7.2: 工作

学习目标

• 代表任何力量所做的工作
• 评估为各种力量所做的工作

在物理学中，工作代表一种能量。 当一支力量作用于从一个位置移到另一个位置的某物时，工作就完成了。 力可以随位置的变化而变化，位移可以沿着两点之间的不同路径进行。 我们首先将通过无穷小位移 d 作用的力$\vec{F}$所完成的工作 dW 的增量定义$\vec{r}$为这两个向量的点积：

$$dW = \vec{F} \cdotp d \vec{r} = |\vec{F}||d \vec{r}| \cos \theta \ldotp \label{7.1}$$

然后，我们可以将两个位置之间的路径上的无穷小位移的贡献相加，得出总功率。

一支部队所做的工作

力所做的工作是该力相对于位移路径上的位移的积分：

$$W_{AB} = \int_{path\; AB} \vec{F} \cdotp d \vec{r} \ldotp \label{7.2}$$

定义作用在粒子上的力所完成的工作所涉及的向量如图所示$\PageIndex{1}$。

图$\PageIndex{1}$：用于定义工作的向量。 作用于粒子的力及其无穷小位移显示在 A 和 B 之间路径上的某一点。无穷小功是这两个向量的点积；总功是路径上点积的积分。

我们选择用向量的大小和它们之间角度的余弦来表示点积，因为工作点积的含义可以用大小和角度更直接地用文字表达。 我们同样可以用 Vectors 中引入的各种组件来表示点积。 在二维中，它们是笛卡尔坐标中的 x 和 y 分量，或者极坐标中的 r 和$\varphi$-分量；在三维中，它只是 x、y 和 z 分量。 哪种选择更方便取决于情况。 换句话说，您可以将方程\ ref {7.1} 表示作用在位移上的力作为一个分量与另一个分量平行作用的乘积所完成的工作。 从向量的属性来看，无论是取平行于位移的力的分量还是平行于力的位移分量都没关系，无论哪种方式，都会得到相同的结果。

回想一下，力的大小乘以力在给定方向上形成的角度的余弦是给定方向上的力的分量。 向量的分量可以是正、负或零，这取决于向量和分量方向之间的角度是介于 0° 和 90° 之间，还是 90° 和 180° 之间，还是等于 90°。 因此，力所做的功可以是正、负或零，这取决于力通常是朝向位移的方向，通常与位移相反，还是垂直于位移。 当给定力沿着位移方向（cos$\theta$ = ± 1）时，最大功率由给定力完成；当力垂直于位移时（cos$\theta$ = 0），则为零。

工作单位是力乘以长度单位，在 SI 系统中，长度单位是牛顿乘以米，N • m。出于我们稍后将提及的历史原因，这种组合被称为焦耳，缩写为 J。在美国仍在使用的英制系统中，力单位是磅 (lb)，距离单位是英尺（ft），所以工作单位是英尺磅（ft • lb）。

由恒定力和接触力完成的工作

最容易评估的工作是由大小和方向恒定的力完成的。 在这种情况下，我们可以分解力；剩下的积分只是总位移，它仅取决于端点 A 和 B，而不取决于它们之间的路径：

$$W_{AB} = \vec{F} \cdotp \int_{A}^{B} d \vec{r} = \vec{F} \cdotp (\vec{r}_{B} - \vec{r}_{A}) = |\vec{F}||\vec{r}_{B} - \vec{r}_{A}| \cos \theta\; (constant\; force) \ldotp \nonumber$$

我们也可以通过用笛卡尔坐标写出方程\ ref {7.2} 并使用力分量恒定这一事实来看待这一点：

$$\begin{split} W_{AB} & = \int_{path\; AB} \vec{F} \cdotp d \vec{r} = \int_{path\; AB} (F_{x} dx + F_{y} dy + F_{z} dz) = F_{x} \int_{A}^{B} dx + F_{y} \int_{A}^{B} dy + F_{z} \int_{A}^{B} dz \\ & = F_{x} (x_{B} - x_{A}) + F_{y} (y_{B} - y_{A}) + F_{z} (z_{B} - z_{A}) = \vec{F} \cdotp (\vec{r}_{B} - \vec{r}_{A}) \ldotp \end{split} \nonumber$$

