设钢和石头之间的动摩擦系数为 0.20，计算磨石的角加速度。 (b) 宝石在休息之前会转多少圈？
    2. 假设你对半径为 0.280 米、75.0 千克的磨石（实心圆盘）施加 180 N 的切线力。 (a) 施加的扭矩是多少？ (b) 假设相对摩擦力可以忽略不计，角加速度是多少？ (c) 如果在距离轴线 1.50 厘米处施加 20.0 N 的反向摩擦力，角加速度是多少？
    3. 从静止状态开始的飞轮（I = 50 kg • m 2）获得 200.0 rad/s 的角速度，同时受电机的恒定扭矩持续 5 秒。(a) 飞轮的角加速度是多少？ (b) 扭矩的大小是多少？
    4. 对绕旋转轴的惯性矩为 4.0 kg • m 2 的刚体施加恒定扭矩。 如果车轮从静止状态开始，在 10.0 秒内达到 20.0 rad/s 的角速度，则施加的扭矩是多少？
    5. 对砂轮（I = 20.0 kg • m 2）施加 50.0 N • m 的扭矩 20 秒。(a) 如果砂轮从静止状态开始，则移除扭矩后砂轮的角速度是多少？ (b) 施加扭矩时，车轮通过什么角度移动？
    6. 以 500.0 转速/分钟旋转的飞轮（I = 100.0 kg • m 2）在 2.0 分钟内因摩擦而停止。 飞轮上的摩擦扭矩是多少？
    7. 质量为 50.0 kg、直径 1.0 m 的均匀圆柱形砂轮由电动机开启。 轴承中的摩擦力可以忽略不计。 (a) 必须对车轮施加什么扭矩才能在 20 转中使其从静止状态变为 120 转/分钟？ (b) 与车轮的动摩擦系数为0.60的刀具以40.0 N的力垂直压在车轮上，电机必须提供多少扭矩才能保持车轮以恒定的角速度旋转？
    8. 假设地球诞生时，它没有旋转。 但是，在 6 天后施加均匀扭矩后，它以每天 1 转的速度旋转。 (a) 这6天内的角加速度是多少？ (b) 在此期间，对地球施加了什么扭矩？ (c) 在赤道处与地球相切的什么力会产生这种扭矩？
    9. 惯性矩滑轮 2.0 kg • m 2 安装在墙上，如下图所示。 灯串缠绕在滑轮的两个周长上，并附有砝码。 （a）滑轮的角加速度和（b）砝码的线性加速度是多少？ 假设以下数据：r 1 = 50 cm，r 2 = 20 cm，m 1 = 1.0 kg，m 2 = 2.0 千克。

    图中显示了安装在墙上的滑轮。 灯串缠绕在滑轮的两个周长上，并附有砝码。 较小的重量 m1 附着在半径 r1 的外周上。 较大的重量 M2 附着在半径 r2 的内周上。

    1. 质量为 3 kg 的块沿着倾斜平面以 45° 的角度向下滑动，在斜坡顶部将无质量系绳连接到质量为 1 kg、半径 0.5 m 的滑轮上（见下图）。 滑轮可以近似为圆盘。 飞机上的动摩擦系数为 0.4。 区块的加速度是多少？

    该图显示了一个方块，该方块以 45 度的角度沿着倾斜的平面滑下，并用系绳连接到滑轮上。

    1. 当方块掉落时，下面显示的购物车在桌面上移动。 手推车的加速度是多少？ 忽略摩擦力，假设以下数据：m 1 = 2.0 kg，m 2 = 4.0 kg，I = 0.4 kg • m 2，r = 20 cm。

