10.2: 旋转变量

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学习目标

描述应用于固定轴旋转的旋转变量的物理含义
解释角速度与切向速度有何关系
在给定角位置函数的情况下计算瞬时角速度
查找旋转系统中的角速度和角加速度
计算角速度变化时的平均角加速度
在给定角速度函数的情况下计算瞬时角加速度

到目前为止，在本文中，我们主要研究了平移运动，包括描述平移运动的变量：位移、速度和加速度。现在，我们将对运动的描述扩展到旋转，特别是围绕固定轴的旋转运动。我们会发现旋转运动是由一组相关变量描述的，类似于我们在平移运动中使用的变量。

角速度

均匀的圆周运动（前面在《二维和三维运动》中讨论过）是指以恒定速度在圆圈中运动。尽管这是最简单的旋转运动案例，但它在许多情况下非常有用，我们在这里用它来引入旋转变量。

在图中$\PageIndex{1}$，我们显示了一个在圆圈中移动的粒子。坐标系是固定的，用作定义粒子位置的参考框架。它从圆的原点到粒子的位置向量会扫出角度$\theta$，随着粒子沿其圆形路径移动，角度会沿逆时针方向增加。该角度$\theta$称为粒子的角度位置。当粒子在其圆形路径上移动时，它还会追踪弧长 s。

图形是一个显示粒子逆时针移动的图表。从坐标系原点到粒子通道上的点 s 的向量 r 与 X 轴形成一个角度 theta。 — 图$\PageIndex{1}$：粒子沿着圆形路径行驶。当它逆时针移动时，它会$\theta$相对于x轴扫出一个正角度，并描绘出一个弧长s。

角度与圆的半径和弧的长度相关

\[\theta = \frac{s}{r} \ldotp \label{10.1}\]

角度$\theta$，即粒子沿其路径的角度位置，以弧度 (rad) 为单位。有以 360° 为单位的$2\pi$弧度。请注意，弧度测量值是长度测量值的比率，因此是无量纲量。当粒子沿其圆形路径移动时，其角度位置会发生变化，并且会经历角度位移$\Delta \theta$。

我们可以为方程\ ref {10.1} 中的量分配向量。角度$\vec{\theta}$是图中页面的矢量$\PageIndex{1}$。角度位置向量$\vec{r}$和弧长$\vec{s}$都位于页面的平面上。这三个向量通过以下方式相互关联

\[\vec{s} = \vec{\theta} \times \vec{r} \ldotp \label{10.2}\]

也就是说，弧长是角度向量和位置向量的十字乘积，如图所示$\PageIndex{2}$。

图是一个 XYZ 坐标系，显示了三个向量。矢量 Theta 指向 Z 正方向。向量 s 位于 XY 平面中。向量 r 从坐标系的原点定向到向量 s 的起点。 — 图$\PageIndex{2}$：沿 z 轴的角度向量点，位置向量和弧长向量都位于 xy 平面中。我们明白了$\vec{s} = \vec{\theta} \times \vec{r}$。所有三个向量都相互垂直。

角速度的大小（用表示）是粒子在其圆形路径上移动$\theta$时角度变化的时间速率。$\omega$ 瞬时角速度定义为平均角速度中$\Delta$ t → 0 的极限$\bar{\omega} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$：

\[\omega = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{d \theta}{dt}, \label{10.3}\]

哪里$\theta$是旋转角度（图$\PageIndex{2}$）。角速度的单位是弧度每秒 (rad/s)。角速度也可以称为以弧度每秒为单位的旋转速率。在许多情况下，我们得到的旋转速率是以转/秒或周期/秒为单位的。要得出角速度，我们必须将转数/秒乘以 2$\pi$，因为一次完整的旋转中有 2 个$\pi$弧度。由于圆中正角的方向是逆时针方向，因此我们将逆时针旋转视为正旋转，将顺时针旋转视为负值。

通过区分方程\ ref {10.1} 与时间，我们可以看到角速度与粒子的切向速度有何关系。我们将方程\ ref {10.1} 重写为

\[s = r \theta \ldotp\]