该图$\PageIndex{2a}$显示了一个人$\vec{F}$沿着割草机的手柄施加恒定的力，割草机的手柄$\theta$与水平方向成一定角度。 力作用在割草机的水平位移是$\vec{d}$。 在割草机上所做的工作是

$$W = \vec{F} \cdotp \vec{d} = Fd \cos \theta,\nonumber$$

该图还说明了力的水平分量乘以位移的大小。

图$\PageIndex{2}$：由恒定力量完成的工作。 (a) 一个人用恒定的力量推动割草机。 与位移平行的力的分量是完成的工作，如图中的方程所示。 (b) 一个人拿着公文包。 没有做任何工作，因为位移为零。 (c) (b) 中的人拿着公文包水平行走。 没有完成任何工作，因$\theta$为 cos 为零。

$\PageIndex{2b}$该图显示一个人拿着公文包。 人必须施加向上的力，其大小等于公文包的重量，但是这种力量不起作用，因为它所作用的位移为零。 那么，如果你不做任何工作，为什么拿着公文包最终会感到疲倦呢？ 答案是，手臂中的肌肉纤维正在收缩并在手臂内起作用，尽管你的肌肉在公文包上施加的外部力量对公文包没有任何作用。 （你施加的部分力量也可能是手臂骨骼和韧带的紧张，但你体内的其他肌肉会起到维持手臂位置的作用。）

在图中$\PageIndex{2c}$，（b）中的人以恒定速度水平行走，公文包上的人所做的工作仍然为零，但现在是因为施加的力与位移之间的角度为90°（$\vec{F}$垂直于$\vec{d}$），cos 90° = 0。

示例$\PageIndex{1}$: Calculating the Work You Do to Push a Lawn Mower

$\PageIndex{2a}$如果图中的人在水平线以下 35° 的角度施加 75.0 N 的恒定力，并将割草机推到平坦的地面上 25.0 m，他在割草机上做了多少工作？

策略

我们可以通过将给定值代入用恒定力在物体上完成的工作的定义来解决这个问题，如方程式 W = Fd cos 所述$\theta$。 给出了力、角度和位移，因此只有功率 W 是未知的。

解决方案

这项工作的方程式是

$$W = Fd \cos \theta \ldotp \nonumber$$

用已知值代替得出

$$W = (75.0\; N)(25.0\; m) \cos(35.0^{o}) = 1.54 \times 10^{3}\; J \ldotp \nonumber$$

意义

尽管一千焦耳可能看起来很麻烦，但我们将在《潜在能量与节能》中看到，燃烧六分之一克脂肪所能完成的工作量差不多。

当你割草时，除了你施加的力之外，还有其他力量作用于割草机上，即地面的接触力和地球的引力。 让我们总体上考虑一下这些力量所做的工作。 对于在曲面上移动的对象，位移 d$\vec{r}$ 与曲面相切。 物体上垂直于表面的接触力部分是法向力$\vec{N}$。 由于曲面法线和切线之间的角度的余弦值为零，因此我们有

$$dW_{N} = \vec{N} \cdotp d \vec{r} = \vec{0} \ldotp \nonumber$$

在这种情况下，普通力量永远不起作用。 （请注意，如果位移 d$\vec{r}$ 确实有一个垂直于表面的相对分量，则物体要么离开表面，要么突破表面，并且不再存在任何法向接触力。 但是，如果物体不仅仅是一个粒子，并且具有内部结构，则法向接触力可以在其上起作用，例如，通过移位它或使其形状变形。 这将在下一章中提及。）

物体上平行于表面的接触力部分是摩擦力$\vec{f}$。 对于这个沿着表面滑动的物体，相对于表面$\vec{r}$，动摩擦$\vec{f}_{k}$与 d 相反，因此动摩擦所做的工作是负的。 如果的大小$\vec{f}_{k}$是恒定的（就像物体上的所有其他力都恒定时一样），那么摩擦所做的工作就是

$$W_{fr} = \int_{A}^{B} \vec{f}_{k} \cdotp d \vec{r} = - f_{k} \int_{A}^{B} |dr| = - f_{k} |l_{AB}| \ldotp \label{7.3}$$

