2.E：向量（练习）

概念性问题

2.1 标量和向量

1. 天气预报指出，预计第二天的温度将为−5°C。 这个温度是矢量还是标量？ 解释一下。
2. 以下哪一项是向量：人的身高，山上的海拔 珠穆朗玛峰、苍蝇的速度、地球的年龄、水的沸点、一本书的成本、地球的人口还是重力加速？
3. 举一个向量的具体示例，说明其大小、单位和方向。
4. 向量和标量有什么共同点？ 它们有何不同？
5. 假设你将两个向量\(\vec{A}\)相加\(\vec{B}\)。 它们之间的哪个相对方向会产生最大幅度的合成？ 最大幅度是多少？ 它们之间的哪个相对方向会产生最小幅度的合成？ 最小幅度是多少？
6. 是否可以将标量添加到向量量中？
7. 两个不同大小的向量有可能相加为零吗？ 三个不同大小的向量有可能相加为零吗？ 解释一下。
8. 汽车中的里程表表示标量还是矢量量？
9. 当一名在400米赛道上比赛的10,000米跑步者越过终点线时，该跑步者的净排水量是多少？ 这个位移可以为零吗？ 解释一下。
10. 向量的幅度为零。 是否有必要指定其方向？ 解释一下。
11. 向量的幅度可以为负吗？
12. 粒子位移的大小能否大于行进的距离？
13. 如果两个向量相等，你能对它们的分量说些什么？ 关于它们的大小，你能说些什么？ 关于他们的指示，你能说些什么？
14. 如果三个向量的总和为零，它们满足什么几何条件？

2.2 坐标系和矢量的分量

15. 举一个分量为零的非零向量的示例。
16. 解释为什么向量的分量不能大于其自身的量级。
17. 如果两个向量相等，你能对它们的分量说些什么？
18. 如果向量\(\vec{A}\)和\(\vec{B}\)是正交的，则\(\vec{B}\)沿方向的分量是\(\vec{A}\)多少？ \(\vec{A}\)沿方向的组成部分\(\vec{B}\)是什么？
19. 如果向量的两个分量中的一个不为零，则该向量的另一个向量分量的大小可以为零吗？
20. 如果两个向量的幅度相同，它们的分量是否必须相同？

2.4 向量的产物

21. 以下表达式有什么问题？ 你怎么能纠正它们？
    1. \(C = \vec{A} \vec{B}\)，
    2. \(\vec{C} = \vec{A} \vec{B}\)，
    3. \(C = \vec{A} \times \vec{B}\)，
    4. \(C = A \vec{B}\)，
    5. \(C + 2 \vec{A} = B \)，
    6. \(\vec{C} = A \times \vec{B}\)，
    7. \(\vec{A} \cdotp \vec{B} = \vec{A} \times \vec{B}\)，
    8. \(\vec{C} = 2 \vec{A} \cdotp \vec{B}\)，
    9. \(C = \vec{A} / \vec{B}\)，以及
    10. \(C = \vec{A} /B\)。
22. 如果两个向量的交叉积消失了，你能对它们的方向说些什么？
23. 如果两个向量的点积消失了，你能对它们的方向说些什么？
24. 一个矢量与另一个向量的交叉积的点积是多少？

