10.3：以恒定角加速度旋转

学习目标

• 推导具有恒定角加速度的旋转运动的运动学方程
• 从具有恒定角加速度的旋转运动的运动学方程中，选择合适的方程来求解固定轴旋转系统的分析中的未知数
• 使用运动学方程中的解来验证在恒定角加速度下固定轴旋转的图形分析

在上一节中，我们定义了角位移、角速度和角加速度的旋转变量。 在本节中，我们将使用这些定义来推导这些变量之间的关系，并使用这些关系来分析刚体在恒定角加速度下绕固定轴的旋转运动。 该分析构成了旋转运动学的基础。 如果角加速度恒定，则可以简化旋转运动学方程，类似于《沿直线运动》和《二维和三维运动》中讨论的线性运动学方程。 然后，我们可以使用这组简化的方程来描述物理和工程中的许多应用，在这些应用中，系统的角加速度是恒定的。 旋转运动学也是本章后面讨论旋转动力学的先决条件。

旋转运动学

利用我们的直觉，我们可以开始了解旋转量$\theta$、$\omega$$\alpha$、和 t 是如何相互关联的。 例如，我们在上一节中看到，如果飞轮的角加速度与其角速度矢量的方向相同，则其角速度会随着时间的推移而增加，其角位移也会增加。 相反，如果角加速度与角速度矢量相反，则其角速度会随着时间的推移而降低。 我们可以在恒定角加速度下使用一组一致的旋转运动学方程来描述这些物理情况以及许多其他情况。 以这种方式研究旋转运动的方法称为旋转运动学。

首先，我们注意到，如果系统在恒定加速度下旋转，则平均角速度遵循一个简单的关系，因为角速度会随着时间的推移呈线性增加。 平均角速度只是初始值和最终值之和的一半：

$$\bar{\omega} = \frac{\omega_{0} + \omega_{f}}{2} \ldotp \label{10.9}$$

从平均角速度的定义中，我们可以找到一个与角位置、平均角速度和时间相关的方程：

$$\bar{\omega} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} \ldotp$$

求解$\theta$，我们有

$$\theta_{f} = \theta_{0} + \bar{\omega} t, \label{10.10}$$

这里我们设置了 t ₀ = 0。 如果我们知道系统的平均角速度，这个方程可能非常有用。 然后我们可以找到给定时间段内的角位移。 接下来，我们找到一个与$\omega$$\alpha$、和 t 相关的方程。为了确定这个方程，我们从角加速度的定义开始：

$$\alpha = \frac{d \omega}{dt} \ldotp$$

我们将其重新排列以获得$\alpha$ dt = d，$\omega$然后将该方程的两边从初始值到最终值进行积分，即从 t _{0 到} t 和 t$\omega_{0}$ o$\omega_{f}$。 在均匀旋转运动中，角加速度是恒定的，因此可以将其从积分中拉出，从而产生两个定积分：

$$\alpha \int_{t_{0}}^{t} dt' = \int_{\omega_{0}}^{\omega_{f}} d \omega \ldotp$$

设置 t ₀ = 0，我们有

$$\alpha t = \omega_{f} - \omega_{0} \ldotp$$

我们重新整理这个来获取

$$\omega_{f} = \omega_{0} + \alpha t, \label{10.11}$$

哪里$\omega_{0}$是初始角速度。 方程\ ref {10.11} 是线性运动学方程 v _f = v ₀ + at 的旋转对应物。 使用方程\ ref {10.11}，我们可以在给定初始角速度和角加速度的情况下找到物体在任何指定时间 t 的角速度。

现在让我们从方程开始做一个类似的处理$\omega = \frac{d \theta}{dt}$。 我们对其进行了重新排列以获得$\omega$ dt = d，$\theta$然后将两边从初始值再次积分为最终值，注意角加速度是恒定的，没有时间依赖性。 但是，这一次，角速度不是恒定的（一般来说），所以我们用上面得出的值代替：

$$\begin{split} \int_{t_{0}}^{t_{f}} (\omega_{0} + \alpha t') dt' & = \int_{\theta_{0}}^{\theta_{f}} d \theta; \\ \int_{t_{0}}^{t} \omega_{0} dt + \int_{t_{0}}^{t} \alpha tdt & = \int_{\theta_{0}}^{\theta_{f}} d \theta = \Bigg[ \omega_{0} t' + \alpha \left(\dfrac{(t')^{2}}{2}\right)^{2} \Bigg]_{t_{0}}^{t} = \omega_{0} t + \alpha \left(\dfrac{t^{2}}{2}\right) = \theta_{f} - \theta_{0} \ldotp \end{split}$$

这里我们设置了 t ₀ = 0。 现在我们重新安排获取

$$\theta_{f} = \theta_{0} + \omega_{0} t + \frac{1}{2} \alpha t^{2} \ldotp \label{10.12}$$

