6.7: 阻力与终端速度
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- 用数学方法表达阻力
- 描述阻力的应用
- 定义终端速度
- 根据物体的质量确定物体的终端速度
日常生活中另一个有趣的力量是物体在流体（气体或液体）中移动时对物体产生的阻力。 当你在水中移动手时，你会感受到阻力。 如果你在强风中移动你的手，你也可能会感觉到。 你移动手牌的速度越快，移动的难度就越大。 当你倾斜手部时，你会感觉到阻力变小，所以只有一侧穿过空中，你减少了手朝运动方向的面积。
阻力
与摩擦一样，阻力总是与物体的运动相反。 与简单的摩擦不同，阻力与该流体中物体速度的某种函数成正比。 这个功能很复杂，取决于物体的形状、大小、速度和它所处的流体。 对于大多数大型物体，例如自行车手、汽车和棒球，移动速度不太慢，阻力的大小与物体速度的平方成\(F_D\)正比。 我们可以用数学方法将这种关系写成\(F_D \propto v^2\)。 考虑到其他因素时，这种关系变成
\[F_{D} = \frac{1}{2} C \rho A v^{2}, \label{6.5}\]
其中\(C\)是阻力系数，\(A\)是物体面向流体的面积，\(\rho\)是流体的密度。 （回想一下，密度是单位体积的质量。） 这个方程也可以用更广义的方式写成\(F_D = bv^2\)，其中 b 是等效的常数\(0.5C \rho A\)。 我们将这些方程的指数 n 设置为 2，因为当物体在空中高速移动时，阻力的大小与速度的平方成正比。 正如我们将在流体力学中看到的那样，对于流体中低速移动的小粒子，指数 n 等于 1。
阻\(F_D\)力与物体速度的平方成正比。 从数学上讲，
\[F_{D} = \frac{1}{2} C \rho A v^{2},\]
其中\(C\)是阻力系数，\(A\)是物体面向流体的面积，\(\rho\)是流体的密度。
运动员和汽车设计师都力求减少阻力以缩短比赛时间（图\(\PageIndex{1A}\)）。 汽车的空气动力学成型可以减少阻力，从而增加汽车的汽油里程。 阻力系数的值\(C\)是根据经验确定的，通常使用风洞（图\(\PageIndex{1B}\)）。
阻力系数可能取决于速度，但我们假设这里的阻力系数是一个常数。 表中\(\PageIndex{1}\)列出了各种物体的一些典型阻力系数。 请注意，阻力系数是一个无量纲量。 在高速公路速度下，超过50％的汽车动力用于克服空气阻力。 最省油的巡航速度约为 70—80 km/h（大约 45—50 英里/小时）。 出于这个原因，在20世纪70年代的美国石油危机期间，高速公路的最高速度设定为约90 km/h（55 mi/h）。
| 对象 | C |
|---|---|
| 翼型 | 0.05 |
| 丰田凯美瑞 | 0.28 |
| 福特福克斯 | 0.32 |
| 本田思域 | 0.36 |
| 法拉利 Testarossa | 0.37 |
| 道奇公羊皮卡 | 0.43 |
| 球体 | 0.45 |
| 悍马 H2 SUV | 0.64 |
| 跳伞运动员（英尺优先） | 0.70 |
| 自行车 | 0.90 |
| 跳伞运动员（水平） | 1.0 |
| 圆形平板 | 1.12 |
体育界正在进行大量研究，以最大限度地减少阻力。 高尔夫球上的酒窝正在重新设计，运动员穿的衣服也在重新设计。 自行车赛车手和一些游泳运动员和跑步者都穿着全套紧身衣。 澳大利亚人凯茜·弗里曼在2000年悉尼奥运会上身穿全身衣，并在400米比赛中获得金牌。 2008 年北京奥运会的许多游泳运动员都穿着（Speedo）紧身衣；这可能在打破许多世界纪录方面有所作为（图\(\PageIndex{2}\)）。 大多数精英游泳运动员（和骑自行车的人）都会剃掉体毛。 这样的创新可以产生在比赛中缩短几毫秒的效果，有时会区分金牌和银牌。 结果之一是，必须不断制定谨慎而精确的指导方针，以保持这项运动的完整性。
终端速度