问题

2.1 标量和向量

25. 水肺潜水员缓慢下降到海洋深处。 他在水面上相对于船只的垂直位置发生了几次变化。 他在距离船 9.0 米处进入第一站，但在均衡压力方面遇到了问题，因此他上升 3.0 m，然后继续下降 12.0 米到第二个停靠点。 从那里，他上升 4 m，然后下降 18.0 m，再次上升 7 m，然后再次下降 24.0 m，在那里他停下来，等待他的伙伴。 假设直至表面的正方向，用单位向量表示他的净垂直位移向量。 他到船的距离是多少？
26. 在一个校园的拔河比赛中，15 名学生在两端拉绳子，试图将中心结移到一侧或另一侧。 两个学生用力向右拉 196 N，四个学生用力向左拉 98 N，五个学生用力 62 N 向左拉，三个学生用力 150 N 向右拉，一个学生用力 250 N 向左拉。 假设向右为正方向，用单位向量表示结上的净拉力。 结上网的拉力有多大？ 朝哪个方向？
27. 假设你向西直走 18.0 m，然后向北直走 25.0 m。 你离起点有多远？连接起点和最终位置的线的罗盘方向是什么？ 使用图形方法。
28. 对于下图中给出的向量，使用图形方法查找以下结果：
    1. \(\vec{A} + \vec{B}\)，
    2. \(\vec{C} + \vec{B}\)，
    3. \(\vec{D} + \vec{F}\)，
    4. \(\vec{A} − \vec{B}\)，
    5. \(\vec{D} − \vec{F}\)，
    6. \(\vec{A} + 2 \vec{F}\)，
    7. \(\vec{A} − 4 \vec{D} + 2 \vec{F}\)。

29. 送货员从邮局出发，向北行驶 40 公里，然后向西 20 公里，然后向东 60 公里，最后向北 50 公里停下来吃午饭。 使用图形方法找到他的净位移向量。
30. 一只冒险的狗从家里流浪，向东跑三个街区，向北跑两个街区，向东跑一个街区，向北跑一个街区，向西跑两个街区。 假设每个街区大约 100 米，那只狗离家有多远，朝哪个方向？ 使用图形方法。
31. 为了逃离荒岛，遇难者建造了木筏然后出海。 白天风变化很大，他被吹向以下方向：西部以北 2.50 公里和 45.0°，然后向东 4.70 公里和 60.0°，然后向西 1.30 公里和 25.0°，然后向东直行 5.10 公里，然后向北 1.70 公里和 5.00°，然后向西以南 7.20 公里和 55.0°，以及最后在东部以北 2.80 公里和 10.0° 处。 使用图形方法查找遇船者相对于岛屿的最终位置。
32. 一架小型飞机朝东北 60° 的方向飞行 40.0 千米，然后朝东北 15° 的方向飞行 30.0 千米。 使用图形方法查找飞机从起点到最终位置的路径方向所覆盖的总距离。
33. 捕兽者从他的小屋到湖边行走 5.0 千米的直线距离，如下图所示。 使用图形方法（平行四边形规则）来确定捕捉器直接向东的位移和直接向北的位移，总和等于其产生的位移向量。 如果捕兽只朝东和向北的方向行走，曲折地走到湖边，他要走多少公里才能到达湖边？

34. 测量员使用以下方法测量直流向北的河流的距离。 测量师直接从对岸的一棵树对面开始，沿着河走 100 米以确定基线。 然后，她瞄准了那棵树，读到从基线到树的角度为 35°。 这条河有多宽？
35. 行人向东走 6.0 公里，然后向北走 13.0 千米。 使用图形方法查找行人产生的位移和地理方向。
36. 两个位移向量的大小是 A = 20 m 和 B = 6 m。合成物的大小值的最大值和最小值分别是\(\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}\)多少？

2.2 坐标系和矢量的分量

37. 假设 +x 轴是水平的，指向右边，则将下图中给出的向量解析为其标量分量，并以向量分量形式表示它们。

38. 假设你向西直走 18.0 m，然后向北直走 25.0 m。 你离起点有多远？ 你的位移向量是什么？ 你的位移方向是什么？ 假设 +x 轴向东。
39. 你沿直线行驶 7.50 公里，朝北向东 15° 的方向行驶。 (a) 找出你必须向东直行然后向北行驶才能到达同一点的距离。 (b) 表明如果东段和北段按顺序反转，你仍然到达同一地点。 假设 +x 轴向东。
40. 两匹马在平坦的地形上拉着一辆雪橇。 雪橇上的净力可以在笛卡尔坐标系中表示为向量\(\vec{F}\) = (−2980.0\(\hat{i}\) + 8200.0\(\hat{j}\)) N，其中\(\hat{i}\)和分别\(\hat{j}\)表示向东和向北的方向。 找出拉力的大小和方向。
41. 捕兽者从她的小屋到湖边行走 5.0 千米的直线距离，如下图所示。 确定她的位移向量的东部分和北部分量。 如果她沿着组件位移行走，她还要走多少公里？ 她的位移向量是什么？

