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7.3: 动能

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    学习目标

    • 根据粒子的质量和速度或动量计算粒子的动能
    • 评估身体相对于不同参照系的动能

    可以假设一个物体的速度越大，它对其他物体的影响就越大。 这不取决于速度的方向，只取决于其幅度。 十七世纪末，力学中引入了一个量来解释两个完全弹性的物体之间的碰撞，其中一个物体与处于静止状态的同一个物体发生正面碰撞。 第一主体停止，第二主体以第一主体的初始速度移开。 （如果你曾经玩过台球或槌球，或者看过牛顿摇篮的模型，你已经观察到了这种碰撞。） 这个数量背后的想法与作用于身体上的力有关，被称为 “运动能量”。 后来，在十八世纪，动能被命名为运动能。

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    牛顿的摇篮在运动。 一个球开始运动，很快就会与其他球发生碰撞，将能量通过其余的球输送到最后一个球，最后一个球反过来又开始运动。 （CC SA-BY 3.0；Dominique Toussaint）。

    考虑到这段历史，我们现在可以陈述动能的经典定义。 请注意，当我们说 “经典” 时，我们的意思是非相对论，也就是说，速度远低于光速。 正如相对论中所讨论的那样，在速度与光速相当的情况下，狭义相对论要求对粒子的动能采用不同的表达方式。 由于感兴趣的物体（或系统）的复杂度各不相同，因此我们首先定义质量为 m 的粒子的动能。

    动能

    粒子的动能是粒子质量 m 的乘积及其速度的平方的一半\(v\)：

    \[K = \frac{1}{2} mv^{2} \ldotp \label{7.6}\]

    然后，我们将所有组成粒子的动能相加，将这个定义扩展到任何粒子系统：

    \[K =\sum \frac{1}{2} mv^{2} \ldotp \label{7.7}\]

    请注意，正如我们可以用动量变化率或质量乘以速度变化率来表示牛顿第二定律一样，因此粒子的动能可以用其质量和动量（\(\vec{p}\)= m\(\vec{v}\)）来表示，而不是其质量和速度。 由于 v =\(\frac{p}{m}\)，我们可以看到

    \[K = \frac{1}{2} m \left(\dfrac{p}{m}\right)^{2} = \frac{p^{2}}{2m}\]

    也表示单个粒子的动能。 有时，此表达式比方程式更便于使用\(\ref{7.6}\)。 动能单位是质量乘以速度的平方，或 kg • m 2 /s 2。 但是力的单位是质量乘以加速度，kg • m/s 2，因此动能单位也是力乘以距离的单位，即工作单位或焦耳。 你将在下一节中看到，功能和动能具有相同的单位，因为它们是相同的、更一般的物理属性的不同形式。

    示例\(\PageIndex{1}\): Kinetic Energy of an Object

    1. 80 公斤运动员以 10 m/s 的速度跑步的动能是多少？
    2. 尤卡坦的奇克苏卢布火山口是地球上现有最大的撞击坑之一，被认为是由一颗小行星造成的，该小行星以22 km/s的速度行驶，撞击时释放4.2 x 10 23 J的动能。 它的质量是多少？
    3. 在核反应堆中，以大约 2.2 km/s 的速度行驶的热中子起着重要作用。 这种粒子的动能是多少？

    策略

    要回答这些问题，你可以使用方程式中动能的定义\(\ref{7.6}\)。 你还必须查看中子的质量。

    解决方案

    不要忘记将 km 转换为 m 来进行这些计算，尽管为了节省空间，我们省略了显示这些转换结果。

    1. $$K =\ frac {1} {2} (80\; kg) (10\; m/s) ^ {2} = 4.0\; kj\ ldotp\ nonumber $$
    2. $$m =\ frac {2K} {v^ {2}} =\ frac {2 (4.2\ times 10^ {23}\; J)} {22\; kg\; kg\ ldotp\ nonumber$$
    3. $$K =\ frac {1} {2} (1.68\ times 110^ {-27}\; kg) (2.2\; kg/s) ^ {2} = 4.1\ times 10^ {-21}\; J\ ldotp\ nonumber$$

    意义

    在这个例子中，我们使用了质量和速度与动能的关系方式，我们遇到了非常广泛的动能值。 对于如此大的值和非常小的值，通常使用不同的单位。 (b) 部分中撞击物的能量可以与 TNT 和核爆炸的爆炸产量进行比较，1 兆吨 = 4.18 x 10 15 J。Chicxulub 小行星的动能约为一亿吨。 在另一个极端，亚原子粒子的能量以电子伏特表示，1 eV = 1.6 x 10 −19 J。部分（c）的热中子的动能约为电子伏特的四分之一。

    练习\(\PageIndex{1}\)

    1. 一辆汽车和一辆卡车都以相同的动能行驶。 假设卡车的质量比汽车大。 哪个速度更快？
    2. 一辆汽车和一辆卡车都以相同的速度行驶。 哪个动能更大？

    因为速度是一个相对量，所以你可以看到动能的值必须取决于你的参考框架。 通常，您可以选择适合分析目的并简化计算的参考框架。 其中一个参考框架就是对系统进行观测的参考框架（很可能是外部框架）。 另一种选择是将框架连接到系统或随系统一起移动（可能是内部框架）。 《二维与三维运动》中讨论的相对运动方程为计算物体相对于不同参考系的动能提供了链接。

