2.S：向量（摘要）
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关键条款
| 反交换特性 | 更改操作顺序会引入减号 |
| 反平行向量 | 两个方向相差 180° 的向量 |
| 联想 | 术语可以用任何方式分组 |
| 可交换的 | 操作可以按任意顺序执行 |
| 向量的分量形式 | 以单位向量表示其分量的向量和写入的向量 |
| 开瓶器右手法则 | 用于确定向量积方向的规则 |
| 交叉乘积 | 向量乘以向量的结果是一个称为叉积的向量；也称为向量积 |
| 两个向量的差 | 第一个向量与第二个向量反平行的向量之和 |
| 方向角度 | 在平面中，x 轴的正方向和向量之间的角度，从轴到向量逆时针测量 |
| 位移 | 位置改变 |
| 分配的 | 乘法可以分布在总和项上 |
| 点积物 | 两个向量的标量乘积的结果是称为点积的标量；也称为标量积 |
| 相等向量 | 当且仅当两个向量的所有对应分量相等时，两个向量才相等；或者，两个大小相等的平行向量 |
| 幅度 | 向量的长度 |
| 空向量 | 其所有分量均等于零的向量 |
| 正交向量 | 两个方向相差恰好 90° 的向量，与垂直向量同义 |
| 平行向量 | 两个方向角完全相同的向量 |
| 平行四边形规则 | 平面中向量和的几何构造 |
| 极坐标系 | 一种正交坐标系，其中平面中的位置由极坐标给出 |
| 极坐标 | 径向坐标和角度 |
| 激进坐标 | 在极坐标系中到原点的距离 |
| 合成向量 | 两个（或更多）向量的向量和 |
| 标量 | 一个数字，与物理学中的标量同义 |
| 标量组件 | 一个数字，它与向量的向量分量中的单位向量相乘 |
| 标量方程 | 方程式中，左边和右边是数字 |
| 标量乘积 | 两个向量的标量乘积的结果是一个称为标量积的标量；也称为点积 |
| 标量量 | 可以用带有相应物理单位的单个数字完全指定的数量 |
| 头对头几何结构 | 用于绘制多个向量的合成向量的几何结构 |
| 单位向量 | 指定方向的单位大小矢量；没有物理单位 |
| 轴的单位向量 | 定义平面或空间中正交方向的单位向量 |
| 向量 | 具有大小和方向的数学对象 |
| 向量组件 | 向量的正交分量；向量是其向量分量的向量和 |
| 向量方程 | 方程，其中左边和右边是向量 |
| 矢量产品 | 向量乘以向量的结果是一个称为向量积的向量；也称为叉积 |
| 向量数量 | 由数学向量描述的物理量，即通过指定其大小和方向；在物理学中与向量同义 |
| 向量和 | 两个（或更多）向量组合的结果 |
关键方程
| 乘以标量（向量方程） | $$\ vec {B} =\ alpha\ vec {A} $$ |
| 乘以标量（量级的标量方程） | $$B = |\ alpha| A$$ |
| 两个向量的结果 | $$\ vec {D} _ {AD} =\ vec {D} _ {AC} +\ vec {D} _ {CD} $$ |
| 交换法 | $$\ vec {A} +\ vec {B} =\ vec {B} +\ vec {A} $$ |
| 联想法 | $$ (\ vec {A} +\ vec {B}) +\ vec {C} =\ vec {A} + (\ vec {B} +\ vec {C}) $$ |
| 分配法 | $$\ alpha_ {1}\ vec {A} +\ alpha_ {2}\ vec {A} = (\ alpha_ {1} +\ alpha_ {2})\ vec {A} $$ |
| 二维向量的分量形式 | $$\ vec {A} = A_ {x}\ hat {i} + A_ {y}\ hat {j} $$ |
| 二维向量的标量分量 | $$\ begin {cases} A_ {x} = x_ {e}-x_ {b}\\ A_ {y} = y_ {e}-y_ {b}\ end {cases} $$ |
| 平面中向量的大小 | $$A =\ sqrt {A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2}} $$ |
