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6.6: 向心力

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    学习目标
    • 解释向心加速度的方程
    • 应用牛顿第二定律得出向心力方程
    • 使用圆周运动概念来解决涉及牛顿运动定律的问题

    在《二维和三维运动》中，我们研究了圆周运动的基本概念。 正在进行圆周运动的物体，比如本章开头显示的一辆赛车，必须加速，因为它正在改变其速度方向。 我们证明了这种中心定向加速度，称为向心加速度，是由公式给出的

    \[a_{c} = \frac{v^{2}}{r}\]

    其中 v 是物体的速度，在任何时刻都沿着一条切线指向曲线。 如果我们知道角速度\(\omega\)，那么我们可以使用

    \[a_{c} = r \omega^{2} \ldotp\]

    角速度给出物体在曲线上转动的速率，单位为 rad/s。这种加速度沿着曲线路径的半径起作用，因此也称为径向加速度。

    加速度必须由力产生。 任何力或力组合都可能导致向心或径向加速。 仅举几个例子是系绳球上绳索的张力、地球对月球的重力、溜冰鞋和溜冰场地板之间的摩擦、倾斜道路对汽车的力以及旋转离心机管道上的力。 任何导致均匀圆周运动的净力都称为向心力。 向心力的方向是朝向曲率中心，与向心加速度的方向相同。 根据牛顿第二运动定律，净力是质量乘以加速度：F net = ma。 对于均匀的圆周运动，加速度是向心加速度：a = a c。 因此，向心力 F c 的大小为

    \[F_{c} = ma_{c} \ldotp\]

    通过将向心加速度的表达式 a c (\(a_{c} = \frac{v^{2}}{r}; a_{c} = r \omega^{2}\)) 代替，我们可以得到两个以质量、速度、角速度和曲率半径表示的向心力 F c 的表达式：

    \[F_{c} = m \frac{v^{2}}{r}; \quad F_{c} = mr\omega^{2} \ldotp \label{6.3}\]

    你可以使用任何更方便的向心力表达式。 向心力\(\vec{F}_{c}\)始终垂直于路径并指向曲率中心，因为它\(\vec{a}_{c}\)垂直于速度并指向曲率中心。 请注意，如果你求解 r 的第一个表达式，你会得到

    \[r = \frac{mv^{2}}{F_{c}} \ldotp\]

    这意味着，对于给定的质量和速度，较大的向心力会导致较小的曲率半径，即一条狭窄的曲线，如图所示\(\PageIndex{1}\)。

    该图由两个半圆组成。 左边的半圆的半径为 r 并且比右边的半径大，后者的半径为 r 素数。 在这两幅图中，运动方向都是沿着半圆逆时针给出的。 路径上显示了一个点，其中半径以从半圆中心向外的箭头显示。 在同一点，向心力 F sub c 指向内向，与半径箭头的方向相反。 此时还显示了速度 v，它与半圆相切，指向左和向上，垂直于力。 在这两个图中，速度相同，但右图中的素数半径较小，向心力较大。 值得注意的是，向量 F sub c 与向量 a sub c 平行，因为向量 F sub c 等于 m 乘以向量 a sub c。
    图\(\PageIndex{1}\)：摩擦力提供向心力，在数值上等于向心力。 向心力垂直于速度，导致均匀的圆周运动。 F c 越大，曲率 r 的半径越小，曲线越清晰。 第二条曲线具有相同的 v，但较大的 F c 会产生较小的 r′。
    示例\(\PageIndex{1}\): What Coefficient of Friction Do Cars Need on a Flat Curve?
    1. 计算对一辆900.0千克的汽车施加的向心力，该汽车在25.00 m/s的速度下协商了500.0米的半径曲线。
    2. 假设没有行驶的曲线，找出轮胎和道路之间的最小静态摩擦系数，静摩擦是防止汽车滑倒的原因（图\(\PageIndex{2}\)）。
    在此图中，显示了一辆汽车，它驶离观众，在平坦的表面上向左转。 汽车上显示了以下力：w 指向直下，N 指向直上，f 等于 F sub c，等于 mu sub s 乘以 N，指向左边。 力 w 和 N 作用于汽车车身，而 f 作用在车轮与地面接触的地方。 自由车身图显示在汽车插图的侧面，并将力 w、N 和 f 显示为箭头，它们的尾巴都在某个点相交。
    图\(\PageIndex{2}\)：这辆在平坦地面上的汽车正在移开并向左转。 导致汽车在圆形路径上转弯的向心力是由于轮胎和道路之间的摩擦所致。 需要最小的摩擦系数，否则汽车将沿着更大的半径曲线行驶并离开道路。

