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6.E：牛顿定律的应用（练习）

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    概念性问题

    6.1 用牛顿定律解决问题

    1. 为了模拟太空轨道明显的失重状态，宇航员在货运飞机的货舱中接受训练，该货运飞机正在 g 处向下加速。在这个加速的参考框架中，为什么他们看起来像失重，用站在浴室秤上来衡量？ 它们在轨道上和在飞机上明显失重有什么区别吗？

    6.2 摩擦力

    1. 胶带上的胶水可以施加力量。 这些力能成为一种简单的摩擦吗？ 解释一下，特别要考虑到胶带可以粘在垂直的墙壁上，甚至可以粘在天花板上。
    2. 当你学会驾驶时，你会发现当你停下来时你需要稍微放松一下刹车踏板，否则汽车会突然停下来。 用静摩擦和动摩擦之间的关系来解释这一点。
    3. 当你用一支粉笔穿过黑板时，它有时会发出尖叫声，因为它会在滑动和粘在黑板上之间快速交替出现。 更详细地描述这个过程，特别是解释它与动摩擦小于静摩擦这一事实有何关系。 （当轮胎在人行道上发出尖叫声时，也会发生同样的抓滑过程。）
    4. 物理专业的学生正在做早餐，她注意到钢刮刀和聚四氟乙烯煎锅之间的摩擦力仅为 0.200 N。知道两种材料之间的动摩擦系数，她很快就会计算出法向力。 这是什么？

    6.3 向心力

    1. 如果你想减少高速轮胎上的应力（与向心力有关），你会使用大直径还是小直径的轮胎？ 解释一下。
    2. 定义向心力。 任何类型的力（例如张力、重力、摩擦力等）都能成为向心力吗？ 任何力的组合都能成为向心力吗？
    3. 如果向心力指向中心，为什么当汽车绕弯道行驶时，你会觉得自己被 “抛出” 了中心？ 解释一下。
    4. 赛车手经常偷工减料，如下所示（路径 2）。 解释这如何允许以最快的速度拍摄曲线。

    赛道内通过九十度曲线显示了两条路径。 显示了两辆汽车，一辆红色和一辆蓝色，以及它们的行驶路径。 蓝色汽车在第一号路径上急转弯，这是沿着赛道的内部路径。 显示的是红色汽车超越了第一辆车，同时转得更远，在蓝色汽车前面越过内部路径，然后驶出车道。

    1. 许多游乐园都有垂直循环的游乐设施，如下所示。 为了安全起见，汽车固定在轨道上的方式不会脱落。 如果汽车以恰到好处的速度越过山顶，那么仅凭重力就能提供向心力。 如果出现以下情况，其他力量起作用及其方向是什么：
      1. 汽车越过山顶的速度比这个速度快？
      2. 汽车越过山顶的速度比这个速度慢？

    带有垂直环的过山车的照片。 环顶部的曲率比底部的曲率更紧，形成了倒置的泪珠形状。

    1. 是什么原因导致在旋转烘干机中去除衣服上的水？
    2. 当滑冰运动员围成一圈时，轮到他的原因是什么力量？ 在答案中使用自由体图。
    3. 假设一个孩子骑着旋转木马，距离旋转木马的中心和边缘大约一半。 她有一个放在蜡纸上的午餐盒，所以它和旋转木马之间几乎没有摩擦。 下图所示的午餐盒放手后会走哪条路？ 午餐盒在旋转木马的尘土中留下一条痕迹。 那条小径是直的、向左弯曲的，还是向右弯曲的？ 解释你的答案。

    旋转木马的圆形底座的插图，上面有一匹马和一个孩子。 角速度 omega 是顺时针方向，此处用箭头显示。 在马匹附近、与旋转木马同心的圆上显示一个点 P。 图中显示了三支从 P 点出来的箭头，描绘了午餐盒的三条可能路径。 路径 A 弯曲成圆圈，从方块的角度向右转。 路径 B 是直的，与圆相切。 路径 C 从方框的角度向左弯曲，走出圆圈。

    1. 当你协商一条最适合你的汽车速度的弯道时，你会觉得自己被抛到了任何一边吗？ 汽车安全座椅对你施加的力的方向是什么？
    2. 假设质量在无摩擦表上以圆形路径移动，如下所示。 在地球的参照系中，没有离心力将质量从旋转中心拉开，但是有一种力在拉伸绳子将质量附着在钉子上。 使用与向心力和牛顿第三定律相关的概念，解释是什么力拉伸了弦线，确定了它的物理来源。

    桌子上质量在圆形路径上移动的示意图。 质量附着在一根绳子上，该绳子固定在圆的中心到另一端的桌子上。

    1. 当冲洗马桶或排干水槽时，水（和其他材料）在向下时开始绕排水管旋转。 假设没有初始旋转，最初直接流向排水管，请解释是什么原因导致了旋转，以及它在北半球向哪个方向。 （请注意，这是一个很小的效果，在大多数厕所中，旋转是由定向喷水引起的。） 如果水被迫上下水道，旋转方向会反转吗？
    2. 一辆汽车绕过曲线，遇到一块动能虚构系数非常低的冰块。 汽车滑出了道路。 描述汽车离开道路时的路径。
    3. 在一次游乐园骑行中，骑手进入一个大型垂直桶，靠墙站在水平地板上。 枪管向上旋转，地板掉下来。 骑手感觉自己好像被一种力量钉在墙上，比如引力。 这是一种惯性力，由骑手感知和使用，用于解释枪管旋转参考框架中的事件。 在惯性参考框架（地球几乎是其中之一）中解释是什么将骑手固定在墙上，并确定作用于他们身上的所有力。
    4. 两个朋友正在交谈。 安娜说，轨道上的卫星处于自由落体状态，因为卫星不断向地球坠落。 汤姆说，轨道上的卫星不是自由落体的，因为重力引起的加速度不是9.80 m/s 2。 你同意谁的看法，为什么？
    5. 放置在太阳中心的非旋转参考系几乎是惯性的。 为什么它不完全是惯性框架？

    6.4 阻力和终端速度

    1. 游泳运动员和骑自行车运动员等运动员在比赛中穿紧身衣。 制定此类西装的优缺点清单。
    2. 两个表达式用于表示液体中移动物体所承受的阻力。 一个取决于速度，而另一个与速度的平方成正比。 在哪种类型的动作中，这些表达方式比另一种更适用？
    3. 当汽车行驶时，机油和汽油会泄漏到路面。 如果有小雨，这会对汽车的控制产生什么影响？ 大雨有什么区别吗？
    4. 为什么松鼠能从树枝上跳到地上然后完好无损地逃跑，而人类却可以在这样的跌倒中折断骨头？