其中 |l _AB | 是表面上的路径长度。 _{（请注意，特别是如果一支力量所做的工作是负面的，人们可能会指针对这支力量所做的工作，其中 dW vating = −dW by。} 对力量所做的工作也可以被视为战胜这种力量所需的工作，如 “需要做多少工作才能克服...？”） 但是，静摩擦力可以起到正向或消极的作用。 当你走路时，地面对你的后脚施加的静摩擦力会加速你的每一步的一部分。 如果你减速，你前脚的地面力量会减慢你的速度。 如果你在直线平坦的高速公路上以限速行驶，那么空气阻力的动摩擦所产生的负面作用会被驱动轮上道路的静摩擦所产生的积极作用所抵消。 你可以将地毯从物体下面拉出来，这样地毯相对于地毯向后滑动，但相对于地板向前滑动。 在这种情况下，地毯对物体施加的动摩擦可能与物体相对于地板的位移方向相同，并且起到积极的作用。 最重要的是，你需要分析每个特定的情况，以确定力所做的工作，无论是正、负还是零。

示例$\PageIndex{2}$: Moving a Couch

你决定将沙发移到水平起居室地板上的新位置。 沙发上的法向力为 1 kN，摩擦系数为 0.6。 (a) 你首先将沙发与墙平行推 3 米，然后垂直于墙壁 1 m（图中的 A 到 B$\PageIndex{3}$）。 摩擦力做了多少工作？ (b) 你不喜欢这个新位置，所以你把沙发直接移回原来的位置（图中的 B 到 A$\PageIndex{3}$）。 将沙发从原来的位置移开然后又向后移动，在对抗摩擦方面做了多少工作？

图$\PageIndex{3}$：移动沙发路径的俯视图。

策略

沙发上动摩擦力的大小是恒定的，等于摩擦系数乘以法向力 f _K =$\mu_{K}$ N。因此，它所做的工作是 W _fr = −f _K d，其中 d 是所穿越的路径长度。 路径的分段是直角三角形的边，因此路径长度很容易计算。 在 (b) 部分中，你可以使用这样一个事实，即对力量所做的工作是原力所做工作的负值。

解决方案

1. 摩擦完成的工作是 $$W = − (0.6) (1\; kN) (3\; m + 1\; m) = − 2.4\; kJ\ ldotp\ nonumber$$
2. 沿斜边的路径长度为$\sqrt{10}$ m，因此对抗摩擦的总功率为 $$W = (0.6) (1\; kN) (3\; m +\ sqrt {10}\; m) = 4.3\; kJ\ ldotp\ nonumber$$

意义

评估摩擦作用的总路径在同一点开始和结束（这是一条封闭路径），因此沙发的总排量为零。 但是，总工作量不为零。 原因是，正如我们在下一章中讨论的那样，摩擦等力量被归类为非保守力量或消散力量。

练习 7.1

动摩擦能否成为所有路径的恒定力？

上面提到的割草机上的另一种力是地球的引力或割草机的重量。 在地球表面附近，质量为 m 的物体上的引力具有恒定大小 mg 和恒定方向，垂直向下。 因此，重力对物体所做的工作是其重量和位移的点积。 在许多情况下，用向量的 x、y 和 z 分量来表示引力功的点积比较方便。 典型的坐标系有 x 轴水平和 y 轴垂直向上。 那么引力为 −mg$\hat{j}$，所以重力在从 A 到 B 的任何路径上所做的工作都是

$$W_{grav,\; AB} = -mg \hat{j} \cdotp (\vec{r}_{B} - \vec{r}_{A}) = -mg (y_{B} - y_{A}) \ldotp \label{7.4}$$

对物体施加恒定重力所完成的工作仅取决于物体的重量和物体移动的高度差。 重力对向上移动的物体起负作用（y _B > y _A），或者换句话说，你必须对重力进行正向作用才能向上抬起物体。 或者，重力对向下移动的物体（y _{B < y A}）起到正作用，或者你对重力进行负作用以向下 “抬起” 物体，控制其下降使其不会掉落到地面。 （使用 “提升” 而不是 “掉落”。）