    策略

    1. 我们知道这一点\(F_{c} = m \frac{v^{2}}{r}\)。 因此 $$F_ {c} = m\ frac {v^ {2}} {r} =\ frac {(900.0\; kg) (25.00\; m/s) ^ {2}} {(500.0\; m)} = 1125\; N\ ldotp$$
    2. 该图\(\PageIndex{2}\)显示了在无倾斜的（平坦地面）曲线上作用于汽车的力。 摩擦在左边，防止汽车滑动，而且由于它是作用于汽车的唯一水平力，因此在这种情况下，摩擦力是向心力。 我们知道最大静摩擦力（轮胎在此处滚动但不打滑）为\(\mu_{s}\) N，其中\(\mu_{s}\)是静摩擦系数，N 是法向力。 法向力等于汽车在平坦地面上的重量，所以 N = mg。 因此，这种情况下的向心力是 $$F_ {c} = f =\ mu_ {s} N =\ mu_ {s} mg\ ldotp$现在我们在向心力和摩擦系数之间存在关系。 使用方程 $$F_ {c} = m\ frac {v^ {2}} {r}\ ldotp$$我们得到 $$m\ frac {v^ {2}} {r} =\ mu_ {s} mg\ ldotp$$我们解决了这个问题，注意到质量取消了，然后得到 $$\ mu_ {s} =\ frac {v^ {2}} {rg}\ ldotp$$替换已知数，$$\ mu_ {s} =\ frac {(25.00\; m/s) ^ {2}} {(500.0\; m) (9.80\; m/s^ {2})} = 0.13\\(\mu_{s}\)ldotp$$（因为摩擦系数是近似值，所以答案只给出两位数。）

    意义

    图\(\PageIndex{2b}\)中发现的摩擦系数比轮胎和道路之间的摩擦系数小得多。 如果系数大于 0.13，则汽车仍会协商曲线，因为静摩擦是一种响应力，能够假设值小于但不大于\(\mu_{s}\) N。更高的系数也允许汽车以更高的速度协商曲线，但如果摩擦系数为更少，安全速度将小于 25 m/s。请注意，质量抵消，这意味着，在本例中，协商转弯时汽车的负载有多重并不重要。 质量取消，因为假定摩擦力与法向力成正比，而法向力又与质量成正比。 如下文所述，如果路面是倾斜的，法向力就会减小。

    练习\(\PageIndex{1}\)

    一辆以 96.8 km/h 的速度行驶的汽车在平坦的乡间小路上绕半径为 182.9 米的圆形曲线行驶。 防止汽车滑动的最小静摩擦系数必须是多少？

    倾斜曲线

    现在让我们考虑倾斜曲线，其中道路的坡度可以帮助你协调曲线（图\(\PageIndex{3}\)）。 角度 β 越大，曲线走得越快。 例如，自行车和汽车的赛道通常会有陡峭的弯道。 在 “理想的倾斜曲线” 中，\(\theta\)这个角度使得你可以以一定的速度协调曲线，而无需借助轮胎和道路之间的摩擦。 我们将\(\theta\)为理想的倾斜曲线派生一个表达式，并考虑一个与之相关的示例。

    在此图中，显示了一辆汽车，它驶离观众，然后在向下和向左的斜坡上向左转。 斜率成一定角度 theta，水平表面低于斜率。 自由车身图叠加在汽车上。 自由体图显示了垂直向下指向的重量 w 和力 N（垂直向左边的 theta 角度 theta）。 除了以粗红色箭头绘制的力向量外，N 向量的垂直和水平分量显示为黑色细箭头，一个垂直向上，另一个水平指向左边。 给出了两种关系：N 乘余弦太等于 w，N 次正弦西塔等于向心力，也等于净力。
    图\(\PageIndex{3}\)：这条倾斜曲线上的汽车正在移开并向左转。