    问题

    6.1 用牛顿定律解决问题

    1. 在秋千中，一个30.0公斤的女孩被推到一侧并用水平力保持静止，\(\vec{F}\)这样秋千绳相对于垂直方向的角度为30.0°。 (a) 计算在这种条件下支撑秋千的两根绳索中每根的张力。 (b) 计算大小\(\vec{F}\).
    2. 如果交通信号灯重 2.00 x 10 2 N，请找出支撑交通信号灯的三根电缆中每根电缆的张力

    图中显示了由电缆悬挂的交通信号灯的草图，该电缆又悬挂在另外两条电缆上。 张力 T sub 3 是连接交通信号灯和上部电缆的电缆中的张力。 张力 T sub one 是上部电缆向上和向左拉动的张力，与水平线成为 41 度角。 张力 T sub two 是向上和向右拉动的张力，与水平方向成了 63 度角。 等于 200 牛顿的力向量 w 在交通信号灯上垂直向下拉动。

    1. 三种力作用于被视为粒子的物体，该物体以恒定速度移动 v = (3\(\hat{i}\) − 2\(\hat{j}\)) m/s。其中两种力是\(\vec{F}_{1}\) = (3\(\hat{i}\) + 5\(\hat{j}\) − 6k\(\hat{k}\)) N 和\(\vec{F}_{2}\) = (4\(\hat{i}\) − 7\(\hat{j}\) + 2\(\hat{k}\)) N。找到第三种力。
    2. 跳蚤通过在地面上直接向下施加 1.20 x 10 −5 N 的力而跳跃。 当跳蚤仍与地面接触时，微风吹向与地面平行的跳蚤会对跳蚤施加0.500 x 10 −6 N的力。 如果跳蚤的质量为 6.00 x 10 −7 kg，则找出跳蚤加速的方向和大小。 不要忽视引力。
    3. 腿后两块肌肉在跟腱上向上拉，如下所示。 （这些肌肉被称为 gastrocnemius 肌肉的内侧和外侧头。） 找出跟腱上总力的大小和方向。 这种力量会引起什么样的移动？

    图中显示了跟腱，gastrocnemius 肌肉的外侧和内侧头部施加了两种力。 F sub one 等于二百牛顿，显示为向量使垂直向右侧成二十度的角度，而 F sub two 等于二百牛顿，则显示为垂直向左转二十度的角度。

    1. 事故发生后，一名重达76.0公斤的马戏团表演者紧紧抓住空中飞人，该空中飞人正被另一位马戏团艺术家拉到一边，如图所示。 如果该人暂时一动不动，则计算两根绳子的张力。 在解决方案中加入自由体图。

    悬挂在空中飞人上的马戏团表演者正被另一名表演者用绳子向右拉。 她的体重由垂直向下作用的向量 w 表示。 空中飞人绳向上和向左施加张力 T sub one，与垂直方向成十五度的角度。 第二位表演者用张力 T sub two 进行拉动，使正向 x 方向高出十度的角度。

    1. 一只 35.0 公斤的海豚在 2.30 秒内从 12.0 m/s 减速到 7.50 m/s，与另一只海豚一起玩耍。 如果第一只海豚水平移动，平均施加的力是多少？ （引力被水的浮力所平衡。）
    2. 在开始徒步比赛时，70.0 公斤的短跑运动员在地面上平均向后施加 650 N 的力，持续 0.800 秒。(a) 他的最终速度是多少？ (b) 他要走多远？
    3. 大型火箭起飞时的质量为2.00 x 10 6 kg，其发动机产生的推力为3.50 x 10 7 N。（a）如果垂直起飞，则找到其初始加速度。 (b) 假设质量和推力恒定，直线达到 120 km/h 的速度需要多长时间？
    4. 一名篮球运动员直接向上跳去拿球。 为此，他将身体降低0.300 m，然后用力拉直双腿加速穿过这个距离。 该玩家离开地板的垂直速度足以将他带到地板上方 0.900 m。 (a) 计算他离开地板时的速度。 (b) 计算他拉直双腿时的加速度。 他在 0.300 m 的距离内从零变为 (a) 中找到的速度。(c) 假设他的质量为 110.0 kg，计算他在地板上施加的力。
    5. 一枚 2.50 千克的烟花炮弹从迫击炮直接向上发射并达到 110.0 m 的高度。(a) 忽略空阻（这个假设不好，但我们将在本例中做到），计算炮弹离开迫击炮时的速度。 (b) 迫击炮本身是一根0.450米长的管子。 计算管中壳从零变为 (a) 中找到的速度时的平均加速度。 (c) 迫击炮弹的平均力是多少？ 用牛顿和外壳重量的比例表达你的答案。
    6. 用作 “马铃薯枪” 的聚氯乙烯管以比水平线高出80.0°的角度发射0.500千克的马铃薯，达到110.0 m的高度。(a) 忽略空气阻力，计算马铃薯离开枪时的速度。 (b) 枪本身是一根0.450米长的管子。 计算管中马铃薯从零变为 (a) 中找到的速度时的平均加速度。 (c) 枪中马铃薯的平均力是多少？ 用牛顿和马铃薯重量的比例表达你的答案。
    7. 载有乘客的电梯的重量为 1.70 x 10 3 千克。 (a) 电梯从静止处以 1.20 m/s 2 的速度向上加速 1.50 秒。计算支撑电梯的电缆中的张力。 (b) 电梯以恒定速度继续向上行驶 8.50 秒。在此期间，电缆的张力是多少？ (c) 电梯以 0.600 m/s 2 的速度减速 3.00 秒。减速期间电缆的张力是多少？ (d) 电梯在其原始起点上方移动了多高，其最终速度是多少？
    8. 一个20.0克的球被一根绳子悬挂在货车的车顶上。 当货车开始移动时，绳子与垂直方向成35.0°的角度。 (a) 货车的加速度是多少？ (b) 琴弦中的张力是多少？
    9. 装满教科书的学生背包挂在电梯天花板上的弹簧秤上。 当电梯以 3.8 m/s 2 的速度向下加速时，刻度显示为 60 N。(a) 背包的质量是多少？ (b) 如果电梯向上移动，同时以 3.8 m/s 2 的速度减速，体重秤的读数是多少？ (c) 如果电梯以恒定速度向上移动，体重秤的读数是多少？ (d) 如果电梯没有刹车，支撑它的电缆会松动，这样电梯就可以自由落下，弹簧秤会读什么？
    10. 服务电梯将重量为10.0 kg的垃圾从正在建设的摩天大楼的地板向下移至地面，然后以1. 2 m/s 2的速度向下加速。 找出垃圾在服务电梯地板上施加的力有多大？
    11. 过山车从停在轨道顶部开始，轨道长度为30.0 m，向水平倾斜20.0°。 假设摩擦可以忽略。 (a) 汽车的加速度是多少？ (b) 经过多长时间才到达轨道底部？
    12. 下面显示的设备是示例 6.5 中考虑的 Atwood 机器。 假设琴弦和无摩擦滑轮的质量可以忽略不计，（a）找到两个方块的加速度方程；（b）找到弦中张力的方程；（c）当方块 1 的质量为 2.00 kg 而方块 2 的质量为 4.00 kg 时，求出加速度和张力。

