4.3: 加速度向量

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

学习目标

使用单位向量表示法计算给定速度函数的加速度矢量。
描述具有恒定加速度的三维粒子的运动。
使用沿垂直轴的一维运动方程以恒定加速度求解二维或三维问题。
用单位向量表示法表示加速度。

即时加速

除了获取运动中物体的位移和速度向量外，我们还经常想知道其轨迹上任何时间点的加速度矢量。这个加速度向量是瞬时加速度，它可以从速度函数时间的导数中获得，正如我们在上一章中所看到的那样。二维或三维的唯一区别是它们现在是向量量。取相对于时间$\vec{v}$ (t) 的导数，我们发现

\[\vec{a} (t) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\vec{v} (t + \Delta t) - \vec{v} (t)}{\Delta t} = \frac{d\vec{v} (t)}{dt} \ldotp \label{4.8}\]

就组件而言，加速度为

\[\vec{a} (t) = \frac{dv_{x} (t)}{dt}\; \hat{i} + \frac{dv_{y} (t)}{dt}\; \hat{j} + \frac{dv_{z} (t)}{dt}\; \hat{k} \ldotp \label{4.9}\]

另外，由于速度是位置函数的导数，我们可以用位置函数的二阶导数来写加速度：

\[\vec{a} (t) = \frac{d^{2} x(t)}{dt^{2}}\; \hat{i} + \frac{d^{2} y(t)}{dt^{2}}\; \hat{j} + \frac{d^{2} z(t)}{dt^{2}}\; \hat{k} \ldotp \label{4.10}\]

示例 4.4：查找加速度向量

粒子的速度为$\vec{v} (t) = 5.0t \hat{i} + t^2 \hat{j} − 2.0t^3 \hat{k}\, m/s$。

什么是加速功能？
t = 2.0 s 时的加速度向量是多少？找出它的大小和方向。

解决方案

我们取相对于速度函数时间的一阶导数来求加速度。衍生物是逐个成分取的：\[\vec{a} (t) = 5.0\; \hat{i} + 2.0t\; \hat{j} - 6.0t^{2}\; \hat{k}\; m/s^{2} \ldotp \nonumber\]
计算$\vec{a} (2.0\; s) = 5.0 \hat{i} + 4.0 \hat{j} - 24.0 \hat{k} \, m/s^2$为我们提供了单位向量表示法的方向。加速度的大小为\[|\vec{a} (2.20\; s)| = \sqrt{5.0^{2} + 4.0^{2} + (-24.0)^{2}} = 24.8\; m/s^{2} \ldotp \nonumber\]

意义

在这个例子中，我们发现加速度与时间有关，并且在整个运动过程中都在变化。让我们考虑一下粒子的不同速度函数。

示例 4.5：查找粒子加速度

粒子具有位置函数:$\vec{r} (t) = (10t − t^2) \hat{i} + 5t \hat{j} + 5t \hat{k} \,m$.

速度是多少？
加速度是多少？
描述来自的动作$t = 0\, s$。

策略

通过查看位置函数，我们可以对问题有所了解。它在 y 和 z 上是线性的，所以当我们取二阶导数时，我们知道这些方向上的加速度为零。另请注意，如果 t = 0 s 和 t = 10 s，x 方向上的位置为零。

解决方案

我们发现，取相对于持仓函数时间的导数$\vec{v} (t) = (10 − 2t) \hat{i} + 5 \hat{j} + 5 \hat{k}\, m/s$。速度函数在 x 方向的时间上是线性的，在 y 和 z 方向上是恒定的。
取速度函数的导数，我们发现加速度\[\vec{a}(t) = −2\; \hat{i} \,m/s^{2} \ldotp \nonumber\]向量是负 x 方向上的常数。
粒子的轨迹可以在图中看到$\PageIndex{1}$。让我们先看看 y 和 z 方向。粒子的位置随时间的变化而稳步增加，在这些方向上以恒定的速度。但是，在 x 方向上，粒子沿着正 x 方向行驶，直到 t = 5 s，然后反向方向。我们通过观察速度函数就知道了这一点，速度函数此时变为零，之后变为负数。我们之所以知道这一点，是因为加速度是负的且恒定的，也就是说，粒子正在减速或向负方向加速。粒子的位置到达 25 m，然后反转方向并开始向负 x 方向加速。该位置在 t = 10 秒时达到零。

