10.4：关联角度量和平移量

学习目标

• 给定线性运动学方程，写出相应的旋转运动学方程
• 在给定角速度和加速度的情况下，计算旋转系统上各点的线性距离、速度和加速度

在本节中，我们将每个旋转变量与在 “沿直线运动” 和 “二维和三维运动” 中定义的平移变量相关联。 这将完善我们描述刚体旋转的能力。

角度变量与线性变量

在旋转变量中，我们引入了角度变量。 如果我们将旋转定义与 “沿直线运动” 和 “二维和三维运动” 中的线性运动学变量的定义进行比较，就会发现线性变量与旋转变量之间存在映射。 线性位置、速度和加速度有它们的旋转对应物，正如我们在并排写它们时所看到的那样：

	线性	轮换
位置	$$x$$	$$\ theta$$
速度	$$v =\ frac {dx} {dt}$$	$$\ omega =\ frac {d\ theta} {dt}$$
加速	$$a =\ frac {dv} {dt}$$	$$a =\ frac {d\ omega} {dt}$$

让我们分别比较线性和旋转变量。 位置的线性变量的物理单位是米，而角度位置变量的弧度单位是无量纲的，从定义中可以看出$\theta = \frac{s}{r}$，即两个长度的比率。 线性速度以 m/s 为单位，对应的角速度以 rad/s 为单位。在旋转变量中，我们看到，在圆周运动中，粒子在距离旋转轴半径 r 处的线性切向速度与角速度相关关系 v _t = r$\omega$。 这也可能适用于围绕固定轴旋转的刚体上的点。 在这里，我们只考虑圆周运动。 在均匀和不均匀的圆周运动中，存在向心加速度（二维和三维运动）。 向心加速度向量从粒子向内指向，向旋转轴执行圆周运动。 向心加速度幅度的推导值在《二维和三维运动》中给出。 从这个推导出来看，发现向心加速度的大小为

$$a_{c} = \frac{v_{t}^{2}}{r}, \label{10.14}$$

其中 r 是圆的半径。

因此，在均匀的圆周运动中，当角速度恒定且角加速度为零时，我们有一个线性加速度，即向心加速度，因为方程\ ref {10.14} 中的切向速度是一个常数。 如果存在不均匀的圆周运动，则旋转系统具有角加速度，我们既有正在变化的线性向心加速度（因为 v _t 正在变化），又有线性切向加速度。 这些关系如图所示$\PageIndex{1}$，我们在图中显示了均匀和非均匀圆周运动的向心和切向加速度。

图$\PageIndex{1}$：(a) 均匀的圆周运动：向心加速度 a _c 的向量朝向旋转轴向内。 没有切向加速度。 (b) 非均匀圆周运动：角加速度产生向内向心加速度，其幅度正在发生变化，再加上切向加速度 a _t。

向心加速度是由于切向速度方向的变化造成的，而切向加速度是由于切向速度幅度的任何变化引起的。 切向和向心加速度向量$\vec{a}_{t}$$\vec{a}_{c}$始终彼此垂直，如图所示$\PageIndex{1}$。 为了完成此描述，我们可以为旋转刚体上的点或从固定轴以半径 r 执行圆周运动的粒子分配一个总线性加速度向量。 总线性加速度向量$\vec{a}$是向心和切向加速度的矢量和，

$$\vec{a} = \vec{a}_{c} + \vec{a}_{t} \ldotp \label{10.15}$$

在圆周运动不均匀的情况下，总线性加速度矢量指向向心和切向加速度向量之间的某个角度，如图所示$\PageIndex{2}$。 因为$\vec{a}_{c} \perp \vec{a}_{t}$，总线性加速度的大小为

$$|\vec{a}| = \sqrt{a_{c}^{2} + a_{t}^{2}} \ldotp$$

请注意，如果角加速度为零，则总线性加速度等于向心加速度。

图$\PageIndex{2}$：粒子正在执行圆周运动并具有角加速度。 粒子的总线性加速度是向心加速度和切向加速度矢量的向量和。 总线性加速度矢量在向心加速度和切向加速度之间成一定角度。

旋转运动和平移运动之间的关系

我们可以看一下旋转运动和平移运动之间的两种关系。

1. 一般来说，线性运动学方程有其旋转对应方程。 表 10.2 列出了四个线性运动学方程和相应的旋转对应方程。 这两组方程看起来很相似，但描述了两种不同的物理情况，即旋转和平移。

