10.7: 扭矩

学习目标

• 描述扭矩的大小如何取决于杠杆臂的大小以及力向量与杠杆臂的角度
• 使用右手法则确定扭矩的符号（正或负）
• 计算围绕公共轴的单个扭矩并将其相加得出净扭矩

描述旋转刚体动力学的一个重要量是扭矩。 在我们的世界中，我们看到了扭矩在许多方面的应用。 我们对扭矩都有直觉，就像我们用大扳手拧开顽固的螺栓时一样。 扭矩以看不见的方式起作用，比如当我们按下汽车中的油门时，发动机在传动系统上施加额外的扭矩。 或者，每当我们将身体从站立姿势移动时，我们都会对四肢施加扭矩。 在本节中，我们定义了扭矩，并为计算固定轴旋转的刚体的扭矩的方程提供了一个参数。

定义扭矩

到目前为止，我们已经定义了许多旋转变量，这些变量在旋转上等同于平移对应的变量。 让我们考虑一下武力的对应物必须是什么。 由于力会改变物体的平移运动，因此旋转对应物体必须与改变物体绕轴的旋转运动有关。 我们称之为旋转对应扭矩。

在日常生活中，我们一直围绕轴旋转物体，所以直观地说，我们已经对扭矩了解很多。 例如，考虑一下我们如何旋转一扇门来打开它。 首先，我们知道，如果我们推得太靠近门的铰链，门开得很慢；如果我们推得离铰链很远，旋转门打开会更有效。 其次，我们知道应该垂直于门的平面推动；如果我们平行于门的平面推动，我们就无法旋转门。 第三，力越大，开门的效率就越高；你推得越用力，开门的速度就越快。 第一个点意味着从旋转轴施加的力越远，角加速度就越大；第二个点意味着有效性取决于施加力的角度；第三点意味着力的大小也必须是方程的一部分。 请注意，在平面上旋转时，扭矩有两个可能的方向。 相对于选定的枢轴点，扭矩要么是顺时针方向，要么是逆时针方向。 \(\PageIndex{1}\)该图显示了逆时针旋转。

图\(\PageIndex{1}\)：扭矩是力的转弯或扭转效果，此处说明了铰链上的门旋转（从头顶看）。 扭矩既有大小又有方向。 (a) 逆时针扭矩是由\(\vec{F}\)作用在距离铰链（枢轴点）r 处的力产生的。 (b) 当较小的力\(\vec{F}′\)作用在距离铰链相同距离时，产生的逆时针扭矩较小。 (c) 当施加到距离铰链较小的距离时，与 (a) 中相同的力会产生较小的逆时针扭矩。 (d) 较小的逆时针扭矩是由与 (a) 作用距离相同但角度小于 90°\(\theta\) 的 (a) 作用力产生的。

现在让我们考虑如何在一般的三维情况下定义扭矩。

扭矩

当向位置\(\vec{r}\)相对于 O 的点 P 施加力\(\vec{F}\)时（图\(\PageIndex{2}\)），O\(\vec{\tau}\) 周围的扭矩为

\[\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} \ldotp \label{10.22}\]

图\(\PageIndex{2}\)：扭矩垂直于由\(\vec{r}\)\(\vec{F}\)和定义的平面，其方向由右手定则确定。

根据十字积的定义，扭矩\(\vec{\tau}\)垂直于包含\(\vec{r}\)和的平面，\(\vec{F}\)并且具有大小

\[|\vec{\tau}| = |\vec{r} \times \vec{F}| = rF \sin \theta,\]

其中\(\theta\)是向量\(\vec{r}\)和之间的角度\(\vec{F}\)。 SI 的扭矩单位是牛顿乘以米，通常写成 N • m。量 r _\(\perp\)= rsin\(\theta\) 是从 O 到由矢量\(\vec{F}\)确定的直线的垂直距离，称为杠杆臂。 请注意，杠杆臂越大，扭矩的大小就越大。 就杠杆臂而言，扭矩的大小为

\[|\vec{\tau}| = r_{\perp} F \ldotp \label{10.23}\]

交叉积\(\vec{r} \times \vec{F}\)还告诉我们扭矩的迹象。 在图中\(\PageIndex{2}\)，横积\(\vec{r} \times \vec{F}\)沿着 z 轴正，按照惯例，正扭矩是正扭矩。 如果沿负\(\vec{r} \times \vec{F}\)的 z 轴方向行驶，则会产生负扭矩。

如果我们考虑一个圆盘可以绕轴自由旋转穿过中心，如图所示\(\PageIndex{3}\)，我们可以看到半径\(\vec{r}\)和力之间的角度如何\(\vec{F}\)影响扭矩的大小。 如果角度为零，则扭矩为零；如果角度为 90°，则扭矩为最大。 图中的扭矩\(\PageIndex{3}\)为正，因为按照右手法则，扭矩的方向在 z 轴正向上偏离页面。 由于扭矩，圆盘逆时针旋转，方向与正角加速度相同。

图\(\PageIndex{3}\)：圆盘可以绕其轴线自由旋转，穿过中心。 磁盘上的扭矩大小为\(\theta\) rfsIn。当\(\theta\) = 0° 时，扭矩为零，圆盘不旋转。 当\(\theta\) = 90° 时，扭矩为最大值，圆盘以最大角加速度旋转。

可以围绕给定轴计算任意数量的扭矩。 单个扭矩加起来产生围绕轴的净扭矩。 当为围绕指定轴的单个扭矩的大小分配相应的符号（正或负）时，围绕该轴的净扭矩是各个扭矩的总和：

\[\vec{\tau}_{net} = \sum_{i} |\vec{\tau}_{i}| \ldotp \label{10.24}\]