    图中显示了安装在桌子上的滑轮。 滑轮的一侧安装了质量为m2的推车。 重物 m1 附着在另一侧并悬挂在空中。

    1. 质量和长度均匀的杆由两串质量可以忽略不计的串垂直支撑，如下所示。 (a) 绳子被剪掉后，摇杆自由端的线性加速度是多少？ (b) 在棍子中间？

    图中显示了一根由两根连接在其末端相连的绳子垂直支撑的杆。 其中一根绳子是用剪刀剪掉的。

    1. 一根质量为 0.2 kg、长 L = 0.5 m 的细棒固定在质量为 M = 2.0 kg、半径 R = 0.3 m 的金属盘的边缘上。摇杆可以绕水平轴自由旋转，穿过其另一端（见下图）。 (a) 如果组合是在摇杆水平的情况下释放的，那么当摇杆垂直时，圆盘中心的速度是多少？ (b) 释放摇杆的那一刻，圆盘中心的加速度是多少？ (c) 摇杆在穿过垂直方向的那一刻？

    图 A 显示了连接到金属磁盘边缘的细棒。 图 B 显示了一根细棒，它附着在金属盘的边缘，绕水平轴旋转穿过其另一端。

    10.8 旋转运动的功率和功率

    1. 风力涡轮机以 20 转/分钟旋转。 如果其功率输出为 2.0 兆瓦，则风力在涡轮机上产生的扭矩是多少？
    2. 陶轮上半径为 20 cm 的粘土圆柱以 10 转/秒的恒定速率旋转。陶艺家用双手对粘土施加 10 N 的力，双手和粘土之间的摩擦系数为 0.1。 陶艺家必须向轮子传递多少力量才能保持其恒定速度旋转？
    3. 均匀的圆柱形磨石的质量为 10 kg，半径为 12 cm。 (a) 磨石以 1.5 x 10 3 转/分钟旋转时的旋转动能是多少？ (b) 研磨石的马达关闭后，刀片被压在磨石的外缘上，垂直力为 5.0 N。磨石和刀片之间的动摩擦系数为 0.80。 使用工作能量定理来确定磨石在停止之前转了多少圈。
    4. 质量为 500 kg、半径 0.25 m 的均匀圆盘安装在无摩擦轴承上，因此它可以绕垂直轴自由旋转，穿过其中心（见下图）。 一根绳子缠绕在磁盘的边缘，然后用 10 N 的力拉动。(a) 从静止开始，磁盘完成了三圈时，力做了多少工作？ (b) 确定力引起的扭矩，然后计算磁盘完成三圈时该扭矩所完成的工作？ (c) 那一刻的角速度是多少？ (d) 当时部队的功率输出是多少？

    该图显示了一个围绕垂直轴旋转穿过其中心的统一圆盘。 一根绳子缠绕在磁盘的边缘上，然后用 10 N 的力拉动。

    1. 螺旋桨在 6.0 秒的时间内通过 2.0 x 10 3 N • m 的恒定扭矩从静止状态加速到 1000 转/分钟的角速度。(a) 螺旋桨的惯性矩是多少？ (b) 螺旋桨开始旋转 3.0 秒后能获得什么动力？
    2. 质量为 1.0 kg、半径 0.5 m 的球体连接到长度为 3.0 m 的无质量杆的末端。棒绕球体另一端的轴旋转（见下文）。 系统以恒定的 400 转/分钟绕轴水平旋转。 在真空中以这种角速度旋转后，会引入空气阻力，并在球体上产生与运动方向相反的 0.15 N 的力。 引入空气阻力后 100.0 秒内空气阻力为系统提供的功率是多少？

    该图显示了附着在杆末端的球体。 棒绕位于球体另一端的轴线旋转。

    1. 长度为 L 和质量 M 的均匀杆垂直固定，一端放在地板上，如下所示。 当杆被松开时，它会绕其下端旋转，直到它撞到地板上。 假设杆的下端没有滑动，那么上端撞到地板时的线性速度是多少？