表 10.2-旋转和平移运动学方程

轮换	翻译的
$$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ bar {\ omega} t$$	$$x = x_ {0} +\ bar {v} t$$
$$\ omega_ {f} =\ omega_ {0} +\ alpha t$$	$$v_ {f} = v_ {0} + at$$
$$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ omega_ {0} t +\ frac {1} {2} at^ {2}$$	$$x_ {f} = x_ {0} + v_ {0} t +\ frac {1} {2}\ omega t^ {2}$$
$$\ omega_ {f} ^ {2} =\ omega_ {0} ^ {2} + 2\ alpha (\ Delta\ theta)$$	$$v_ {f} ^ {2} = v_ {0} ^ {2} + 2a (\ Delta x)$$

2. 第二个对应关系涉及在圆周运动的特殊情况下关联线性变量和旋转变量。 如表 10.3 所示，在第三列中，我们列出了将线性变量与旋转变量关联起来的连接方程。 角速度和加速度的旋转变量有下标，表示它们在圆周运动中的定义。

表 10.3-旋转和平移量：圆周运动

轮换	翻译的	关系 (r = 半径
$$\ theta$$	$s$$	$$\ theta =\ frac {s} {r}$$
$$\ omega$$	$$v_ {t}$$	$$\ omega =\ frac {v_ {t}} {r}$$
$$\ alpha$$	$$a_ {t}$$	$$\ alpha =\ frac {a_ {t}} {r}$$
	$$a_ {c}$$	$$a_ {c} =\ frac {v_ {t} ^ {2}} {r}$$

示例 10.7：离心机的线性加速度

离心机的半径为 20 cm，在恒定角加速度下，从 10,000 rpm 的最大旋转速率加速到 30 秒后静止。 它正在逆时针旋转。 t = 29.0 时，离心机尖端某点的总加速度是多少？ 总加速度向量的方向是什么？

策略

有了给定的信息，我们可以计算出角加速度，这将使我们能够找到切向加速度。 我们可以通过计算此时的切向速度来找出 t = 0 处的向心加速度。 利用加速度的大小，我们可以计算出总线性加速度。 根据问题中对旋转的描述，我们可以绘制出总加速度向量的方向。

解决方案

角加速度为

$$\alpha = \frac{\omega - \omega_{0}}{t} = \frac{0 - (1.0 \times 10^{4}) \left(\dfrac{2 \pi\; rad}{60.0\; s}\right)}{30.0\; s} = -34.9\; rad/s^{2} \ldotp$$

因此，切向加速度为

$$a_{t} = r \alpha = (0.2\; m)(-34.9\; rad/s^{2}) = -7.0\; m/s^{2} \ldotp$$

t = 29.0 秒时的角速度为

$$\begin{split} \omega & = \omega_{0} + \alpha t = (1.0 \times 10^{4}) \left(\dfrac{2 \pi\; rad}{60.0\; s}\right) + (-39.49\; rad/s^{2})(29.0\; s) \\ & = 1047.2\; rad/s - 1012.71\; rad/s = 35.1\; rad/s \ldotp \end{split}$$

因此，t = 29.0 秒时的切向速度为

$$v_{t} = r \omega = (0.2\; m)(35.1\; rad/s) = 7.0\; m/s \ldotp$$

我们现在可以计算 t = 29.0 s 时的向心加速度：

$$a_{c} = \frac{v^{2}}{r} = \frac{(7.0\; m/s)^{2}}{0.2\; m} = 245.0\; m/s^{2} \ldotp$$

由于两个加速度向量彼此垂直，因此总线性加速度的大小为

$$|\vec{a}| = \sqrt{a_{c}^{2} + a_{t}^{2}} = \sqrt{(245.0)^{2} + (-7.0)^{2}} = 245.1\; m/s^{2} \ldotp$$

由于离心机的角加速度为负，因此正在减速。 总加速度向量如图所示$\PageIndex{3}$。 相对于向心加速度矢量的角度为

$$\theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{-7.0}{245.0}\right) = -1.6^{o} \ldotp$$

负号表示总加速度向量朝顺时针方向倾斜。

图$\PageIndex{3}$：向心、切向和总加速度向量。 离心机正在减速，因此切向加速度是顺时针的，与旋转方向（逆时针）相反。

意义

从图$\PageIndex{3}$中我们可以看出，切向加速度向量与旋转方向相反。 切向加速度的大小远小于向心加速度的大小，因此总线性加速度向量将相对于向心加速度向量形成非常小的角度。

练习 10.3

一个男孩跳上半径为5 m的旋转木马，处于静止状态。 它在 20 秒内开始以恒定速率加速，直到 5 rad/s 的角速度。 这个男孩走了多远的距离？

模拟

看看这个 PhET 模拟，改变旋转盘的参数（初始角度、角速度和角加速度），并在与轴的不同径向距离处放置错误。 然后，仿真允许你使用向量或图表来探索圆周运动与错误的 xy 位置、速度和加速度之间的关系。