2.4: 向量的坐标系和分量（第 1 部分）

学习目标

• 使用沿轴的单位向量，用分量描述二维和三维向量。
• 区分向量的向量分量和向量的标量分量。
• 解释如何根据向量的分量定义向量的幅度。
• 识别平面中向量的方向角度。
• 解释平面中极坐标和笛卡尔坐标之间的联系。

向量通常以其在坐标系中的分量来描述。 即使在日常生活中，我们自然也会在矩形坐标系中引用正交投影的概念。 例如，如果你向某人询问前往特定地点的路线，你更有可能被告知向东走 40 公里，向北 30 公里，而不是向东 37° 的方向走 50 千米。

在平面中的矩形（笛卡尔）xy 坐标系中，平面中的点由一对坐标 (x, y) 来描述。 以类似的方式，平面$\vec{A}$中的向量由其一对矢量坐标来描述。 向量$\vec{A}$的 x 坐标称为其 x 分量，向量$\vec{A}$的 y 坐标称为其 y 分量。 向量 x 分量是用表示的向量$\vec{A}_{x}$。 矢量 y 分量是用表示的向量$\vec{A}_{y}$。 在笛卡尔系统中，向量的 x 和 y 向量分量分别是该向量在$x$-和$y$-轴上的正交投影。 这样，按照向量加法的平行四边形规则，笛卡尔平面上的每个向量都可以表示为其向量分量的向量和：

$$\vec{A} = \vec{A}_{x} + \vec{A}_{y} \ldotp \label{2.10}$$

如图所示$\PageIndex{1}$，向量$\vec{A}$是矩形的对角线，其中 x 分量$\vec{A}_{x}$是平行于 x 轴的边，y 分量$\vec{A}_{y}$是平行于 y 轴的边。 向量分$\vec{A}_{x}$量与向量分量正交$\vec{A}_{y}$。

图$\PageIndex{1}$：笛卡尔坐标系中平面中的向量$\vec{A}$是其向量 x 和 y 分量的向量和。 x 向量分量$\vec{A}_{x}$是矢量在 x 轴$\vec{A}$上的正交投影。 y 向量分量$\vec{A}_{y}$是矢量在 y 轴$\vec{A}$上的正交投影。 与单位向量相乘的数字 A _x 和 A _y 是向量的标量分量。

习惯上用单位向量表示 x 轴上的正方向$\hat{i}$，y 轴上的正方向用单位向量表示$\hat{j}$。 轴的单位向量$\hat{i}$和$\hat{j}$，定义了平面中的两个正交方向。 如图所示$\PageIndex{1}$，向量的 x 和 y 分量现在可以用轴的单位向量来书写：

$$\begin{cases} \vec{A}_{x} = A_{x} \hat{i} \\ \vec{A}_{y} = A_{y} \hat{j} \end{cases} \label{2.11}$$

由方程 2.11$\vec{A}_{y}$ 定义的向$\vec{A}_{x}$量是向量的向量分量$\vec{A}$。 定义方程\ ref {2.11} 中向量分量的数字 A _x 和 A _y 是向量的标量分量$\vec{A}$。 将方程\ ref {2.10} 与方程\ ref {2.11} 相结合，得出向量的分量形式：

$$\vec{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j} \ldotp \label{2.12}$$

_{如果我们知道向量原点$b(x_b, y_b)$的坐标（其中 b 代表 “起点”）和向量终点的坐标 e（x e，y e）（其中 e 代表 “终点”），我们只需减去原点就可以得到向量的标量分量}从终点坐标开始的坐标：

$$\begin{cases} A_{x} = x_{e} - x_{b} \\ A_{y} = y_{e} - y_{b} \ldotp \end{cases} \label{2.13}$$

示例$\PageIndex{1}$: Displacement of a Mouse Pointer

计算机显示屏上初始位置的鼠标指针相对于左下角的点（6.0 cm，1.6 cm）。 如果将指针移动到位于点（2.0 cm，4.5 cm）的图标上，则指针的位移向量是多少？

策略

xy 坐标系的原点是计算机显示器的左下角。 因此，x 轴$\hat{i}$上的单位向量水平向右指向，y 轴$\hat{j}$上的单位向量垂直向上。 位移向量的原点位于点 b (6.0、1.6)，位移向量的末端位于点 e (2.0、4.5)。 将这些点的坐标替换为方程\ ref {2.13} 以找到位移向量的标量分量 D _x 和 D _y$\vec{D}$。 最后，将坐标替换为方程\ ref {2.12}，以向量分量形式写入位移向量。