示例$\PageIndex{3}$: Shelving a Book

你从书架上抬起一本重 20 N、垂直向下 1 米的超大图书馆书籍，然后将其水平搬到桌子上（图$\PageIndex{4}$）。 重力在这本书上做了多少工作？ (b) 完成后，将书沿直线移回书架上的原始位置。 把这本书从书架上原来的位置移开，然后又回来了，对抗重力做了什么？

图$\PageIndex{4}$：将书架移入和移出书架的路径的侧视图。

策略

我们刚刚看到，恒定重力所完成的工作仅取决于移动物体的重量和所走路径的高度差，W _AB = −mg (yB − y _A)。 我们可以评估身高的差异来回答（a）和（b）。

解决方案

1. 由于这本书从书架上开始向下抬起 y _B − y _A = −1 m，所以我们有 $$W = − (20\; N) (− 1\; m) = 20 J\ ldotp\ nonumber$$
2. 任何起点和终点在架子上相同位置的路径的高度差为零，因此 W = 0。

意义

当书从书架上向下移动时，Gravity 会起到积极作用（20 J）。 两个物体之间的引力是一种吸引力，当物体靠近时，它会起到正作用。 当书从书架水平移动到桌子时，重力作用为零（0 J）；当书从桌子移回书架时，重力作用为负（−20 J）。 通过重力完成的总功率为零 [20 J + 0 J + (−20 J) = 0]。

与示例中描述的摩擦力或其他耗散力不同$\PageIndex{2}$，在任何封闭路径上对重力所做的总功率为零。 在封闭路径的向上部分进行正向重力作业，但在向下部分的重力作用相等。 换句话说，对抗重力的工作，即向上抬起物体，在物体回落时被 “还给”。 像重力这样的力（在任何封闭路径上起作用为零的力）被归类为保守力，在物理学中起着重要作用。

练习 7.2

地球的重力能否成为所有路径的恒定力？

各不相同的力量所做的工作

通常，空间中各点的力的大小和方向可能会有所不同，两点之间的路径可能是弯曲的。 可变力所做的无穷小功可以用力的分量和路径上的位移来表示，

$$dW = F_{x} dx + F_{y} dy + F_{z} dz \ldotp \nonumber$$

在这里，力的分量是路径上位置的函数，位移取决于路径的方程。 （尽管我们选择用笛卡尔坐标来说明 dW，但其他坐标更适合某些情况。） 方程\ ref {7.2} 将总功定义为线积分，或无穷小功率之和的极限。 工作的物理概念很简单：你计算出微小位移的功率，然后将它们相加。 有时数学可能看起来很复杂，但是下面的例子演示了它们可以多么干净地运作。

示例$\PageIndex{4}$: Work Done by a Variable Force over a Curved Path

在力 = (5 N/m) y$\hat{i}$ + (10 N/m) x 的作用下，物体沿抛物线路径 y = (0.5 m ⁻¹) x ^$\hat{j}$2 从原点 A$\vec{F}$ = (0, 0) 移动到点 B = (2 m, 2 m$\PageIndex{5}$)。 计算已完成的工作。

图$\PageIndex{5}$：给定力作用的粒子的抛物线路径。

策略

力的分量被赋予了 x 和 y 的函数。我们可以使用路径方程以 x 和 dx 表示 y 和 dy；即

$$y = (0.5\; m^{−1})x^{2}\; and\; dy = 2(0.5\; m^{−1})xdx \ldotp \nonumber$$

那么，功的积分只是 x 函数的定积分。

解决方案

工作的无穷小要素是

$$\begin{split} dW & = F_{x} dx + F_{y} dy = (5\; N/m)ydx + (10\; N/m)xdy \\ & = (5\; N/m)(0.5\; m^{−1})x^{2} dx + (10\; N/m)2(0.5\; m^{−1})x^{2} dx = (12.5\; N/m^{2})x^{2} dx \ldotp \end{split} \nonumber$$

x ² 的积分是$\frac{x^{3}}{3}$，所以

$$W = \int_{0}^{2\; m} (12.5\; N/m^{2})x^{2} dx = (12.5\; N/m^{2}) \frac{x^{3}}{3} \Bigg|_{0}^{2\; m} = (12.5\; N/m^{2}) \left(\dfrac{8}{3}\right) = 33.3\; J \ldotp \nonumber$$

