10.9：旋转运动的功率和功率

学习目标

• 使用工作能量定理分析旋转，以找出系统绕固定轴旋转以获得有限角位移时在系统上完成的工作
• 使用工作能量定理求解旋转刚体的角速度
• 在给定施加的扭矩和角速度的情况下，找出传递给旋转刚体的功率
• 汇总旋转变量和方程并将它们与对应的平移变量和方程关联起来

到目前为止，在本节中，我们已经广泛讨论了围绕固定轴旋转刚体的运动学和动力学。 在最后一个小节中，我们在围绕固定轴旋转的背景下定义功率和功率，这既适用于物理学，也适用于工程。 关于功和力量的讨论使我们对旋转运动的处理几乎完成，但滚动运动和角动量除外，Angular Moment um 中对此进行了讨论。 我们在本小节开始时讨论了旋转的工作能量定理。

为旋转运动而努力

既然我们已经确定了如何计算旋转刚体的动能，我们可以继续讨论在绕固定轴旋转的刚体上所做的工作。 图中$\PageIndex{1}$显示了一个刚体，该刚体在力的影响下$\theta$从 A 旋转到 B 的角度 d$\vec{F}$。 外力$\vec{F}$施加到点 P，其位置为$\vec{r}$，刚体被限制为绕垂直于页面并通过 O 的固定轴旋转。旋转轴是固定的，因此向量在半径为 r 的圆中$\vec{r}$移动，向量 d$\vec{s}$垂直于$\vec{r}$。

图$\PageIndex{1}$：通过$\vec{F}$施加于 P 点的外力的作用，刚体在 A 到 B 的角度 d$\theta$ 上旋转

我们有

$$\vec{s} = \vec{\theta} \times \vec{r} \ldotp$$

因此，

$$d \vec{s} = d (\vec{\theta} \times \vec{r}) = d \vec{\theta} \times \vec{r} + d \vec{r} \times \vec{\theta} = d \vec{\theta} \times \vec{r} \ldotp$$

请注意 d 之所以$\vec{r}$为零，$\vec{r}$是因为从原点 O 到点 P 固定在刚体上。使用 work 的定义，我们得到

$$W = \int \sum \vec{F}\; \cdotp d \vec{s} = \int \sum \vec{F}\; \cdotp (d \vec{\theta} \times \vec{r}) = \int d \vec{\theta}\; \cdotp (\vec{r} \times \sum \vec{F})$$

我们在哪里使用了身份$\vec{a}\; \cdotp (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b}\; \cdotp (\vec{c} \times \vec{a})$。 请注意$(\vec{r} \times \sum \vec{F}) = \sum \vec{\tau}$，我们得出了在刚体上完成的旋转工作的表达式：

$$W = \int \sum \vec{\tau}\; \cdotp d \vec{\theta} \ldotp \label{10.27}$$

在刚体上完成的总功率是在刚体旋转角度上积分的扭矩之和。 渐进的工作是

$$dW = \left(\sum_{i} \tau_{i}\right) d \theta \label{10.28}$$

我们在方程式\ ref {10.27} 中取了点积，只留下沿旋转轴的扭矩。 在刚体中，所有粒子都以相同的角度旋转；因此，每种外力的功效等于扭矩乘以普通增量角度 d$\theta$。 该量$\left(\sum_{i} \tau_{i}\right)$是由于外力而对身体造成的净扭矩。

同样，通过将构成刚体的每个粒子的动能相加，我们发现了围绕固定轴旋转的刚体的动能。 由于工作能定理 W _i =$\Delta$ K _i 对每个粒子都有效，因此它对粒子和整个身体的总和有效。

旋转的工作能量定理

围绕固定轴旋转的刚体的工作能定理是

$$W_{AB} = K_{B} - K_{A} \label{10.29}$$

哪里

$$K = \frac{1}{2} I \omega^{2}$$

而用净力将物体从 A 点旋转到 B 点所完成的旋转工作是

$$W_{AB} = \int_{\theta_{A}}^{\theta_{B}} \left(\sum_{i} \tau_{i}\right) d \theta \ldotp \label{10.30}$$