取相对于时间的导数并注意半径 r 是一个常数，我们有

\[\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt} (r \theta) = \theta \frac{dr}{dt} + r \frac{d \theta}{dt} = r \frac{d \theta}{dt}\]

其中$\theta \frac{dr}{dt}$ = 0。这里$\frac{ds}{dt}$只是图中粒子的切线速度 v _t$\PageIndex{1}$。因此，通过使用方程\ ref {10.3}，我们得出了

\[v_{t} = r \omega \ldotp \label{10.4}\]

也就是说，粒子的切向速度等于其角速度乘以圆的半径。从方程\ ref {10.4} 中，我们可以看到，在恒定角速度下，粒子的切向速度随着其与旋转轴的距离而增加。此效果如图所示$\PageIndex{3}$。两个粒子以不同的半径放置在旋转圆盘上，角速恒定。当圆盘旋转时，切向速度随旋转轴的半径呈线性增加。在图中$\PageIndex{3}$，我们可以看到 v ₁ = r ₁$\omega_{1}$，v ₂ = r ₂$\omega_{2}$。但是圆盘的角速度是恒定的，所以$\omega_{1} = \omega_{2}$。这意味着$\frac{v_{1}}{r_{1}} = \frac{v_{2}}{r_{2}}$或 v ₂ =$\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)$ v ₁。因此，由于 r ₂ > r ₁，v ₂ > v ₁。

该图显示了旋转圆盘上的两个粒子。粒子 1 与旋转轴的距离 r1 并以 v1 的速度移动。粒子 2 距离旋转轴距离 r2 并以 v2 的速度移动。 — 图$\PageIndex{3}$：旋转圆盘上的两个粒子具有不同的切向速度，具体取决于它们与旋转轴的距离。

到目前为止，我们已经讨论了角速度的大小$\omega = \frac{d \theta}{dt}$，这是一个标量——角位置相对于时间的变化。向量$\vec{\omega}$是与角速度相关的向量，指向旋转轴。这很有用，因为当刚体旋转时，我们想知道旋转轴和主体绕轴旋转的方向，无论是顺时针还是逆时针。角速度$\vec{\omega}$为我们提供了这些信息。角$\vec{\omega}$速度的方向由所谓的右手法则决定。右手法则是，如果右手的手指从 x 轴（$\theta$增加的方向）向 y 轴逆时针方向弯曲，则拇指指向 z 轴正方向（图$\PageIndex{4}$）。因此$\vec{\omega}$，指向 z 轴正向的角速度对应于逆时针旋转，而指向负 z 轴的角速度$\vec{\omega}$对应于顺时针旋转。

图形显示了 XY 平面上逆时针旋转的 XYZ 坐标系。角速度指向 Z 正方向。 — 图$\PageIndex{4}$：对于所示坐标系中的逆时针旋转，角速度按右手定则指向正 z 方向。

我们可以使用弧长的$\vec{s} = \vec{\theta} \times \vec{r}$向量表达式方程\ ref {10.2} 来验证右手法则。如果我们用时间来区分这个方程，我们会发现

\[\frac{d \vec{s}}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec{\theta} \times \vec{r}) = \left(\dfrac{d \theta}{dt} \times \vec{r}\right) + \left(\vec{\theta} \times \dfrac{d \vec{r}}{dt}\right) = \frac{d \theta}{dt} \times \vec{r} \ldotp\]

由于$\vec{r}$是常数，因此该项$\vec{\theta} \times \frac{d \vec{r}}{dt}$ = 0。既然$\vec{v} = \frac{d \vec{s}}{dt}$是切向速度，$\omega = \frac{d \vec{\theta}}{dt}$也是角速度，我们有

\[\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} \ldotp \label{10.5}\]

也就是说，切向速度是角速度和位置向量的交叉乘积，如图所示$\PageIndex{5}$。从下图 (a) 部分可以看出，当角速度在 z 方向为正时，xy 平面的旋转是逆时针的。在 (b) 部分中，角速度在 z 方向为负，在 xy 平面上顺时针旋转。