42. 点的极坐标为 5.50 m。它的笛卡尔坐标是多少？\(\frac{4 \pi}{3}\)
43. 平面中的两个点具有极坐标 P ₁（2.500 m\(\frac{\pi}{6}\)）和 P ₂（3.800 m，\(\frac{2 \pi}{3}\)）。 确定它们的笛卡尔坐标以及笛卡尔坐标系中它们之间的距离。 将距离四舍五入到最接近的厘米。
44. 一只变色龙在阳台屏幕上安静地休息，等待昆虫过来。 假设笛卡尔坐标系的原点位于屏幕的左下角，向右的水平方向为 +x 方向。 如果它的坐标是（2.000 m，1.000 m），（a）它离屏幕角落有多远？ (b) 它在极坐标中的位置是什么？
45. 笛卡尔平面上的两个点是 A（2.00 m，−4.00 m）和 B（−3.00 m，3.00 m）。 找出它们之间的距离和它们的极坐标。
46. 一只苍蝇从开着的窗户进入并在房间里放大。 在沿着房间三条边有三个轴的笛卡尔坐标系中，苍蝇的位置从点 b（4.0 m、1.5 m、2.5 m）更改为点 e（1.0 m、4.5 m、0.5 m）。 找到苍蝇位移向量的标量分量，并以矢量分量形式表示其位移向量。 它的大小是多少？