我们给出了在分析旋转运动时使用这个方程的策略。

问题解决策略：旋转运动的工作能量定理

1. 确定身体上的力并绘制自由体图。 计算每种力的扭矩。
2. 用每一个扭矩计算身体旋转期间完成的工作。
3. 应用工作能量定理，将对人体所做的净功等同于旋转动能的变化

让我们看两个例子，并使用工作能量定理来分析旋转运动。

示例 10.17：旋转功率和能量

12.0 N • m 扭矩施加到绕固定轴旋转且惯性矩为 30.0 kg • m ² 的飞轮上。 如果飞轮最初处于静止状态，则经过八圈后的角速度是多少？

策略

我们运用工作能量定理。 我们从问题描述中知道扭矩是多少，飞轮的角位移是多少。 然后我们可以求解最终的角速度。

解决方案

飞轮旋转八圈，即 16$\pi$ 弧度。 扭矩是恒定的，因此可以超出方程\ ref {10.30} 中的积分，所完成的工作是

$$W_{AB} = \tau (\theta_{B} - \theta_{A}) \ldotp$$

我们运用工作能量定理：

$$W_{AB} = \tau (\theta_{B} - \theta_{A}) = \frac{1}{2} I \omega_{B}^{2} - \frac{1}{2} I \omega_{A}^{2} \ldotp$$

使用$\tau$ = 12.0 N • m、$\theta_{B} - \theta_{A}$ = 16.0$\pi$ rad、I = 30.0 kg • m ² 和$\omega_{A}$ = 0，我们有

$$(12.0\; N\; \cdotp m)(16.0 \pi\; rad) = \frac{1}{2} (30.0\; kg\; \cdotp m^{2})(\omega_{B}^{2}) - 0 \ldotp$$

因此，

$$\omega_{B} = 6.3\; rad/s \ldotp$$

这是飞轮旋转八圈后的角速度。

意义

工作能定理提供了一种分析旋转运动的有效方法，将扭矩与旋转动能联系起来。

示例 10.18：旋转工作-滑轮

图$\PageIndex{2}$中缠绕在滑轮周围的绳子以 50 N$\vec{F}$ 的恒定向下力拉动。滑轮的半径 R 和惯性矩 I 分别为 0.10 m 和 2.5 x 10 ⁻³ kg • m ²。 如果绳子没有滑动，那么 1.0 m 的绳子解开后，滑轮的角速度是多少？ 假设滑轮从静止处开始。

图$\PageIndex{2}$：(a) 一根绳子缠绕在半径为 R 的滑轮上。(b) 自由体图。

策略

看看自由体图，我们可以看到$\vec{B}$，滑轮轴承上的力，以及滑轮的重量 M$\vec{g}$ 都不会围绕旋转轴施加扭矩，因此在滑轮上不起作用。 当滑轮旋转某个角度$\theta$时，$\vec{F}$作用距离为 d = R$\theta$。

解决方案

由于由此产生的扭矩$\vec{F}$具有幅度$\tau$ = RF，因此我们有

$$W = \tau \theta = (FR) \theta = FD \ldotp$$

如果弦上的力在 1.0 m 的距离内起作用，那么从工作能量定理来看，

$$\begin{split} W_{AB} & = K_{B} - K_{A} \\ Fd & = \frac{1}{2} I \omega^{2} - 0 \\ (50.0\; N)(1.0\; m) & = \frac{1}{2} (2.5 \times 10^{-3}\; kg\; \cdotp m^{2}) \omega^{2} \ldotp \end{split}$$