    图中显示了一台阿特伍德机器，该机器由一根穿过滑轮的绳子悬挂在滑轮两侧的质量组成。 质量 m sub 1 在左边，质量 m sub 2 在右边。

    1. 两个区块通过一根无质量的绳索连接，如下所示。 桌上方块的质量为 4.0 kg，悬挂质量为 1.0 kg。 桌子和滑轮是无摩擦的。 (a) 找到系统的加速度。 (b) 找出绳索中的张力。 (c) 如果悬挂物从静止处开始且最初位于离地面 1.0 米处，则找出悬物撞击地板的速度。

    方块 m sub 1 在水平桌子上。 它与一根穿过桌子边缘滑轮的绳子相连。 然后，绳子直接向下悬挂并连接到方块 m sub 2，后者与桌子没有接触。 方块 m sub 1 的加速度向右指向 sub 1。 方块 m sub 2 有向下加速度 a sub 2。

    1. 下图显示的是两辆手推车通过一根穿过小型无摩擦滑轮的绳索连接。 每辆推车可自由滚动，摩擦力微乎其微。 计算推车的加速度和绳索中的张力。

    两辆由穿过滑轮的绳子连接的手推车位于双倾斜平面的两侧。 绳子穿过安装在双斜坡顶部的滑轮。 在左边，斜坡与水平方向成37度的角度，而那边的推车重量为10千克。 在右边，斜坡与水平方向成53度的角度，而那边的推车重量为15千克。

    1. 如图所示，一个 2.00 千克的方块（质量 1）和一个 4.00 千克的方块（质量 2）由一根灯串连接；坡道的倾角为 40.0°。 摩擦力可以忽略不计。 （a）每个方块的加速度和（b）弦中的张力是多少？

    方块 1 位于向上和向右倾斜的坡道上，其角度比水平线高出 40 度。 它与一根绳子相连，该绳子穿过坡道顶部的滑轮，然后直接向下悬挂并连接到方块 2。 方块 2 未与坡道接触。

    6.2 摩擦力

    1. (a) 在重建汽车发动机时，物理专业的学生必须施加3.00 x 10 2 N的力才能将干钢活塞插入钢缸中。 活塞和气缸之间的法向力是多少？ (b) 如果钢件上了油，他会施加什么力？
    2. (a) 在膝盖上支撑66.0千克肿块的人的膝关节的最大摩擦力是多少？ (b) 在剧烈运动中，对关节施加的力很容易比所支撑的重量大10倍。 在这种条件下的最大摩擦力是多少？ 在所有情况下，关节中的摩擦力都相对较小，除非关节恶化，例如受伤或关节炎。 摩擦力的增加会造成进一步的伤害和疼痛。
    3. 假设你有一个 120 千克的木箱放在木地板上，这些木材表面之间的静摩擦系数为 0.500。 (a) 在不移动箱子的情况下，你能在箱子上水平施加的最大力量是多少？ (b) 如果你在箱子开始滑动后继续施加这种力，那么它的加速度会是多少？ 在这种情况下，已知滑动摩擦系数为 0.300。
    4. (a) 如果一辆 1.00 x 10 3 千克的小型多功能卡车的一半由其两个驱动轮支撑，那么它在干混凝土上能达到的最大加速度是多少？ (b) 如果卡车木床上的金属柜以这种速度加速，它会滑倒吗？ (c) 假设卡车有四轮驱动，则解决这两个问题。
    5. 一个由八只狗组成的队伍在潮湿的雪地上用打蜡的木头跑步者拉雪橇（糊状！）。 这些狗的平均重量为19.0千克，带着骑手的装载雪橇的重量为210千克。 (a) 如果每只狗在雪地上向后施加平均185 N的力，则计算狗从休息开始的加速度。 (b) 计算狗和雪橇之间的耦合力。
    6. 假设这位 65.0 公斤的滑冰运动员被另外两名滑冰运动员推动，如下所示。 (a) 找出 F tot 的方向和大小，即其他人对她施加的总力，假设 F 1 和 F 2 的量级分别为 26.4 N 和 18.6 N。 (b) 如果她最初处于静止状态并穿着指向 F tot 方向的钢刃溜冰鞋，她最初的加速度是多少？ (c) 假设她已经朝着 F tot 的方向移动，她的加速度是多少？ （请记住，摩擦的作用方向总是与接触表面之间的运动或尝试运动的方向相反。）

    (a) 两名滑冰运动员在推第三名滑冰运动员的俯视图。 一名滑冰运动员用力 F one 推动，用指向右边的箭头表示，另一名滑冰运动员用力 F two 推动，用指向上方的箭头表示。 Vector F one 和 vector F two 位于作用于第三名滑冰运动员的两名滑冰运动员的手臂上。 矢量图以直角三角形的形式显示，其中基数是向量 F，一个指向右边，垂直于 F one 是向量 F 2 指向上方。 生成的向量由指向上和向右的斜边显示，并被标记为向量 F sub tot。 (b) 自由身体图仅显示作用于滑冰运动员的 F sub one 和 F sub 2 的力。

    1. 证明任何物体沿着\(\theta\)与水平方向成一定角度的无摩擦斜坡的加速度为 a = g sin\(\theta\)。 （请注意，此加速度与质量无关。）

    斜坡上方块的插图。 斜率向下和向右倾斜，与水平成一千度角。 方块的加速度与斜率平行，朝向其底部。 显示了以下力：N 垂直于斜率并指向斜率，w 在垂直方向上等于 m 乘以 g。 x y 坐标系是倾斜的，因此正 x 表示下坡，平行于表面，正 y 垂直于斜率，指向表面。

    1. 显示任何物体沿着摩擦行为简单的斜坡（即 f k =\(\mu_{k}\) N）向下加速度为 a = g（sin\(\theta\) −\(\mu_{k}\) cos\(\theta\)）。 请注意，当摩擦力变得可以忽略不计（\(\mu_{k}\)= 0）时，加速度与质量无关，会简化为上一个问题中的表达式。