| 平面中向量的方向角度 | $$\ theta_ {A} =\ tan^ {-1}\ 左 (\ dfrac {A_ {y}} {A_ {x}}\ 右) $$ |
| 平面中向量的标量分量 | $$\ begin {cases} A_ {x} = A\ cos\ theta_ {A}\\ A_ {y} = A\ sin\ theta_ {A}\ end {cases} $$ |
| 飞机中的极坐标 | $$\ begin {cases} x = r\ cos\ varphi\\ y = r\ sin\ varphi\ end {cases} $$ |
| 三维向量的分量形式 | $$\ vec {A} = A_ {x}\ hat {i} + A_ {y}\ hat {j} + A_ {z}\ hat {k} $$ |
| 三维向量的标量 z 分量 | $$A_ {z} = z_ {e}-z_ {b} $$ |
| 三维向量的大小 | $$A =\ sqrt {A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2} + A_ {z} ^ {2}} $$ |
| 分配财产 | $$\ alpha (\ vec {A} +\ vec {B}) =\ alpha\ vec {A} +\ alpha\ vec {B} $$ |
| 反平行向量\(\vec{A}\) | $$-\ vec {A} = A_ {x}\ hat {i}-A_ {y}\ hat {j}-A_ {z}\ hat {k} $$ |
| 相等向量 | $$\ vec {A} =\ vec {B}\ leftrightarrow\ begin {cases} A_ {x} = B_ {x}\\ A_ {y}\\ A_ {z} = B_ {z}\ end {cases} $$ |
| N 个向量合成的分量 | $$\ begin {cases} F_ {Rx} =\ sum_ {k = 1} ^ {N} F_ {kx} = F_ {1x} + F_ {2x} +\ ldots + F_ {Nx}\\ F_ {Ry} =\ sum_ {k = 1} ^ {N} F_ {1y} + F_ {2y} +\ ldots + F_ {Ny}\\ F_ {Rz} =\ sum_ {k = 1} ^ {N} F_ {kz} = F_ {1z} + F_ {2z} +\ ldots + F_ {Nz}\ end {cases} $$ |
| 一般单位向量 | $$\ hat {V} =\ frac {\ vec {V}} {V} $$ |
| 标量积的定义 | $$\ vec {A}\ cdotp\ vec {B} = AB\ cos\ varphi$$ |
| 标量乘积的交换属性 | $$\ vec {A}\ cdotp\ vec {B} =\ vec {B}\ cdotp\ vec {A} $$ |
| 标量积的分布特性 | $$\ vec {A}\ cdotp (\ vec {B} +\ vec {C}) =\ vec {A}\ cdotp\ vec {B} +\ vec {A}\ cdotp\ vec {C} $$ |
| 以向量的标量分量表示的标量乘积 | $$\ vec {A}\ cdotp\ vec {B} = A_ {x} B_ {x} + A_ {y} B_ {y} + A_ {z} B_ {z} $$ |
| 两个向量间角度的余弦值 | $$\ cos\ varphi =\ frac {\ vec {A}\ cdotp\ vec {B}} {AB} $$ |
| 单位向量的点积 | $$\ hat {i}\ cdotp\ hat {j} =\ hat {j}\ cdotp\ hat {k} =\ hat {k}\ cdotp\ hat {i} = 0$$ |
| 矢量积的大小（定义） | $$|\ vec {A}\ times\ vec {B} | = AB\ sin\ varphi$$ |
| 矢量积的反交换特性 | $$|\ vec {A}\ times\ vec {B} =-\ vec {B}\ times\ vec {A} $$ |