显示了 x y z 坐标系。所有轴均以米为单位显示距离，从 -50 到 50 米不等。显示了一系列 10 个红点，其中第六个点标记为 t = 6 s，第十个点标记为 t = 10 s。红色系列点从原点开始向上弯曲（y 和 z 都随着时间的推移而增加）。垂直虚线将红点连接到 x y 平面上的一系列蓝点。蓝点都在第一个象限（正 x 和 y）中。点沿 y 坐标间隔规律，而 x 坐标从 0 开始，增加，在 t = 5 时达到最大值 x = 25 m，然后在 t 10 s 处减回到 x = 0。 — 图$\PageIndex{1}$：粒子从点 (x, y, z) = (0, 0, 0) 开始，位置向量$\vec{r}$ = 0。显示了轨迹在 xy 平面上的投影。 y 和 z 的值随着时间的变化呈线性增加，而 x 在 t = 5 s 和 25 m 处有一个转折点，当它反转方向时。此时，速度的 x 分量变为负值。 t = 10 s 时，粒子在 x 方向上回到 0 m。

练习 4.2

假设加速度函数的形式为$\vec{a}$ (t) = a$\hat{i}$ + b$\hat{j}$ + c$\hat{k}$ m/s ²，其中 a、b 和 c 是常数。关于速度函数的函数形式可以说什么？

恒定加速

对于具有恒定加速度的多维运动，可以采用与上一章中显示的一维运动相同的方式来处理。前面我们证明了三维运动等同于三个一维运动，每个运动都沿着垂直于其他运动的轴线。为了在每个方向上得出相关的方程，让我们考虑一下二维问题，即粒子在 xy 平面上以恒定的加速度移动，暂时忽略了 z 分量。加速度向量为

\[\vec{a} = a_{0x}\; \hat{i} + a_{0y}\; \hat{j} \ldotp\]

运动的每个分量都有一组单独的方程，类似于上一章中关于一维运动的方程式3.10——方程3.14。我们只显示 x 和 y 方向上的位置和速度方程。可以为 z 方向上的运动编写一组类似的运动学方程：

\[x(t) = x_{0} + (v_{x})_{avg} t \label{4.11}\]

\[v_{x}(t) = v_{0x} + a_{x}t \label{4.12}\]

\[x(t) = x_{0} + v_{0x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2} \label{4.13}\]

\[v_{x}^{2} (t) = v_{0x}^{2} + 2a_{x}(x − x_{0}) \label{4.14}\]

\[y(t) = y_{0} + (v_{y})_{avg} t \label{4.15}\]

\[v_{y}(t) = v_{0y} + a_{y} t \label{4.16}\]

\[y(t) = y_{0} + v_{0y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2} \label{4.17}\]

\[v_{y}^{2} (t) = v_{0y}^{2} + 2a_{y}(y − y_{0}) \ldotp \label{4.18}\]

这里的下标 0 表示初始位置或速度。方程\ ref {4.11} 至\ ref {4.18} 可以在不使用 z 分量的情况下替换为方程 4.2 和方程 4.5，以获得二维时间函数的位置向量和速度矢量：

\[\vec{r} (t) = x(t)\; \hat{i} + y(t)\; \hat{j}\]

和

\[\vec{v} (t) = v_{x} (t)\; \hat{i} + v_{y} (t)\; \hat{j} \ldotp\]

以下示例说明了二维运动学方程的实际用法。

示例 4.6：滑雪者

$\PageIndex{2}$该图显示一名滑雪者以 2.1 m/s ² 的加速度向下移动，斜率为 15°，t = 0。由于坐标系的原点在小屋的前面，她的初始位置和速度是

\[\vec{r} (0) = (7.50\; \hat{i} - 50.0\; \hat{j}) m \nonumber\]