    图中显示了一根长度为 L 的均匀杆，质量为 M 的杆垂直固定，一端放在地板上。 当杆被松开时，它会绕其下端旋转，直到它撞到地板上。

    1. 健身房中的运动员以踏板移动 60 转/分钟的速度向自行车的踏板施加 50 N 的恒定力。 踏板臂的长度为 30 厘米。 运动员传递给自行车的力量是多少？
    2. 在 40° 无摩擦倾斜平面上的 2 千克方块在质量为 1 kg、半径为 20 cm 的滑轮上附有一根绳索（见下图）。 (a) 方块在飞机上的加速度是多少？ (b) 滑轮上的绳索做了什么？

    该图显示了倾斜平面上的 2 千克方块，角度为 40 度，系绳连接到质量为 1 kg、半径为 20 cm 的滑轮上。

    1. 质量为 m 1 和 m 2 的小体附着在长度为 L 和 M 的细刚性杆的两端上。杆的安装使其可以绕垂直轴在水平面上自由旋转（见下文）。 旋转轴与 m 1 之间的距离应该是多少，这样就需要最少的工作量来设置杆以角速度旋转\(\omega\)？

    图中显示了一根长度为 L 的细棒，其质量为 m1 和 m2，两端相连。 杆围绕穿过它的轴旋转，距离 m1 的 d 距离，距离 m2 的 L-d 距离。

    其他问题

    1. 骑自行车的人骑行时自行车的车轮旋转速度为 3.0 rev/s。如果骑自行车的人刹车使车轮的旋转速度以 0.3 rev/s 2 的速度降低，那么骑自行车的人需要多长时间才能完全停下来？
    2. 计算地球绕太阳轨道运动的角速度。
    3. 以 33 转\(\frac{1}{3}\) /分钟转速旋转的留声机转盘会减速并在 1.0 分钟后停止。 (a) 假设转盘是恒定的，它的角加速度是多少？ (b) 转盘停止时能转多少圈？
    4. 借助绳子，在恒定角加速度下，陀螺仪在 0.40 秒内从静止状态加速到 32 rad/s。 (a) 它在 rad/s 2 中的角加速度是多少？ (b) 在此过程中它经历了多少次革命？
    5. 假设一块灰尘掉到一张光盘上。 如果 CD 的旋转速度为 500 rpm，而灰尘距离中心 4.3 cm，则灰尘在 3 分钟内传播的总距离是多少？ （忽略由于 CD 旋转而产生的加速。）
    6. 点粒子系统以 4 rev/s 的速度绕固定轴旋转。粒子相对于彼此是固定的。 质量和到点粒子轴的距离为 m 1 = 0.1 kg、r 1 = 0.2 m、m 2 = 0.05 kg、r 2 = 0.4 m、m 3 = 0.5 kg、r 3 = 0.01 m。(a) 系统的惯性矩是多少？ (b) 系统的旋转动能是多少？
    7. 根据以下信息计算滑冰运动员的惯性矩。 (a) 60.0 千克的滑冰运动员近似为半径为 0.110 米的圆柱体。 (b) 伸出双臂的滑冰运动员近似于一个重量为52.5千克、半径为0.110米的圆柱体，有两只0.900米长的手臂，每只为3.75千克，像杆围绕其末端旋转一样直接从圆柱体伸出。
    8. 长度为 1.0 m、质量为 6.0 kg 的棍棒可以绕水平轴自由旋转，穿过中心。 两端附着重量为4.0和2.0 kg的小物体（见下图）。 摇杆从水平位置松开。 摇杆在垂直方向摆动时的角速度是多少？

    图 A 显示水平位置有一根 1 厘米长的细棒。 棍子的两端连接有2.0千克和4.0千克的重量。 图 B 显示了在松开后摆动到垂直位置的同一根摇杆。

    1. 摆锤由一根长度为 2 m、质量 3 kg 的杆组成，一端附着一个质量为 1 kg、半径 0.3 m 的实心球。 旋转轴如下所示。 如果钟摆以 30° 的角度脱离静止状态，其最低点的角速度是多少？