    对于理想的银行业来说，在没有摩擦的情况下，净外力等于水平向心力。 水平和垂直方向上的法向力 N 的分量必须分别等于汽车的向心力和重量。 在力不平行的情况下，最方便的做法是考虑沿垂直轴的分量，在本例中是垂直和水平方向。

    \(\PageIndex{3}\)该图显示了无摩擦倾斜曲线上汽车的自由车身图。 如果角度对于速度和半径来说\(\theta\)是理想的，那么净外力等于必要的向心力。 作用于汽车的唯一两种外力是其重量\(\vec{w}\)和道路的法向力\(\vec{N}\)。 （无摩擦表面只能施加垂直于表面的力，即法向力。） 这两种力必须相加才能产生朝向曲率中心水平且具有大小的净外力\(\frac{mv^{2}}{r}\)。 因为这是关键力，而且是水平的，所以我们使用具有垂直和水平轴的坐标系。 只有法向力有水平分量，因此它必须等于向心力，也就是说，

    \[N \sin \theta = \frac{mv^{2}}{r} \ldotp\]

    由于汽车不离开路面，因此净垂直力必须为零，这意味着两种外力的垂直分量在幅度上必须相等，方向必须相反。 从图\(\PageIndex{3}\)中我们可以看出，法向力的垂直分量为 N cos\(\theta\)，唯一的其他垂直力是汽车的重量。 它们的幅度必须相等；因此，

    \[N \cos \theta = mg \ldotp\]

    现在我们可以组合这两个方程来消除 N\(\theta\)，然后根据需要得到一个表达式。 求解 N = 的第二个方程\(\frac{mg}{(\cos \theta)}\)并将其代入第一个方程得到

    \[\begin{split} mg \frac{\sin \theta}{\cos \theta} & = \frac{mv^{2}}{r} \\ mg \tan \theta & = \frac{mv^{2}}{r} \\ \tan \theta & = \frac{v^{2}}{rg} \ldotp \end{split}\]

    取反正切可以得出

    \[\theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{v^{2}}{rg}\right) \ldotp \label{6.4}\]

    这个表达式可以通过考虑 v 和 r 的\(\theta\)依赖程度来理解。大\(\theta\)的 v 和小 r 的值为 large。也就是说，道路必须陡峭地倾斜才能实现高速和急转弯。 摩擦是有帮助的，因为它允许你以比无摩擦曲线更大或更低的速度走曲线。 请注意，这\(\theta\)不取决于车辆的质量。

    示例\(\PageIndex{2}\): What Is the Ideal Speed to Take a Steeply Banked Tight Curve?

    一些测试赛道和赛道上的曲线，例如佛罗里达州的代托纳国际赛车场，都非常严格。 这种倾斜加上轮胎摩擦力和非常稳定的汽车配置，使弯道能够以非常高的速度行驶。 举例来说，计算在道路无摩擦的情况下行驶半径为 31.0° 的 100.0 米半径曲线的速度。

    策略

    我们首先注意到，表达式中除速度之外的所有倾斜曲线理想角度的术语都是已知的；因此，我们只需要对其进行重新排列，使速度出现在左侧，然后替换已知量。

    解决方案

    从... 开始

    \[\tan \theta = \frac{v^{2}}{rg},\]

    我们明白了

    \[v = \sqrt{rg \tan \theta} \ldotp\]

    注意到 tan 31.0° = 0.609，我们得到

    \[v = \sqrt{(100.0\; m)(9.80\; m/s^{2})(0.609)} = 24.4\; m/s \ldotp\]

    意义

    这大约是 165 km/h，与一条非常陡峭且相当陡峭的曲线一致。 轮胎摩擦使车辆能够以明显更高的速度行驶。

    飞机也轮流通过银行业务。 由于机翼上的空气力，升力与机翼成直角作用。 当飞机停靠时，飞行员获得的升力超过了水平飞行所需的升力。 升力的垂直分量平衡飞机的重量，水平部分加速飞机。 图\(\PageIndex{4}\)中所示的银行角度由下式给出\(\theta\)。 我们分析力的方法与处理汽车绕过倾斜曲线的情况相同。