    示例\(\PageIndex{2}\): Kinetic Energy Relative to Different Frames

    一个75.0公斤的人沿着地铁车厢的中央过道行走，相对于车厢的速度为1.50 m/s，而火车相对于轨道的行驶速度为15.0 m/s。

    1. 这个人相对于汽车的动能是多少？
    2. 这个人相对于轨道的动能是多少？
    3. 相对于随人移动的框架，人的动能是多少？

    策略

    既然给出了速度，我们可以使用\(\frac{1}{2}\) mv 2 来计算人的动能。 但是，在（a）部分中，人的速度是相对于地铁车厢的（如给定的）；在（b）部分中，它是相对于轨道的；在部分（c）中，速度为零。 如果我们用 C 表示车架，用 T 表示轨道车架，P 表示人，那么 (b) 部分中的相对速度由\(\vec{v}_{PT}\) =\(\vec{v}_{PC}\) + 相关\(\vec{v}_{CT}\)。 我们可以假设中央过道和轨道位于同一条线上，但是没有指定人相对于汽车的行走方向，因此我们将为每种可能性给出答案，v PT = v CT ± v PC，如图所示\(\PageIndex{1}\)。

    两幅关于一个人在火车车厢里行走的插图。 在图 a 中，人使用速度向量 v sub P C 向右移动，火车使用速度向量 v sub C T 向右移动。在图 b 中，人用速度向量 v sub P C 向左移动，火车以速度向量 v sub C T 向右移动
    图\(\PageIndex{1}\)：在火车上行走的人可能的动作是（a）朝向汽车前部和（b）朝向汽车后部。
    解决方案
    1. $$K =\ dfrac {1} {2} (75.0\; kg) (11.50\; m/s) ^ {2} = 84.4\; J\ ldotp\ nonumber$$
    2. $$v_ {PT} = (15.0\ pm 1.50) 7; m/s\ ldotp\ nonumber$$ 因此，相对于汽车的动能的两个可能值是 $$K =\ dfrac {1} {2} (75.0\; m/s) ^ {2} = 6.83\; kj\ nonumber $$ 和 $$K =\ frac {1} {2} (75.0\; kg) (16.5\; m/s) ^ {2} = 10.2\; kJ\ ldotp\ nonumber$$
    3. 在 v P = 0、K 也是 0 的帧中。

    意义

    你可以看到，根据参照系的不同，物体的动能值可能有很大的不同。 但是，物体的动能永远不能为负，因为它是质量和速度平方的乘积，两者始终为正或零。

    练习\(\PageIndex{2}\)

    你正在划一条平行于河岸的船。 你相对于河岸的动能小于相对于水的动能。 你是在与潮流一起划船还是逆流划船？

    粒子的动能是一个单一量，但是粒子系统的动能有时可以分为各种类型，具体取决于系统及其运动。 例如：

    • 如果系统中的所有粒子都具有相同的速度，则该系统正在进行平移运动并具有平移动能。
    • 如果物体在旋转，它可能具有旋转动能。
    • 如果它在振动，则可能具有振动动能。

    系统相对于内部参照系的动能可以称为内部动能。 与随机分子运动相关的动能可以称为热能。 这些名称将在适当的时候在本书的后面章节中使用。 不管名称如何，每种动能都是相同的物理量，代表与运动相关的能量。

    示例\(\PageIndex{3}\): Special Names for Kinetic Energy

    1. 一名球员用 624 克的篮球在中场传球，篮球在 2 秒内覆盖 15 米。篮球在飞行中的水平平移动能是多少？
    2. 篮球中（a）部分为平均空气分子，相对于篮球，其质量为29 u，平均速度为500 m/s。 当球被正确充气时，里面大约有 3 x 10 23 个分子，它们朝随机方向移动。 相对于篮球，内部所有分子随机运动的平均平移动能是多少？
    3. 篮球相对于球场必须以多快的速度移动，就像（a）部分一样，才能获得等于（b）部分中的动能？

    策略

    在 (a) 部分中，首先找到篮球的水平速度，然后使用质量和速度的动能定义 K =\(\frac{1}{2} mv^{2}\)。 然后在 (b) 部分中，将统一单位转换为千克，然后使用 K =\(\frac{1}{2} mv^{2}\) 得出一个分子相对于篮球的平均平移动能。 然后乘以分子数得出总结果。 最后，在 (c) 部分中，我们可以将 (b) 部分中的动能量和部分 (a) 中的篮球质量替换为定义 K =\(\frac{1}{2} mv^{2}\)，然后求解 v

    解决方案
    1. 水平速度是\(\frac{(15\; m)}{(2\; s)}\)，所以篮球的水平动能为 $$\ frac {1} {2} (0.624\; kg) (7.5\; m/s) ^ {2} = 17.6\; J\ ldotp\ nonumber$$
    2. 分子的平均平移动能为 $$\ frac {1} {2} (29\; u) (1.66\ times 10^ {-27}\; kg/u) (500\; m/s) ^ {2} = 6.02\ times 10^ {-21}\; J,\ nonumber $$ 所有分子的总动能为 $$ (3\ times 10^ {23}) (6.02\ times 10^ {-21}\; J) = 1.80\; kJ\ ldotp\ nonumber$$
    3. $$v =\ sqrt {\ frac {2 (1.8\; kJ)} {(0.624\; kg)} = 76.0\; m/s\ ldotp\ nonumber$$

    意义

    在（a）部分中，这种动能可以称为物体（篮球）相对于其周围环境（球场）的水平动能。 如果篮球在旋转，那么篮球的所有部分不仅会有平均速度，而且还会有旋转动能。 第（b）部分提醒我们，这种动能可以称为内部动能或热动能。 请注意，这种能量大约是 (a) 部分能量的一百倍。 如何利用热能将成为热力学章节的主题。 在（c）部分中，由于（b）部分中的能量大约是（a）部分的100倍，因此速度应该是原来的10倍左右（76比7.5 m/s）。