方程\ ref {10.12} 是在 “沿直线运动” 中找到的线性运动学方程的旋转对应物，将位置作为时间函数。 在给定初始条件（初始角位置和初始角速度）和角加速度的情况下，该方程为我们提供了旋转刚体在任何时间 t 的角度位置。

我们可以通过在方程\ ref {10.11} 中求解 t 并代入方程\ ref {10.12} 来找到一个与时间无关的方程。 方程\ ref {10.12} 变成

$$\begin{split} \theta_{f} & = \theta_{0} + \omega_{0} \left(\dfrac{\omega_{f} - \omega_{0}}{\alpha}\right) + \frac{1}{2} \alpha \left(\dfrac{\omega_{f} - \omega_{0}}{\alpha}\right)^{2} \\ & = \theta_{0} + \frac{\omega_{0} \omega_{f}}{\alpha} - \frac{\omega_{0}^{2}}{\alpha} + \frac{1}{2} \frac{\omega_{f}^{2}}{\alpha} - \frac{\omega_{0} \omega_{f}}{\alpha} + \frac{1}{2} \frac{\omega_{0}^{2}}{\alpha} \\ & = \theta_{0} + \frac{1}{2} \frac{\omega_{f}^{2}}{\alpha} - \frac{1}{2} \frac{\omega_{0}^{2}}{\alpha}, \\ \theta_{f} - \theta_{0} & = \frac{\omega_{f}^{2} - \omega_{0}^{2}}{2 \alpha} \end{split}$$

要么

$$\omega_{f}^{2} = \omega_{0}^{2} + 2 \alpha (\Delta \theta) \ldotp \label{10.13}$$

方程\ ref {10.10} 至方程\ ref {10.13} 描述了恒定加速度下的固定轴旋转，总结见表 10.1。

表 10.1-运动学方程

平均角速度的角位移	$$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ bar {\ omega} t$$
角加速度得出的角速度	$$\ omega_ {f} =\ omega_ {0} +\ alpha t$$
角速度和角加速度产生的角位移	$$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ omega_ {0} t +\ frac {1} {2}\ alpha t^ {2}$$
角位移和角加速度得出的角速度	$$\ omega_ {f} ^ {2} =\ omega_ {0} ^ {2} + 2\ alpha (\ Delta\ theta)$$

应用旋转运动方程

现在，我们可以将旋转运动的关键运动学关系应用于一些简单的示例，以了解如何将方程应用于日常情况。

示例 10.4：计算钓鱼卷轴的加速度

一位深海渔民用钩住一条游离船的大鱼，从他的渔线轮上拉出钓鱼线。 整个系统最初处于静止状态，钓鱼线在距离其旋转轴线4.50厘米的半径处从渔线轮上松开。 给定卷轴的角加速度为 110 rad/s ²，持续 2.00 秒（图$\PageIndex{1}$）。

1. 2 秒后卷轴的最终角速度是多少？
2. 卷轴能转多少圈？

图$\PageIndex{1}$：从旋转线轮上掉下来的钓鱼线呈线性移动

策略

找出已知数并与恒定加速度的运动学方程进行比较。 使用问题描述中给出的已知数，寻找可以为未知事物求解的适当方程。

解决方案

1. 我们得到了 t$\alpha$ 并想确定$\omega$。 最直接使用的方程是$\omega_{f} = \omega_{0} + \alpha t$，因为除了我们正在寻找的未知变量之外，所有术语都是已知的。 我们得出$\omega_{0}$ = 0（从静止开始），所以 $$\ omega_ {f} = 0 + (110\; rad/s^ {2}) (2.00\; s) = 220\; rad/s\ ldotp$$
2. 我们被要求找出转数。 因为 1 rev = 2$\pi$ rad，我们可以通过以弧度为单位找出 β 来计算转数。 我们给定$\alpha$了 t，我们知道$\omega_{0}$是零，所以我们可以使用 $$\ begin {split}\ theta_ {f} & =\ theta_ {i} +\ omega_ {i} t +\ frac {1} {2}\\ & = 0 + 0 + (0.500) (110\; rad/s^ {2}) (2.00; s) ^ {2} = 220\; rad\ ldotp\ end {split}$$ 将弧度转换为转数$\theta$给出 $$Number\; of\; rev = (220\; rad)\ 左 (\ dfrac {1\; rev} {2\ pi\; rad}\ 右) = 35.0\; rev\ ldotp$$

意义

此示例说明旋转量之间的关系与线性量之间的关系非常相似。 这些问题的答案是现实的。 放开两秒钟后，发现卷轴以 220 rad/s（即 2100 rpm）的速度旋转。 （难怪卷轴有时会发出高音的声音。）