在考虑阻力对移动物体的影响时，会出现一些与牛顿第二定律相关的有趣情况。 例如，假设一名跳伞运动员在重力的影响下从空中坠落。 作用于他的两种力是重力和阻力（忽略小浮力）。 无论人的移动速度如何，重力的向下力都保持不变。 但是，随着人体速度的增加，阻力的大小会增加，直到阻力的大小等于引力，从而产生零的净力。 如牛顿第二定律所示，净力为零意味着没有加速度。 此时，该人的速度保持不变，我们说该人已经达到了终极速度 (\(v_T\))。 由于与速度的平方成\(F_D\)正比，因此较重的跳伞运动员必须走得更快，F D 才能等于他的体重。 让我们更量化地看看结果如何。
在终极速度下，
\[F_{net} = mg - F_{D} = ma = 0 \ldotp\]
因此，
\[mg = F_{D} \ldotp\]
使用阻力方程式，我们有
\[mg = \frac{1}{2} C \rho A v_{T}^{2} \ldotp\]
求解速度，我们得到
\[v_{T} = \sqrt{\frac{2mg}{\rho CA}} \ldotp\]
假设空气密度\(\rho\)为 1.21 kg/m 3。 75 公斤的跳伞运动员首先下降头部的横截面积约为 A = 0.18 m 2，阻力系数约为 C = 0.70。 我们发现了
\[v_{T} = \sqrt{\frac{2(75\; kg)(9.80\; m/s^{2})}{(1.21\; kg/m^{3})(0.70)(0.18\; m^{2})}} = 98\; m/s = 350\; km/h \ldotp\]
这意味着体重为 75 kg 的跳伞运动员在以长矛（头部优先）姿势行驶时可达到大约 350 km/h 的终极速度，从而最大限度地减少面积和阻力。 在 spread-eagle 位置，随着面积的增加，终端速度可能会降至大约 200 km/h。 降落伞打开后，这个终端速度变小了很多。
找出一个 85 公斤的跳伞运动员在展鹰位置坠落的终极速度。
策略
以终极速度，\(F_{net} = 0\)。 因此，跳伞运动员的阻力必须等于重力（人的体重）。 使用阻力方程式，我们发现\(mg = \frac{1}{2} \rho C A v^{2}\)。
解决方案
终端速度\(v_T\)可以写成
\[v_{T} = \sqrt{\frac{2mg}{\rho CA}} = \sqrt{\frac{2(85\; kg)(9.80\; m/s^{2})}{(1.21\; kg/m^{3})(1.0)(0.70\; m^{2})}} = 44\; m/s \ldotp\]
意义
此结果与前面提到的 v T 的值一致。 这位 75 公斤的跳伞运动员首先跑英尺的终极速度为 v T = 98 m/s。他的体重较轻，但正面积较小，因此由于空气的影响，阻力也较小。
找出一名 50 公斤跳伞运动员以展鹰方式坠落的终极速度。
从空中掉落的物体的大小是空气阻力的另一种有趣应用。 如果你从一棵树的5米高的树枝上掉下来，你很可能会受伤——可能会导致骨头骨折。 但是，一只小松鼠一直在这样做，不会受到伤害。 你在这么短的距离内没有达到终极速度，但是松鼠确实达到了。
以下关于动物大小和终端速度的有趣引文来自英国生物学家J.B.S. Haldane在1928年发表的一篇题为 “论尺寸合适” 的文章。
“对于老鼠和任何较小的动物来说，[重力] 几乎没有危险。 你可以将一只老鼠放到千码的矿井里；然后，只要地面相当柔软，它就会受到轻微的冲击然后走开。 一只老鼠被杀死，一个人被打破，一匹马飞溅。 因为空气对运动产生的阻力与移动物体的表面成正比。 将动物的长度、宽度和身高各除以十；其重量减少到千分之一，但其表面仅为百分之一。 因此，小动物的跌倒抵抗力相对比驱动力大十倍。”
如果物体非常小、行驶速度非常慢或处于比空气更密集的介质中，则空气阻力对速度的上述二次依赖性就不成立。 然后我们发现阻力与速度成正比。 这种关系是由斯托克斯定律给出的。
对于落在介质中的球形物体，阻力为
\[F_{s} = 6 \pi r \eta v, \label{6.6}\]
其中\(r\)是物体的半径，\(\eta\)是流体的粘度，\(v\)是物体的速度。
微生物、花粉和尘埃颗粒为斯托克斯定律提供了很好的例子。 因为这些物体都很小，所以我们发现其中许多物体只能以恒定的（终端）速度独立移动。 细菌（大小约\ (1\,\ mu m) 的终端速度可以约为\ (2\,\ mu m/s)。为了更快地移动，许多细菌使用鞭毛（形状像小尾巴的细胞器）游泳，鞭毛（细胞器形状像小尾巴），由嵌入在细胞中的小马达提供动力。