2.3 向量代数

47. 对于向量\(\vec{B} = − \hat{i} − 4 \hat{j}\)和\(\vec{A} = −3 \hat{i} − 2 \hat{j}\)，计算 (a)\(\vec{A} + \vec{B}\) 及其大小和方向角度，以及 (b)\(\vec{A} − \vec{B}\) 及其大小和方向角。
48. 粒子连续经历三次位移，由向量\(\vec{D}_{1}\) = (3.0\(\hat{i}\) − 4.0\(\hat{j}\) − 2.0\(\hat{k}\)) mm、\(\vec{D}_{2}\) = (1.0\(\hat{i}\) − 7.0\(\hat{j}\) + 4.0\(\hat{i}\)) mm 和\(\vec{D}_{3}\) = (−7.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\) + 1.0\(\hat{k}\)) mm 给出。 (a) 找到粒子的合成位移矢量。 (b) 由此产生的位移的幅度是多少？ (c) 如果所有位移都沿着一条线，粒子会传播多远？
49. 给定两个位移向量\(\vec{A}\) = (3.00\(\hat{i}\) − 4.00\(\hat{j}\) + 4.00\(\hat{k}\)) m 和\(\vec{B}\) = (2.00\(\hat{i}\) + 3.00\(\hat{j}\) − 7.00\(\hat{k}\)) m，求出 (a)\(\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}\) 和 (b) 的位移及其幅度\(\vec{D} = 2 \vec{A} − \vec{B}\)。
50. 一架小型飞机朝东北 60° 的方向飞行 40.0 千米，然后朝东北 15° 的方向飞行 30.0 千米。 使用分析方法求出飞机从起点开始的总距离以及其位移向量的地理方向。 它的位移向量是什么？
51. 。 为了逃离荒岛，遇难者建造了木筏然后出海。 白天风变化很大，她沿着以下直线吹过：西北 2.50 公里和 45.0°，然后是东南 4.70 公里和 60.0°，然后是西向南 1.30 公里和 25.0°，然后向东 5.10 公里，然后向北 1.70 公里和 5.00°，然后是西向南 7.20 公里和 55.0°，以及最后在东部以北 2.80 公里和 10.0° 处。 使用分析方法找到所有位移向量的合成向量。 它的大小和方向是什么？
52. 假设下图中给出的向量的 +x 轴向右水平移动，请使用分析方法查找以下结果：
    1. \(\vec{A} + \vec{B}\)，
    2. \(\vec{C} + \vec{B}\)，
    3. \(\vec{D} + \vec{F}\)，
    4. \(\vec{A} - \vec{B}\)，
    5. \(\vec{D} - \vec{F}\)，
    6. \(\vec{A} + 2 \vec{F}\)，
    7. \(\vec{C} - 2 \vec{B} + 3 \vec{F}\)，以及
    8. \(\vec{A} - 4 \vec{D} + 2 \vec{F}\)。
53. 给定上图中的向量，找到求解方程 (a)\(\vec{D} + \vec{R} = \vec{F}\) 和 (b) 的向\(\vec{R}\)量\(\vec{C} - 2 \vec{D} + 5 \vec{R} = 3 \vec{F}\)。 假设 +x 轴水平向右。
54. 送货员从邮局出发，向北行驶 40 公里，然后向西 20 公里，然后向东 60 公里，最后向北 50 公里停下来吃午饭。 使用分析方法确定以下内容：（a）找到他的净位移向量。 (b) 餐厅离邮局有多远？ (c) 如果他直接从餐厅返回邮局，那么他在回程中的位移量是多少？ (d) 他的指南针在回程中要去什么？ 假设 +x 轴向东。
55. 一只冒险的狗从家里流浪，向东跑三个街区，向北跑两个街区，向东跑一个街区，向北跑一个街区，向西跑两个街区。 假设每个方块大约 100 码，使用分析方法找出狗的净位移向量、其大小和方向。 假设 +x 轴向东。 如果每个方块大约 100 m，你的答案会受到什么影响？
56. 如果\(\vec{D}\) = (6.00\(\hat{i}\) − 8.00\(\hat{j}\) m、\(\vec{B}\) = (−8.00\(\hat{i}\) + 3.00\(\hat{j}\)) m 和\(\vec{A}\) = (26.0\(\hat{i}\) + 19.0\(\hat{j}\)) m，请找到未知常数 a 和 b，这样 a\(\vec{D} + b \vec{B} + \vec{A} = \vec{0}\).
57. 给定位移向量\(\vec{D}\) = (3\(\hat{i}\) − 4\(\hat{j}\)) m，找到位移向量，\(\vec{R}\)使\(\vec{D}\) +\(\vec{R}\) = −4D\(\hat{j}\)。
58. 找到以下向量量的方向单位向量：(a) 力\(\vec{F}\) = (3.0\(\hat{i}\) − 2.0\(\hat{j}\)) N，(b) 位移\(\vec{D}\) = (−3.0\(\hat{i}\) − 4.0\(\hat{j}\)) m，(c) 速度\(\vec{v}\) = (−5.00\(\hat{i}\) + 4.00\(\hat{j}\)) m/s。
59. 在空间中的某一点，在笛卡尔系统中，电场向量的方向由单位向量给出\(\hat{E} = \frac{1}{\sqrt{5}} \hat{i} - \frac{2}{\sqrt{5}} \hat{j}\)。 如果电场矢量的大小为 E = 400.0 V/m，则此\(\vec{E}\)时电场向量的标量分量 E _x、E _y 和 E _z 是多少？ 此时电场矢量的方向角\(\theta_{E}\)是多少？
60. 驳船由下图所示的两艘拖船牵引。 一艘拖船在 AB 线上方 15° 处以 4000 级的力拉动驳船（见图），另一艘拖船在 AB 线下方 12° 处以 5000 级的力拉动驳船。 将拉力解析为其标量分量，然后找到拉动驳船的合成力的分量。 由此产生的拉力的幅度是多少？ 它相对于AB线的方向是什么？
61. 在地区机场的控制塔中，空中交通管制员监视两架飞机相对于控制塔位置的变化。 一架飞机是波音747货运航空公司，另一架飞机是道格拉斯DC-3。 波音的海拔高度为 2500 米，在水平线上方 10° 处攀升，向西移动 30°。 DC-3 的海拔高度为 3000 米，在水平线上方 5° 处攀升，直接向西巡航。 (a) 找到飞机相对于控制塔的位置向量。 (b) 空中交通管制员记录飞机位置时飞机之间的距离是多少？

