10.8: 牛顿旋转第二定律

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学习目标

计算旋转系统绕固定轴的扭矩以找出角加速度
解释旋转系统惯性矩的变化如何影响施加固定扭矩下的角加速度

在本小节中，我们汇总了本章迄今为止学到的所有内容，以分析旋转刚体的动力学。我们已经用运动学和旋转动能分析了运动，但尚未将这些想法与力和/或扭矩联系起来。在本小节中，我们介绍与牛顿第二运动定律等效的旋转，并将其应用于固定轴旋转的刚体。

牛顿第二旋转定律

到目前为止，我们已经找到了许多与本文中使用的翻译术语相对应，最近的翻译术语是扭矩，即力的旋转模拟。这就提出了一个问题：有没有与牛顿第二定律$\sum \vec{F}$ = m 相似的方程$\vec{a}$，它涉及扭矩和旋转运动？为了研究这个问题，我们从牛顿第二定律开始，即单个粒子绕轴旋转并执行圆周运动。让我们对距离轴心点 r 的点质量 m 施加力$\vec{F}$（图$\PageIndex{1}$）。粒子被限制在具有固定半径的圆形路径上移动，并且力与圆相切。我们应用牛顿第二定律来确定 a =$\frac{F}{m}$ 方向上的加速度的大小$\vec{F}$。回想一下，切向加速度的大小与角加速度的大小成正比 a = r$\alpha$。用这个表达式代入牛顿第二定律，我们得到

\[F = mr \alpha \ldotp\]

图中显示了一张桌面无摩擦的桌面。质量为 m 的物体由水平无摩擦工作台支撑，并通过长度为 r 的绳索连接到枢轴点。力 F 被施加到垂直于绳索 r 的物体上。 — 图$\PageIndex{1}$：物体由水平无摩擦工作台支撑，并通过提供向心力的绳索连接到枢轴点。对垂直于半径 r 的物体施加力$\vec{F}$，使其绕枢轴点加速。力垂直于 r。

将该方程的两边乘以 r，

\[rF = mr^{2} \alpha \ldotp\]

请注意，该方程的左侧是围绕旋转轴的扭矩，其中 r 是杠杆臂，F 是力，垂直于 r。回想一下，点粒子的惯性矩为 I = mr ²。因此，垂直于图中点质量施加的扭矩$\PageIndex{1}$为

\[\tau = I \alpha \ldotp\]

粒子上的扭矩等于绕旋转轴的惯性矩乘以角加速度。我们可以将这个方程概括为围绕固定轴旋转的刚体。

牛顿第二旋转定律

如果有多个扭矩围绕固定轴作用于刚体上，则扭矩之和等于惯性矩乘以角加速度：

\[\sum_{i} \tau_{i} = I \alpha \ldotp \label{10.25}\]

术语 I$\alpha$ 是一个标量，可以是正数或负数（逆时针或顺时针），具体取决于净扭矩的符号。请记住逆时针角加速度为正的惯例。因此，如果刚体顺时针旋转并经历正扭矩（逆时针），则角加速度为正。

方程\ ref {10.25} 是牛顿旋转第二定律，它告诉我们如何将扭矩、惯性矩和旋转运动学联系起来。这称为旋转动力学方程。通过这个方程，我们可以解决一整类涉及力和旋转的问题。旋转物体需要多少力的关系包括惯性矩，这是有道理的，因为这个量告诉我们改变物体的旋转运动是多么容易或困难。

以矢量形式导出牛顿第二旋转定律

和以前一样，当我们找到角加速度时，我们也可以找到扭矩矢量。第二定律$\sum \vec{F}$ = m$\vec{a}$ 告诉我们净力与如何改变物体的平移运动之间的关系。我们有这个方程的矢量旋转等效物，可以使用方程 10.2.10和图10.2. 7 找到。方程 10.2.10 将角加速度与位置和切向加速度矢量联系起来：

\[\vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} \ldotp\]

我们使用$\vec{r}$并使用交叉积恒等式形成这个方程的叉积（注意$\vec{r}\; \cdotp \vec{\alpha}$ = 0）：

\[\vec{r} \times \vec{a} = \vec{r} \times (\vec{\alpha} \times \vec{r}) = \vec{\alpha} (\vec{r}\; \cdotp \vec{r}) - \vec{r} (\vec{r}\; \cdotp \vec{\alpha}) = \vec{\alpha} (\vec{r}\; \cdotp \vec{r}) = \vec{\alpha} r^{2} \ldotp\]

我们现在用位置向量形成牛顿第二定律的叉积$\vec{r}$，

\[\sum (\vec{r} \times \vec{F}) = \vec{r} \times (m \vec{a}) = m \vec{r} \times \vec{a} = mr^{2} \vec{\alpha} \ldotp\]

将左边的第一个项识别为扭矩之和，将 mr ² 识别为惯性矩，我们得出向量形式的牛顿第二旋转定律：

\[\sum \tau = I \alpha \ldotp \label{10.26}\]

