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6.5:摩擦(第 2 部分)

摩擦和倾斜面

摩擦起着明显作用的一种情况是斜坡上的物体。 可能是板条箱被推上坡道到装卸码头,或者是滑板手滑下山了,但基本的物理原理是一样的。 我们通常将倾斜的表面概括起来,称之为倾斜的平面,但随后假装表面是平坦的。 让我们来看一个分析带有摩擦力的倾斜平面上的运动的示例。

示例1: Downhill Skier

重量为62 kg的滑雪者正在以恒定速度滑下白雪皑皑的斜坡。 如果已知摩擦力为 45.0 N,则求出滑雪者的动摩擦系数

策略

动摩擦的大小为 45.0 N。动摩擦力与法向力 N 相关 f k =μk N;因此,如果我们能找到滑雪者的法向力,我们就能找到动摩擦系数。 法向力始终垂直于表面,并且由于没有垂直于地表的运动,因此法向力应等于滑雪者垂直于斜坡的体重分量。 (参见图1,它重复了牛顿运动定律一章中的一个数字。)

该图显示一名滑雪者沿着斜坡向下行驶,该斜坡与水平方向成25度的角度。 显示了一个 x y 坐标系,该坐标系倾斜使正 x 方向平行于斜率,向上指向斜率,正的 y 方向偏离斜率,垂直于斜率。 标有 w 的滑雪者的体重由垂直向下指向的红色箭头表示。 该权重分为两个分量,w sub y 垂直于指向负 y 方向的斜率,w sub x 平行于斜率,指向负 x 方向。 标有 N 的法向力也垂直于斜率,大小相等但指向斜率,与 w sub y 的方向相反。摩擦力 f 由指向上坡的红色箭头表示。 此外,该图显示了一张自由体图,该图显示了 f、N、w 以及 w 的分量 w sub x 和 w sub y 的相对大小和方向。在这两张图中,w 向量被写出来,因为它被其分量所取代。
1:滑雪者的运动和摩擦力平行于斜坡,因此最方便的做法是将所有力投射到坐标系上,其中一个轴平行于斜坡,另一个轴垂直(坐标轴显示在滑雪者的左侧)。 法向力N垂直于斜坡,摩擦力平行f于斜坡,但滑雪者的重量在两个轴上w都有分量,即wywx。 法向力的幅度等Nwy,因此没有垂直于斜率的运动。 但是,小fwx于幅度,因此斜率会向下加速(沿 x 轴)。

我们有

N=wy=wcos25o=mgcos25o.

用它代替我们的动摩擦表达式,我们得到

fk=μkmgcos25o,

现在可以求解动摩擦系数μk

解决方案

μk

μk=fkN=fkwcos25o=fkmgcos25o.

用方程右侧的已知值代替,

μk=45.0N(62kg)(9.80m/s2)(0.906)=0.082.

意义

该结果略小于表 6.1 中列出的雪地上打蜡木材的系数,但仍然合理,因为摩擦系数的值可能会有很大差异。 在这种情况下,质量为 m 的物体沿着θ与水平方向成一定角度的斜率滑动,摩擦力由 f k =μk mg cos 给出θ。 在这种情况下,所有物体都会以恒定的加速度向下滑动。

我们已经讨论过,当物体停留在水平表面上时,支撑它的法向力在幅度上等于其重量。 此外,简单的摩擦力始终与法向力成正比。 当物体不在水平表面上时,就像倾斜的平面一样,我们必须找到作用在物体上的垂直于表面的力;它是重量的一个组成部分。

现在,我们推导出了一个有用的关系来计算倾斜平面上的摩擦系数。 请注意,结果仅适用于物体以恒定速度向下滑动的情况。

如果物体上的净力为零,则物体以恒定速度向下滑动。 我们可以利用这个事实来测量两个物体之间的动摩擦系数。 如示例所示1,斜坡上的动摩擦力为 f k =μk mg cosθ。 斜率下方的重量分量等于 mg sinθ(参见图中的自由体图1)。 这些力在相反的方向上起作用,因此,当它们的幅度相等时,加速度为零。 把这些写出来,

μkmgcosθ=mgsinθ.

求解μk,我们发现了

μk=mgsinθmgcosθ=tanθ.

将硬币放在书上,然后将其倾斜,直到硬币以恒定的速度向下滑动。 你可能需要轻点这本书才能让硬币移动。 测量相对于水平的倾斜角度,然后找到μk。 请注意,由于静摩擦系数大θ于动摩擦系数,硬币直到达到大于角度的角度才会开始滑动。 想想这会如何影响价值μk及其不确定性。

摩擦的原子尺度解释

到目前为止,处理的摩擦力更简单的方面是其宏观(大规模)特征。 在过去的几十年中,在原子尺度解释摩擦方面取得了长足的进步。 研究人员发现,摩擦的原子性质似乎有几个基本特征。 这些特性不仅解释了摩擦的一些更简单的方面,而且还有可能发展出几乎无摩擦的环境,从而节省数千亿美元的能量,而这些能量目前正在(不必要地)转化为热能。