    斜坡上方块的插图。 斜率向下和向右倾斜，与水平成一千度角。 方块的加速度为 a，与斜率平行，朝向其底部。 显示了以下力：f 在平行于斜率的方向上朝向斜坡顶部；N 垂直于斜率并指向斜坡的方向；w sub x 朝平行于斜率的方向朝向斜坡的底部；w sub y 垂直于斜率并指向斜坡。 x y 坐标系是倾斜的，因此正 x 表示下坡，平行于表面，正 y 垂直于斜率，指向表面。

    1. 假设湿雪上打蜡的木材的摩擦系数，计算滑雪板运动员向上 5.00° 斜坡的减速。 上述问题的结果可能有用，但要小心考虑滑雪板手正在上坡的事实。
    2. 邮局的一台机器将包裹从滑槽中送出，然后沿着坡道送出，然后装入送货车辆。 (a) 假设打蜡木包裹的摩擦系数为 0.100，计算箱子向下行驶 10.0° 斜率的加速度。 (b) 找出这个盒子可以以恒定速度向下移动的斜率角度。 你可以忽略这两个部分的空气阻力。
    3. 如果物体要停留在斜坡上而不滑动，则摩擦力必须等于平行于倾斜的物体重量的分量。 这需要越来越大的摩擦力才能在陡峭的斜坡上行驶。 显示物体不会向下滑动的水平线上方的最大倾斜角度为\(\theta\) = tan −1\(\mu_{s}\)。 你可以使用上一个问题的结果。 假设 a = 0 并且静摩擦力已达到其最大值。

    斜坡上方块质量 m 的示意图。 斜率向上和向右倾斜，与水平成一千度角。 质量在平行于斜率的方向上向其底部感觉到 w sub 平行的力，在平行于斜率的方向上向其顶部感受力 f。

    1. 计算在以下路况下以 6.00° 的斜率（与水平方向成角度为 6.00°）行驶的汽车的最大加速度。 你可以假设汽车的重量在所有四个轮胎上均匀分布，并且涉及静摩擦系数，也就是说，轮胎在减速期间不允许打滑。 （忽略滚动。） 计算一辆汽车：（a）在干混凝土上。 (b) 在湿混凝土上。 (c) 在冰上，假设\(\mu_{s}\) = 0.100，与冰上鞋子相同。
    2. 计算在以下路况下向上行驶 4.00°（与水平方向成角度为 4.00°）的汽车的最大加速度。 假设只有一半的汽车重量由两个驱动轮支撑，并且涉及静摩擦系数，也就是说，轮胎在加速过程中不允许打滑。 （忽略滚动。） (a) 在干混凝土上。 (b) 在湿混凝土上。 (c) 在冰上，假设\(\mu_{s}\) = 0.100，与冰上鞋子相同。
    3. 对于四轮驱动的汽车，重复上述问题。
    4. 一列货运列车由两台 8.00 x 10 5 千克的发动机和 45 辆平均质量为 5.50 x 10 5 千克的汽车组成。 (a) 假设发动机施加的力相同，如果摩擦力为 7.50 x 10 5 N，则每台发动机必须在轨道上向后施加什么力才能以 5.00 x 10 −2 m/s 2 的速度加速列车？ 对于如此庞大的系统来说，这不是一个很大的摩擦力。 列车的滚动摩擦力很小，因此，列车是非常节能的运输系统。 (b) 假设所有汽车的质量相同，摩擦力在所有汽车和发动机之间均匀分布，则第 37 辆和第 38 辆汽车之间的耦合力是多少（这是两辆车对另一辆施加的力）？
    5. 以下图所示的 52.0 公斤的登山者为例。 (a) 找出绳索中的张力，以及登山者必须用脚在垂直的岩面上施加的力量才能保持静止。 假设力与她的腿平行施加。 另外，假设她的手臂施加的力量微不足道。 (b) 她的鞋子和悬崖之间的最小摩擦系数是多少？

    一名登山者被吸引到远离岩壁的地方，双脚靠在岩壁上。 绳子从登山者向上延伸，垂直方向成31度的角度。 登山者的双腿是直的，与岩面成十五度的角度。 力向量 F sub T 从安全带开始，沿着绳索指向远离登山者的距离。 力向量 F 子腿从登山者的脚下开始，指向远离岩石，与她的双腿平行。

    1. 参加冬季体育赛事的参赛者将一块45.0公斤的冰块推过冰冻的湖泊，如下所示。 (a) 计算他为使方块移动而必须施加的最小力 F。 (b) 如果保持这种力，它开始移动后的加速度是多少？

    用力 F 推动一块冰块，该力 F 指向水平线以下 25 度的角度。

    1. 参赛者现在用绳子将冰块拉过肩膀，其角度与水平线上方的角度相同，如下所示。 计算他为使方块移动而必须施加的最小力 F。 (b) 如果保持这种力，它开始移动后的加速度是多少？

    正在用力 F 拉动一块冰，该力指向比水平线高出二十五度的角度。

    1. 在邮局，一个重量为 20.0 千克的包裹沿着水平方向倾斜的 30.0° 斜坡向下滑动。 箱体与平面之间的动摩擦系数为 0.0300。 (a) 找到盒子的加速度。 (b) 如果飞机的长度为 2 m 并且盒子从静止处开始，则找出盒子到达飞机末端时的速度。

    6.3 向心力

    1. (a) 一个 22.0 公斤的孩子正在乘坐游乐场旋转木马，旋转速度为 40.0 转/分钟。 如果他离中心1.25 m，会施加什么向心力？ (b) 如果旋转木马以 3.00 转/分钟旋转并且距离中心 8.00 米，会施加什么向心力？ (c) 将每种力量与其重量进行比较。
    2. 计算以 0.5 转/秒旋转的 100 米（半径）风力涡轮机叶片末端的向心力。假设质量为 4 kg。
    3. 假设每个人都以极限行驶，在限速为10 5 km/h（约65英里/小时）的高速公路上，在半径1.20千米的平缓转弯时理想的倾斜角度是多少？
    4. 以 20.0° 角倾斜半径为 100.0 米的曲线的理想速度是多少？
    5. (a) 假设雪橇转弯以 75.0° 倾斜并以 30.0 m/s 的速度拍摄，其半径是多少？ (b) 计算向心加速度。 (c) 这种加速对你来说似乎很大吗？
    6. 骑自行车的一部分涉及在转弯时以正确的角度倾斜，如下所示。 为了保持稳定，地面施加的力必须位于穿过重心的线上。 自行车车轮上的力可以分解为两个垂直分量——平行于道路的摩擦力（这必须提供向心力）和垂直法向力（必须等于系统的重量）。 (a) 表明\(\theta\)（定义如图所示）与转弯的速度 v 和曲率半径 r 的关系，其方式与理想的倾斜道路相同，即\(\theta\) = tan −1\(\left(\dfrac{v^{2}}{rg}\right)\)。 (b) 计算半径\(\theta\)为 30.0 m 的 12.0 m/s 转弯（如在比赛中）。