这个方程完全是方程\ ref {10.25}，但以扭矩和角加速度为矢量。重要的一点是，扭矩矢量的方向与角加速度的方向相同。

应用旋转动力学方程

在将旋转动力学方程应用于某些日常情况之前，让我们回顾一下适用于此类问题的通用问题解决策略。

问题解决策略：旋转动力学

检查情况以确定旋转中涉及扭矩和质量。仔细绘制情况草图。
确定感兴趣的系统。
绘制自由体图。也就是说，绘制并标记作用于感兴趣系统的所有外部力量。
确定枢轴点。如果物体处于平衡状态，则所有可能的轴心点都必须处于平衡状态——选择最能简化工作的枢轴点。
App$\sum_{i} \tau_{i} = I \alpha$ ly（牛顿第二定律的旋转等效物）来解决问题。必须注意使用正确的惯性矩，并考虑旋转点周围的扭矩。
与往常一样，检查解决方案以查看其是否合理。

示例 10.16：计算质量分布对旋转木马的影响

考虑一下父亲在 Figure 中推游乐场旋转木马$\PageIndex{2}$。他在半径为 1.50 米的 200.0 千克旋转木马的边缘施加 250 N 的力。计算 (a) 当没有人在旋转木马上时产生的角加速度，以及 (b) 当一个 18.0 千克的孩子坐在距离中心 1.25 米处时产生的角加速度。假设旋转木马本身就是一个均匀的圆盘，摩擦力可以忽略不计。

该图显示了一个人将旋转木马推到其边缘并垂直于其半径。 — 图$\PageIndex{2}$：一位父亲将游乐场旋转木马推到其边缘并垂直于其半径，以获得最大扭矩。

策略

净扭矩直接由表达式给出$\sum_{i} \tau_{i} = I \alpha$，要求解$\alpha$，我们必须首先计算净扭矩$\tau$（两种情况都相同）和惯性矩 I（在第二种情况下更大）。

解决方案

图 10.5.4 给出的实心圆盘绕这个轴的惯性矩为 $$\ frac {1} {2} MR^ {2}\ ldotp$我们有 M = 50.0 kg，R = 1.50 m，所以 $$I = (0.500\; kg) (1.50\; m) ^ {2} = 56.25\; kg\; m^ {2}\ ldotp$$要找到净扭矩，我们注意到施加的力是垂直的半径和摩擦力可以忽略不计，所以 $$\ tau = rF\ sin\ theta = (1.50\; m) (250.0\; N\; N\;\ cdotp m\ ldotp$now，在我们替换已知值之后，我们发现角加速度为 $$\ alpha =\ frac {\ tau} {I} =\ frac {375.0\; N\;\ cdotp m} {56.25\; kg\;\ cdotp m^ {2}} = 6.67\; rad/s^ {2}\ldotp$$
我们预计这部分中系统的角加速度会降低，因为当孩子在旋转木马上时，惯性矩会更大。为了求出总惯性矩 I，我们首先通过将孩子的惯性矩 I _c 近似为距离轴 1.25 m 的点质量来求出孩子的惯性矩 I c。那么 $$I_ {c} = mr^ {2} = (18.0\; kg) (1.25\; m) ^ {2} = 28.13\; kg\;\ cdotp m^ {2}\ ldotp$总惯性矩是旋转木马和孩子（大致相同轴线）的惯性矩之和：$$I = (28.13\; kg\;\ cdotp m^ {2}) + (56.25\; kg\;\ cdotp m^ {2}) = 84.38\; kg\;\ cdotp m^ {2}\ ldotp$$将已知值代入方程得出 $$\ alpha =\ frac {\ tau} {I} =\ frac {375.0\; N\;\ cdotp m} {84.38\; kg\;\ cdotp m^ {2}} = 4.44\; rad/s\ ldotp$$$\alpha$

意义

正如预期的那样，当孩子在旋转木马上时，角加速度要小于旋转木马空着时的角加速度。发现的角加速度相当大，部分原因是摩擦力被认为可以忽略不计。例如，如果父亲一直垂直推动 2.00 秒，那么当旋转木马空着时，他会给旋转木马的角速度为 13.3 rad/s，但当孩子在旋转木马上时，角速度只能为 8.89 rad/s。就每秒转数而言，这些角速度分别为2.12 rev/s和1.41 rev/s。在第一种情况下，父亲最终会以大约 50 km/h 的速度行驶。

练习 10.7

喷气发动机上的风扇叶片的惯性矩为 30.0 kg • m ²。在 10 秒内，它们从静止方向逆时针旋转到 20 rev/s 的旋转速度。(a) 必须对叶片施加什么扭矩才能达到这种角加速度？ (b) 在 20 秒内使以 20 转/秒的速度旋转的风扇叶片处于静止状态所需的扭矩是多少？