解决方案

我们确定 x _b = 6.0、x _e = 2.0、y _b = 1.6 和 y _e = 4.5，其中物理单位为 1 厘米。 位移向量的标量 x 和 y 分量为

$$D_{x} = x_{e} - x_{b} = (2.0 - 6.0)\; cm = -4.0\; cm,$$

$$D_{y} = y_{e} - y_{b} = (4.5 - 1.6)\; cm = + 2.9\; cm \ldotp$$

位移向量的向量分量形式为

$$\vec{D} = D_{x}\; \hat{i} + D_{y}\; \hat{j} = (-4.0\; cm)\; \hat{i} + (2.9\; cm)\; \hat{j} = (-4.0\; \hat{i} + 2.9\; \hat{j})\; cm \ldotp \label{2.14}$$

该解决方案如图所示$\PageIndex{2}$。

图$\PageIndex{2}$：位移向量的图形。 向量从原点指$b$向终点处$e$。

意义

请注意，物理单位（此处为 1 cm）可以与每个分量一起放置在单位向量之前，也可以将两个分量全局放置，如方程\ ref {2.14} 所示。 通常，后一种方法更方便，因为它更简单。

位移向量的向量 x 分量$\vec{D}_{x}$$\hat{i}$ = −4.0 = 4.0 ($- \hat{i}$) 的幅度为$\vec{D}_{x}$ | | = |− 4.0|$\hat{i}$ | = 4.0，因为单位向量的大小为 |$\hat{i}$ | = 1。 还要注意，x 分量的方向是$− \hat{i}$，它与 +x 轴的方向反平行；因此，x 分量向量$\vec{D}_{x}$指向左侧，如图所示$\PageIndex{2}$。 向量的标量 x 分量$\vec{D}$为 D _x = −4.0。 同样，位移向量的向量 y 分量$\vec{D}_{y}$ =$+ 2.9 \hat{j}$ 具有大小$\vec{D}_{y}$ | | = |2.9|$\hat{j}$ | = 2.9，因为单位向量的大小为 |$\hat{j}$ | = 1。 y 分量的方向为$+ \hat{j}$，它平行于 +y 轴的方向。 因此，y 分量向量$\vec{D}_{y}$指向上方，如图所示$\PageIndex{2}$。 向量的标量 y 分量$\vec{D}$为 D _y = + 2.9。 位移向量$\vec{D}$是其两个向量分量的结果。

位移向量方程\ ref {2.14} 的矢量分量形式告诉我们，显示器上的鼠标指针已从其初始位置向左移动 4.0 厘米，向上移动 2.9 厘米。

练习 2.4

一只蓝苍蝇落在一张方格纸上，位于其左边缘右侧 10.0 厘米、下边缘上方 8.0 厘米处，然后缓慢行走到距离左边缘 5.0 厘米、距离下边缘 5.0 厘米的点。 选择原点位于纸张左下角的矩形坐标系，然后找到苍蝇的位移向量。 通过绘图说明您的解决方案。

当我们知道向量的标量分量 A _x 和 A _y 时$\vec{A}$，我们可以找到它的量级 A 和方向角$\theta_{A}$。 方向角度（简称方向）是矢量在 x 轴上与正方向形成的角度。 角度$\theta_{A}$按逆时针方向从 +x 轴到向量测量（图$\PageIndex{3}$）。 因为长度 A、A _x 和 A _y 形成直角三角形，所以它们与毕达哥拉斯定理有关：

$$A^{2} = A_{x}^{2} + A_{y}^{2} \Leftrightarrow A = \sqrt{A_{x}^{2} + A_{y}^{2}} \ldotp \label{2.15}$$

即使向量的标量分量为负，此方程也起作用。 向量的方向角度$\theta_{A}$是通过三角形$\theta_{A}$中角度的切线函数定义的，如图所示$\PageIndex{3}$：

$$\tan \theta = \frac{A_{y}}{A_{x}} \Rightarrow \theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{A_{y}}{A_{x}}\right) \ldotp \label{2.16}$$

图$\PageIndex{3}$：对于矢量$\vec{A}$，其量级 A 及其方向角$\theta_{A}$与其标量分量的大小相关，因为 A、A _x 和 A _y 形成直角三角形。

