6.3：用牛顿定律解决问题（第 2 部分）

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牛顿运动定律和运动学定律

当应用于涉及的不仅仅是一组狭窄的物理原理的一般情况时，物理学最有趣，也最强大。牛顿的运动定律也可以与本文前面讨论的其他概念相结合，以解决运动问题。例如，力会产生加速度，这是运动学的主题，因此与前面章节息息相关。

在处理涉及各种力、加速度、速度和/或位置的问题时，列出给定值和要计算的数量将使您能够确定所涉及的原理。然后，您可以参考涉及特定主题的章节，并使用文本中概述的策略来解决问题。以下有效示例说明了如何将本章前面给出的问题解决策略以及其他章节中介绍的策略应用于综合概念问题。

示例 6.6：足球运动员必须施加什么力量才能达到最高速度？

足球运动员开始休息并向前加速，在 2.50 秒内达到 8.00 m/s 的速度。(a) 她的平均加速度是多少？ (b) 为了使跑步者实现这种加速，地面向前施加的平均力量是多少？玩家的质量为70.0 kg，空气阻力可以忽略不计。

策略

为了找到这个问题的答案，我们使用本章前面给出的问题解决策略。示例各部分的解决方案说明了如何应用特定的问题解决步骤。在这种情况下，我们不需要使用所有步骤。我们只需确定物理原理，从而确定已知和未知数；应用牛顿第二定律；然后检查答案是否合理。

解决方案

我们得到了初始和最终速度（零和向前 8.00 m/s）；因此，速度变化为$\Delta$ v = 8.00 m/s。我们得到的是经过的时间，所以$\Delta$ t = 2.50 秒。未知的是加速度，这可以从它的定义中找到：$$a =\ frac {\ Delta v} {\ Delta t}\ ldotp$替换已知值产生 $a =\ frac {8.00\; m/s} = 3.20\; m/s^ {2}\ ldotp$$
在这里，我们被要求找出地面为产生这种加速而对跑步者施加的平均力。（请记住，我们正在处理作用于目标物体的一种或多种力量。）根据牛顿的第三定律，这是对玩家向后向地施加的反作用力的反作用力。忽略空中阻力，这在幅度上等于玩家身上的净外力，因为这种力量会导致玩家加速。既然我们现在知道了玩家的加速度并得到了她的质量，我们可以使用牛顿的第二定律来找出施加的力。也就是说，$$F_ {net} = ma\ ldotp$用 m 和 a 的已知值替换 $$F_ {net} = (70.0\; kg) (3.20\; m/s^ {2}) = 224\; N\ ldotp$$

这是一个合理的结果：对于处于良好状态的运动员来说，加速是可以实现的。力约为50磅，这是合理的平均力。

意义

此示例说明如何将问题解决策略应用于包含不同章节主题的情况。第一步是确定问题中涉及的物理原理、已知数和未知数。第二步是求解未知问题，在本例中使用牛顿第二定律。最后，我们检查答案以确保答案合理。这些用于综合概念问题的技巧将在物理学课程之外的物理学应用中很有用，例如在你的职业、其他科学学科和日常生活中。

练习 6.4

足球运动员在完成上述比赛后停下来，但现在注意到球已经准备好被偷了。如果她现在经受到 126 N 的力量试图偷球，距离她 2.00 米，那么她需要多长时间才能拿到球？

示例 6.7：什么力量作用于模型直升机？

一架 1.50 千克的模型直升机在 t = 0 时速度为 5.00$\hat{j}$ m/s。它以恒定速率加速两秒钟（2.00 秒），之后速度为 (6.00$\hat{i}$ + 12.00$\hat{j}$) m/s。在这段时间间隔内，作用于直升机的合力的大小是多少？

策略

我们可以很容易地设置一个坐标系，其中 x 轴（$\hat{i}$方向）是水平的，y 轴（$\hat{j}$方向）是垂直的。我们知道$\Delta$ t = 2.00 和$\Delta$ v = (6.00$\hat{i}$ + 12.00$\hat{j}$ m/s) − (5.00$\hat{j}$ m/s)。由此，我们可以根据定义计算加速度；然后我们可以应用牛顿第二定律。