在前面的示例中，我们考虑了角加速度为正的钓鱼线轮。 现在让我们考虑一下负角加速度会发生什么。

示例 10.5：计算钓鱼线轮减速和停止时的持续时间

现在，渔夫在旋转的卷轴上施加制动器，实现了 −300 rad/s ² 的角加速度。 卷轴停下来需要多长时间？

策略

我们被要求找出卷轴停止的时间 t。 初始和最终条件与前一个问题中的条件不同，后者涉及相同的渔线轮。 现在我们看到初始角速度为$\omega_{0}$ = 220 rad/s，最终角速度$\omega$为零。 角加速度以$\alpha$ = −300 rad/s ^{2 表示}。 通过检查可用的方程，我们可以看到除了 t 之外的所有量$\omega_{f} = \omega_{0} + \alpha t$，因此使用这个方程最容易。

解决方案

方程式指出

$$\omega_{f} = \omega_{0} + \alpha t \ldotp$$

我们用代数求解 t 的方程，然后像往常一样用已知值代替，得到

$$t = \frac{\omega_{f} - \omega_{0}}{\alpha} = \frac{0 - 220.0\; rad/s}{-300.0\; rad/s^{2}} = 0.733\; s \ldotp$$

意义

请注意，必须注意指示不同数量方向的标志。 另外，请注意，停止卷轴的时间相当短，因为加速度相当大。 钓鱼线有时会因为涉及加速而折断，渔民经常让鱼游一会儿，然后再对渔线轮施加刹车。 疲惫的鱼比较慢，需要较小的加速度。

练习 10.2

用于 DNA 提取的离心机最大旋转速率为 7000 rpm，在样品上产生的 “重力” 为重力的 6000 倍。 如果离心机需要10秒钟才能从最大旋转速率起休息：(a) 离心机的角加速度是多少？ (b) 在这段时间内，离心机的角位移是多少？

示例 10.6：螺旋桨的角加速度

该图$\PageIndex{2}$显示了飞机上螺旋桨的角速度随时间变化的图表。 它的角速度从 30 rad/s 开始，在 5 秒钟内线性下降到 0 rad/s。 (a) 找出物体的角加速度并使用运动学方程验证结果。 (b) 找出螺旋桨在这5秒钟内旋转的角度，并使用运动学方程验证结果。

图$\PageIndex{2}$：螺旋桨角速度随时间变化的图表。

策略

1. 由于角速度随时间呈线性变化，因此我们知道角加速度是恒定的，不依赖于时间变量。 角加速度是角速度与时间关系图的斜率$\alpha = \frac{d \omega}{dt}$。 为了计算斜率，我们直接从图中读取$\PageIndex{2}$，可以看出 t$\omega_{0}$ = 0 s 时为 30 rad/s，t$\omega_{f}$ = 5 s 时为 0 rad/s。然后，我们可以使用以下方法验证结果$\omega = \omega_{0} + \alpha t$。
2. 我们使用方程$\omega = \frac{d \theta}{dt}$；由于角度的时间导数是角速度，因此我们可以通过积分角速度来找到角位移，从图中得出角速度图下方的面积。 换句话说：$$\ int_ {\ theta_ {0}} ^ {\ theta_ {f}} d\ theta =\ theta_ {f}-\ theta_ {0} =\ int_ {t_ {0}} ^ {t_ {f}}\ omega (t) dt\ ldotp$然后我们使用恒定加速度的运动学方程来验证结果。

解决方案

1. 计算斜率后，我们得到 $$\ alpha =\ frac {\ omega_ {0}} {t-t_ {0}} =\ frac {(0-30.0)\; rad/s} {(5.0-0)\; s} = -6.0\; rad/s^ {2}\ ldotp$$ 我们看出这正是方程式\ ref {10.11} 对术语的重新排列很少。
2. 我们可以通过计算直角三角形的面积来找到曲线下方的面积，如图所示$\PageIndex{3}$。

图$\PageIndex{3}$：曲线下方的区域是直角三角形的面积。

\ [\ Delta\ theta = 面积（三角形）=\ frac {1} {2} (30\; rad/s) (5\; s) = 75\; rad\ ldotp$我们使用方程\ ref {10.12} 验证解： $$\ theta_ {0} +\ omega_ {0} t +\ frac {1} {2}\ alpha t^ {2}\ ldotp$$ setting$\theta_{0}$ = 0，我们有 $$\ theta_ {0} = (30.0\; rad/s) (5.0\; s) +\ frac {1} {2} (-6.0\; rad/s^ {2}) (5.0\; s) ^ {2} = 150.0-75.0 = 75.0\; rad\ ldotp$This 验证了通过寻找曲线下方面积得出的解。

意义

我们从（b）部分中看到，还有其他方法可以分析恒定加速度下的固定轴旋转。 我们从图形方法开始，然后使用旋转运动学方程验证了解。 因为$\alpha = \frac{d \omega}{dt}$，我们可以对角加速度和角加速度进行相同的图形分析 时间曲线。 $\alpha$-vs 下的区域 -t 曲线为我们提供了角速度的变化。 由于本节中的角加速度是恒定的，因此这是一个简单的练习。