    如我们所见，一架飞机朝我们驶来，沿顺时针方向倾斜（即倾斜）一个角度 theta 的插图。 权重 w 显示为指向直下方的箭头。 显示的力 L 指向垂直于翅膀，向右或垂直向上成一定角度 theta。 力 L 的水平分量指向右侧，并被标记为向量 L（亚水平）。 虚线完成了由向量 L 和 w 定义的平行四边形，表明 L 的垂直分量与 w 的大小相同。
    图\(\PageIndex{4}\)：在倾斜的转弯中，升力的水平分量不平衡，会加速飞机。 升降机的正常组成部分可以平衡飞机的重量。 银行角度由下式给出\(\theta\)。 将矢量图与图 6.22 所示的向量图进行比较。
    模拟

    和瓢虫一起探索旋转运动。 旋转旋转木马可更改其角度或选择恒定角速度或角加速度。 使用向量或图表探索圆周运动与 bug 的 xy 位置、速度和加速度之间的关系。

    注意

    圆周运动需要一种力，即所谓的向心力，它指向旋转轴。 这个简化的旋转木马模型演示了这种力。

    惯性力和非惯性（加速）框架：科里奥利力

    乘坐喷气式飞机起飞、在汽车中转弯、乘坐旋转木马和热带气旋的圆周运动有什么共同点？ 每个都表现出惯性力，这些力似乎只是由运动产生的，因为观察者的参照系正在加速或旋转。 在乘坐飞机起飞时，大多数人都会同意，当飞机在跑道上加速时，感觉好像被推回座位上。 但是物理学家会说，当座位向前推时，你往往会保持静止。 更常见的体验是，当你在车里弯曲弯道时，比如向右（图\(\PageIndex{5}\)）。 相对于汽车，你感觉自己好像被向左投掷（即被迫）。 再说一遍，物理学家会说你正在直线行驶（回想一下牛顿的第一定律），但汽车向右移动，而不是说你正在经历来自左边的力。

    图 a 是驾驶员向右驾驶汽车的示意图，从上方看。 显示了一个指向左边的虚构力矢量 F sub fict 在她身上起作用。 在图 b 中，显示的是相同的汽车和驾驶员，但作用于驾驶员的实际力矢量 F sub actual 指向右侧。 在图 b 中，驱动器向左倾斜。
    图\(\PageIndex{5}\)：(a) 当汽车司机向右转时，感觉自己相对于汽车被迫向左转。 这是使用汽车作为参照系而产生的惯性力。 (b) 在地球的参照系中，驾驶员沿直线移动，遵守牛顿的第一定律，汽车向右移动。 相对于地球，驾驶员没有向左施加任何力。 取而代之的是，汽车的右侧有一支力量使其转弯。

    我们可以通过检查所使用的参考框架来调和这些观点。 让我们把注意力集中在车里的人身上。 乘客本能地使用汽车作为参考框架，而物理学家可能会使用地球。 物理学家之所以做出这样的选择，是因为地球几乎是一个惯性参考框架，其中所有力都有可识别的物理来源。 在这样的参考框架中，牛顿的运动定律采用牛顿运动定律中给出的形式。 汽车是非惯性参照系，因为它被加速到侧面。 汽车乘客感知到的向左的力是一种没有物理来源的惯性力（它纯粹是由乘客的惯性引起的，而不是由张力、摩擦或引力等某种物理原因造成的）。 汽车和驾驶员实际上正在向右加速。 这种惯性力被认为是一种惯性力，因为它没有物理来源，例如重力。

    物理学家将选择最适合分析情况的参考框架。 像往常一样，如果在旋转木马或旋转的行星上更方便的话，物理学家将惯性力和牛顿第二定律包括在内是没有问题的。 如果有用，则使用非惯性（加速）参考系。 在讨论宇航员在航天器中以接近光速的速度行驶的运动时，必须考虑不同的参考框架，正如你在研究狭义相对论时会体会到的那样。