解决方案

我们有

\[a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{(6.00 \hat{i} + 12.00 \hat{j}\; m/s) - (5.00 \hat{j}\; m/s)}{2.00\; s} = 3.00 \hat{i} + 3.50 \hat{j}\; m/s^{2}$$ $$\sum \vec{F} = m \vec{a} = (1.50\; kg)(3.00 \hat{i} + 3.50 \hat{j}\; m/s^{2}) = 4.50 \hat{i} + 5.25 \hat{j}\; N \ldotp\]

现在可以很容易地找到力的大小：

\[F = \sqrt{(4.50\; N)^{2} + (5.25\; N)^{2}} = 6.91\; N \ldotp\]

意义

最初的问题是用$\hat{i}$ −$\hat{j}$ 向量分量来陈述的，所以我们使用了向量方法。将此示例与前面的示例进行比较。

练习 6.5

找出 1.50 千克模型直升机合成物的方向。

示例 6.8：行李拖拉机

图$\PageIndex{7}$ (a) 显示了一辆行李拖拉机从飞机上拉行李车。拖拉机的质量为650.0千克，而手推车A的质量为250.0千克，而手推车B的质量为150.0千克。短时间作用的驱动力会使系统从静止状态中加速并起作用 3.00 秒。(a) 如果该驱动力由 F = (820.0t) N 给出，则在 3.00 秒后找到速度。 (b) 此时作用在拖拉机和手推车 A 之间的连接电缆上的水平力是多少？

图 (a) 显示了一辆行李拖拉机向左行驶并拖着两辆行李车。图中显示了系统上的外力。拖拉机上的力为 F 副拖拉机，水平向左，N 副拖拉机垂直向上，w 副拖拉机垂直向下。紧靠在拖拉机后面的推车 A 上的力是垂直向上 N sub A，垂直向下 w sub A。推车 B 上的力，即购物车 A 后面的力，垂直向上 N sub，wsub B 垂直向下。图 (b) 显示了拖拉机的自由车身图，包括 F 副拖拉机，水平向左，N 副拖拉机垂直向上，w 副拖拉机垂直向下，T 向右。 — 图$\PageIndex{7}$：(a) 所示为自由车身图，该图显示了系统上的所有外力，包括拖拉机和用于运载航空行李的行李车。 (b) 为了计算通往推车的电缆中的张力，仅显示拖拉机的自由车身图。

策略

自由车身图显示了拖拉机的驱动力，这为系统提供了加速。我们只需要考虑水平方向的运动。垂直力相互平衡，没有必要考虑它们。对于 b 部分，我们仅使用拖拉机的自由车身图来确定拖拉机与推车 A 之间的力。这暴露了耦合力$\vec{T}$，这是我们的目标。

解决方案

$$\ sum F_ {x} = m_ {system} a_ {x}\; 和\;\ sum F_ {x} = 820.0t，$$so $820.0 = (650.0 + 250.0 + 150.0) a$$ $$a = 0.7809t\ ldotp$由于加速度是时间的函数，我们可以使用 a =$\frac{dv}{dt}$ 来确定拖拉机的速度初始条件是 v ₀ = 0 在 t = 0 处。我们从 t = 0 整合到 t = 3：$$\ begin {split} dv & = adt\\\ int_ {0} ^ {3} dv & =\ int_ {0} ^ {3.00}\ int_ {0} ^ {3.00} 0.7809tdt\\ v & = 0.3905t^ {2}\ big] _ {0} ^ 00} = 3.51\; m/s\ ldotp\ end {split} $$
请参阅图$\PageIndex{7}$ (b) $$\ begin {split}\ sum F_ {x} & = m_ {tractor} a_ {x}\\ 820.0t-T & = m_ {tractor} (0.7805) t\\ (820.0) (3.00)-T & = (0.7805)\\ T & = 938\; N\ ldotp\ end {split} $$