图 A 是一个 XYZ 坐标系，显示了三个向量。矢量欧米茄指向正 Z 方向。矢量 v 位于 XY 平面中。向量 r 从坐标系的原点指向矢量 v 的起点。图 B 是一个 XYZ 坐标系，显示了三个向量。矢量欧米茄指向负的 Z 方向。矢量 v 位于 XY 平面中。向量 r 从坐标系的原点定向到矢量 v 的起点。 — 图$\PageIndex{5}$：显示的向量是角速度、位置和切向速度。 (a) 角速度指向 z 正方向，在 xy 平面上逆时针旋转。 (b) 角速度指向负 z 方向，顺时针旋转。

示例$\PageIndex{1}$: Rotation of a Flywheel

飞轮旋转使其以$\theta$ =$\omega$ t = (45.0 rad/s) t 弧度的速率扫出一个角度。在页面的平面上查看时，滚轮会逆时针旋转。 (a) 飞轮的角速度是多少？ (b) 角速度的方向是什么？ (c) 飞轮在 30 秒内旋转多少弧度？ (d) 飞轮上距离旋转轴 10 厘米的点的切向速度是多少？

策略

在问题中，飞轮角位置的函数形式为$\theta$ (t) =$\omega$ t，因此，通过取相对于时间的导数，我们可以找到角速度。我们使用右手法则来找出角速度。为了找出飞轮在 30 秒内的角位移，我们求角位移$\Delta \theta$，其中角度位置的变化介于 0 到 30 秒之间。要得出距离旋转轴一定距离的点的切向速度，我们将其距离乘以角速度飞轮。

解决方案

$\omega$=$\frac{d \theta}{dt}$ = 45 rad/s。我们看到角速度是一个常数。
按照右手法则，我们沿旋转方向卷曲手指，即在页面的平面上逆时针方向，拇指指向角速度的方向，即超出页面的角速度。
$\Delta \theta$=$\theta$ (30 秒) −$\theta$ (0 秒) = 45.0 (30.0 秒) − 45.0 (0 秒) = 1350.0 rad。
v _t = r$\omega$ = (0.1 m) (45.0 rad/s) = 4.5 m/s。

意义

在 30 秒内，飞轮旋转了相当多的旋转，如果我们将角位移除以 2，则大约 215 转$\pi$。如果摩擦造成的损失很小，则可以使用大型飞轮以这种方式储存能量。最近的研究考虑了飞轮所在的超导轴承，摩擦造成的能量损失为零。

角加速度

我们刚刚讨论了均匀圆周运动的角速度，但并非所有运动都是均匀的。设想一个滑冰运动员伸出双臂旋转——当他向内拉手臂时，他的角速度会增加。或者考虑一下，随着角速度的降低，计算机的硬盘变慢到停顿状态。我们稍后将探讨这些情况，但是我们已经发现需要定义角度加速度来描述$\omega$变化情况。变化越快$\omega$，角加速度越大。我们将瞬时角加速度定义$\alpha$为角速度相对于时间的导数：

\[\alpha = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{d \omega}{dt} = \frac{d^{2} \theta}{dt^{2}}, \label{10.6}\]

其中，我们将平均角加速度的极限取$\bar{\alpha} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}$为$\Delta t → 0$。角加速度的单位为 (rad/s) /s 或 rad/s ²。

就像我们定义与角速度相关的向量一样$\vec{\omega}$，我们可以定义$\vec{\alpha}$与角加速度相关的向量（图$\PageIndex{6}$）。如果角速度沿着 z 轴的正值（如图所示$\PageIndex{4}$）$\frac{d \omega}{dt}$且为正，则角加速度$\vec{\alpha}$为正且指向 +z 轴。同样，如果角速度$\vec{\omega}$沿 z 轴正向且$\frac{d \omega}{dt}$为负，则角加速度为负并指向 +z 轴。

图 A 显示了逆时针方向的旋转。角加速度与角速度的方向相同。图下方的文字显示 “逆时针旋转速度并增加。图 B 显示顺时针方向的旋转。角加速度的方向与角速度相反。图下方的文字显示 “顺时针旋转速度并递减。 — 图$\PageIndex{6}$：（a）和（b）均以逆时针方向旋转，角速度朝相同的方向旋转。 (a) 角加速度与角速度的方向相同，这会增加旋转速度。 (b) 角加速度与角速度的方向相反，角速度会降低旋转速度。

