7.5: Power

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学习目标

将某一时间间隔内完成的工作与输送的功率关联起来
找出作用在移动物体上的力消耗的力量

功的概念涉及力和位移；工作能定理将对物体进行的净功与其动能的差异联系起来，该差异是在其轨迹上两点之间计算得出的。这些数量或关系都不明确涉及时间，但我们知道，完成特定工作量的时间对我们来说通常与数量本身一样重要。在开篇的图表中，几名短跑运动员可能在终点时达到了相同的速度，因此做了同样的工作量，但是比赛的获胜者在最短的时间内完成了比赛。

我们通过引入权力的概念来表达已完成的工作与完成工作所涉及的时间间隔之间的关系。由于工作可以随时间变化而变化，因此我们首先将平均功率定义为在时间间隔内完成的工作除以间隔，

\[P_{ave} = \frac{\Delta W}{\Delta t} \ldotp \label{7.10}\]

然后，我们可以定义瞬时功率（通常称为普通功率）。

定义：权力

功率定义为工作速率，或接近零的时间间隔内的平均功率极限，

\[P = \frac{dW}{dt} \ldotp \label{7.11}\]

如果功率在一段时间间隔内保持不变，则该间隔的平均功率等于瞬时功率，而提供电力的代理所做的工作为

\[W = P \Delta t.\]

如果间隔内的功率随时间（即\(P(t)\)）而变化，则完成的工作就是该次功率的时间积分，

\[W = \int P (t) dt \ldotp\]

工作能量定理涉及如何将工作转化为动能。由于还有其他形式的能量，正如我们在下一章中讨论的那样，我们也可以将功率定义为能量的传递速率。功率和能量以焦耳为单位来衡量，因此功率以焦耳每秒为单位来衡量，SI 命名为 watts，缩写 W：1 J/s = 1 W。表示日常设备功率能力的另一个常用单位是马力：1 hp = 746 W

示例\(\PageIndex{1}\): Pull-Up Power

一名 80 公斤的陆军见习生在单杠上做引体向上（图\(\PageIndex{1}\)）。学员需要0.8秒才能将身体从较低的位置抬高到下巴上方的位置。受训者的肌肉能提供多少力量，将他的身体从较低的位置移动到下巴高于杠铃的位置？（提示：对所需的任何数量做出合理的估计。）

这个数字是一个人在做拉动的例证。在上拉过程中，该人移动了 Delta y 的垂直距离。显示了 m 乘以向量 g 的向下力，作用于上拉顶部和底部位置的人。 — 图\(\PageIndex{1}\)：在十秒钟内进行十次引体向上消耗的力量是多少？

策略

对抗重力，无论是向上还是向下移动\(\Delta\) y，都是 mg\(\Delta\) y。假设\(\Delta\) y = 2 英尺 β 60 cm。另外，假设手臂占体重的10％，不包括在运动质量中。根据这些假设，我们可以计算出完成的工作。

解决方案

运用我们的假设，我们得到的结果是

\[P=\frac{\operatorname{mg}(\Delta y)}{t}=\frac{0.9(80 \: \mathrm{kg})\left(9.8 \: \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}\right)(0.60 \: \mathrm{m})}{0.8 \: \mathrm{s}}=529 \: \mathrm{W}\]

意义

这是剧烈运动中功率消耗的典型情况；在日常单位中，它略多于一马力（1 马力 = 746 W）。

练习\(\PageIndex{1}\)

估计举重运动员在 3 秒内举起 150 千克杠铃 2 米所消耗的力量。

回答: 在此处添加文本。请勿先删除此文本。

移动物体所涉及的力量也可以用作用于其上的力来表示。如果力\(\vec{F}\)作用于在时间 dt 内移动 d\(\vec{r}\) 的物体，则该力消耗的力量为

\[P = \frac{dW}{dt} = \frac{\vec{F}\; \cdotp d \vec{r}}{dt} = \vec{F}\; \cdotp \left(\dfrac{d \vec{r}}{dt}\right) = \vec{F}\; \cdotp \vec{v}, \label{7.12}\]

哪里\(\vec{v}\)是身体的速度。对于真实物体的运动，导数所暗示的极限是存在的，这一事实证明了无穷小值的重排是合理的。

示例\(\PageIndex{2}\): Automotive Power Driving Uphill

汽车发动机必须消耗多少功率才能使一辆1200公斤的汽车以90 km/h的速度向上移动15％的坡度（图\(\PageIndex{2}\)）？假设这种功率的25％是在克服空气阻力和摩擦力时消耗掉的。

显示一辆汽车以 v = 每小时 90 千米的速度沿着 15% 的坡度向上移动。这辆车的重量 m = 1200 千克。 — 图\(\PageIndex{2}\)：我们要计算将汽车以恒定速度上山所需的功率。

策略

在恒定速度下，动能没有变化，因此移动汽车的净工作量为零。因此，发动机为移动汽车提供的功率等于在重力和空气阻力下消耗的功率。假设75％的功率是在重力作用下提供的，等于m\(\vec{g}\; \cdotp \vec{v}\) = mgv sin\(\theta\)，其中\(\theta\)是倾斜角度。 15% 的等级表示棕褐色\(\theta\) = 0.15。这种推理使我们能够解决所需的功率。

解决方案

执行建议的步骤，我们发现

\[0.75 P = mgv \sin(\tan^{−1} 0.15),\]

要么

\[P = \frac{(1200 \times 9.8\; N)(\frac{90\; m}{3.6\; s}) \sin (8.53^{o})}{0.75} = 58\; kW,\]

或者大约 78 马力（您应提供用于转换单位的步骤。）

意义

这是中小型汽车发动机可以提供的合理功率（1 hp = 0.746 kW）。请注意，这只是移动汽车所消耗的功率。例如，发动机的大部分动力流向其他地方，转化为余热。这就是汽车需要散热器的原因。任何剩余的功率都可用于加速或操作汽车的配件。