    现在，让我们在旋转木马上进行心理训练，特别是快速旋转的游乐场旋转木马（图\(\PageIndex{6}\)）。 你把旋转木马当作你的参考框架，因为你一起旋转。 在那个非惯性参照系中旋转时，你会感觉到一种惯性力往往会让你失望；这通常被称为离心力（不要与向心力混淆）。 离心力是一个常用的术语，但实际上并不存在。 你必须紧紧抓住才能抵消你的惯性（人们通常称之为离心力）。 在地球的参照框架中，没有任何力量试图让你失望；我们强调离心力是虚构的。 你必须坚持下去，让自己围成一圈，否则你会按照牛顿的第一定律在旋转木马旁走一条直线。 但是你施加的力量会向圆圈的中心起作用。

    在图 a 中，低头看旋转木马，我们看到一个孩子坐在马上，以角速度欧米茄逆时针方向移动。 力 F sub fict 等于携带杆子的马和旋转木马表面接触点处的离心力。 力从旋转木马的中心径向向向外移动。 这是旋转木马的旋转参照基准。 在图 b 中，我们看到了惯性参考系中的情况。可以看到以角速度 omega 逆时针方向旋转。 骑马的孩子的位置与图 a 中的位置相同。净力等于向心力，径向指向中心。 在阴影中，我们还会看到孩子处于较早的位置，以及如果对他的净力为零时他所处的位置，即直线向前，因此半径比他的实际位置大。
    图\(\PageIndex{6}\)：(a) 坐旋转木马的骑手感觉好像被扔掉了。 这种惯性力有时被错误地称为离心力，目的是解释骑手在旋转参照系中的运动。 (b) 在惯性参照系中，根据牛顿定律，正是他的惯性使他失望（没有阴影的骑手有 F net = 0，头部呈直线）。 需要向心力 F 才能形成圆形路径。

    这种惯性效应在离心机中得到了很好的利用，如果没有向心力引起圆周运动，则会使你远离旋转中心（图\(\PageIndex{7}\)）。 如本章前面所述，离心机旋转样品的速度非常快。 从旋转的参照系来看，惯性力将粒子向外抛出，加速其沉积。 角速度越大，离心力越大。 但真正发生的情况是，粒子的惯性使它们沿着一条与圆相切的线带动，而试管则被向心力迫使它们进入圆形路径。

    离心机中的试管以顺时针方向移动，角速度为欧米伽的示意图。 试管显示在两个不同的位置：在圆的底部和大约 45 度之后。 它采用径向定向，开口端更靠近中心。 内容物在试管的底部。 显示了以下方向：在底部位置，sub c 的向心加速度径向向内，速度 v 和惯性力在运动方向上水平移动（在图中向左）。 不久之后，当管子向上和向左移动时，sub c 的向心加速度径向向向内，惯性力向左，离心力径向向向外。 有人告诉我们，随着试管向上移动，粒子会继续离开。 因此，粒子由于其惯性而在管中向下移动。
    图\(\PageIndex{7}\)：离心机使用惯性来执行任务。 流体沉积物中的颗粒会沉淀出来，因为它们的惯性使它们远离旋转中心。 离心机的大角速度加快了沉降速度。 最终，粒子会与试管壁接触，然后试管壁提供使它们在恒定半径的圆中移动所需的向心力。

    现在让我们考虑一下，如果某物在旋转的参照系中移动，会发生什么。 例如，如果你将一个球直接滑离旋转木马的中心会怎样，如图所示\(\PageIndex{8}\)？ 球沿着相对于地球的直线路径（假设摩擦力可以忽略不计），在旋转木马表面上沿着一条向右弯曲的路径。 站在旋转木马旁边的人看到球直移动，旋转木马在球下旋转。 在旋转木马的参考框架中，我们使用一种称为科里奥利力的惯性力来解释右边的视在曲线，它使球向右弯曲。 该参照系中的任何人都可以使用科里奥利力来解释物体为何遵循曲线路径，并允许我们在非惯性参照系中应用牛顿定律。