| 矢量积的分布特性 | $$\ vec {A}\ times (\ vec {B} +\ vec {C}) =\ vec {A}\ times\ vec {B} +\ vec {A}\ times\ vec {C} $$ |
| 单位向量的交叉积 | $$\ begin {cases}\ hat {i}\ times\ hat {j} = +\ hat {k}，\\\ hat {j}\ times\ hat {l} = +\ hat {i} = +\ hat {j}\ ldotp\ end {cases} $$ |
| 以向量的标量分量表示的叉积 | $$\ vec {A}\ times\ vec {B} = (A_ {y} B_ {z} B_ {z} B_ {y})\ hat {i} + (A_ {z} B_ {x} B_ {y}-A_ {x} B_ {y}-A_ {y} B_ {y} x})\ hat {k} $$ |
摘要
2.1 标量和向量
- 向量是任何具有大小和方向的量，例如位移或速度。
- 在几何学上，向量用箭头表示，末端用箭头标记。 向量的长度是其幅度，它是一个正标量。 在平面上，向量的方向由向量与参考方向的角度给出，通常是与水平方向的角度。 向量的方向角是标量。
- 当且仅当两个向量具有相同的大小和方向时，它们才相等。 平行向量具有相同的方向角度，但可能具有不同的幅度。 反平行向量的方向角度相差180°。 正交向量的方向角度相差90°。
- 当一个向量乘以一个标量时，结果是另一个长度与原始向量长度不同的矢量。 乘以正标量不会改变原始方向；只会影响量级。 乘以负标量会反转原始方向。 生成的向量与原始向量反平行。 乘以标量是分布式的。 向量可以除以非零标量，但不能除以向量。
- 可以添加两个或更多向量以形成另一个向量。 向量和称为合成向量。 我们可以将向量添加向量或将标量添加到标量，但我们不能向向量添加标量。 向量加法是可交换和关联的。
- 要在几何上构造平面中两个向量的合成向量，我们使用平行四边形规则。 为了以几何形式构造平面中许多向量的合成向量，我们使用尾对头方法。
2.2 坐标系和矢量的分量
- 向量是根据其在坐标系中的分量来描述的。 在二维中（在平面中），向量有两个分量。 在三维（空间中）中，向量有三个分量。
- 向量的向量分量是其在轴方向上的部分。 向量分量是轴的单位向量及其沿该轴的标量分量的乘积。 向量是其向量分量的结果。
- 矢量的标量分量是坐标的差，其中从矢量的终点坐标中减去原点坐标。 在矩形系统中，向量的大小是其分量平方和的平方根。
- 在平面中，向量的方向由向量与 x 轴正的角度给出。 该方向角是逆时针测量的。 向量的标量 x 分量可以表示为其大小与其方向角余弦的乘积，标量 y 分量可以表示为其大小与其方向角正弦的乘积。
- 在平面中，有两个等效的坐标系。 笛卡尔坐标系由单位向量\(\hat{i}\)\(\hat{j}\)以及分别沿 x 轴和 y 轴定义。 极坐标系由径向单位向量定义\(\hat{r}\)，后者给出从原点开始的方向\(\hat{t}\)，以及与径向方向垂直（正交）的单位向量。
2.3 向量代数
- 向量代数的分析方法使我们能够找到向量之和或差的结果而无需绘制它们。 向量加法的分析方法是精确的，与图形方法相反，后者是近似的。
- 向量代数的分析方法通常用于力学、电学和磁学。 它们是重要的物理学数学工具。
2.4 向量的产物
- 向量有两种乘法。 一种乘法是标量积，也称为点积。 另一种乘法是向量积，也称为叉积。 向量的标量乘积是一个数字（标量）。 向量的向量乘积是一个向量。
- 这两种乘法都有分布属性，但只有标量乘积具有交换属性。 向量积具有反交换特性，这意味着当我们改变两个向量的乘法顺序时，结果会得到一个负号。
- 两个向量的标量乘积是通过将它们的大小乘以它们之间角度的余弦得出的。 正交向量的标量积消失；反平行向量的标量乘积为负。
- 两个向量的向量乘积是垂直于这两个向量的向量。 它的幅度是通过将它们的大小乘以它们之间角度的正弦得出的。 矢量积的方向可以通过开瓶器右手定律确定。 两个平行或反平行向量的向量积消失。 对于正交向量，向量积的大小最大。
- 向量的标量乘积用于查找向量之间的角度，也用于定义导出的标量物理量（例如功或能量）。
- 向量的叉积用于定义导出的向量物理量，例如扭矩或磁力，以及描述旋转。