该图2说明了微观(小规模)研究解释的摩擦的一个宏观特征。 我们已经注意到,摩擦力与法向力成正比,但与接触面积成正比,这是一个有点违反直觉的概念。 当两个粗糙表面接触时,实际接触面积只占总面积的一小部分,因为只有高点会接触。 当施加更大的法向力时,实际接触面积就会增加,我们发现摩擦力与该面积成正比。

该图有两个部分,每个部分显示了两个彼此非常接近的粗糙平行表面。 由于曲面不规则,因此两个曲面仅在特定点相互接触,在两者之间留下间隙。 在第一部分中,法向力很小,因此曲面相距更远,两个曲面之间的接触面积比它们的总面积小得多。 在第二部分中,法向力很大,因此两个曲面彼此非常接近,并且两个曲面之间的接触面积增加了。
2:两个粗糙接触表面的实际接触面积比它们的总面积小得多。 当施加的力越大导致法向力变大时,实际接触面积就会增加,摩擦力也会增加。

但是,原子尺度视图有望解释的远不止是摩擦的简单特征。 目前正在确定如何产生热量的机制。 换句话说,为什么摩擦表面会变热? 本质上,原子相互连接形成晶格。 当表面摩擦时,表面原子会粘附并导致原子晶格振动,本质上是产生穿透材料的声波。 声波随着距离而减弱,它们的能量被转化为热量。 与摩擦磨损有关的化学反应也可能发生在表面上的原子和分子之间。 该图3显示了在另一种材料上绘制的探针尖端是如何因原子尺度摩擦而变形的。 拖动尖端所需的力是可以测量的,发现它与剪切应力有关,静态平衡和弹性中对此进行了讨论。 剪应力的变化非常显著(超过1012倍),理论上难以预测,但是剪应力使人们对自古以来已知的大规模现象——摩擦有了基本的了解。

该图显示了拖过衬底表面的探针的分子模型。 基底由一个由小球体组成的矩形网格表示,每个球体代表一个原子。 该探测器由不同的小球体网格组成,呈倒金字塔的形式,具有扁平的峰值和水平的原子层。 由于摩擦,金字塔有些扭曲。 原子和分子的相互作用发生在探针和衬底之间的界面上。 摩擦力 f 平行于表面,与探针运动的方向相反。
3:当探针被拖过表面时,摩擦力会使探针的尖端向侧面变形。 测量不同材料的力如何变化,可以从根本上了解摩擦的原子性质。
模拟

描述分子层面的摩擦模型。 用分子运动描述物质。 描述应包括支持描述的图表;温度如何影响图像;固体、液体和气体颗粒运动之间有什么区别和相似之处;以及气体分子的大小和速度与日常物体有何关系。

示例2: Sliding Blocks

Figur4 e 的两个方块由一根无质量的绳子相互连接,该绳子缠绕在无摩擦滑轮上。 当底部的 4.00 千克方块被恒定力拉向左时P,顶部 2.00 千克的方块会向右滑过。 找出以恒定速度移动方块所需的力的大小。 假设所有表面之间的动摩擦系数为 0.400。

图 (a) 显示了水平表面上有一个 4.0 千克方块和一个位于其上方的 2.0 千克方块的示意图。 滑轮水平连接到方块右侧的墙上。 方块由一根绳子相连,该绳子从一个方块穿过滑轮,然后穿过另一个方块,这样绳子是水平的,位于每个方块的右边。 力 P 将下方块向左拉。 显示了一个 x y 坐标系,正的 x 向右,正 y 向上。 图 (b) 显示了方块的自由体图。 上方的方块向左有力 mu times vector N sub 1,向右 T,垂直向下 19.6 N,向量 N sub 1 向上。 下方的方块向右强制向量 mu times vector N sub 1,右边是 mu times vector N sub 2,向右 Vector P,向右 Vector T sub i,向下 Vector N sub 1,向上 vector N sub 2。
4:(a) 每个方块以恒定速度移动。 (b) 区块的自由体图。

策略

我们分别分析两个方块的运动。 顶部块受到底部块施加的接触力。 该力的组成部分是法向力 N 1 和摩擦力 −0.400 N 1。 顶部方块上的其他力是绳子中的张力 T 和顶部方块本身的重量 19.6 N。底部方块由于顶部方块和地板而受到接触力。 第一个接触力的分量为 −N 1 和 0.400 N 1,它们只是对底部方块施加在顶部方块上的接触力的反作用力。 地板接触力的分量为 N 2 和 0.400 N 2。 该方块上的其他力是 −P、张力 T 和权重 —39.2 N。解决方案由于顶部方块以恒定速度水平向右移动,因此其在水平和垂直方向上的加速度均为零。 根据牛顿第二定律,

Fx=m2ax

T0.400N1=0

Fy=m1ay

N119.6N=0.

求解两个未知数,我们得到 N 1 = 19.6 N 和 T = 0.40 N 1 = 7.84 N 底部方块也没有加速,因此将牛顿第二定律应用于这个方块可以得出

Fx=m2ax

TP+0.400N1+0.400N2=0

Fy=m1ay

N239.2NN1=0.