和

\[\vec{v} (0) = (4.1\; \hat{i} - 1.1\; \hat{j}) m/s \nonumber\]

作为时间的函数，滑雪者的位置和速度的 x 和 y 分量分别是多少？
在 t = 10.0 秒时，她的位置和速度是多少？

图中显示了 x y 坐标系中滑雪者的示意图。滑雪者沿着一条比水平 x 方向低 15 度的线移动，加速度为 a = 2.1 米/秒，也指向他的运动方向。加速度用紫色箭头表示。 — 图$\PageIndex{2}$：滑雪者在 15° 的斜坡上加速度为 2.1 m/s ²。坐标系的原点在滑雪小屋。

策略

由于我们正在评估运动方程在 x 和 y 方向上的分量，因此我们需要找到加速度的分量并将其放入运动学方程中。参照图中的坐标系可以找到加速度的分量$\PageIndex{2}$。然后，通过将初始位置和速度的分量插入运动方程中，我们可以稍后求解她的位置和速度 t。

解决方案

坐标系的原点位于山顶，y 轴垂直向上，x 轴为水平。通过观察滑雪者的轨迹，加速度的 x 分量为正，y 分量为负。由于角度向下 15°，我们发现 $$a_ {x} = (2.1\; m/s^ {2})\ cos (15^ {o}) = 2.0\; m/s^ {2} $$ $$a_ {y} = (−2.1\; m/s^ {2})\ sin (15^ {o}) = −0.54\; m/s^ {2}\ ldotp$$ 将初始位置和速度插入方程式\ ref {4.12} 和\ ref {4.13} 表示 x，我们有 $$x (t) = 75.0\; m + (4.1\; m/s) t +\ frac {1} {2} (2.0\; m/s^ {2}) t^ {2} $$$v_ {x} (t) = 4.1\; m/s + (2.0\; m/s^ {2}) t\ ldotp$$ 对于 y 来说，我们有 $$y (t) = -50.0.0\; m + (-1.1\; m/s) t +\ frac {1} {2} (-0.54\; m/s^ {2}) t^ {2} $$ $$v_ {y} (t) = -1.1\; m/s + (-0.54\; m/s^ {2}) t\ ldotp$$
现在我们有了 x 和 y 的运动方程作为时间函数，我们可以在 t = 10.0 s 处计算它们：$$x (10.0\; s) = 75.0\; m + (4.1\; m/s) (10.0\; s) +\ frac {1} {2} (2.0\; m/s^ {2}) (10.0\; s) ^ {2}; m$$ $$v_ {x} (10.0\; s) = 4.1\; m/s + (2.0\; m/s^ {2}) (10.0\; s) = 24.1\; m/s$$ $$y (10.0) = -50.0.0\;m + (-1.1\; m/s) (10.0\; s) +\ frac {1} {2} (-0.54\; m/s^ {2}) (10.0\; s) ^ {2} $$ $$v_ {y} (10.0\; s) = -1.1\; m/s + (-0.54\; m/s^ {2}) (10.0\; s)\ l dotp$$ t = 10.0 s 处的位置和速度终于 $$\ vec {r} (10.0\; s) = (216.0\;\ hat {i}-88.0\;\ hat {j}) m$$\ vec {v} (10.0\; s) = (24.1\;\ hat {j}) m/s\ ldotp$$ 滑雪者在 10.0 秒时的速度幅度为 25 m/s，即 60 mi/h。

意义

知道给定物体位置、速度和加速度的初始条件，我们可以在以后的任何时间找到位置、速度和加速度，这一点很有用。

使用方程式\ ref {4.8}-\ ref {4.10}，我们已经完成了在二维或三维上移动的物体的位置、速度和加速度的一组表达式。如果物体的轨迹看起来像本章开头图片中的 “红色箭头”，那么位置、速度和加速度的表达式可能非常复杂。在接下来的章节中，我们将通过观察弹丸运动和圆周运动来研究二维和三维运动的两种特殊情况。

模拟

在科罗拉多大学博尔德分校的这个网站上，你可以通过交互式模拟来探索瓢虫的位置速度和加速度，允许你更改这些参数。