2.4 向量的产物

62. 假设下图中向量的 +x 轴向右水平移动，请找到以下标量乘积：
    1. \(\vec{A} \cdotp \vec{C}\)，
    2. \(\vec{A} \cdotp \vec{F}\)，
    3. \(\vec{D} \cdotp \vec{C}\)，
    4. \(\vec{A} \cdotp ( \vec{F} + 2 \vec{C})\)，
    5. \(\hat{i} \cdotp \vec{B}\)，
    6. \(\hat{j} \cdotp \vec{B}\)，
    7. \((3 \hat{i} - \hat{j}) \cdotp \vec{B}\)和
    8. \(\hat{B} \cdotp \vec{B}\)。

63. 假设上图中向量的+x轴向右水平移动，则找到 (a) 向量\(\vec{A}\)沿向量的向量分量\(\vec{C}\)，(b) 向量\(\vec{C}\)沿向量的分量\(\vec{A}\)，(c) 向量\(\hat{i}\)沿向量的分量\(\vec{F}\)，以及 (d) 分量\(\vec{F}\)沿向量的向量\(\hat{i}\)。
64. 找出向量之间的角度
    1. \(\vec{D}\)= (−3.0\(\hat{i}\) − 4.0\(\hat{j}\)) m 和\(\vec{A}\) = (−3.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\)) m 和
    2. \(\vec{D}\)= (2.0\(\hat{i}\) − 4.0\(\hat{j}\) +\(\hat{k}\)) m 和\(\vec{B}\) = (−2.0\(\hat{i}\) + 3.0\(\hat{j}\) + 2.0\(\hat{k}\)) m。
65. 找出 vec\(\vec{D}\) tor = (2.0\(\hat{i}\) − 4.0\(\hat{j}\) +\(\hat{k}\)) m 使用 x、y 和 z 轴形成的角度。
66. 显示力向量\(\vec{D}\) = (2.0\(\hat{i}\) − 4.0\(\hat{j}\) +\(\hat{k}\)) N 正交于力向量\(\vec{G}\) = (3.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\) + 10.0\(\hat{k}\)) N
67. 假设下图中向量的 +x 轴向右水平移动，请找到以下矢量积：
    1. \(\vec{A} \times \vec{C}\)，
    2. \(\vec{A} \times \vec{F}\)，
    3. \(\vec{D} \times \vec{C}\)
    4. \(\vec{A} \times (\vec{F} + 2 \vec{C})\)，
    5. \(\hat{i} \times \vec{B}\)，
    6. \(\hat{j} \times \vec{B}\)，
    7. \((3 \hat{i} - \hat{j}) \times \vec{B}\)和
    8. \(\hat{B} \times \vec{B}\)。

68. 查找的交叉乘\(\vec{A} \times \vec{C}\)积
    1. \(\vec{A}\)= 2.0\(\hat{i}\) − 4.0\(\hat{j}\) +\(\hat{k}\) 和\(\vec{C}\) = 3.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\) + 10.0\(\hat{k}\)，
    2. \(\vec{A}\)= 3.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\) + 10.0\(\hat{k}\) 和\(\vec{C}\) = 2.0\(\hat{i}\) − 4.0\(\hat{j}\) +\(\hat{k}\)，
    3. \(\vec{A}\)= −3.0\(\hat{i}\) − 4.0\(\hat{j}\) 和\(\vec{C}\) = −3.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\)，以及
    4. \(\vec{C}\)= −2.0\(\hat{i}\) + 3.0\(\hat{j}\) + 2.0\(\hat{k}\) 和\(\vec{A}\) = −9.0\(\hat{j}\)。
69. 对于下图中的向量，找到 (a) (\(\vec{A} \times \vec{F} \cdotp \vec{D}\))、(b) (\(\vec{A} \times \vec{F}) \cdotp (\vec{A} \times \vec{C}\)) 和 (c) (\(\vec{A} \cdotp \vec{F})(\vec{D} \times \vec{B}\))。