    图中显示了一个摆锤，它由一根长度为 2 m 的杆组成，一端附有质量块。

    1. 计算围绕轴穿过 O 并垂直于页面平面的 40N 力的扭矩，如下所示。

    图中显示了一根长 4 m 的杆。 在杆的一端以 37 度角施加 40 N 的力。

    1. 两个孩子在玩耍时推门的对面。 两者都水平推动，垂直于门。 一个孩子在距离铰链 0.600 米的距离处以 17.5 N 的力推动，第二个孩子在 0.450 米的距离处推动。第二个孩子必须施加什么力量才能阻止门移动？ 假设摩擦力可以忽略不计。
    2. 20\(\hat{j}\) N 的力在\(\vec{r}\) = (4.0\(\hat{i}\) − 2.0\(\hat{j}\)) m 处施加。这种力对原点的扭矩是多少？ 119。 一台汽车发动机可以产生 200 N • m 的扭矩。 根据以下信息，计算如果将该扭矩的95.0％施加到汽车的驱动轴、车轴和后轮上，则产生的角加速度。 汽车是悬挂的，这样车轮就可以自由转动。 每个轮子就像一个 15.0 千克的圆盘，半径为 0.180 米。 每个轮胎的壁就像一个 2.00 千克的环形环，其内半径为 0.180 m，外半径为 0.320 m。每个轮胎的胎面就像一个半径为 0.330 m 的 10.0 千克的箍。14.0 千克的车轴就像一根半径为 2.00 厘米的杆。 30.0 千克的传动轴就像一根半径为 3.20 厘米的杆。
    3. 质量为 50 kg、半径 0.8 m 的磨石由马达保持 4.0 转/秒的恒定旋转速度，而刀具以 5.0 N 的力压在边缘上。磨石和刀片之间的动摩擦系数为 0.8。 电机为使磨石保持恒定旋转速度而提供的功率是多少？

    挑战问题

    1. 旋转刚体的角加速度由\(\alpha\) = (2.0 − 3.0t) rad/s 2 给出。 如果身体在 t = 0 时从静止处开始旋转，(a) 角速度是多少？ (b) 角度位置？ (c) 它在 10 秒内会旋转什么角度？ (d) 垂直于旋转轴表示 t = 0 处为 0° 的向量在 t = 10 s 处在哪里？
    2. 在上个世纪，地球日增加了 0.002 秒。 如果地球周期的这种增加是恒定的，那么地球需要多长时间才能休息？
    3. 质量为 m、半径 R 和面积 A 的圆盘具有表面质量密度\(\sigma = \frac{mr}{AR}\)（参见下图）。 圆盘绕穿过中心的轴的惯性矩是多少？

    该图显示了一个半径为 r 的圆盘，该圆盘围绕穿过中心的轴旋转。

    1. Rotation Man 的大敌佐尔奇决定通过向赤道和平行施加相反的力量，将地球的自转速度减慢到每 28.0 小时一次。 Rotation Man 并不立即担心，因为他知道 Zorch 只能施加 4.00 x 10 7 N 的力（略大于土星五号火箭的推力）。 Zorch 必须用这支力量推动多久才能实现自己的目标？ （这段时间让 Rotation Man 有时间投入其他恶棍身上。）
    2. 绳索缠绕在半径为 0.25 m 的实心圆柱的边缘上，40 N 的恒定力施加在所示的绳索上，如下图所示。 气缸安装在无摩擦轴承上，其惯性矩为 6.0 kg • m 2。 (a) 使用功能定理计算拆除 5.0 米绳索后圆柱体的角速度。 (b) 如果 40-N 的力被 40-N 的重量取代，那么 5.0 米的绳索解开后，圆柱体的角速度是多少？

    该图显示了缠绕在实心圆柱体边缘上的绳索。 40 N 的恒定力施加在绳索上。 该图显示了缠绕在实心圆柱体边缘上的绳索。 40 N 的重物连接到电线上并悬挂在空中。

    贡献者和归因

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