    从正面看，这个人物是一个骑自行车的男人的插图。 骑手和自行车向右倾斜，与垂直方向成一定角度 theta。 三个力向量显示为实线箭头。 一个是从前轮底部向右显示向心力 F sub c。第二个是从同一点垂直向上显示力 N。第三个是从骑手的胸部垂直向下显示他的体重，w。另一个是从方向盘底部到还会显示胸部指向垂直方向的右侧 theta 角度，并标有施加于 F 的力。 向量 F sub c、w 和 F 形成直角三角形，斜边为 F。图上方还给出了显示向量 w 和 F 的自由体图。向量关系 F 等于 N 和 F sub c 的总和，N 等于 w 也在图旁边。

    1. 如果汽车以低于理想速度行驶的倾斜曲线，则需要摩擦来防止其向弯道内侧滑动（在结冰的山路上是个问题）。 (a) 计算理想速度，在15.0°处绘制一条半径为100.0 m的曲线。 (b) 受惊的驾驶员在 20.0 km/h 的速度下走同样的曲线所需的最小摩擦系数是多少？
    2. 现代过山车有垂直环，如图所示。 顶部的曲率半径小于侧面的曲率半径，因此顶部的向下向心加速度将大于重力引起的加速度，从而使乘客牢牢地压在座位上。 如果曲率半径为15.0 m，而汽车的向下加速度为1.50 g，则环路顶部的过山车的速度是多少？

    滚轮环的插图。 顶部的曲率半径小于侧面和底部的曲率半径。 tom 处的循环半径显示并标记为 r sub minimum。 循环最低部分的半径被标记为 r sub maximum。 轨道位于环路的内表面。 运动由箭头指示，从环路右侧的地面开始，在左侧循环内向上移动，然后从循环的右侧向下移动，然后在左侧的地面上再次向外移动。 标注了轨道上的四个位置，即 A、B、C 和 D 和 B。 A 点位于地面，在环路右侧，轨道是直线和水平的。 点 B 位于循环左侧的一段上方。 C 点位于环路右侧的一段路上，与 B 点处于同一高度。D 点位于地面，在环路的左边，轨道是直线和水平的。

    1. 体重为 40.0 kg 的孩子坐在一辆半径为 7.00 m 的过山车中。在 A 点，汽车的速度为 10.0 m/s，在 B 点，速度为 10.5 m/s。假设孩子没有抓住，也没有系安全带。 (a) 汽车安全座椅在 A 点对孩子的作用力是多少？ (b) 汽车安全座椅在 B 点对孩子的作用力是多少？ (c) 在 A 点让孩子坐在座位上需要的最低速度是多少？

    一张过山车环路的插图，一个孩子坐在汽车里接近环路。 轨道位于环路的内表面。 对环路上的两个位置 A 和 B 进行了标记。 点 A 位于循环的顶部。 点 B 在 A 的左下方。点 A 和 B 的半径之间的角度为三十度。

    1. 在氢原子基态的简单玻尔模型中，电子围绕固定质子在圆形轨道上移动。 轨道半径为 5.28 x 10 −11 m，电子的速度为 2.18 x 10 6 m/s。电子的质量为 9.11 x 10 −31 kg。 电子上的力是多少？
    2. 铁路轨道沿着半径为 500.0 m 的圆形曲线行驶，倾斜角度为 5.0°。 这些轨道是为什么速度的火车设计的？
    3. CERN 粒子加速器是圆形的，周长为 7.0 km。 (a) 以光速的5％绕加速器移动的质子（m = 1.67 x 10 −27 kg）的加速度是多少？ （光速为 v = 3.00 x 10 8 m/s。） (b) 质子上的力是多少？
    4. 汽车绕过半径为 65 m 的无侧弯曲线。如果道路和汽车之间的静摩擦系数为 0.70，则汽车在不打滑的情况下穿越曲线的最大速度是多少？
    5. 倾斜高速公路专为以 90.0 km/h 的速度行驶的交通而设计。曲线的半径为 310 m。高速公路的倾斜角度是多少？

    6.4 阻力和终端速度

    1. 一个人坠入空中的终极速度取决于面对液体的人的重量和面积。 找出 80.0 千克跳伞运动员落在表面积为 0.140 m 2 的梭子鱼（头先）位置的终极速度（以米/秒和每小时千米为单位）。
    2. 一个60.0公斤和一个90.0公斤的跳伞运动员在6.00 x 10 3 米的高度从飞机上跳下，两者都落在长矛位置。 对它们的正面区域进行一些假设，然后计算它们的终端速度。 每位跳伞运动员到达地面需要多长时间（假设达到终点速度的时间很短）？ 假设所有值都精确到三个有效数字。
    3. 一只表面积为 930 cm 2 的 560 克松鼠从一棵5.0 米的树上掉到地上。 估计其终端速度。 （对水平跳伞运动员使用阻力系数。） 假设在这么短的距离内没有阻力，一个重达56公斤的人撞到地面的速度会是多少？
    4. 为了保持恒定速度，汽车发动机提供的力必须等于阻力加上道路的摩擦力（滚动阻力）。 (a) 丰田凯美瑞在 70 km/h 和 100 km/h 时的阻力是多少？ （阻力区域为 0.70 m 2）(b) 悍马 H2 在 70 km/h 和 100 km/h 时的阻力是多少？ （阻力区域为 2.44 m 2）假设所有值都精确到三个有效数字。
    5. 当汽车从 65 km/h 增加到 110 km/h 时，汽车的阻力会增加什么因素？
    6. 计算在没有空气阻力 (b) 和空气阻力的情况下，球形雨滴从 5.00 km (a) 坠落所达到的速度。 假设液滴的大小为 4 mm，密度为 1.00 x 10 3 kg/m 3，表面积为\(\pi\) r 2。
    7. 使用斯托克斯定律，验证粘度的单位是否为每米每秒千克。
    8. 计算球形细菌（直径 2.00\(\mu_{m}\)）落入水中的终极速度。 你首先需要注意，阻力等于终端速度下的重量。 假设细菌的密度为 1.10 x 10 3 kg/m 3。
    9. 斯托克斯定律描述了液体中颗粒的沉积，可用于测量粘度。 液体中的颗粒可以快速达到终极速度。 人们可以测量粒子掉落一定距离所需的时间，然后使用斯托克斯定律来计算液体的粘度。 假设一个钢珠轴承（密度 7.8 x 10 3 kg/m 3，直径 3.0 mm）掉入装有机油的容器中。 落下 0.60 m 的距离需要 12 秒。计算油的粘度。
    10. 假设空中对跳伞运动员的阻力可以用 f = −bv 2 来近似。 如果一个 50.0 千克的跳伞运动员的终点速度为 60.0 m/s，那么 b 的值是多少？
    11. 一颗质量为 10.0 g 的小钻石从游泳运动员的耳环上掉落并掉入水中，达到了 2.0 m/s 的终极速度。(a) 假设钻石上的摩擦力服从 f = −bv，那什么是 b？ (b) 钻石在达到终端速度的90％之前会掉落多远？