70. (a) 如果\(\vec{A} \times \vec{F} = \vec{B} \times \vec{F}\)，我们可以得出结论\(\vec{A}\) =\(\vec{B}\)？ (b) 如果\(\vec{A} \cdotp \vec{F}\) =\(\vec{B} \cdotp \vec{F}\)，我们可以得出结论\(\vec{A}\) =\(\vec{B}\) 吗？ (c) 如果\(F \vec{A}\) =\(\vec{B} F\)，我们可以得出结论\(\vec{A}\) =\(\vec{B}\) 吗？ 为什么或者为什么不呢？

其他问题

71. 你在静止的空气中直线飞行 32.0 公里，朝西部以南 35.0° 的方向飞行。 (a) 找出你必须向南飞行，然后向西飞行才能到达同一点的距离。 (b) 找出你必须先朝西部以南 45.0° 的方向飞行，然后向北以西 45.0° 的方向飞行的距离。 请注意，这些是沿另一组轴的位移分量，即相对 (a) 中的轴旋转 45° 的那个轴。
72. 点的矩形坐标由 (2, y) 给出，其极坐标由 (r,\(\frac{\pi}{6}\)) 给出。 找到 y 和 r。
73. 如果一个点的极坐标为 (r,\(\varphi\))，其直角坐标为 (x, y)，则确定以下点的极坐标：(a) (−x, y)、(b) (−2x、−2y) 和 (c) (3x, −3y)。
74. 矢量\(\vec{A}\)和\(\vec{B}\)具有相同的大小，为 5.0 个单位。 如果\(\vec{A}\) +\(\vec{B}\) = 5 2，则找出它们之间的角度\(\hat{j}\)。
75. 一艘渔船从一个未知群岛的莫伊岛出发，往返行程，在诺伊岛和波伊岛停留两站。 它从 Moi 航行 4.76 海里（nmi），向东以北 37° 的方向航行到 Noi。 它从 Noi 向北航行 69° 到 Poi。 在从 Poi 返回的航程中，它向南航行 28°。 这艘船在 Noi 和 Poi 之间航行多远？ 它在 Moi 和 Poi 之间航行了多远？ 用海里和千米表达你的答案。 注意：1 nmi = 1852 m。
76. 空中交通管制员在雷达监视器上注意到来自两架飞机的两个信号。 一架飞机高度为 800 米，与塔的水平距离为 19.2 千米，朝西向南 25° 的方向。 第二架飞机的高度为1100米，其水平距离为17.6千米和西部以南20°。 这些飞机之间的距离是多少？
77. 显示当\(\vec{A}\) +\(\vec{B}\) = 时\(\vec{C}\)，C ^{2 = A 2} + B ² + 2AB cos 时\(\varphi\)，向量\(\vec{A}\)和之间的角度在哪里\(\varphi\)\(\vec{B}\)。
78. 四个力向量各具有相同的大小 f。将这些力相加后，合力向量的最大幅度是多少？ 由此产生的最小幅度是多少？ 绘制这两种情况的图表。
79. 滑冰运动员沿着半径为 5.00 m 的圆形路径顺时针方向滑行。 当他在圆圈的一半左右滑行时，从西点开始，找出（a）他的位移向量的大小以及（b）他实际滑了多远。 (c) 当他一直绕着圆圈滑冰然后回到西点时，他的位移向量的大小是多少？
80. 一只顽固的狗被它的主人用皮带牵引。 有一次，狗在地面上的某个地方遇到了一种有趣的气味，想详细探索它，但主人不耐烦，用力\(\vec{F}\) = (98.0\(\hat{i}\) + 132.0\(\hat{j}\) + 32.0\(\hat{j}\)) N 拉上皮带。 (a) 拉力的大小是多少？ (b) 皮带与垂直方向的角度是多少？
81. 如果北极熊的速度矢量为\(\vec{u}\) = (−18.0\(\hat{i}\) − 13.0\(\hat{j}\)) km/h，那么它行驶的速度有多快，朝哪个地理方向行驶？ 这里\(\hat{i}\)和分别\(\hat{j}\)是向东和向北的地理方向。
82. 找到三维向量的标量分量，\(\vec{G}\)然后在下图\(\vec{H}\)中，根据轴的单位向量以向量分量形式写入向量。