意义

这个积分并不难做到。 您可以按照与本示例相同的步骤来计算代表更复杂的力和路径的功率的线积分。 在这个例子中，所有内容都是以 x 和 y 分量给出的，在这种情况下，这两种分量最容易用于评估工作。 在其他情况下，量级和角度可能会更容易。

练习$\PageIndex{4}$

$\PageIndex{4}$在 “示例” 中找出在相同点 A = (0, 0) 和 B = (2 m, ^{2 m) 之间使用相同力在立方路径上完成的工作，y = (0.25 m −} 2) x ³。

你在示例中看到$\PageIndex{4}$，要计算线积分，可以将其简化为单个变量或参数的积分。 通常，有几种方法可以做到这一点，这可能或多或少方便，具体取决于具体情况。 在 Example 中$\PageIndex{4}$，我们将直线积分简化为在 x 之上的积分，但我们同样可以选择将所有内容简化为 y 的函数。我们之所以没有这样做，是因为 y 中的函数涉及平方根和分数指数，这可能不太熟悉，但为了说明起见，我们确实如此现在是这个。 以 y 为单位求解 x 和 dx，沿抛物线路径，我们得到

$$x = \sqrt{\frac{y}{(0.5\; m^{-1})}} = \sqrt{(2\; m)y}\; and\; dx = \sqrt{(2\; m)} \times \frac{1}{2} \frac{dy}{\sqrt{y}} = \frac{dy}{\sqrt{(2\; m^{-1})y} }\ldotp \nonumber$$

以 y 为单位的力分量是

$$F_{x} = (5\; N/m)y\; and\; F_{y} = (10\; N/m)x = (10\; N/m) \sqrt{(2 m)y}, \nonumber$$

所以无穷小工作元素变成

$$\begin{split} dW & = F_{x} dx + F_{y} dy = \frac{(5\; N/m)y dy}{\sqrt{(2\; m^{-1})y}} + (10\; N/m) \sqrt{(2\; m)y} dy \\ & = (5\; N \cdotp m^{-1/2}) \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2}\right) \sqrt{y} dy = (17.7\; N \cdotp m^{-1/2}) y^{1/2} dy \ldotp \end{split} \nonumber$$

y ^1/2 的积分为$\frac{2}{3}$ y ^3/2，因此从 A 到 B 完成的工作为

$$W = \int_{0}^{2\; m} (17.7\; N \cdotp m^{-1/2}) y^{1/2} dy = (17.7\; N \cdotp m^{-1/2}) \frac{2}{3} (2\; m)^{2/3} = 33.3\; J \ldotp \nonumber$$

不出所料，这与以前的结果完全相同。

一个非常重要且广泛适用的可变力是完全弹性弹性弹簧施加的力，它满足胡克定律$\vec{F}$ = −k$\Delta \vec{x}$，其中 k 是弹簧常数，$\Delta \vec{x}$=$\vec{x}$ −$\vec{x}_{eq}$ 是从弹簧未拉伸（平衡）位置的位移（牛顿运动定律）。 请注意，只有在没有其他力作用时（或者，如果它们相互抵消），则未拉伸的位置才与平衡位置相同。 分子之间的力，或者在任何因稳定平衡而经历小位移的系统中，其作用大致类似于弹簧力。

要计算弹簧力所完成的工作，我们可以选择沿弹簧长度的 x 轴，沿着增加长度的方向，如图所示$\PageIndex{6}$，原点位于平衡位置 x _eq = 0。 （那么正 x 对应拉伸，负 x 对应压缩。） 通过这种坐标选择，弹簧力只有一个 x 分量，F _x = −kx，而 x 从 x _A 变为 x _B 时所做的工作为

$$W_{spring,\; AB} = \int_{A}^{B} F_{x} dx = - k \int_{A}^{B} xdx = -k \frac{x^{2}}{2} \Big|_{A}^{B} = - \frac{1}{2} k \big( x_{B}^{2} - x_{A}^{2} \big) \ldotp \label{7.5}$$