我们可以将切向加速度向量表示为角加速度和位置向量的交叉乘积。这个表达式可以通过取的时间导数来找到，$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$然后留作练习：

\[\vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} \ldotp \label{10.7}\]

角加速度和切向加速度的向量关系如图所示$\PageIndex{7}$。

图 A 是一个 XYZ 坐标系，显示了三个向量。矢量 Alpha 指向正 Z 方向。向量 a 位于 XY 平面中。向量 r 从坐标系的原点定向到向量 a 的起点。图 B 是一个 XYZ 坐标系，显示了三个向量。矢量 Alpha 指向负 Z 方向。向量 a 位于 XY 平面中。向量 r 从坐标系的原点定向到向量 a 的起点。 — 图$\PageIndex{7}$：(a) 角加速度是正 z 方向，产生逆时针意义上的切向加速度。 (b) 角加速度在 z 方向为负，产生顺时针意义上的切向加速度。

我们可以将旋转体上某个点与旋转轴相距一定距离的切向加速度关联起来，就像将切线速度与角速度关联起来一样。如果我们根据时间区分方程\ ref {10.4}，注意半径 r 是恒定的，我们得到

\[a_{t} = r \alpha \ldotp \label{10.8}\]

因此，切向加速度 a _t 是半径乘以角加速度。方程\ ref {10.4} 和\ ref {10.8} 对于讨论滚动运动很重要（参见角动量）。

让我们将这些想法应用于一些简单的固定轴旋转场景的分析。在这样做之前，我们提出了一种可以应用于旋转运动学的问题解决策略：对旋转运动的描述。

问题解决策略：旋转运动学

检查情况以确定是否涉及旋转运动学（旋转运动）。
准确确定问题中需要确定的内容（找出未知数）。概述一下情况很有用。
如上所述，列出给出或可以从问题中推断出的内容的完整清单（找出已知数）。
求解相应的方程或方程以确定要确定的量（未知量）。从平移模拟的角度来思考可能会很有用，因为现在你已经熟悉了平移运动的方程。
将已知值及其单位替换到相应的方程中，然后获得带有单位的数值解。一定要使用弧度单位来表示角度。
检查你的答案，看看它是否合理：你的答案有意义吗？

现在，让我们将这个问题解决策略应用于几个具体的例子。

示例$\PageIndex{2}$: A Spinning Bicycle Wheel

自行车修理工将自行车安装在维修台上，然后开始后轮在 5.00 秒内从静止状态旋转到 250 rpm 的最终角速度。(a) 以 rad/s ² 为单位计算平均角加速度。 (b) 如果她现在踩刹车，导致角加速度为 −87.3 rad/s ²，那么方向盘需要多长时间才能停下来？

策略

平均角加速度可以直接从其定义中找到，$\bar{\alpha} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}$因为给出了最终的角速度和时间。我们看到$\Delta \omega$ =$\omega_{final}$ −$\omega_{initial}$ = 250 rev/min，$\Delta$t 是 5.00 秒。对于 (b) 部分，我们知道角加速度和初始角速度。我们可以通过使用平均角加速度的定义来找到停止时间，然后求解$\Delta$ t，得出

\[\Delta t = \frac{\Delta \omega}{\alpha} \ldotp\]

解决方案

^{在角加速度的定义中输入已知信息，我们得到 $$\ bar {\ alpha} =\ frac {\ Delta\ omega} {\ Delta t} =\ frac {250\; rpm} {5.00\; s}\ ldotp$$因为$\Delta \omega$以每分钟转数 (rpm) 为单位，我们需要}从 rpm 转换为 rad/s：$$\ Delta\ omega = 250\ frac {rev} {min}\;\ cdotp\ frac {2\ pi\; rad} {rev}\;\ cdotp\ frac {1\; s} = 26.2\; rad/s\ ldotp$$在表达式中输入这个数量，我们得到 $$bar {\ alpha} =\ frac {\ Delta\ omega} {\ Delta t} =\ frac {26.2\; rpm} {5.00\; s} = 5.24\; rad/s^ {2$\alpha$}\ ldotp$$
这里的角速度从 26.2 rad/s（250 rpm）降至零，因此$\Delta \omega$为 −26.2 rad/s，给定$\alpha$为 —87.3 rad/s ²。因此 $$\ Delta t =\ frac {-26.2\; rad/s} {-87.3\; rad/s^ {2}} = 0.300\; s\ ldotp$$