湖中的沉积物可以以更快的终极速度（大约 5\(\mu\) m/s）移动，因此沉积在地表后可能需要几天时间才能到达湖底。
如果我们将生活在陆地上的动物与生活在水中的动物进行比较，你可以看到阻力是如何影响进化的。 鱼、海豚甚至大型鲸鱼的形状都经过精简以减少阻力。 鸟类是流线型的，长距离飞行的迁徙物种通常具有特殊的特征，例如长脖子。 当羊群形成流线型图案时，成群的鸟以矛头的形状飞翔（图\(\PageIndex{3}\)）。 在人类中，精简的一个重要例子是精子的形状，精子需要有效利用能量。
在讲座演示中，我们会测量不同物体上的阻力。 物体被放置在风扇产生的均匀气流中。 计算雷诺数和阻力系数。
视频\(\PageIndex{1}\)：流体力学-阻力-流体模拟
与速度相关的摩擦力的演算
当物体滑过表面时，其上的摩擦力大致恒定，由给出\(\mu_{k}N\)。 不幸的是，在液体或气体中移动的物体上的摩擦力作用并不那么简单。 这种阻力通常是人体速度的复杂函数。 但是，对于以中等速度在水等液体中以直线移动的物体来说，摩擦力通常可以近似于
\[f_{R} = -bv,\]
其中 b 是一个常数，其值取决于身体的尺寸和形状以及液体的特性，\(v\)是物体的速度。 这个方程式可以表示摩擦力的两种情况是：摩托艇在水中移动，小物体在液体中缓慢掉落。
让我们考虑一下从液体中掉落的物体。 该物体正向向下移动的自由体图如图所示\(\PageIndex{4}\)。 牛顿垂直方向的第二定律给出了微分方程
\[mg - bv = m \frac{dv}{dt},\]
我们在此处将加速度写为\(\frac{dv}{dt}\)。 随着 v 的增加，摩擦力\(–bv\)会增加，直到与 mg 相匹配。 此时，没有加速度，速度在终端速度 v T 处保持不变。 从前面的方程式来看，
\[mg - bv_{T} = 0,\]
所以
\[v_{T} = \frac{mg}{b} \ldotp\]
我们可以通过积分的微分方程来找到物体的速度\(v\)。 首先，我们重新排列这个方程中的项以获得
\[\frac{dv}{g- \left(\dfrac{b}{m}\right)v} = dt \ldotp \label{eq20}\]
假设\(v = 0\)在\ 9t = 0\) 时，方程\ ref {eq20} 的积分得出
\[\int_{0}^{v} \frac{dv'}{g- \left(\dfrac{b}{m}\right)v'} = \int_{0}^{t} dt',\]
要么
\[- \frac{m}{b} \ln \left(g - \dfrac{b}{m} v' \right) \Bigg|_{0}^{v} = t' \big|_{0}^{t} ,\]
其中\(v'\)和\(t'\)是积分的虚拟变量。 有了给定的限制，我们发现
\[- \frac{m}{b} [ \ln \left(g - \dfrac{b}{m} v \right) - \ln g] = t \ldotp\]
因为\(\ln A − \ln B = \ln (\left(\frac{A}{B}\right)\)，并\(\ln (\left(\frac{A}{B}\right) = x\)暗示\(e^x = \dfrac{A}{B}\)，我们获得了
\[\frac{g - \left(\dfrac{bv}{m}\right)}{g} = e^{- \frac{bt}{m}},\]
和
\[v = \frac{mg}{b} \big( 1 - e^{- \frac{bt}{m}} \big) \ldotp\]
请注意，如 t →\(\infty\)，v →\(\frac{mg}{b}\) = v T，这是终端速度。
任何时候的位置都可以通过积分 v 的方程来找到 With v =\(\frac{dy}{dt}\)，
\[dy = \frac{mg}{b} \big( 1 - e^{- \frac{bt}{m}} \big)dt \ldotp\]
假设 y = 0 时 t = 0，