图$\PageIndex{6}$：(a) 弹簧在其平衡位置不施加任何力。 弹簧施加的力与 (b) 延伸或拉伸以及 (c) 压缩方向相反。

请注意，W _AB 仅依赖于起点和终点 A 和 B，并且与它们之间的实际路径无关，只要它从 A 开始并在 B 结束。也就是说，实际路径可能涉及在结束之前来回移动。

关于方程\ ref {7.5} 需要注意的另一个有趣的事情是，在这个一维案例中，你可以很容易地看到力所做的工作与力曲线下方的面积与其位移之间的对应关系。 回想一下，一般来说，一维积分是无穷小数之和的极限 f (x) dx，代表条带的面积，如图所示$\PageIndex{7}$。 在方程\ ref {7.5} 中，由于 F = −kx 是一条斜率为 −k 的直线，当绘制与 x 时，直线下方的 “面积” 只是三角形 “区域” 的代数组合，其中 x 轴上方的 “区域” 为正，下方的 “区域” 为负，如图所示$\PageIndex{8}$。 其中一个 “区域” 的大小仅为三角形基数的一半，沿 x 轴，乘以三角形的高度，沿力轴行驶。 （“面积” 前后有引号，因为这个基本高度产品有工作单位，而不是平方米。）

图$\PageIndex{7}$：f (x) 与 x 的曲线，显示无穷小条带 f (x) dx 的面积，以及这些面积的总和，即 f (x) 从 x ₁ 到 x ₂ 的积分。

图$\PageIndex{8}$：弹簧力曲线 f (x) = −kx vs x，显示了 x A 和 x B 之间的线下区域，x _A 和 x _B 之间，x _A 的正值和负值。 当 x _A 为负时，方程\ ref {7.5} 中积分的曲线下方的总面积是正三角形面积和负三角面积的总和。 当 x _A 为正时，曲线下方的总面积是两个负三角形之间的差。

示例$\PageIndex{5}$: Work Done by a Spring Force

弹性完美的弹簧需要 0.54 J 的工作才能从其平衡位置伸展 6 厘米，如图所示$\PageIndex{6b}$。 (a) 它的弹簧常数 k 是多少？ (b) 需要多少工作才能将其再拉伸 6 厘米？

策略

“必需” 是指在弹簧力下完成的工作，弹簧力是方程\ ref {7.5} 中功率的负值，即

$$W = \frac{1}{2} k (x_{B}^{2} - x_{A}^{2}) \ldotp \nonumber$$

对于部件 (a)，x _A = 0，x _B = 6 厘米；对于部件 (b)，x _B = 6 厘米，x _B = 12 厘米。 在 (a) 部分中，给出了功率，你可以求解弹簧常数；在部分 (b) 中，你可以使用部分 (a) 中的 k 值来求解。

解决方案

1. \ [W = 0.54\; J =\ frac {1} {2} k [(6\; cm) ^ {2}-0],\; 所以\; k = 3\; n/cm\ ldotp\ nonumber$$
2. \ [W =\ frac {1} {2} (3\; n/cm) [(12\; cm) ^ {2}-(6\; cm) ^ {2}],\; so\; k = 1.62\; J\ ldotp\ nonumber$$

意义

由于弹簧力所做的工作与路径无关，因此您只需要计算终点处数量$\frac{1}{2}$ kx ² 的差异即可。 请注意，将弹簧从 0 到 12 厘米拉伸所需的工作量是将其从 0 到 6 厘米拉伸所需的工作量的四倍，因为该工作取决于平衡伸展量的平方$\frac{1}{2}$ kx ²。 在这种情况下，将弹簧从 0 到 12 厘米拉伸的工作也等于复合路径从 0 到 6 厘米然后再从 6 厘米延伸到 12 厘米的工作。 因此，如上所述，4W（0 厘米至 6 厘米）= W（0 厘米至 6 厘米）+ W（6 厘米至 12 厘米），或 W（6 厘米至 12 厘米）= 3W（0 厘米至 6 厘米）。

练习$\PageIndex{5}$

示例$\PageIndex{5}$中的弹簧在其平衡长度上被压缩 6 厘米。 (a) 弹簧力是起正作用还是负作用，(b) 弹簧力的大小是多少？