求解$\omega$，我们得到

$$\omega = 200.0\; rad/s \ldotp$$

旋转运动的动力

在关于工程和物理学应用的讨论中，权力总是浮出水面。 旋转运动的功率与线性运动中的功率同等重要，当力为恒定时，可以用与线性运动类似的方式得出。 力为常数时的线性功率为 P =$\vec{F}\; \cdotp \vec{v}$。 如果净扭矩在角位移上保持恒定，则方程式 10.8.4 可以简化，净扭矩可以从积分中取出。 在接下来的讨论中，我们假设净扭矩是恒定的。 我们可以将功率中派生的功率的定义应用于旋转运动。 从 W ork 和 Kinetic Energ y 来看，瞬时功率（或只是功率）被定义为工作速度，

$$P = \frac{dW}{dt} \ldotp$$

如果我们有恒定的净扭矩，则方程式 10.8.4 变为 W =$\tau \theta$，功率为

$$P = \frac{dW}{dt} = \frac{d}{dt} (\tau \theta) = \tau \frac{d \theta}{dt}$$

要么

$$P = \tau \omega \ldotp \label{10.31}$$

示例 10.19：船用螺旋桨上的扭矩

在 9.0 x 10 ⁴ W 下运行的船用发动机以 300 转/分钟的速度运行。 螺旋桨轴上的扭矩是多少？

策略

我们得到了以转速/分钟为单位的旋转速率和功耗，因此我们可以轻松计算出扭矩。

解决方案

$$300.0\; rev/min = 31.4\; rad/s;$$

$$\tau = \frac{P}{\omega} = \frac{9.0 \times 10^{4}\; N\; \cdotp m/s}{31.4\; rad/s} = 2864.8\; N\; \cdotp m \ldotp$$

意义

需要注意的是，弧度是一个无量纲单位，因为它的定义是两个长度的比率。 因此，它没有出现在解决方案中。

练习 10.8

对风力涡轮机施加 500 kN • m 的恒定扭矩，以保持其以 6 rad/s 的速度旋转。保持涡轮机旋转所需的功率是多少？

旋转和平移关系概述

三个表中总结了旋转量及其线性模拟。 表 10.5 总结了围绕固定轴进行圆周运动的旋转变量及其线性类似物和连接方程，向心加速度除外，它本身就存在。 表 10.6 总结了旋转和平移运动学方程。 表 10.7 总结了旋转动力学方程及其线性类似物。

表 10.5-旋转变量和平移变量：摘要

轮换	翻译的	关系
$$\ theta$$	$$x$$	$$\ theta =\ frac {s} {r}$$
$$\ omega$$	$$v_ {f}$$	$$\ omega =\ frac {v_ {t}} {r}$$
$$\ alpha$$	$$a_ {t}$$	$$\ alpha =\ frac {a_ {t}} {r}$$
	$$a_ {c}$$	$$a_ {c} =\ frac {v_ {t} ^ {2}} {r}$$

表 10.6-旋转和平移运动学方程：摘要

轮换	翻译的
$$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ bar {\ omega} t$$	$$x = x_ {0} +\ bar {v} t$$
$$\ omega_ {f} =\ omega_ {0} +\ alpha t$$	$$v_ {f} = v_ {0} + at$$
$$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ omega_ {0} t +\ frac {1} {2}\ alpha t^ {2}$$	$$x_ {f} = x_ {0} + v_ {0} t +\ frac {1} {2} at^ {2}$$
$$\ omega_ {f} ^ {2} =\ omega_ {0} ^ {2} + 2\ alpha (\ Delta\ theta)$$	$$v_ {f} ^ {2} = v_ {0} ^ {2} + 2a (\ Delta x)$$

表 10.7-旋转和平移方程：动力学

轮换	翻译的
$$I =\ sum_ {i} m_ {i} r_ {i} ^ {2}$$	$$m$$
$$K =\ frac {1} {2} 我\ omega^ {2}$$	$$K =\ frac {1} {2} mv^ {2}$$
$$\ sum_ {i}\ tau_ {i} = 我\ alpha$$	$$\ sum_ {i}\ vec {F} _ {i} = m\ vec {a}$$
$$W_ {AB} =\ int_ {\ theta_ {A}} ^ {\ theta_ {B}}\ 左 (\ sum_ {i}\ tau_ {i}\ 右) d\ theta$$	$$W =\ int\ vec {F}\;\ cdotp d\ vec {s}$$
$$P =\ tau\ omega$$	$$P =\ vec {F}\ cdotp\ vec {v}$$