N 1 和 T 的值是用第一组方程找到的。 当这些值被替换成第二组方程时,我们可以确定 N 2 和 P。它们是

N2=58.8NandP=39.2N.

意义

要了解向哪个方向施加摩擦力通常很麻烦。 请注意,图中标记的每种摩擦力的4作用方向与其对应方块的运动方向相反。

示例3: A Crate on an Accelerating Truck

一个 50.0 千克的箱子放在卡车的底座上,如图所示5。 表面之间的摩擦系数为μk = 0.300 和μs = 0.400。 找出卡车以 (a) 2.00 m/s 2 和 (b) 5.00 m/s 2 的速度相对于地面向前加速时箱子上的摩擦力。

图 (a) 显示了卡车底座上一个 50 千克重的箱子的插图。 水平箭头表示向右加速度 a。 显示了一个 x y 坐标系,正的 x 向右,正 y 向上。 图 (b) 显示了箱子的自由体图。 力为垂直向下 490 牛顿,向量 N 垂直向上,向量 f 向右水平方向为。
5:(a) 一个箱子放在正在向前加速的卡车的底座上。 (b) 箱子的自由体图。

策略

箱子上的力是其重量以及由于与卡车底盘接触而产生的法向力和摩擦力。 我们首先假设箱子没有滑落。 在这种情况下,静态摩擦力 fs 作用于箱子。 此外,箱子和卡车的加速度是相等的。

解决方案
  1. 使用附着在地面的参考系将牛顿第二定律应用于箱子,会产生

    Fx=maxfs=(50.0kg)(2.00m/s2)=1.00×102N

    Fy=mayN4.90×102N=(50.0kg)(0)N=4.90×102N.

    我们现在可以检查我们的 “不滑落” 假设的有效性。 静摩擦力的最大值为  musN=(0.400)(4.90 times102N)=196N,而卡车以 2.00 m/s 2 向前加速时起作用的实际静摩擦力仅为 1.00 x 10 2 N。因此,假设没有滑动是有效的。

  2. 如果箱子在 5.0 m/s 2 加速时随卡车移动,则静摩擦力必须为 fs=max=(50.0kg)(5.00m/s2)=250N ldotp$196Nf_ {k} =\ mu_ {k} N = (0.300) (4.90\ times 10^ {2}\; N) = 147\; N\ ldotp$现在可以从 $$\ begin {split}\ sum F_ {x} & = ma_ {x}\\ 147; N & = (50.0\; kg) a_ {x},\\ so\; a_ {x} & = 2.94\; m/s^ {2}\ ldotp\ end {split}\]

意义

相对于地面,卡车以 5.0 m/s 2 的速度向前加速,板条箱以 2.94 m/s 2 的速度向前加速。 因此,箱子相对于卡车底座向后滑动,加速度为 2.94 m/s 2 − 5.00 m/s 2 = −2.06 m/s 2

示例4: Snowboarding

早些时候,我们分析了速降滑雪运动员以恒定速度移动的情况,以确定动摩擦系数。 现在让我们做一个类似的分析来确定加速度。 Figure 的6滑雪板运动员沿着向水平倾斜度为θ = 13° 的斜坡滑行。 板和雪之间的动摩擦系数为μk = 0.20。 滑雪板运动员的加速度是多少?

图 (a) 显示了滑雪板运动员在比水平线上倾斜13度的斜坡上的示意图。 箭头表示加速度,a,下坡。 图 (b) 显示了滑雪板运动员的自由身体图。 力为 m g 余弦向斜率 13 度,垂直于表面,N,偏出斜率,垂直于表面,m g 正弦向下斜率平行于表面 13 度,mu sub k 乘以 N,上坡平行于表面。
6:(a) 滑雪板运动员沿着向水平倾斜13°的斜坡滑行。 (b) 滑雪板运动员的自由体图。

策略

作用于滑雪板运动员的力是她的体重和斜坡的接触力,斜坡有一个垂直于斜坡的分量和一个沿斜坡的分量(动摩擦力)。 因为她沿着斜坡移动,所以分析她运动的最方便的参考系是 x 轴沿着斜坡移动,y 轴垂直于斜坡的参考系。 在此帧中,法向力和摩擦力均位于坐标轴θ上,权重的分量是沿斜率的 mg sin β 和与斜率成直角的 mg cos,唯一的加速度是沿 x 轴(a y = 0)。

解决方案

现在,我们可以将牛顿第二定律应用到滑雪板运动员身上:

Fx=maxmgsinθμkN=max

Fy=mayNmgcosθ=m(0).

根据第二个方程,N = mg cosθ。 用这个代入第一个方程后,我们发现

ax=g(sinθμkcosθ)=g(sin13o0.520cos13o)=0.29m/s2.

意义

从这个方程中可以看出,如果θ足够小或μk足够大,x 是负数,也就是说,滑雪板运动员会减速。

练习4

滑雪板运动员现在正沿着斜度为 10.0° 的山坡移动。 滑雪者的加速度是多少?