    其他问题

    1. (a) 最初以 50.0 km/h 的速度行驶并以 0.400 m/s 2 的速度减速 50.0 秒的汽车的最终速度是多少？ 假设摩擦系数为 1.0。 (b) 结果有什么不合理之处？ (c) 哪个前提不合理，哪些前提不一致？
    2. 一名75.0公斤的女性站在电梯中的浴室秤上，电梯在2.00秒内从静止状态加速到30.0 m/s。（a）计算以牛顿为单位的体重秤读数并将其与她的体重进行比较。 （体重秤对她施加的向上力等于其读数。） (b) 结果有什么不合理之处？ (c) 哪个前提不合理，哪些前提不一致？
    3. (a) 计算汽车在 30.0 m/s 时协商一条无倾斜的 50.0 m 半径曲线所需的最小摩擦系数。(b) 结果有什么不合理之处？ (c) 哪些前提不合理或不一致？
    4. 如下所示，如果 M = 5.50 kg，则弦 1 中的张力是多少？

    质量 M 悬挂在字符串 1 和 2 上。 String 1 与质量下方和左侧某一点的墙相连。 字符串 1 使角度低于水平线 40 度。 String 2 连接到质量上方和右侧某一点的天花板。 字符串 2 与垂直方向右侧成一个 40 度的角度。

    1. 如下所示，如果 F = 60.0 N，M = 4.00 kg，则悬浮物体的加速度大小是多少？ 所有表面均无摩擦。

    图中显示了两个方块。 一个标有 2 M 的方块位于水平桌子上。 力 F 以高于水平线 30 度的角度向上和向左拉动 2 M 方块。 在另一边，方块与一根绳子相连，绳子将其拉向右边。 绳子穿过桌子边缘的滑轮，然后直接向下悬挂并连接到标有 M 的第二个方块。方块 2 与坡道没有接触。

    1. 如下所示，如果 M = 6.0 kg，则连接线中的张力是多少？ 滑轮和所有表面均无摩擦。

    两个方块，两个质量 M 由一根穿过方块之间滑轮的绳子相连。 上方块位于向下和向右倾斜的表面上，与水平方向成30度的角度。 滑轮连接到斜坡底部的角落，然后表面弯曲并垂直向下移动。 较低的质量直接向下悬挂。 它与表面没有接触。

    1. 小型太空探测器从太空飞船上释放出来。 太空探测器的质量为20.0千克，含有90.0千克的燃料。 它从深空静止开始，从基于太空飞船的坐标系的原点开始，并以 3.00 kg/s 的速度燃烧燃料。发动机提供的恒定推力为 120.0 N。(a) 写一个表达式表示太空探测器的质量随时间变化，介于 0 到 30 秒之间，假设发动机从 t = 0 开始点燃燃料。 (b) 15.0 秒后的速度是多少？ (c) 太空探测器在15.0秒后的位置是什么，初始位置在原点？ (d) 为 t > 30.0 s 写一个以时间函数表示位置的表达式。
    2. 半满的回收箱的重量为 3.0 kg，在向上作用并平行于斜坡的 26N 力的作用下，以恒定的速度向上推动 40.0° 的倾角。 斜面有摩擦力。 垃圾箱要以恒定速度向下移动，必须向上并平行于斜坡起作用多大的力？
    3. 孩子的体重为 6.0 kg，在向上且平行于斜坡的 34-N 力的作用下，以恒定的速度向下滑动 35°。 孩子和斜坡表面之间的动摩擦系数是多少？
    4. 此处显示的两艘驳船由一条质量可以忽略不计的电缆耦合。 前驳船的质量为 2.00 x 10 3 千克，后驳船的质量为 3.00 x 10 3 千克。 拖船以 20.0 x 10 3 N 的水平力拉动前排驳船，前驳船和后驳船上水的摩擦力分别为 8.00 x 10 3 N 和 10.0 x 10 3 N。 找到驳船的水平加速度和连接电缆中的张力。

    一幅插图显示一艘拖船在拖两艘驳船。 直接附着在拖船上的驳船的重量为2.00乘以10到3公斤。 最后的驳船在第一艘驳船的后面，重量为3.00乘以10到第三公斤。

    1. 如果前面练习的驳船顺序颠倒了，拖船以 20.0 x 10 3 N 的力拉动 3.00 x 10 3 kg 的驳船，那么驳船的加速度和耦合电缆中的张力是多少？
    2. 质量为 m 的物体沿 x 轴移动。 它在任何时候的位置都由 x (t) = pt 3 + qt 2 给出，其中 p 和 q 是常量。 在任意时间找出该物体上的净力 t。
    3. 质量为 2.35 x 10 4 千克的直升机的位置由\(\vec{r}\) (t) = (0.020 t 3)\(\hat{i}\) + (2.2t)\(\hat{j}\) − (0.060 t 2) |9\ hat {k}\) 给出。 在 t = 3.0 秒处找到直升机上的净力。
    4. 位于起点处，质量为m的电动汽车处于静止状态并处于平衡状态。 在时间 t = 0 时施加时间相关力\(\vec{F}\) (t)，其分量为 F x (t) = p + nt 和 F y (t) = qt，其中 p、q 和 n 是常数。 将位置\(\vec{r}\) (t) 和速度\(\vec{v}\) (t) 作为时间 t 的函数求出。
    5. 质量为 m 的粒子位于原点。 它处于静止状态且处于平衡状态。 在时间 t = 0 时施加随时间变化的力\(\vec{F}\) (t)，其分量为 F x (t) = pt 和 F y (t) = n + qt，其中 p、q 和 n 是常量。 将位置\(\vec{r}\) (t) 和速度\(\vec{v}\) (t) 作为时间 t 的函数求出。
    6. 一个 2.0 千克的物体在 t = 0 时速度为 4.0\(\hat{i}\) m/s。 然后，(2.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\)) N 的恒定合力作用在物体上 3.0 秒。在 3.0 秒间隔结束时，物体速度的大小是多少？
    7. 1.5 千克质量的加速度为 (4.0\(\hat{i}\) − 3.0\(\hat{j}\)) m/s 2。 只有两支力量作用于群众。 如果其中一个力为 (2.0\(\hat{i}\) − 1.4\(\hat{j}\)) N，则另一种力的大小是多少？
    8. 一个箱子掉到以 3.4 m/s 的速度移动的传送带上。如果箱子和皮带之间的摩擦系数为 0.27，那么箱子需要多长时间才能移动而不打滑？
    9. 下图显示了一个 10.0 千克的方块被大小为 200.0 N\(\vec{F}\) 的水平力推动。两个表面之间的动摩擦系数为 0.50。 找到方块的加速度。