    (a) 点 A 和 B 位于旋转木马的半径上。 点 A 比 B 更接近中心。还显示了两个骑马的孩子，其半径与 A 和 B 不同。 旋转木马以逆时针旋转，角速度为欧米茄。 一个球从 A 点向外滑动。 相对于地球的路径是直的。 (b) 再次显示 merry go round，稍后会添加 A 点和 B 点的位置并分别标记为 A 素数和 B 素数。 球相对于旋转木马的路径是一条向后弯曲的路径。
    图\(\PageIndex{8}\)：向下看旋转木马的逆时针旋转，我们看到一个球沿着一条向右弯曲的路径直接向边缘滑动。 人将球滑向点 B，从 A 点开始，两个点都旋转到阴影位置（A 和 B'），即球沿着旋转框架中的曲线路径和地球框架中的直线路径行驶时所示。

    到目前为止，我们一直认为地球是一个惯性参照基准，几乎不用担心由于其旋转而产生的影响。 然而，这样的影响确实存在，例如在天气系统的旋转中。 地球自转的大多数后果可以通过与旋转木马类比来定性地理解。 从北极上方看，地球逆时针旋转，图中的旋转木马也是如此\(\PageIndex{8}\)。 与旋转木马一样，地球北半球的任何运动都会受到右边的科里奥利力。 南半球的情况恰恰相反；在那里，力量在左边。 由于地球的角速度很小，科里奥利力通常可以忽略不计，但是对于诸如风模式之类的大规模运动，它具有实质性的影响。

    科里奥利力使北半球的飓风逆时针旋转，而南半球的热带气旋则顺时针旋转。 （飓风、台风和热带风暴是气旋的特定区域名称，气旋是以低压中心、强风和大雨为特征的风暴系统。） 该图\(\PageIndex{9}\)有助于显示这些旋转是如何发生的。 空气流向任何低压区域，热带气旋所含的压力特别低。 因此，风流向热带气旋或地表低压天气系统的中心。 在北半球，这些向内风向右偏转，如图所示，在地表产生逆时针环流，适用于任何类型的低压区域。 地表的低压与空气上升有关，空气上升也会产生冷却和云层的形成，从而使低压模式从太空中清晰可见。 相反，在南半球，高压区域周围的风流是顺时针方向的，但由于高压与空气下沉有关，从而产生晴朗的天空，因此不太明显。

    (a) 飓风的卫星照片。 云层形成螺旋，逆时针旋转。 (b) 飓风所涉及的流量示意图。 中心压力很低。 直的深蓝色箭头从各个方向指向。 图中显示了四支这样的箭头，分别来自北、东、南和西。 风以浅蓝色箭头表示，起点与深色箭头相同，但向右偏转。 (c) 中心压力低。 深蓝色圆圈表示顺时针旋转。 浅蓝色箭头从四面八方进入并向右偏转，如图 (b) 所示。 (d) 现在中心压力很高。 深蓝色圆圈再次表示顺时针旋转，但浅蓝色箭头从中心开始，指向右偏转。 (e) 热带气旋的卫星照片。 云层形成顺时针旋转的螺旋。
    图\(\PageIndex{9}\)：（a）这场北半球飓风的逆时针旋转是科里奥利力量的主要后果。 (b) 没有科里奥利部队，空气将直接流入低压区，例如热带气旋中的低压区域。 (c) 科里奥利力使风向右偏转，产生逆时针旋转。 (d) 从高压区流出的风也会向右偏转，产生顺时针旋转。 (e) 南半球的科里奥利力量产生了相反的旋转方向，导致了热带气旋。 （来源 a 和 credit e：美国宇航局对工作的修改）

    热带气旋的旋转和旋转木马上球的路径也可以用惯性和下方系统的旋转来解释。 使用非惯性框架时，必须发明诸如科里奥利力之类的惯性力来解释曲线路径。 这些惯性力没有可识别的物理来源。 在惯性框架中，惯性解释了路径，如果没有可识别的来源，则找不到任何力。 无论哪种视图都允许我们描述自然，但惯性框架中的视图是最简单的，因为所有力量都有起源和解释。