83. 一名潜水员在伯利兹沿海探索浅礁。 她最初向北游90.0米，向东转弯，继续行驶200.0 m，然后跟随一只大石斑鱼向东北 30° 方向行驶 80.0 m。 同时，局部潮流将她向南移动 150.0 米。 假设潮流已经不存在，那么她现在应该朝哪个方向游多远才能回到起点？
84. 力向量\(\vec{A}\)的 x 和 y 分量分别为 −8.80 个力单位和 15.00 个力单位。 力向量\(\vec{B}\)的 x 和 y 分量分别为 13.20 个力单位和 −6.60 个力单位。 找出满足向量\(\vec{C}\)方程\(\vec{A}\) −\(\vec{B}\) + 3\(\vec{C}\) = 0 的力向量的分量。
85. 向量\(\vec{A}\)和\(\vec{B}\)是 xy 平面中的两个正交向量，它们具有相同的大小。 如果\(\vec{A}\) = 3.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\)，则查找\(\vec{B}\)。
86. 对于下图中的三维向量，请查找 (a)\(\vec{G} \times \vec{H}\)、(b)\(\vec{G} \times \vec{H}\) | 和 (c)\(\vec{G} \cdotp \vec{H}\)。

87. 显示\((\vec{B} \times \vec{C}) \cdotp \vec{A}\)这是平行六面体的体积，其边由下图中的三个向量形成。

挑战问题

88. 向\(\vec{B}\)量长 5.0 厘米，向\(\vec{A}\)量长 4.0 厘米。 当 | | = 3.0 cm 和 |\(\vec{A}\) −\(\vec{A} + \vec{B}\)\(\vec{B}\) | = 3.0 cm 时，找出这两个向量之间的角度。
89. 力向量\(\vec{G}\) = (3.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\) + 10.0\(\hat{k}\)) N 沿力向量\(\vec{H}\) = (1.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\)) N 的分量是多少？
90. 下图显示了由三个向量\(\vec{A}\)\(\vec{B}\)和形成的三角形\(\vec{C}\)。 如果\(\vec{C}\; '\)在向量的中点\(\vec{A}\)和之间绘制向量\(\vec{B}\)，则显示\(\vec{C}\; '\) =\(\frac{\vec{C}}{2}\)。

91. 旋转坐标系时，平面中点之间的距离不会改变。 换句话说，矢量的大小在坐标系旋转下是不变的。 假设坐标系 S 绕其原点旋转，形成新的坐标系 S′，如下图所示。\(\varphi\) 平面中的一个点在 S 中有坐标 (x, y)，坐标 (x′, y′) 以 S′ 表示。
    1. 表明，在旋转变换过程中，S′ 中的坐标由以下关系以 S 中的坐标表示：$$\ begin {cases} x' = x\ cos\ varphi + y\ sin\ varphi + y\ cos\ varphi\ end {cases}\ ldotp$$
    2. 表明点 P 到原点的距离在坐标系旋转下是不变的。 在这里，你得证明 $$\ sqrt {x^ {2} + y^ {2}} =\ sqrt {x'^ {2} + y'^ {2}}\ ldotp$$
    3. 表明点 P 和 Q 之间的距离在坐标系旋转下是不变的。 在这里，你必须展示 $$\ sqrt {(x_ {P}-x_ {Q}) ^ {2} + (y_ {P}-y_ {Q}) ^ {2}} =\ sqrt {(x'_ {P}-x'_ {Q}) ^ {2} + (y'_ {Q}-y'_ {Q}) ^ {2}} ldotp$$

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