    一个 10.0 千克方块被水平力推入斜坡的示意图 F 斜率向上和向右倾斜，与水平方向成了 30 度的角度，力 F 指向右边。

    1. 如下所示，区块 1 的质量为 m 1 = 4.0 kg，而区块 2 的质量为 m 2 = 8.0 kg。 m 1 和倾斜表面之间的摩擦系数为\(\mu_{k}\) = 0.40。 系统的加速度是多少？

    方块 1 位于向上和向右倾斜的坡道上，比水平线高 37 度。 它与一根绳子相连，该绳子穿过坡道顶部的滑轮，然后直接向下悬挂并连接到方块 2。 方块 2 未与坡道接触。

    1. 一名学生正试图将一台 30 公斤的迷你冰箱搬进她的宿舍。 在注意力不集中的时刻，当迷你冰箱施加向上并与斜坡平行的 25 N 的力时，她会以恒定的速度向下滑动 35 度的斜度。 冰箱和斜坡表面之间的动摩擦系数是多少？
    2. 重量为100.0 kg的箱子放在粗糙的表面上，与水平方向倾斜成37.0°的角度。 一根可以平行于表面施加力的无质量绳索固定在箱子上，并通向斜坡的顶部。 在目前的状态下，箱子已经准备好滑动并开始向下移动。 摩擦系数为静态情况下的摩擦系数的80％。 (a) 静摩擦系数是多少？ (b) 在绳索上沿飞机向上施加的最大力是多少，而不移动方块？ (c) 施加的力稍大一些，方块将在飞机上滑动。 一旦它开始移动，它的加速度是多少？要保持它以恒定的速度向上移动，需要减少多少力？ (d) 如果稍微轻推一下方块让它从飞机上起飞，那么它朝那个方向的加速度会是多少？ (e) 一旦方块开始向下滑动，需要在绳索上施加什么向上力才能防止方块向下加速？
    3. 当驾驶员紧急制动时，汽车正在高速公路上行驶。 车轮被锁定（停止滚动），由此产生的防滑痕长达 32.0 米。 如果轮胎和道路之间的动摩擦系数为0.550，并且在制动过程中加速度恒定，那么车轮锁定时汽车的行驶速度有多快？
    4. 重量为 50.0 kg 的板条箱从平板卡车的后部水平掉落，该车以 100 km/h 的速度行驶。如果板条箱在路上滑动 50 米，则求出道路和板条箱之间的动摩擦系数值。 箱子的初始速度与卡车相同，100 km/h。

    该图显示一辆卡车以每小时 100 千米的速度向右移动，卡车后面的地面上有一个 50 千克的箱子。

    1. 一只重达 15 公斤的雪橇在水平方向上 30 度的绳索上施加的力将雪橇拉过水平的、积雪覆盖的表面。 雪橇和雪之间的动摩擦系数为 0.20。 (a) 如果力为 33 N，雪橇的水平加速度是多少？ (b) 要以恒定速度拉雪橇，力必须是多少？
    2. 绳子末端的 30.0 克的球在垂直圆圈中摆动，半径为 25.0 厘米。 切向速度为 200.0 cm/s。在弦中找到张力：(a) 在圆的顶部，(b) 在圆的底部，以及 (c) 距离圆心 12.5 厘米的距离（r = 12.5 cm）。
    3. 质量为 0.50 kg 的粒子开始穿过 xy 平面中的圆形路径，其位置由\(\vec{r}\) (t) = (4.0 cos 3t)\(\hat{i}\) + (4.0 sin 3t) 给出，其\(\hat{j}\)中 r 以米为单位，t 以秒为单位。 (a) 找出作为时间函数的速度和加速度矢量。 (b) 显示加速度向量始终指向圆的中心（因此代表向心加速度）。 (c) 找到作为时间函数的向心力向量。
    4. 一名特技自行车手骑在半径为 12 米的圆柱体内部。 轮胎和墙壁之间的静摩擦系数为 0.68。 找出骑车人表演特技的最低速度值。
    5. 当重量为 0.25 kg 的体连接到垂直无质量弹簧上时，它会从其未拉伸的长度 4.0 厘米延伸 5.0 厘米。 主体和弹簧放置在水平无摩擦表面上，以 2.0 转/秒的速度绕弹簧的固定端旋转。弹簧拉伸了多远？
    6. 铁路轨道沿着半径为 500.0 m 的圆形曲线行驶，倾斜角度为 5.00°。 这些轨道是为什么速度的火车设计的？
    7. 一辆铁路车厢的车顶上悬挂着一个铅锤。 汽车以 90.0 km/h 的速度绕过半径为 300.0 m 的圆形轨道。相对于垂直方向，垂直方向悬挂的角度是多少？
    8. 飞机以 120.0 m/s 的速度飞行，以 30° 角倾斜。 如果它的质量为 2.50 x 10 3 kg，(a) 提升力的大小是多少？ (b) 回合的半径是多少？
    9. 粒子的位置由\(\vec{r}\) (t) = A (cos\(\omega\) t\(\hat{i}\) + sin\(\omega\) t\(\hat{j}\)) 给出，其中\(\omega\)是一个常数。 (a) 显示粒子在半径为 A 的圆中移动。(b) 计算\(\frac{d \vec{r}}{dt}\)然后显示粒子的速度为常数 A\(\omega\)。 (c) 确定\(\frac{d^{2} \vec{r}}{dt^{2}}\)并表明 a 是由 a c = r 给出的\(\omega^{2}\)。 (d) 计算粒子上的向心力。 [提示：对于 (b) 和 (c)，你需要使用\(\left(\dfrac{d}{dt}\right)\) (cos\(\omega\) t) = −\(\omega\) sin\(\omega\) t 和\(\left(\dfrac{d}{dt}\right)\) (sin\(\omega\) t) =\(\omega\) cos\(\omega\) t。
    10. 由一根绳子连接的两个方块通过对其中一个方块施加的力拉过水平表面，如下所示。 方块和表面之间的动摩擦系数为 0.25。 如果每个方块向右的加速度为 2.0 m/s 2，则施加力的大小 F 是多少？