意义

由于力随时间而变化，因此我们必须使用微积分来解决这个问题。请注意，系统的总质量对于求解图$\PageIndex{7}$ (a) 很重要，而在图 (b) 中，只有卡车的质量$\PageIndex{7}$（因为它提供了力）才有用。

回想一下 v =$\frac{ds}{dt}$ 和 a =$\frac{dv}{dt}$。如果加速度是时间的函数，我们可以使用在 “沿直线运动” 中开发的微积分形式，如本例所示。但是，有时加速度是位移的函数。在这种情况下，我们可以从这些微积分关系中得出重要的结果。求解每个 dt，我们得到 dt =$\frac{ds}{v}$ 和 dt =$\frac{dv}{a}$。现在，将这些表达式等同起来，我们有$\frac{ds}{v}$ =$\frac{dv}{a}$。我们可以重新排列这个来获得 ds = v dv。

示例 6.9：垂直发射的射弹的运动

一枚10.0千克的迫击炮弹从地面垂直向上发射，初始速度为50.0 m/s（见图$\PageIndex{8}$）。如果以 F _D = (0.0100 v ²) N 来测量大气阻力，则确定它将行驶的最大高度，其中 v 是任何时刻的速度。

(a) 一张士兵向上发射迫击炮弹的照片。 (b) 迫击炮弹的自由体图显示了力 F、sub D 和 w，两者都垂直向下指向。力 w 大于力 F sub D — 图$\PageIndex{8}$：(a) 迫击炮直接向上发射炮弹；我们考虑空气提供的摩擦力。 (b) 图中显示了自由体图，显示了迫击炮弹上的所有力。

策略

使用运动方程，迫击炮弹上的已知力可以与其加速度有关。然后可以使用运动学将迫击炮弹的加速度与其位置联系起来。

解决方案

最初，y ₀ = 0，v ₀ = 50.0 m/s。在最大高度 y = h 时，v = 0。自由体图显示 F _D 向下移动，因为它会减慢迫击炮弹向上的运动。因此，我们可以写

\[\begin{split} \sum F_{y} & = ma_{y} \\ -F_{D} - w & = ma_{y} \\ -0.0100 v^{2} - 98.0 & = 10.0 a \\ a & = -0.00100 v^{2} - 9.80 \ldotp \end{split}\]

加速度取决于 v，因此是可变的。由于 a = f (v)，我们可以使用上面描述的重排将 a 与 v 关联起来，

\[a ds = v dv \ldotp\]

我们用 dy 替换 ds 是因为我们处理的是垂直方向，

\[\begin{split} ady & = vdv \\ (−0.00100v^{2} − 9.80)dy & = vdv \ldotp \end{split}\]

我们现在将变量分开（一边是 v 和 dv；另一边是 dy）：

\[\begin{split} \int_{0}^{h} dy & = \int_{50.0}^{0} \frac{vdv}{(-0.00100 v^{2} - 9.80)} \\ & = - \int_{50.0}^{0} \frac{vdv}{(-0.00100 v^{2} + 9.80)} \\ & = (-5 \times 10^{3}) \ln(0.00100v^{2} + 9.80) \Big|_{50.0}^{0} \ldotp \end{split}\]

因此，h = 114 m。

意义

注意需要应用微积分，因为力不是恒定的，这也意味着加速度不是恒定的。更糟糕的是，力取决于 v（而不是 t），因此我们必须使用示例前面解释的技巧。高度的答案表明，如果存在空气阻力，则海拔较低。我们将在 Drag Force 和 Termin al Speed 中更详细地介绍空阻和其他阻力的影响。

练习 6.6

如果忽略了大气阻力，请找到迫击炮弹的最大高度。这个解决方案需要微积分吗？

模拟

在这个模拟中，当你尝试推文件柜时，探索正在起作用的力量。创建施加的力，然后查看由此产生的摩擦力和作用在机柜上的总力。图表显示了力、位置、速度和加速度与时间的关系。查看所有力（包括重力和法向力）的自由体图。