当向量位于第一象限或第四象限中时，分量 A _x 为正（图$\PageIndex{4}$），方程\ ref {2.16}）$\theta$中的角度与方向角相同$\theta_{A}$。 对于第四象限中的向量，角度$\theta$为负，这意味着对于这些向量，方向角$\theta_{A}$是从 x 轴正向顺时针测量的。 同样，对于第二象限中的向量，角度$\theta$为负。 当向量位于第二或第三象限中，其中分量 A _x 为负时，方向角为$\theta_{A}$ =$\theta$ + 180°（图$\PageIndex{4}$）。

图$\PageIndex{4}$：向量的标量分量可以是正数或负数。 第一象限 (I) 中的向量的标量分量均为正，而第三象限中的向量均为负的标量分量。 对于象限 II 和 III 中的向量，向量的方向角为$\theta_{A}$ =$\theta$ + 180°。

示例$\PageIndex{2}$: Magnitude and Direction of the Displacement Vector

将显示屏上的鼠标指针从其初始位置（6.0 cm，1.6 cm）移动到位于点（2.0 cm，4.5 cm）的图标。 指针位移向量的大小和方向是多少？

策略

在示例中$\PageIndex{1}$，我们找到了鼠标指针$\vec{D}$的位移向量（参见方程\ ref {2.14}）。 我们确定了它的标量分量 D _x = −4.0 cm 和 D _y = + 2.9 cm，然后用方程\ ref {2.15} 和方程\ ref {2.16} 代替$\theta_{D}$，分别找出量级 D 和方向。

解决方案

向量的大小$\vec{D}$为

$$D = \sqrt{D_{x}^{2} + D_{y}^{2}} = \sqrt{(-4.0\; cm)^{2} + (2.9\; cm)^{2}} = \sqrt{(4.0)^{2} + (2.9)^{2}}\; cm = 4.9\; cm \ldotp$$

方向角为

$$\tan \theta = \frac{D_{y}}{D_{x}} = \frac{+2.9\; cm}{-4.0\; cm} = -0.725 \Rightarrow \theta = \tan^{-1} (-0.725) = -35.9^{o} \ldotp$$

向量$\vec{D}$位于第二个象限中，因此其方向角为

$$\theta_{D} = \theta + 180^{o} = -35.9^{o}+ 180^{o} = 144.1^{o} \ldotp$$

练习 2.5

如果在方格纸上行走的蓝蝇的位移向量为$\vec{D} = (−5.00\; \hat{i} − 3.00\; \hat{j})$ cm，请找出它的大小和方向。

在许多应用中，矢量量的大小和方向是已知的，我们需要找到许多向量的结果。 例如，想象一下 400 辆汽车在强风中在旧金山的金门大桥上行驶。 每辆车都会在不同的方向上为桥梁提供不同的推动力，我们想知道由此产生的推动力可能有多大。 我们已经在矢量和的几何构造方面积累了一些经验，因此我们知道通过绘制向量并测量它们的长度和角度来寻找结果的任务可能很快变得棘手，从而导致巨大的错误。 当我们使用分析方法时，不会出现这样的担忧。 分析方法的第一步是在已知向量的方向和大小时找到向量分量。

让我们回到图中的直角三角形$\PageIndex{3}$。 相邻边 A _x 到斜边 A 的商是方向角的余弦函数$\theta_{A}$，A _x /A = cos$\theta_{A}$，而对面 A _y 与斜边 A 的商是 A _y /A = sin 的$\theta_{A}$正弦函数$\theta_{A}$。 当已知量级 A 和方向$\theta_{A}$时，我们可以求解标量分量的以下关系：

$$\begin{cases} A_{x} = A \cos \theta_{A} \\ A_{y} = A \sin \theta_{A} \ldotp \end{cases} \label{2.17}$$

使用方程\ ref {2.17} 计算向量分量时，必须注意角度。 向量的方向角度$\theta$ _A 是从 x 轴上的正方向到向量逆时针测量的角度。 顺时针测量得出负角度。

示例$\PageIndex{3}$: Components of Displacement Vectors

一名失踪儿童的救援队跟随一只名叫 Trooper 的搜查犬。 Trooper 经常徘徊，在许多不同的路径上进行许多试探嗅探。 Trooper 最终找到了孩子，故事有了一个圆满的结局，但他在不同腿上的位移似乎确实令人费解。 他用其中一条腿向东南走 200.0 米，然后向北跑约 300.0 米。在第三条腿上，他仔细检查气味，朝向北以西 30° 的方向 50.0 米。 在第四回合中，Trooper 直接向南行驶 80.0 m，拾起一种新鲜的气味，然后向南转 23° 行驶 150.0 m。找出 Trooper 位移向量的标量分量及其每条腿的向量分量形式的位移向量。