    两个方块，左侧为1.0千克，右侧为3.0千克，由一根绳子相连，位于水平表面上。 力 F 作用于重达 3.0 千克的质量，向上和向右指向水平线上方 60 度的角度。

    1. 如下所示，表面和较大方块之间的动摩擦系数为 0.20，表面和较小方块之间的动摩擦系数为 0.30。 如果 F = 10 N 而 M = 1.0 kg，则连接线中的张力是多少？

    两个方块，左边是 2 M，右边 M，由一根绳子连接，位于水平表面上。 力 F 作用于M 并指向右侧。

    1. 在图中，表面和方块之间的动摩擦系数为\(\mu_{k}\)。 如果 M = 1.0 kg，则找到任一方块加速度大小（以 F\(\mu_{k}\)、和 g 为单位）的表达式。

    两个方块，左边是 M，右边是 3 M，由一根绳子连接并且位于水平表面上。 显示了以下力：f sub k 2 作用于M 并指向右边；f sub k 1 作用于3 M 并指向右边；F 作用于3 M 并指向左边；N sub 2 作用于M 并指向上方；N sub 1 作用于3 M 并指向上方；M g 作用于M 并指向下；3 M g 作用于3 M 和指向下方。

    1. 两个方块堆叠在一起，如下所示，它们位于无摩擦的表面上。 两个块之间存在摩擦力（摩擦系数\(\mu\)）。 外力施加到顶部方块\(\theta\)与水平方向成一定角度。 两个方块一起移动可以施加的最大力 F 是多少？

    矩形方块 M sub 2 位于水平表面上。 矩形方块 M sub 1 位于方块 M sub 2 的顶部。 力 F 向方块 M sub 1 推动。 力 F 向下和向右指向，与水平成一定角度 theta。

    1. 箱子停在卡车的（水平）后部。 盒子与其所在表面之间的静摩擦系数为 0.24。 在没有箱子滑动的情况下，卡车在 3.0 秒内能行驶的最大距离（从静止开始，水平移动，持续加速）？
    2. 双倾飞机如下所示。 左表面的摩擦系数为 0.30，右表面的摩擦系数为 0.16。 计算系统的加速度。

    两辆由穿过滑轮的绳子连接的手推车位于双倾斜平面的两侧。 绳子穿过安装在双斜坡顶部的滑轮。 在左边，斜坡与水平方向成37度的角度，而那边的推车重量为10千克。 在右边，斜坡与水平方向成53度的角度，而那边的推车重量为15千克。

    挑战问题

    1. 在后面的章节中，你会发现粒子的重量随海拔高度而变化，因此 w = 其\(\frac{mgr_{0}^{2}}{r^{2}}\)中 r 0 是地球的半径，r 是距地球中心的距离。 如果粒子是从地球表面垂直发射的，速度为 v 0，则将其速度确定为位置 r 的函数。（提示：使用 dr = v dv，文本中提到的重排。）
    2. 大型离心机，如下图所示，用于使有抱负的宇航员暴露在与火箭发射和重返大气层时所经历的相似的加速效果。 (a) 如果骑手距离旋转中心 15.0 m，向心加速度 10g 的角速度是多少？ (b) 骑手的笼子挂在手臂末端的枢轴上，使其在旋转过程中能够向外摆动，如下方随附图所示。 当向心加速度为 10g 时，笼子会悬挂在水平线\(\theta\)以下的哪个角度？ （提示：手臂提供向心力并支撑笼子的重量。 绘制力量的自由体图，看看角度\(\theta\)应该是多少。）

    (a) 一台高重力训练离心机的照片。 宇航员坐在笼子里，长臂的末端在水平面上旋转。 (b) 离心机俯视图的插图以及力量的示意图。 自由体图显示重量 w 垂直向下指向，力 F 子臂向上和向左指向。 然后显示重新排列的力，形成直角三角形。 F sub arm 是指向上和向左的三角形的斜边，w 是指向下方的垂直边，F sub c 是指向左边的底部。 然后单独显示 F sub c 箭头，表示向量 F sub c 等于 F 子网。

    1. 一辆重量为1000.0 kg的汽车在施加刹车时正以100.0 km/h的速度沿着平坦的道路行驶。 如果轮胎的动摩擦系数为 0.500，则计算停止距离。 忽略空气阻力。 （提示：由于感兴趣的是行驶距离而不是时间，所以 x 是所需的自变量而不是 t。使用链式规则更改变量：\(\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}\)。）
    2. 一架以 200.0 m/s 的速度飞行的飞机转弯需要 4.0 分钟。 需要什么倾斜角度？ 乘客感知体重的增长百分比是多少？
    3. 跳伞运动员处于 1520 米的高度。自由落体 10.0 秒后，他打开降落伞，发现空气阻力 F D 由公式 F D = −bv 给出，其中 b 是常数，v 是速度。 如果 b = 0.750，跳伞运动员的质量为 82.0 kg，则首先为速度和位置设置微分方程，然后找出：(a) 降落伞打开时跳伞运动员的速度，(b) 降落伞打开前下降的距离，(c) 降落伞打开后的终极速度（找到限制速度），以及（d）降落伞打开后跳伞运动员在空中的时间。
    4. 在电视广告中，一瓶液体洗发水中在 t = 0 时从静止状态中释放出质量为 4.00 g 的小球形珠子。 观察到终端速度为 2.00 cm/s。找出 (a) 方程 v = 中常数 b 的值\(\frac{mg}{b} \big( 1 − e^{− \frac{bt}{m}} \big) \)，以及 (b) 珠子达到终端速度时的阻力值。
    5. 划船者和摩托艇在湖上休息。 它们的总重量为200.0千克。 如果电动机的推力在运动方向上为 40.0 N 的恒定力，并且如果水的阻力在数值上等于船速 v 的 2 倍，则设置并求解微分方程得出：(a) 时间 t 时船的速度；(b) 极限速度（经过很长一段时间后的速度）。

    贡献者和归因

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