\[\int_{0}^{y} dy' = \frac{mg}{b} \int_{0}^{t} \big( 1 - e^{- \frac{bt}{m}} \big)dt',\]
它集成到
\[y = \frac{mg}{b} t + \frac{m^{2}g}{b^{2}} \big( e^{- \frac{bt}{m}} - 1 \big) \ldotp\]
当摩托艇的发动机突然冻结并停止时，摩托艇正以 v 0 的速度穿越湖泊。 然后，船在摩擦力下减速\(f_R = −bv\)。
- 作为时间的函数，船的速度和位置是多少？
- 如果船在 10 秒内从 4.0 m/s 减速到 1.0 m/s，它在停下来之前会行驶多远？
解决方案
- 马达停止后，船上唯一的水平力是 f R = −bv，所以根据牛顿第二定律，$$m\ frac {dv} {dt} =-bv，$$我们可以写成 $$\ frac {dv} {v} =-\ frac {b} dt\ ldotp$在速度为 v 0 时积分这个方程在时间零之间还有时间 t when速度是 v，我们有 $$\ int_ {0} ^ {v}\ frac {dv'} {v'} =-\ frac {b} {m}\ int_ {0} ^ {t} dt'\ ldotp$$ 因此，$$\ ln\ frac {v} {v_ {b} {m} t，$$which，由于 lnA = x 表示 e x = A，我们可以把它写成 $$v = v_ {0} e^ {-\ frac {bt} {m}}\ ldotp$now 来自速度的定义，$$\ frac {dx} {dt} = v_{0} e^ {-\ frac {bt} {m}}，$$so 我们有 $$dx = v_ {0} e^ {-\ frac {bt} {m}} dt\ ldotp$$初始位置为零，我们有 $$\ int_ {0}\ int_ {0} e^ {t} e^ {-\ frac {bt'} {m} dt'、$$and $x =-\ frac {mv_ {0}} {b} e^ {-\ frac {bt} {m}}\ Big|_ {0} ^ {t} =\ frac {mv_ {0}} {b}\ big (1-e^ {-\ frac {bt} {m}}\ big)\ ldotp$AS时间增加，\(e^{- \frac{bt}{m}}\)→ 0，船的位置接近极限值 $$x_ {max} =\ frac {mv_ {0}} {b}\ ldotp$尽管这告诉我们船需要无限的时间才能达到 x ma x，但船实际上会在合理的时间后停下来。 例如，在 t = 处\(\frac{10m}{b}\)，我们有 $$v = v_ {0} e^ {-10}\ simeq 4.5\ times 10^ {-5} v_ {0}，$$而我们也有 $$x = x_ {max}\ big (1-e^ {-10}\ big)\ simeq 0.9995x_ {max}\ ldotp$因此，这艘船是速度和位置已基本达到其最终值。
- 如果 v 0 = 4.0 m/s，v = 1.0 m/s，我们有 1.0 m/s =（4.0 m/s）\(e^{(- \frac{bt}{m})(10\; s)}\)，所以 $$\ ln 0.25 =-\ frac {b} {m} (10\; s)，$$and $$\ frac {1} {10}\ ln 4.0\; s^ {-1} = 0.14\; s^ {-1}}\ ldotp$now 这艘船的限制位置是 $$x_ {max} =\ frac {mv_ {0}} {b} =\ frac {4.0\; m/s} {0.14\; s^ {-1}}= 29\; m\ ldotp$$
意义
在前面的两个示例中，我们发现了 “限制” 值。 终端速度与极限速度相同，极限速度是坠落物体在（相对）很长一段时间后的速度。 同样，船的限制距离是船在经过很长一段时间后将行驶的距离。 由于指数衰减的特性，达到这两个值所花费的时间实际上不会太长（当然不是无限的时间！） 但是通过将极限设为无穷大可以很快找到它们。
假设空中对跳伞运动员的阻力可以近似为\(f = −bv^2\)。 如果 100 千克跳伞运动员的终点速度为 60 m/s，那么 b 的值是多少？