策略

让我们采用一个矩形坐标系，其中 x 轴正方向朝向地理东方，正的 y 方向指向地理北方。 显而易见，x 轴$\hat{i}$的单位向量指向东方，y 轴$\hat{j}$的单位向量指向北方。 Trooper 有五条腿，所以有五个位移向量。 我们首先确定它们的大小和方向角度，然后使用方程\ ref {2.17} 来找出位移的标量分量，使用方程\ ref {2.12} 来计算位移向量。

解决方案

在第一条腿上，位移幅度为 L ₁ = 200.0 m，方向为东南。 对于方向角度，$\theta_{1}$我们可以从东方向顺时针测量 45°，也可以从东方向逆时针测量 45° + 270°。 如果选择第一个选项，则$\theta_{1}$为 −45°。 如果选择第二个选项，$\theta_{1}$= + 315°。 我们可以使用这两个角度中的任何一个。 组件是

$$L_{1x} = L_{1} \cos \theta_{1} = (200.0\; m) \cos 315^{o} = 141.4\; m,$$

$$L_{1y} = L_{1} \sin\theta_{1} = (200.0\; m) \sin 315^{o} = -141.4\; m,$$

第一条腿的位移向量为

$$\vec{L}_{1} = L_{1x}\; \hat{i} + L_{1y}\; \hat{j} = (14.4\; \hat{i} - 141.4\; \hat{j})\; m \ldotp$$

在 Trooper 游荡的第二回合中，位移的大小为 L ₂ = 300.0 m，方向为北。 方向角为$\theta_{2}$ = + 90°。 我们得到以下结果：

$$L_{2x} = L_{2} \cos \theta_{2} = (300.0\; m) \cos 90^{o} = 0.0,$$

$$L_{2y} = L_{2} \sin \theta_{2} = (300.0\; m) \sin 90^{o} = 300.0\; m,$$

$$\vec{L}_{2} = L_{2x}\; \hat{i} + L_{2y}\; \hat{j} = (300.0\; m)\; \hat{j} \ldotp$$

在第三条腿上，位移幅度为 L ₃ = 50.0 m，方向为北向西 30°。 从东方向逆时针测量的方向角为$\theta$ ₃ = 30° + 90° = + 120°。 这给出了以下答案：

$$L_{3x} = L_{3} \cos \theta_{3} = (50.0\; m) \cos 120^{o} = -25.0\; m,$$

$$L_{3y} = L_{3} \sin \theta_{3} = (50.0\; m) \sin 120^{o} = + 43.3\; m,$$

$$\vec{L}_{3} = L_{3x}\; \hat{i} + L_{3y}\; \hat{j} = (-25.0\; \hat{i} + 43.3\; \hat{j})\; m \ldotp$$

在游程的第四段中，位移幅度为 L ₄ = 80.0 m，方向为南。 方向角可以采用$\theta_{4}$ = −90° 或\ (\ theta_ {4} = + 270°。 我们获得

$$L_{4x} = L_{4} \cos \theta_{4} = (80.0\; m) \cos (-90^{o}) = 0,$$

$$L_{4y} = L_{4} \sin \theta_{4} = (80.0\; m) \sin (-90^{o}) = -80.0\; m,$$

$$\vec{L}_{4} = L_{4x}\; \hat{i} + L_{4y}\; \hat{j} = (-80.0\; m)\; \hat{j} \ldotp$$

在最后一回合中，幅度为 L ₅ = 150.0 m，角度为$\theta_{5}$ = −23° + 270° = + 247°（向南以西 23°），这给出了

$$L_{5x} = L_{5} \cos \theta_{5} = (150.0\; m) \cos 247^{o} = -58.6\; m,$$

$$L_{5y} = L_{5} \sin \theta_{5} = (150.0\; m) \sin 247^{o} = -138.1\; m,$$

$$\vec{L}_{5} = L_{5x}\; \hat{i} + L_{5y}\; \hat{j} = (-58.6\; \hat{i} - 138.1\; \hat{j})\; m \ldotp$$

练习 2.6

如果 Trooper 在休息之前向西跑 20 米，他的位移向量是多少？