计算固定轴上刚体的净扭矩

在以下示例中，我们既抽象地计算扭矩，又计算施加到刚体上的扭矩。 我们首先介绍一个解决问题的策略。

问题解决策略：寻找净扭矩

1. 选择以枢轴点或旋转轴作为所选坐标系原点的坐标系。
2. 确定杠杆臂\(\vec{r}\)和力向量之间的角度。
3. 取\(\vec{r}\)和的交叉积\(\vec{F}\)来确定绕枢轴点或轴的扭矩是正还是负。
4. 使用 r _\(\perp\)F 评估扭矩的大小。
5. 为量级分配相应的正负号。
6. 将扭矩相加得出净扭矩。

示例 10.14：计算扭矩

图中显示了相对于给定的 xy 坐标系\(\PageIndex{4}\)在特定位置和方向上的四种力。 找出围绕原点的每种力产生的扭矩，然后使用结果找出原点周围的净扭矩。

图\(\PageIndex{4}\)：产生扭矩的四种力。

策略

这个问题需要计算扭矩。 图中给出了所有已知数量——带方向的力和杠杆臂的力。 目标是通过将各个扭矩相加得出每个扭矩和净扭矩。 请谨慎使用\(\vec{r}\)和力矢量的交叉积为每个扭矩分配正确的符号\(\vec{F}\)。

解决方案

使用 |\(\vec{\tau}\) | = r _\(\perp\)F = rfsI\(\theta\) n 找出扭矩的大小\(\vec{r} = \vec{r} \times \vec{F}\)并确定扭矩的符号。

第一象限中力 40 N 产生的扭矩由 (4) (40) sin 90° = 160 N • m 给出。

\(\vec{r}\)和的交叉产物已经不在页面上，\(\vec{F}\)是积极的。

第三象限中力 20 N 产生的扭矩由 − (3) (20) sin 90° = − 60 N • m 给出。

\(\vec{r}\)和\(\vec{F}\)的交叉积在页面中，因此为负数。

第三象限中力 30 N 产生的扭矩由 (5) (30) sin 53° = 120 N • m 给出。

\(\vec{r}\)和的交叉产物已经不在页面上，\(\vec{F}\)是积极的。

第二象限中力 20 N 产生的扭矩由 (1) (20) sin 30° = 10 N • m 给出。

\(\vec{r}\)和的交叉积\(\vec{F}\)不在页面上。

因此，净扭矩为\(\tau_{net} = \sum_{i} |\tau_{i}|\) = 160 − 60 + 120 + 10 = 230 N • m。

意义

请注意，在逆时针方向上起作用的每种力都有正扭矩，而在顺时针方向起作用的每种力都有负扭矩。 当距离、力或垂直分量较大时，扭矩越大。

示例 10.15：计算刚体上的扭矩

\(\PageIndex{5}\)该图显示了在飞轮上作用于不同位置和角度的几种力。 我们有\(|\vec{F}_{1}|\) = 20 N、\(|\vec{F}_{2}|\) = 30 N、\(|\vec{F}_{3}|\) = 30 N 和 r = 0.5 m。找到飞轮上绕穿过中心的轴的净扭矩。

图\(\PageIndex{5}\)：作用于飞轮的三种力。

策略

我们使用交叉积单独计算每个扭矩，并确定扭矩的符号。 然后我们将扭矩相加得出净扭矩。 解决方案我们从这里开始\(\vec{F}_{1}\)。 如果我们看图\(\PageIndex{5}\)，我们会发现\(\vec{F}_{1}\)它与半径向量形成了 90° + 60° 的角度\(\vec{r}\)。 以交叉积为例，我们发现它已经过时了，因此是积极的。 我们也可以通过计算其幅度来看待这一点：

\[|\vec{\tau}_{1}| = rF_{1} \sin 150^{o} = (0.5\; m)(20\; N)(0.5) = 5.0\; N\; \cdotp m \ldotp\]

接下来我们来看看\(\vec{F}_{2}\)。 \(\vec{F}_{2}\)和之间的角度\(\vec{r}\)为 90°，横积进入页面，因此扭矩为负。 它的价值是

\[|\vec{\tau}_{2}| = -rF_{2} \sin 90^{o} = (-0.5\; m)(30\; N) = -15.0\; N\; \cdotp m \ldotp\]

当我们评估由此产生的扭矩时\(\vec{F}_{3}\)，我们发现它所产生的角度\(\vec{r}\)为零，所以\(\vec{r} \times \vec{F}_{3}\) = 0。 因此，\(\vec{F}_{3}\)不会在飞轮上产生任何扭矩。

我们评估扭矩的总和：

\[\tau_{net} = \sum_{i} |\tau_{i}| = 5 - 15 = -10\; N\; \cdotp m \ldotp\]

意义

旋转轴位于飞轮的质心。 由于飞轮位于固定轴上，因此不能自由平移。 如果它在无摩擦的表面上并且没有固定到位，\(\vec{F}_{3}\)也会导致飞轮平移\(\vec{F}_{1}\)。 它的动作将是平移和旋转的组合。

练习 10.6

一艘大型远洋船在海岸线附近搁浅，与哥斯达黎加康科迪亚号的命运类似，其角度如下所示。 救助人员必须施加扭矩使船只向右移动，才能使船只浮动进行运输。 必须在 A 点施加 5.0 x 10 ⁵ N 的力作用到右侧飞船。 船舶与地面接触点的扭矩是多少（图\(\PageIndex{6}\)）？

图\(\PageIndex{6}\)：一艘船搁浅并倾斜，需要施加扭矩才能使船恢复到直立位置。