意义

请注意，机械师旋转车轮时的角加速度很小且为正；产生可观的角速度需要 5 秒。当她踩刹车时，角加速度很大，而且是负值。角速度很快变为零。

练习$\PageIndex{1}$

涡轮风扇喷气发动机上的风扇叶片（如下所示）在 20 秒内从静止状态加速到 40.0 rev/s 的旋转速度。风扇角速度的增加在时间上是恒定的。（如图所示，安装在波音 777 上的 GE90-110B1 涡轮风扇发动机是目前世界上最大的涡轮风扇发动机，推力可达 330—510 kN。） (a) 平均角加速度是多少？ (b) 在最初的 20 秒内任何时候的瞬时角加速度是多少？

图为飞机机翼下方的空气涡轮机的照片。

示例$\PageIndex{3}$: Wind Turbine

风力发电场中的风力涡轮机（图$\PageIndex{9}$）正在关闭以进行维护。涡轮机从工作角速度转变为完全停止需要 30 秒，其中角速度函数为$\omega$ (t) =$\Big[\frac{(ts^{−1} −30.0)^{2}}{100.0} \Big]$ rad/s。如果涡轮机逆时针旋转，看页面，(a) 角速度和加速度向量的方向是什么？ (b) 平均角加速度是多少？ (c) t = 0.0、15.0、30.0 s 时的瞬时角加速度是多少？

图是一张逆时针旋转的风力涡轮机的图，如正面所示。 — 图$\PageIndex{9}$：逆时针旋转的风力涡轮机，如正面所示。

策略

我们被赋予了涡轮机的旋转感，它在页面的平面上是逆时针的。使用右手法则（图 10.5），我们可以确定角速度和加速度向量的方向。
我们计算初始和最终角速度以获得平均角加速度。我们根据 (a) 中的结果确定角加速度的符号。
我们被赋予角速度的函数形式，因此我们可以通过取角加速度函数相对于时间的导数来找到角加速度函数的函数形式。

解决方案

由于涡轮机逆时针旋转，因此角速度$\vec{\omega}$指向页外。但是由于角速度在降低，角加速度$\vec{\alpha}$指向页面，这与角速度相反。
涡轮机的初始角速度，设置 t = 0，为$\omega$ = 9.0 rad/s。最终角速度为零，因此平均角加速度为 $$\ bar {\ alpha}\ frac {\ Delta\ omega} {\ delta t} =\ frac {0-9.0\; rad/s} {30.0-0\; s} = -0.3\; rad/s^ {2}\ ldotp$$
取角速度相对于时间的导数得出$\alpha = \frac{d \omega}{dt} = \frac{(t − 30.0)}{50.0}$ rad/s ² $$\ alpha (0.0; s) = -0.6\; rad/s^ {2}、\ alpha (15.0\; s) = -0.3\; rad/s^ {2} 和\;\ alpha (30.0\; s) = 0\; rad/s\ ldotp$$

意义

我们从 (a) 和 (b) 中的计算中发现，角加速度 α 和平$\bar{\alpha}$均角加速度为负。涡轮机的角加速度与其角速度相反。

我们现在有了讨论固定轴旋转运动学和旋转变量之间关系的基本词汇。我们将在下一节中讨论更多定义和联系。

示例\(\PageIndex{1}\): Rotation of a Flywheel

解决方案

问题解决策略：旋转运动学

示例\(\PageIndex{2}\): A Spinning Bicycle Wheel

解决方案

练习\(\PageIndex{1}\)

示例\(\PageIndex{3}\): Wind Turbine

解决方案